Замечание: Решение методом Зойтендейка не доведено... решение с достаточной точностью.

Замечание: Решение методом Зойтендейка не доведено до конца. Получите
решение с достаточной точностью.
ЗАДАНИЕ 9
Найти экстремум целевой функции и охарактеризовать его (минимум
или максимум)
f ( x)  x12  x22 ,
x1  x2  5
Привести графическую иллюстрацию решения. Предложить не
менее трех подходов к решению задачи оптимизации.
Рассмотрим
графическое
решение
данной
задачи
с
двумя
переменными. Изобразим множество точек на плоскости, удовлетворяющих
ограничению x1  x2  5 , которое равносильно условию: x2  5  x1 . Все точки
этой прямой входят в область допустимых решений ОДР данной задачи.
Если зафиксировать положительное значение функции f x   x12  x22 , то
соответствующие ему точки будут лежать на некоторой окружности с
центром в начале координат. При изменении этого значения функции радиус
окружности
будет
уменьшаться
или
увеличиваться.
Рассмотрим
концентрические окружности, соответствующие различным значениям
целевой функции, имеющие с ОДР хотя бы одну общую точку. Возможны
три случая: окружность не имеет общих точек с прямой ОДР (при R
имеет ровно одну общую точку (при R 
(при R
5 2
),
2
5 2
), имеет ровно две общие точки
2
5 2
). При уменьшении радиуса окружности значение целевой
2
функции уменьшается, таким образом наименьшее значение целевой
функции достигается на ОДР при касании окружности и прямой ОДР, то есть
2
5 2 
5 2
при R 
. Тогда f x*  x1*2  x2*2  R 2  
  12,5 - оптимальное значение
2
2


 
целевой функции при оптимальном решении x1*  2,5; x2*  2,5 . Ответ: f *  12,5
Решим эту же задачу методом замены переменных:
1)
выразим из уравнения ограничения переменную x 2 через x1 и получим
x2  5  x1 ,
подставим
в
целевую
f  x   x12   5  x1   min,
функцию.
Тогда
2
f '  x   2 x1  2  5  x1   0  x1*  2,5; x2*  2,5; f *  12,5
Решим эту же задачу методом множителей Лагранжа
2)
:
.
min f  x   x12  x22 ,
h1  x   x1  x2  5  0
.
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в
следующем
виде:
L  x,    x12  x22    x1  x2  5  min .
Вычислим:
L

 2 x1    0  x1*   ,
x1
2
L

 2 x2    0  x2*   .
x2
2
Для того, чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка x *
минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L( x,  ) , рассматриваемой как
функция
от
х:
2 0
H L (x, λ)  
,
0 2
которая
оказывается
положительно
определенной. Это означает, что L( x,  ) выпуклая функция. Следовательно,
координаты
  
x*    ;  
 2 2
определяют
точку
глобального
минимума.
Оптимальное значение  определяется подстановкой значений x1* и x2* в
уравнение ограничений: h1  x   x1  x2  5  0 ,
откуда вычисляем  :
  5  0;  *  5 . Тогда минимум достигается в точке
5 5
x*   ;  ,
2 2
f *  min f ( x)  12,5 .
Решим эту же задачу оптимизации методом штрафных
3)
функций (квадратичный штраф).
Введем
Запишем
функции:
штрафную
уравнения,
min f  x   x12  x22 ,
h1  x   x1  x2  5  0
функцию
определяющие
P
 2 x1  2 R  x1  x2  5   0,
x1
P
 2 x2  2 R  x1  x2  5   0
x2
вида:
P  x, R   x12  x22  R  x1  x2  5  .
стационарную
2
точку
, откуда следует: x1  x2 
штрафной
5R
. Переходя к
2R  1
пределу, получим:
 5R 
5
lim  2 R  1   2  2,5 .
R 
*
 [2,5; 2,5] и f *  12,5 .
Таким образом, метод сходится к точке xвыч
Данная задача оптимизации решена 4 методами: графическим, замены
переменной, множителей Лагранжа, штрафных функций. Все 4 метода дали
одинаковый ответ: f *  12,5 .
Метод Зойтендейка
f ( x)  x12  x2 2  min,
x1  x2  5  0.
х 0  [0;0]  S .
f ( x k )  0.01
Начальное допустимое решение х0=(2;3), f(x0)=13.
Вычислим градиент в точке х0:
f ( x 0 )  [2 x1 ; 2 x2 ]  [4;6];
g1  (1;1);
Вычислим значение функции g1 в точке х0=(2;3).
g1 (2;3)  0
Ограничение активно.
4d1  6d 2    0,
d1  d 2    0
1  di  1, i  1, 2
θmax=0,286, d1=1, d2=-0,714.
Теперь на луче x = x0 + αd,
 2
 1   2  
x     


 3
 0, 714   3  0, 714 
α=0,094
 2
 1   2, 094 
x     0, 094 


 3
 0, 714   2,933 
f ( x1 )  [2 x1 ; 2 x2 ]  [4,188;5,866];
g1  (1;1);
Вычислим значение функции g1 в точке х1=(2,094;2,933).
g1 (2, 094; 2,933)  0 ,027
Ограничение не активно.
4,188d1  5,866d 2    0,
1  di  1, i  1, 2
θmax=10,054, d1=-1, d2=-1.
Теперь на луче x = x0 + αd,
 2, 094 
 1  2, 094   
x
     

 2,933 
 1  2,933   
α=0,135
 1,959 
x

 2, 798 