Билинейные и квадратичные формы задачи
advertisement
Билинейные и квадратичные формы 1. Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в трехмерном линейном пространстве: 1. x1 y2 − 3x1 y3 + 7 x2 y3 + x2 y1 − 3x3 y1 + 7 x3 y2 + x3 y3 . 2. Восстановить симметричную билинейную форму в трехмерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу: 1. x12 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 5x22 + 12 x2 x3 + 7 x22 ; 2. 2 x12 − 6 x1 x2 − 3x22 . 3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 0 1 1 2 −1 0 1 1 − 1 2 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1 ; ; 2. 1. 0 −1 2 1 − 1 1 − 1 0 2 0 −1 0 1 − 1 − 1 1 0 −1 0 0 0 2 2 0 −1 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 . 3. 0 −1 −1 2 −1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 −1 2 0 4. Квадратичная функция дана в базисе e . Записать эту квадратичную функцию в базисе e ′ : 1. 25x12 − 14 x1 x2 + 2 x22 , e1′ = e1 + e2 , e2′ = − e1 + e2 ; 2. 3x12 + 10 x1 x2 + 9 x22 , e1′ = 2e1 − e2 , e2′ = e1 − e2 ; 3. x12 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − x32 , e1′ = e1 + e2 + e3 , e2′ = 2e1 − e2 + e3 , e3′ = − e1 + 2e2 − 3e3 . 5. Привести данную квадратичную форму к каноническому виду. Найти ранг; положительный и отрицательный индексы и сигнатуру этой формы: 1. 4 x12 + 4 x1 x2 + 5x22 ; 2. 25x12 + 30 x1 x2 + 9 x22 ; 3. x12 + 4 x1 x3 + x22 + 2 x2 x3 + 4 x32 ; 4. 9 x12 − 12 x1 x2 − 6x1 x3 + 4 x22 + 4 x2 x3 + 4 x32 .
