Домашнее задание после семинара 17 октября

«Начала теории вероятностей и математической статистики» (2011 – 2012 уч.год)
Домашнее задание после семинара 17 октября
Тип задач 1.
С.в. Х имеет нормальное распределение со средним значением 10 и дисперсией 9.
Найдите плотность распределения вероятностей с.в. Х в эпсилон-окрестности точек:
1. Х = 7
2. Х = 16
Тип задач 2.
Пусть z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение
[т.е. z ~ N(0,1)].Найдите:
1. P(– 2 < z < 1.5)
2. P(– 2.6 < z < 0)
3. P(1 < z < 8)
4. P(– 2.5758 < z < 2.5758)
5. P(– 2.5758 < z < 1)
6. P(– 2.4 < z < 1.4)
7. P(– 0.1 < z < 1.5)
Тип задач 3.
1. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 1.96)
2. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 2.5758)
3. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 3)
4. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 3.3)
Тип задач 4.
1. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z+1| ≤ 2)
2. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z-0.5| ≤ 2)
3. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z-0.2| ≤ 1.7)
4. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z-0.5| ≥ 2)
Тип задач 5.
1. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|3Z| ≤ 3)
2. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z| ≤ 4)
3. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z| ≥ 3)
4. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|1.5Z| ≥ 3)
Тип задач 6.
1. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z+1| ≤ 3)
2. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z-2| ≤ 2)
3. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z+1| ≥ 3)
4. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|1.5Z+1| ≥ 2)
Тип задач 7.
1. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (2, 9). Найти P(Z + Y ≤ 3), если Z и Y независимы.
2. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Найти P(Z + Y ≤ 4), если Z и Y
независимы.
3. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Найти P(Z - Y ≤ 3), если Z и Y независимы.
4. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Найти P(Z - Y ≥ 4), если Z и Y независимы.
1
«Начала теории вероятностей и математической статистики» (2011 – 2012 уч.год)
Тип задач 8.
1. Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найти P (X+Y ≤ 2), если X и Y независимы.
2. Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найти P (X+Y ≥ 5), если X и Y независимы.
3. Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (X-Y ≤ 5), если X и Y независимы.
4. Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (2X-Y ≤ 5), если X и Y независимы.
Тип задач 9.
1. Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найти P (|X+Y| ≤ 2), если X и Y независимы.
2. Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X+Y| ≥ 5), если X и Y независимы.
3. Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X-Y| ≤ 5), если X и Y независимы.
4. Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|2X-Y| ≤ 5), если X и Y независимы.
Тип задач 10.
1. У Вас есть 100 руб., которые Вы решили вложить в активы. Вы можете вложить деньги
в 2 вида активов: стоимость одного – это Х, стоимость другого – это Y. Распределение цен
активов таково: X ~ N (10, 1), Y ~ N (20, 9). Стоимости активов независимы.
За одну единицу покупаемого актива Вы платите среднюю стоимость этого актива.
Вы хотите вложить свои 100 руб. так, чтобы минимизировать риск критических потерь,
коими принято считать 10%-ные потери (т.е. Вы хотите вложить деньги так, чтобы
минимизировать риск того, что купленные Вами активы будут стоить не больше 90 руб.).
Проведите соответствующие расчеты и установите, какой из способов формирования
портфеля активов более Вам выгоден:
a. купить 10 единиц первого актива
b. купить 5 единиц второго актива
c. купить 4 единицы первого и 3 единицы второго актива
2. У Вас есть 200 руб., которые Вы решили вложить в активы. Вы можете вложить деньги
в 2 вида активов: стоимость одного – это Х, стоимость другого – это Y. Распределение цен
активов таково: X ~ N (10, 4), Y ~ N (40, 9). Стоимости активов независимы.
За одну единицу покупаемого актива Вы платите среднюю стоимость этого актива.
Вы хотите вложить свои 200 руб. так, чтобы минимизировать риск критических потерь,
коими принято считать 10%-ные потери. Проведите соответствующие расчеты и
установите, какой из способов формирования портфеля активов более Вам выгоден:
a. купить 20 единиц первого актива
b. купить 5 единиц второго актива
c. купить 8 единиц первого и 3 единицы второго актива
d. купить 4 единицы первого и 4 единицы второго актива
Тип задач 11.
Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти такое значение с.в. Z, что:
a) 50% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
b) 65% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
c) 75% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
d) 70% значений с.в. Z будут больше найденного значения
e) 35% значений с.в. Z будут больше найденного значения
Тип задач 12.
1. Известно, что Z ~ N (10, 9). Найти такое значение с.в. Z, что:
a) 50% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
b) 65% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
c) 75% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
d) 70% значений с.в. Z будут больше найденного значения
2
«Начала теории вероятностей и математической статистики» (2011 – 2012 уч.год)
e) 35% значений с.в. Z будут больше найденного значения
2. Известно, что Z ~ N (30, 36). Найти такое значение с.в. Z, что:
a) 40% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
b) 55% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
c) 65% значений с.в. Z будут меньше найденного значения
d) 75% значений с.в. Z будут больше найденного значения
e) 25% значений с.в. Z будут больше найденного значения
Тип задач 13.
1. Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9), X и Y независимы. Найти:
a) квантиль уровня 0.65 с.в. (X+Y)
b) верхнюю квартиль с.в. (X+Y)
c) нижнюю квартиль с.в. (X+Y)
d) медиану с.в. (X+Y)
e) верхнюю квартиль с.в. (X-Y)
f) нижнюю квартиль с.в. (X-Y)
2. Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9), X и Y независимы. Найти:
g) квантиль уровня 0.65 с.в. (X+Y)
h) верхнюю квартиль с.в. (X+Y)
i) нижнюю квартиль с.в. (X+Y)
j) медиану с.в. (X+Y)
k) верхнюю квартиль с.в. (X-Y)
l) нижнюю квартиль с.в. (X-Y)
3
«Начала теории вероятностей и математической статистики» (2011 – 2012 уч.год)
Ответы
Тип задач 1.
a
b
0,24
0,148
Тип задач 2.
1
0,91
2
0,495
3
0,159
4
0,99
5
0,836
6
0,911
7
0,47
Тип задач 3.
1
0,95
2
0,99
3
0,9974
4
0,999
2
0,9792
3
0,9045
4
0,073
2
0,9544
3
0,1336
4
0,0456
2
0,4772
3
0,1814
4
0,2742
2
0,596
3
0,9272
4
0,0447
2
0,3897
3
0,881
4
0,44
2
0,3961
3
0,762
4
0.3899
Тип задач 4.
1
0,84
Тип задач 5.
1
0,682
Тип задач 6.
1
0,8186
Тип задач 7.
1
0,6242
Тип задач 8.
1
0,5
Тип задач 9.
1
0,4207
Тип задач 10.
1 (P ≤ 90)
1
0,1587
2
0,2514
3
0.1539
2
4
0,3085
2
0,39
3
0,67
4
-0,52
(P ≤ 180)
5
0,0918
6
0,1379
7
0,0823
Тип задач 11.
1
0
5
0,39
Тип задач 12.
1
10
2
11,17
3
12,01
4
11,56
5
11.17
6
28,5
7
30,78
8
32,34
9
34,02
10
25,98
Тип задач 13.
a
b
5,41
g
c
6,42
h
7,65
d
1,58
i
8,84
e
4
j
3,16
f
2,42
k
6
-2,42
l
4,84
-0,84
В задачах №10 все эти безумные вероятности можно не считать, а просто сравнить
волатильность стоимости портфелей, т.е. сравнить дисперсии. Тот портфель, чья
стоимость менее волатильна (чья дисперсия меньше), более «надежен».
4
«Начала теории вероятностей и математической статистики» (2011 – 2012 уч.год)
5