теор.вер.урок4

Урок 4.
Умножение вероятностей.
Вероятность P(A B) произведения или совмещения событий проще
вычислить, используя теорему умножения вероятностей.
Теорема: Вероятность произведения двух событий (совместного появления)
равна произведению вероятности одного из них, на условную вероятность
другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
P( AB)  P( A)  P( B )  P( B)  P( A )
A
B
Обобщение теоремы на n событий:
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2
A1
)  P(
A3
A1  A2
)  ...  P(
An
A1  A2  A3  ...  An 1
)
Проиллюстрируем теорему на задаче о шарах.
Пример. В корзине находится 4 белых, 3 синих, и 2 черных шара. Вынимаем
последовательно 3 шара. Какова вероятность вынуть шары в таком порядке:
белый, синий, черный без возвращения?
Решение:
Пусть событие A1 – первый белый шар, A2 – второй синий шар, A3 –
третий черный шар. A=A1∙A2∙A3.
P( A)  P( A1 )  P(
A2
A
4 3 2 1
)  P( 3 )    
A1
A1  A2
9 8 7 21
Пример. Какова вероятность составить слово «тиски» из букв, составляющих
слово «Статистика»?
Решение:
P( A) 
3 2 2 1 1
1
1
    

10 9 8 7 6 10  9  7  4 2520
Независимость событий
Исходя из теории умножения, можно дать следующее определение
независимости двух событий: если вероятность совместного появления двух
событий равна произведения их вероятностей, то они независимы, в противном
случае эти события зависимы.
Понятие независимости на случай n событий: n событий независимы в
совокупности, если каждое из них не зависит от произведения любого числа
остальных событий и от каждого в отдельности.
Из попарной независимости событий не следует независимость в
совокупности, а наоборот верно.
Для независимых событий
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) .
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема сложения вероятностей совместных событий: вероятность
появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Пример. Бросают две игральной кости. Какова вероятность появления хотя бы
одной тройки?
Решение:
Пусть событие A – появление тройки на первой кости, B – на второй
кости. Тогда A+B – появление хотя бы одной тройки при бросании костей. A и
B – совместные события.
P( A  B) 
1 1 1 1 11
   
6 6 6 6 36
Формула вероятности суммы для трех событий:
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)  P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
Вероятность появления только одного события, если
известны вероятности появления каждого из них.
Для двух событий A1 и A2 : P(A1)=p1 и P(A2)=p2.
Введем новые события: B1 – произошло только A1, B2 – произошло только
событие A2.
B1  A1  A2 и B2  A2  A1 . Найдем вероятности В1 и В2.
События В1 и В2 несовместные, поэтому по теореме сложения
P( B1  B2 )  P( B1 )  P( B2 ) .
События А1 и А2 независимы, следовательно, А1 и A2 - независимы А2 и A1
– независимы. Значит по теореме умножения
P( B1 )  P( A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 )  p1q2 и P( B2 )  P( A2 A1 )  P( A2 ) P( A1 )  p2 q1 и
P( B1  B2 )  p1q2  p2q1 .
Вероятность появления только одного из трех событий A1, A2 и A3, где
P(A1)=p1, P(A2)=p2, P(A3)=p3 вычисляется по формуле P=p1q2q3+p2q1q2+p3q1q2
Пример. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним
стрелком, если вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка
равно 0.8, а для второго и третьего равно 0.7;
Решение:
P=p1q2q3+p2q1q2+p3q1q2=0.8∙0.32+0.7∙0.3∙0.2∙2=0.3∙0.52=0.156
Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность появления хотя бы одного события из событий A1,A2,…,An,
независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий A1, A2 ,..., An , P(A)=1 – q1q2∙…∙qn.
Если события Ai имеют одинаковую вероятность равную p, то
вероятность появления, хотя бы одного из них P(A)=1 – qn.
Это является следствием того, что противоположными событиями,
составляющими полную группу, являются «появление хотя бы одного
события» (либо 1, либо 2, либо 3) и «непоявление ни одного», вероятность
которого вычисляется как произведение вероятностей непоявления каждого.
Вышеизложенные выводы помогают решать задачи о надежности
приборов (вероятность безотказной работы).
Найти вероятность отказа цепи, если отказы отдельных элементов
независимы, а вероятность отказа элемента равна 0,1 (для всех элементов).
Так как gi=0.1 - вероятность отказа каждого элемента, то pi=0.9 –
вероятность работы.
Цепь последовательно соединенных элементов работает, если работают
все элементы, цепь параллельно соединенных элементов работает, если
работает хотя бы один элемент.
Для параллельно соединенных элементов 2 и 3 вероятность отказа
g23=g2∙g3 = 0,12=0,001,
а вероятность исправной работы
p23=1 – g23=0,99.
Элементы 1,2-3,4 соединены последовательно, поэтому цепь работает,
если
p1234=p1p23p4=0,92∙0,99=0,9009.
Цепь 5-6 работает, если
p56=p5∙p6= 0,81.
Вероятность работы
p123456=1-g1234∙g56=1-(1-0,9009)(1-0,81)=1-0,8991∙0,19=1-0,17=0,83.
Вероятность отказа всей цепи
pотл-1-p123456∙p7=1-0,83∙0,9≈0,253.