Учебное пособие по строительной механике

Введение
Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких
методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить
грандиозные и совершенные в конструктивном отношении памятники
архитектуры. Это зависело от особого таланта зодчих, которые интуитивно и
безошибочно находили нужные размеры элементов различных конструкций.
Успехи механики, начиная с работ Г. Галилея, создали основу для разработки
расчетов на прочность. Постепенно методы расчета стали все более
удовлетворять требованиям времени.
Строительная механика как наука выделилась из общей механики во
второй половине XIX столетия. Главным объектами исследования стали
стержневые конструкции, в частности фермы. Для статически определимых
ферм были предложены остроумные способы расчета. Основными из них
стали графические методы, многие из которых сохранили свое значение и в
настоящее время.
Одновременно с расчетом статически определимых конструкций
развивались методы расчета статически неопределимых систем. Еще в 1857 г.
Б.П. Клапейроном было предложено уравнение трех моментов для расчета
неразрезных балок. В 1864 г. Дж. К. Максвеллом и в 1874 г. О. Мором была
найдена формула для определения перемещений в упругих системах по
заданным внутренним силам, дававшая возможность расчета сложных
статически неопределимых систем.
В классических разделах строительной механики рассматриваются
почти исключительно задачи, описываемые линейными уравнениями. В
частности,
для
связи
между
внутренними
силами
и
деформациями
используется линейный закон Гука. В настоящее время развитие строительной
механики идет, с одной стороны, по пути разработки все более совершенных
вычислительных методов, ориентированных на применение компьютерных
3
технологий, с другой – по пути уточнения расчетных схем и исходных
гипотез, положенных в основу расчета элементов сооружений.
До настоящего времени не существует точного определения понятия
сооружения.
Вероятно
многие,
не
задумываясь,
назовут
здания
с
фундаментами, стропильные и мостовые фермы, опоры линий электропередач,
резервуары для жидкостей и т.п. сооружениями, и, пожалуй, мало, кто
решится назвать сооружениями каркасы железнодорожных вагонов, кузова
автомобилей или корпуса самолетов. Тем не менее, в курсе строительной
механики и в частности в статике сооружений естественно речь идет о
сооружениях – о способах их образования и расчете.
Условимся под сооружением подразумевать совокупность твердых тел
(элементов), неподвижно соединенных между собой.
К любому сооружению предъявляются следующие требования:
1. Неподвижность
приданной
относительно
геометрической
основания
формы
в
и
неизменяемость
течение
всего
срока
эксплуатации.
2. Прочность, жесткость и устойчивость. Прочность и устойчивость
гарантируют безопасность эксплуатации сооружения, а достаточная
жесткость ограничивает деформацию его в таких пределах, которые
не препятствуют нормальным условиям эксплуатации.
3. Экономичность.
Экономичность
сооружения
определяется
наименьшими затратами средств на материалы и возведение
сооружения.
Чтобы удовлетворять этим требованиям, надо уметь рассчитывать
сооружение.
Строительная механика – наука, изучающая расчет сооружений на
прочность, жесткость, устойчивость, долговечность и надежность независимо
от метода расчета, свойств материала (линейно и нелинейно упругий,
неупругий)
и
от
характера
нагрузки
4
(статическая,
динамическая).
Современные базовые учебники по строительной механике посвящены
подробному изложению теории.
Данное обстоятельство усложняет процесс самостоятельного освоения
предмета и служит основной причиной подготовки данного пособия, в
котором основы теории курса строительной механики, в основном раздела,
изучающего методы расчета сооружений на прочность, жесткость и
устойчивость при статическом действии нагрузки («Статика сооружений»)
сопровождаются подробными примерами расчетов конструкций.
Основное назначение пособия – облегчить студентам изучение предмета
«Строительная механика», помочь овладеть методикой решения задач и
приобрести в этом необходимый навык.
В пособие включены краткие сведения из теории, методические
указания к решению задач и подробно решенные характерные примеры.
При работе с пособием необходимо учитывать следующее:
-
все размеры на рисунках указаны в метрах;
-
при отсутствии в тексте оговорки относительно осей проекций
имеется в виду, что ось Х направлена по горизонтали вправо, а ось У – по
вертикали вверх.
Предполагается, что параллельно с разбором теоретического материала
пособия студенты самостоятельно выполняют индивидуальные задания,
закрепляя тем самым полученные знания.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
специальности
050501.65
Профессиональное
монтажные и ремонтно-строительные технологии).
5
обучение
(строительство,
ГЛАВА I
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ
ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1. Общие сведения
Геометрически неизменяемой системой называется система, не
изменяющая приданную ей геометрическую форму ни при каких изменениях
положения ее в пространстве.
Наипростейшей
неизменяемой
системой
является
шарнирный
треугольник (рис.1.1).
А
В
Рис.1.1. Шарнирный треугольник
Геометрически изменяемой системой называют такую, форма которой
резко изменяется при изменении положения ее в пространстве или при
нагружении даже весьма малой силой (например, шарнирно-стержневой
прямоугольник рис.1.2).
С
Д
А
В
Рис.1.2. Шарнирно-стержневой прямоугольник
6
Степенью свободы какого-либо тела или системы тел называется
наименьшее
число геометрических параметров (обобщенных координат –
координат точек, углов наклона элементов системы, их длины), которые могут
независимо друг от друга изменяться при движении системы относительно
земли.
Степень свободы системы можно вычислить по формуле (1):
n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп,
(1),
где n – степень свободы системы;
Д – число дисков в системе;
Ш – суммарное число простых и приведенных к ним сложных
шарниров;
Ж – суммарное число простых и приведенных к ним сложных жестких
связей;
Соп – число опорных стержней.
Дисками называются элементы, составляющие плоскую систему.
Простым называют шарнир, соединяющий два стержня (рис.1.3, а)
Кратным называют шарнир, соединяющий более двух стержней
(рис.1.3,б)
а)
б)
Рис.1.3.
а) простой шарнир
б) кратный шарнир
Чтобы система могла быть геометрически неизменяемой, необходимо
соблюдение следующего условия:
n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп ≤ 0 (2)
Условие (2) определяет необходимый, но еще недостаточный признак
геометрической неизменяемости. Поэтому необходимо производить анализ
7
геометрической
структуры
(кинематический
анализ)
рассматриваемой
системы (пример 1.1.)
2. Пример 1.1.
Проверить геометрическую неизменяемость фермы, изображенной на
рис.1.4.
С
D
В
А
E
H
G
F
Рис.1.4. Ферма
Решение
В системе, изображенной на рис.1.4, число дисков Д = 13 (стержни AB,
BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, BH, BG, CG, GD, DF).
Число простых шарниров (А, Е) равно двум.
Каждый из шарниров (C, F, H) соединяет по три стержня, поэтому
кратен двум простым шарнирам.
Каждый из шарниров B и D кратен трем простым.
Итого: Ш = 1х2 + 2х3 + 3х2 + 4х1 = 18.
Жестких узлов в системе нет Ж = 0.
Число опорных стержней Соп = 2+1 = 3.
Следовательно, по формуле (1):
n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп = 3·13 – 2· 18 – 3 = 0, необходимое условие
геометрической неизменяемости выполнено.
Рассмотрим структуру образования системы. Треугольник АВН –
элементарная неизменяемая система (примем его за основной). К нему
шарнирно при помощи двух стержней BH и
GH прикреплен узел G. К
полученной неизменяемой системе диадой BC и CG присоединен узел С,
8
далее диадой CD и GD прикреплен узел D, диадой DF и GF присоединен узел
F, диадой DE и EF – узел Е.
Итак, рассматриваемая система является геометрически неизменяемой.
Статически определимой называется геометрически неизменяемая
система, реакции связей и внутренние усилия в элементах которой можно
определить, используя только уравнения равновесия статики.
Статически неопределимой называется система, реакции связей и
внутренние усилия в элементах которой не могут быть определены только с
помощью
уравнений
равновесия
статики,
а
требуется
составление
дополнительных уравнений, характеризующих деформацию данной системы.
Степень статической неопределимости системы равна числу лишних
связей, при отбрасывании которых система, оставаясь геометрически
неизменяемой, становится статически определимой.
Формула для определения степени статической неопределимости имеет
вид:
Л = 2Ш + 3Ж + Соп – 3Д
(3).
3. Вопросы для самопроверки
1. Перечислите основные задачи строительной механики
2. Какие системы называют геометрически неизменяемыми?
3. Какие системы называют геометрически изменяемыми?
4. Какие системы называют мгновенно изменяемыми?
5. Дайте определение простого и сложного шарниров.
6. Какую систему называют диадой?
7. Что такое диск?
9
ГЛАВА II
РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
(ШАРНИРНЫХ) БАЛОК
1. Общие сведения
Шарнирной
статически
балкой
определимая
называется
система,
геометрически
составленная
из
неизменяемая
расположенных
в
определенной последовательности однопролетных консольных и простых
балок, соединенных между собой шарнирами. Шарнирную балку можно
образовать из неразрезной (рис. 2.1), введя в ее пролеты шарниры.
Рис.2.1. Неразрезная балка
Число промежуточных шарниров Ш должно быть равно числу опорных
стержней шарнирной балки Соп без трех, т.е.
Ш = Соп – 3
(4).
Следовательно, для предложенной неразрезной балки необходимо
ввести: Ш = 6 –3 = 3 - промежуточных шарнира.
Формула (4) позволяет определить максимальное число промежуточных
шарниров, при котором шарнирная балка еще может быть геометрически
неизменяемой и статически определимой.
Например, для балки, изображенной на рис.2.1., во всех пролетах, за
исключением любого одного, может быть установлено по одному шарниру
(рис.2.2,а). Эту шарнирную балку можно расчленить на основную балку 4 и
так называемые передаточные балки 1,2 и 3 (рис.2.2, б).
Схема 2.2.б называется схемой взаимодействия элементов шарнирных
балок или поэтажной схемой.
10
а)
2
4
1
3
б)
Рис.2.2. а) Схема шарнирной балки
б) Поэтажная схема
2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Конечным этапом статического расчета шарнирной балки является
построение эпюр (графиков изменения по длине балки) поперечных сил
(эпюры Q) и изгибающих моментов (эпюры М).
Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической
сумме проекций всех внешних сил (в том числе и реактивных), действующих
по одну сторону от сечения, на ось, перпендикулярную к оси балки.
Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической
сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от
рассматриваемого сечения, относительно его центра тяжести.
Правила знаков поперечной силы и изгибающего момента ясны из
рис.2.3, а, б.
R лев
+Q
+Q
+М
+
Рис. 2.3.а. Правило знаков Q
с.2.3.а.
11
Rправ
+М
Рис. 2.3.б. Правило знаков М
При
построении
эпюры
М
у
строителей
принято
ординаты,
выражающие в определенном масштабе значения изгибающих моментов,
откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. положительные вниз, а
отрицательные вверх от оси балки.
3. Пример 2.1.
Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M для
балки, изображенной на рис.2.4.а.
Решение
1. Проверка геометрической неизменяемости.
В этой системе число опорных стержней Соп = 5, число промежуточных
шарниров равно 2. Согласно формуле (3) максимальное число промежуточных
шарниров, при котором данная система еще может быть неизменяемой
Ш = Соп – 3 = 5 – 3 = 2.
Производя анализ геометрической структуры системы, приходим к
выводу, что она геометрически неизменяемая, так как в ней пролеты с двумя
шарнирами расположены между пролетами без шарниров.
2. Проверка статической определимости.
Так как рассматриваемая система геометрически неизменяемая и
содержит число промежуточных шарниров, удовлетворяющее условию (3), она
статически определима.
12
3. Составление схемы взаимдействия элементов шарнирной балки (рис.
2.4,б). Рассматриваемая балка состоит из двух основных балок AD и FI, одной
подвесной DF. Подвесная балка расчитывается первой.
P
P
A
B
C
D
P
E
F
G
H
I
А
а)
1м
A
1м
B
1м
C
D
1м
1м
E
1м
F
1м
G
1м
H
I
б)
Эпюра Q
в)
0,5 Р
0,5 Р
0,25 Р
0,25Р
0,75Р
0,5 Р
Эпюра М
г)
0,5 Р L
0,25 Р L
0,5 Р L
0,25 Р L
0,25 Р L
Рис. 2.4.а) расчетная схема балки; б) поэтажная схема; в) эпюра Q; г) эпюра М
13
4. Расчет подвесной балки DF, на которую действует только заданная
сила Р. Отдельно эта балка показана на рис.2.5.
А) Определение опорных реакций: в данном случае опорные реакции
равны между собой Р/2, т.к. нагрузка симметрична относительно
середины пролета;
Б) Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
производим в соответствии с правилами сопротивления материалов.
P
D
E
F
z
P/2
Эп. Q
P/2
+
=
=
Эп. M
0,25 PL
Рис. 2.5. Балка DF
5. Расчет основных балок AD и FI
А) Определение опорных реакций балки AD:
Σ Mа = Рх1 + Рх3 - Vc х 2 = 0 => Vc = 1,25 Р;
2
Σ Mc = Vа х 2 - Рх1 + Рх1 = 0
2
=> Vа = 0,25 Р;
Аналогично: Vg = 1,25 Р; Vi = 0,25 Р.
14
P/2
Б) Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балках
AD (рис.2.6. а) и FI (рис.2.6.б) производим в соответствии с правилами
сопротивления материалов.
Р
A
Р/2
B
C
Р/2
D
F
Р
G
H
I
А
а)
1м
1м
1м
1м
Эп. Q
1м
1м
Эп. Q
Р/2
Р/2
0,25 Р
0,25 Р
Эп. М
Эп. М
0,5 Р L
0,5 Р L
0,25 Р L
0,25 Р L
Рис.2.6.а Балка AD
Рис.2.6. Балка FI
6. Построение общей эпюры Q для всей шарнирной балки.
Эпюры поперечных сил, полученные для каждого отдельного элемента,
располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе (рис. 2.4.в).
7. Построение общей для всей балки эпюры М (рис.2.4.г)
Эпюры моментов, полученные для каждого отдельного элемента,
располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе.
4. Вопросы для самопроверки
1. Какие балки называют шарнирными?
2. Дайте определение основной, подвесной и передаточной балок.
3. В чем состоит принцип построения поэтажных схем?
4. В чем заключается метод сечений для определения внутренних
силовых факторов?
15
ГЛАВА III
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК
1. Общие сведения
При перекрытии больших пролетов балки становятся экономически
невыгодными, так как они должны иметь поперечные сечения значительных
размеров. Для перекрытия таких пролетов можно применять арки.
Аркой называется плоская распорная система, имеющая форму кривого
стержня, обращенного выпуклостью в направлении, противоположном
напрвлению действия основной нагрузки.
Распорной называется система, у которой вертикальная нагрузка
вызывает наклонные опорные реакции.
Распором Н называют горизонтальную составляющую наклонной
реакции.
Опоры арки называются пятами, а наиболее высокую точка ее оси –
ключом, или замком.
Трехшарнирной называется арка, состоящая из двух криволинейных
стержней, соединенных между собой шарниром, и имеющая две шарнирнонеподвижных опоры (рис. 3.1.).
а)
Р
Рис. 3.1. а) арка без затяжки
б)
Рис. 3.1 б) арка с затяжкой
16
Наличие распора требует устройства массивных опор. Если по какимлибо причинам устройство таких опор невозможно, то опорные шарниры арки
связывают между собой стержнем – затяжкой, воспринимающей распор арки
(рис.3.1. б). Одна из опор трехшарнирной арки с затяжкой делается шарнирноподвижной, так как ее геометрическая неизменяемость в этом случае
обеспечивается наличием затяжки.
При действии на арку внешней нагрузки в ее сечениях в общем случае
возникают поперечные силы, изгибающие моменты и продольные силы (в
частных случаях отдельные силовые факторы могут отсутствовать).
Трехшарнирная арка статически определима, так как для нахождения
четырех неизвестных составляющих опорных реакций можно составить три
уравнения равновесия для всей арки в целом и одно дополнительное
уравнение, выражающее равенство нулю суммы моментов внешних сил и
опорных реакций относительно промежуточного шарнира С для левой или
правой частей арки.
2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
После нахождения опорных реакций в зависимости от поставленных в
задаче условий определяют поперечные силы, изгибающие моменты и
продольные силы в отдельных заданных сечениях или строят эпюры Q, M и N
для арки в целом.
При определении поперечной силы в сечении арки необходимо все
силы, действующие по одну сторону от него, спроецировать на ось,
перпендикулярную к касательной, проведенной к оси арки в данном сечении.
При этом все вертикальные силы надо умножить на косинус, а
горизонтальные - на синус угла наклона касательной к горизонту. Если
составляющая силы, параллельная рассматриваемому сечению, стремится
сдвинуть левую часть арки вверх или правую вниз, то вызванную ею
17
поперечную
силу
считают
положительной,
если
же
наоборот,
то
отрицательной.
При определении продольной силы в сечении арки необходимо все
силы, действующие по одну сторону от него, спроецировать на касательную
ось, проведенную в данном сечении.
При этом все вертикальные силы надо умножить на синус, а
горизонтальные - на косинус угла наклона касательной к горизонту.
Продольную силу будем считать положительной, если рассматриваемая
внешняя сила вызывает в сечении арки сжатие, и отрицательной, если она
вызывает растяжение.
Изгибающий момент в любом сечении арки равен изгибающему
моменту простой балки в том же сечении минус момент от распора Н.
Для определения поперечных сил, изгибающих моментов и продольных
сил в сечения арки при действии на нее только вертикальной нагрузки
используют также следующие выражения:
Q = Qº cos φ ­ H sin φ; (5)
M = Mº - H y;
(6)
N= Qº sin φ ­ H cos φ.
(7)
В этих выражениях Qº и Mº - поперечная сила и изгибающий момент в
соответсвующем
сечении
простой
балки,
имеющей
одинаковые
с
рассматриваемой аркой пролет и нагрузку.
3. Пример расчета 3.1.
Определить внутренние усилия и построить эпюры в арке, расчетная
схема которой представлена на рис. 3.2.
Определение опорных реакций. Под действием заданной плоской системы сил
арка находится в равновесии. Нагрузки, приложенные к арке, вызывают
реакции опор RА и
RВ,
каждую из которых всегда можно представить
вертикальной VA (или VB ) и горизонтальной HA (или HB ) составляющими.
18
a1
a4
a3
a2
b2
b1
F2
b3
b4
F1 = 5 кН
F2 = 9 кН
F3 = 6 кН
F3
F1
F4 = 10 кН
F4
l = 24 м
f
f=8м
А
В
α1 = 3 м
α2 = 9 м
α3 = 14 м
α4 = 18 м
Рис. 3.2. Расчетная схема арки
Арка является
распорной конструкцией, поэтому при действии на нее
любой нагрузки в опорах возникают горизонтальные составляющие опорных
реакций, которые называются распором.
При действии на арку только вертикальной нагрузки горизонтальные
составляющие обязательно должны быть равны между собой
НА = НВ.
Для определения опорных реакций отбросим связи, наложенные на арку,
а их действия заменим силами (реакциями связей) (рис.3.3.).
F1
F2
F3
f
А
В
VA
VВ
Рис.3.3. Расчетная схема арки
19
RВ
Так как арка находится в равновесии, то система сил, действующих
на арку (внешних и реакций связей), является уравновешенной. Из условия
равновесия плоской системы сил определим реакции опор. Вертикальные
составляющие опорных реакций можно определить из условий равенства
нулю суммы моментов всех сил относительно центров правого и левого
опорных шарниров т.е.:
1)
∑МВ = 0
2)
∑МА = 0,
где ∑МВ – сумма моментов всех сил относительно точки В;
∑МА – сумма моментов всех сил относительно точки А.
1)
VA · l – F1 · в1 – F2 · в2 – F3 · в3 – F4 · в4 = 0
2)
VВ · l – F1 · α1 – F2 · а2 – F3 · а3 – F4 · а4 = 0
Из первого уравнения определим величину вертикальной реакции опоры А:
VA 
F1  в1  F2  в 2  F3  в3  F4  в 4 5  21  9  15  6  10  10  8

 15кН
l
24
VА = 15 кН
Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции опоры В:
VВ 
F1  а1  F2  а2  F3  а3  F4  а4 5  3  9  9  6  14  10  18

 15кН
l
24
VВ = 15 кН
После вычисления вертикальных составляющих опорных реакций
следует убедиться
в правильности их определения, т.к. ошибка
в
определении их приведет к ошибкам и в определении горизонтальных
составляющих опорных реакций, и в вычислении внутренних усилий Nк, Qк и
Мк во всех сечениях арки.
Для правильности проверки полученных результатов рекомендуется
составить уравнение равновесия, которое не использовалось при определении
вертикальных
составляющих
опорных
реакций.
Так,
например,
если
вертикальные опорные реакции определены верно, то сумма проекций всех
сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.:
20
∑Fy = 0
VА + VВ – F1 – F2 – F3 – F4 = 15 + 15 – 5 – 9 – 6 – 10 = 0.
Результат
проверки
свидетельствует
о
том,
что
вертикальные
составляющие опорных реакций определены верно.
Если рассматривать арку в целом, то действующих уравнений статики
недостаточно для определения горизонтальных составляющих опорных
реакции, т.е.:
∑Fx = 0
НА – НВ = 0
НА = НВ.
Но если рассмотреть каждую часть в отдельности, то будем иметь шесть
уравнений равновесия.
Из курса теоретической механики известно, что если вся система
находится в равновесии, то любая ее часть должна находиться в равновесии.
Рассечем арку по замковому шарниру «С» и рассмотрим равновесие одной
части арки. Целесообразнее рассматривать равновесие той части арки, на
которую действует меньше сил.
В нашем случае безразлично, какую часть арки рассматривать, так как
на ту и другую часть действуют по две сосредоточенных внешних силы и по
две составляющих опорных реакций.
a1
a3
F1
VС
F2
С
f
А
VA
Рис. 3.4. Часть арки АС
Рассматриваем равновесие части арки АС. Отбрасывая правую полуарку
ВС, действие ее на левую полуарку заменяем усилиями Vc и Нс,
21
возникающими в шарнире «С» (рис. 3.4.). Составляем уравнение моментов
всех сил, действующих на левую полуарку относительно точки «С» и
приравняем его нулю, т.е.:
М
VA 
HA 
VA 
Чтобы
лев
с
0
l
l

l

 H A  f  F1   a1   F2   a2   0
2
2

2

l
l

l

 F1   a1   F2   a2 
2
2

2
  15  12  5(12  3)  9(12  9)  18кН
f
6
НА = НВ = Н = 18 кН
убедиться
в
правильности
определения
горизонтальных
составляющих опорных реакций, нужно рассмотреть равновесие, например,
правой (относительно шарнира С) части арки. Из уравнения равновесия
М
прав
с
получаем:
Vв 
l
l

l

 H в  f  Fв   в3   F4   в4   0
2
2

2

–15 · 12 + 18 · 6 + 6(12 – 10) + 10(12 – 6) = 0
Вывод: горизонтальные составляющие опорных реакций определены
верно.
Определение внутренних усилий М, Q и N и построение эпюр
Для построения эпюр внутренних усилий в арке необходимо вычислить
значения усилий в характерных усилиях арки, для примера характерными
сечениями являются опорные и промежуточные
шарниры арки и точки
приложения сосредоточенных сил.
Точность построения эпюр усилий и точность расчёта зависит
от
количества сечений арки, в которых определяются усилия. Чем больше
сечений, тем точнее расчет. Если характерных сечений недостаточно, то
нужно определить дополнительные сечения. Для этого целесообразно весь
пролет арки разделить на равные части. Из полученных точек деления пролета
22
восстановить перпендикуляры до пересечения с осью арки. Полученные точки
на оси арки и будут являться дополнительными точками (сечениями). Они
могут совпадать с характерными сечениями.
хК
F3
F2
F1
К
С
F4
f
А
В
х2
х3
х
хС
х4
х5
х6
х7
х8
Рис. 3.5. Положение сечений арки
В нашем примере весь пролет арки разделим на части, равные 3 м,
полученные сечения арки обозначим цифрами 1, 2, 3,.. и т.д. Положение
сечений арки
определяется координатами Х и У относительно начала осей
координат (рис. 3.5.).
Координаты «X» всех сечений арки известны, они получены в
результате деления горизонтальной проекции оси арки. В то время, как
координаты «У» всех сечений неизвестны, их нужно определить. Так как ось
арки очерчена по квадратной параболе, а уравнение квадратной параболы:
23
У
4f
lX  X 2 
2
l
(8)
- тo, подставляя значения «Х» для каждого сечения в данное уравнение,
можно определить значения «У» для каждого сечения. Например, для
произвольного сечения «К»:
Ух 
4f
l  Х  Х 2 
2
l
(9)
Построение эпюр следует начинать с эпюры изгибающих моментов М:
 Изгибающий
момент
в
сечении
рамы
вычисляется
как
алгебраическая сумма моментов относительно центра тяжести
сечения всех сил, приложенных к отсеченной части. Ординаты
эпюры изгибающих моментов
откладываются со стороны
растянутого волокна.
 Поперечная сила в любом сечении арки равна сумме проекций
всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на нормаль к
оси арки в рассматриваемом сечении.
 Продольная сила в любом сечении арки равна сумме проекций
всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на
касательную к оси арки в этом сечении
Правила знаков при определении усилий такие же, что и при
определении знаков усилий в балках, т.е.:
 изгибающий
момент
считается
положительным,
если
он
растягивает нижние волокна арки, т.е. уменьшает ее кривизну;
 поперечная сила считается положительной, если она стремится
повернуть стержень по ходу часовой стрелки;
 продольная сила считается, положительной, если она направлена
от сечения, т.е. стремится растянуть стержень.
Определим величину изгибающего момента в сечении I (рис. 3.6.).
Х1 = 3 м
24
У1 
4f
l  X 1  X 12   4  82 24  3  32   2,625 м
2
l
24
Рис. 3.6. Определение величины изгибающего момента в сечении I
Изгибающий момент в сечении I:
М1 = VА· Х1 – НАУ1 = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН·м
Учитывая, что VАХ1 = М1бал выражение для М1 можно записать в виде
М1 = М1бал – Н ·У, где М1бал – изгибающий момент в сечении I простой балки
пролётом l.
Последнее выражение удобно при вычислении значений изгибающих
моментов в табличной форме.
Для удобства вычисления продольной и поперечной силы приведем все
внешние силы, действующие по одну сторону от сечения к центру в точке I
(рис. 3.7. б, в).
Рассматривая схему «б» рисунка 3.7, определяем значение поперечной
силы справа от сечения I, проектируя все силы на ось ОУ:
Q1пр  VА  cos 1  F1  cos 1  Н А  sin 1  (VA  F1 )  cos 1  H A  sin 1
Учитывая, что VA  F1  Q1бал.пр запишем Q1gh /  Q1бал.пр.  cos 1  H A  sin 1 ,
где Qбал.пр. – поперечная сила в сечении I простой балки пролетом l.
25
φ1 – угол между касательной к оси арки в данном сечении и
горизонталью.
Рис. 3.7. Определение поперечной и продольной силы в сечении 1
а) схема сечения; б) схема определения Q; в) схема определения N
Для определения поперечной силы слева от сечения Q1лев рассмотрим
схему в рисунка 3.7.:
Q1лев  VA  cos 1  H A  sin 1 или
Q1лев  Qбал. лев  cos1  H A  sin 1
Для определения продольной силы N1 спроектируем все силы,
действующие на отсеченную часть арки, на ось ОХ, совпадающую с
касательной в данном сечении.
Рассматривая схемы б и в рисунка 3.7., определим N1пр и N1лев:
N1пр.  VA  sin 1  F1  sin 1  H A  cos1  (VA  F1 )  sin 1  H A  cos1
или N1gh /  Q1бал. sin 1  H A  sin 1
N1лев  VA  sin 1  H A  cos1
26
или N1лев  Qбал.  H A  cos1 .
Численные значения sinφк и cosφк можно определить, используя
формулы тригонометрических функций:
sin  к 
где tg к 
tg к
1  tg  к
2
сos к 
;
l
1  tg 2 к
;
dY
4f
x  xк  2  2 X к .
dX
l
Если ось арки задана в виде окружности, то значения Ук, sinφк и cosφк
вычисляются согласно примечаниям.
Правильность вычисления значений sinφк и cosφк можно проверить по
известному выражению:
sin2 φк + cos2 φк = 1.
Для сечения I в нашем примере:
tg1 
4f
l  2 x1   4  62 24  2  3  0,75
2
l
24
sin 1 
cos1 
tg1
1  tg 1
2
1
1  tg 21


0,75
1  0,75 2
1
1  0,75 2
 0,8
 0,8
Проверка:
sin 2 1  cos2 1  0,62  0,82  1
Вывод: значения sinφ1 и cosφ1 определены верно.
Подставляя полученные значения sinφ1 и cosφ1
в выражения для
определения Q и N в сечении I получим:
Q1лев = 15 · 0,8 – 18 · 0,6 = 1,2 кН
Q1прав = 15 · 0,8 – 5 · 0,8 – 18 · 0,6 = –2,8 кН
N1лев = –15 · 0,6 – 18 · 0,8 = –23,4 кН
N1прав = –15 · 0,6 + 5 · 0,6 – 18 · 0,8 = 20,4 кН
Аналогично определяются усилия во всех сечениях арки.
27
Сечение 2.
У2 
4f
lx2  x22   4  62 24  6  6 2   4,5 м
2
l
24
tg 2 
4f
lx2  2  x2   4  62 24  26   0,5
2
l
24
sin  2 
cos 2 
tg 2

1  tg  2
2
1
1  tg 2 2

0,5
1  0,52
1
1  0,52
 0,446
 0,89
М2 = 15 · 6 – 18 · 4,5 – 5 · 3 = –6 кНм
Q2 = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 – 5 · 0,89 = 0,87 кН
N2 = –15 · 0,446 + 5 · 0,446 – 18 · 0,89 = –20,48 кН
Сечение 3.
У3 
46
24  9  92   5,625 м
2
24
tg 3 
46
24  2  9  0,25
24 2
sin  3 
cos 3 
0,25
1  0,25 2
1
1  0,25 2
 0,24
 0,97
М3 = 15 · 9 – 18 · 5,625 – 5 · 6 = 3,75 кНм
Q3лев = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 18 · 0,24 = 5,38 кН
Q3прав = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 9 · 0,97 – 18 · 0,24 = –3,35 кН
N3лев = –15 · 0,24 + 5 · 0,24 – 18 · 0,97 = –19,86 кН
N3прав = 17,7 кН
Сечение С.
Ус = f = 6 м
tgφc = 0
sinφc = 0
28
cosφc = 1
Mc = 0
Qc = VА – F1 – F2 = 15 – 5 – 9 = 1
Сечение 4.
У4 
46
24  14  14 2   5,83 м
2
24
tg 4 
46
24  2  14   0,17
24 2
 0,17
sin  4 
1  0,17 2
cos 4 
1
1  17
2
 0,17
 0,99
М4 = Vв · 10 - Нв · У1 – F4 · 4 = 15 · 10 – 18 · 5,83 – 10 · 4 = 5,1 кН
Q4лев = –Vв · cosφ4 + Hв ·sinφ4 + F4 · cos φ4 + F3 · cos φ4 =
= –15 · 0,99 + 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = 4,05 кН
Q4прав = –Vв · cosφ4 + Hв ·sinφ4 + F4 · cos φ4 + =
= –15 · 0,99 – 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = –1,99 кН
N4лев = –Vв · sinφ4 + Hв ·соsφ4 + F4 · sinφ4 + F3 · sinφ4 =
= –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 + 6 · 0,17 = –17,68 кН
N4прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,67 кН
Сечение 5.
У5 
46
24  15  152   5,625 м
2
24
tg 5 
46
24  2  15  0,25
24 2
sin  5   sin  3  0,24
cos  5  cos  3  0,97
М5 = Vв ·9 – Нв · У5 – F4 ·3 = 15 · 10 – 18 · 5,8825 – 10 · 3 = 3,75 кН
Q5 = –15 · 0,97 – 18 · 0,24 + 10 · 0,97 = –0,53 кН
N5 = –15 · 0,24 – 18 · 0,97 + 10 · 0,24 = –18,7 кН
29
Сечение 6.
У6 
46
24  18  182   45 м
2
24
tg 6  tg 2  0,5
sin  6   sin  2  0,446
cos  6  cos  2  0,89
М6 = Vв · 6 – Нв · Ув = 15 · 6 – 18 · 4,5 = 9,0 кН
Q6лев = –Vв · cosφ6 + Hв ·sinφ6 + F4 · cos φ6 =
= –15 · 0,89 + 18 · 0,446 + 10 · 0,89 = 3,58 кН
Q6прав = –Vв · cosφ6 + Hв ·sinφ6 = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 = –5,32 кН
N6лев = –Vв · sinφ6 + Hв ·соsφ6 + F4 · sinφ4 =
= –15 · 0,446 – 18 · 0,89 + 10 · 0,446 = –17,68 кН
N4прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,25 кН
Сечение 7.
У7 = У1 = 2,625 м
tgφ7 = –tgφ1 = –0,75
sinφ7 = –sinφ1 = –0,6
cosφ7 = cosφ1 = 0,8
М7 = Vв ·3 – Нв · У7 = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН
Q7 = –Vв · cos φ7 + Hв · sin φ7 = –15 · 0,8 + 18 · 0,6 = –1,2 кН
N7 = –Vв · sinφ7 – Нв ·cos φ7 = –15 · 0,8 – 18 · 0,8 = –23,4 кН
Сечение 8.
У8 = 0
tgφ8 = –tgφА = 1
sinφ8 = –sinφА = –0,71
cosφ8 = cosφА = 0,71
М8 = 0
Q8 = –Vв · cos φ8 + Hв · sin φ8 = –15 · 0,71 + 18 · 0,71 = 2,13 кН
N8 = –Vв · sinφ8 – Нв ·cos φ8 = –15 · 0,71 – 18 · 0,71 = –34,08 кН
30
Целесообразно результаты вычислений свести в таблицу (см. таблицу 1).
По полученным данным строим эпюры усилий в двух вариантах:
1) На самой оси арки;
2) На горизонтальной базисной линии.
Примечание: При определении усилий в сечениях 4, 5, 6, 7 и 8 значения
sinφк берутся без учета знака «минус», если учитывать внешние силы,
действующие справа от рассматриваемых сечений. В этом случае угол
φк
становится больше 90º (рис.3.8.).
Рис.3.8. Определение значения sinφк.
ПРИМЕЧАНИЕ:
Если очертание оси арки задано в виде окружности, то необходимые
дополнительные данные следует определять следующим образом:
Уравнение окружности:
2
l
R     R  f 
2
l2
R   R  2R  f  f 2
4
2
2
(10)
откуда:
l2
f
R

8f 2
(11)
l
 xк
а 2
sin  к  
R
R
31
(12)
l

R    xк 
2

2
2
в
R2  a2
cos к  

R
R
(13)
2
l

У к  в  ( R  f )  R  a  ( R  f )  R    xr   R  f
2

2
2
2
32
(14)
Таблица 1
1
А
1лев
1прав
2
3лев
3прав
С
4лев
4прав
5
6лев
6прав
7
В
Хк
М
2
0
3
3
6
9
9
12
14
14
15
18
18
21
24
Ук
М
3
0
2,625
2,625
4,5
5,625
5,625
6,0
5,83
5,83
5,625
4,5
4,5
2,625
0
tgφк
sinφк
cosφк
4
1,0
0,75
0,75
0,5
0,25
0,25
0
-0,17
-0,17
-0,25
-0,5
-0,5
-0,75
-1,0
5
0,71
0,6
0,6
0,446
0,24
0,24
0
-0,17
-0,17
-0,24
-0,446
-0,446
-0,6
-0,71
6
0,71
0,8
0,8
0,89
0,97
0,97
1,0
0,99
0,99
0,97
0,89
0,89
0,8
0,71
По полученным данным строим эпюры усилий в 2-х вариантах:
1. На горизонтальной базисной линии (рис.3.9.).
2. На самой оси арки (рис. 3.10.).
33
Мк
кНм
7
0
-2,25
-2,25
-6
3,75
3,75
0
5,1
5,1
3,75
9,00
9,00
-2,25
0
Qк
кН
8
-2,13
+1,2
-2,8
0,87
5,38
-3,25
1
4,05
-1,99
-0,53
3,58
-5,32
-1,2
2,13
Nк
кН
9
-23,43
-23,4
-20,4
-20,48
-19,86
-17,7
-18
-17,68
-18,67
-18,7
-18,25
-22,71
-23,4
-34,08
Рис. 3.9. «Спрямленные» эпюры (I вариант)
34
Рис. 3.10. Эпюры на оси арки (II вариант)
35
4. Вопросы для самопроверки
1. Что называется аркой?
2. Каковы особенности работы арки?
3. Особенности расчета 3-х шарнирных арок?
4. Классификация арок по степени статической определимости и
очертанию оси.
5. Как определяются значения опорных реакций, М, Q и N в любом
произвольном сечении арки?
6. Каково отличие эпюр внутренних усилий для арок от эпюр усилий в
балках и рамах?
36
ГЛАВА IV
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
1. Общие сведения
Рамами
называются
геометрически
неизменяемые
стержневые
системы, стержни которых жестко связаны между собой во всех или
нескольких узлах.
Горизонтальные (или близкие к ним) элементы рамы называются
ригелями, а вертикальные (или близкие к ним) – стойками.
Предполагается, что все деформации в раме происходят за счет изгиба
стержней. При этом угол между касательными, проведенными в жестком
узле к изогнутым осям стержней, остается равным углу между осями
стержней до деформации.
Благодаря наличию жестких узлов геометрическая неизменяемость
рамных
систем
неизменяемость
обеспечивается
меньшим
шарнирно-стержневых
числом
систем.
Замена
стержней,
в
чем
статически
определимой рамной системе хотя бы одного жесткого узла шарнирным
приводит к потере ею неизменяемости.
При действии на раму внешней нагрузки в сечениях элементов
возникают в общем случае поперечные силы, изгибающие моменты и
продольные силы.
При вычислении внутренних усилий в сечениях элементов рамы
условимся считать, что наблюдатель расположен на плоскости чертежа
внутри рамы и обращен к сечению, в котором определяется усилие. Это
необходимо для того, чтобы было ясно, какую отсеченную часть рамы
следует считать левой, а какую правой.
Будем считать поперечную силу в сечении положительной, если она
напрвлена так, что стремится повернуть сечение относительно произвольной
точки, лежащей на внутренней нормали к нему, по часовой стрелке и
отрицательной – если против часовой стрелки.
37
Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций
всех внешних сил, приложенных к элементам части рамы, расположенной по
одну сторону от этого сечения, на ось, перпендикулярную к его нормали.
Та внешняя сила, которая стремится сдвинуть левую отсеченную часть
рамы от наблюдателя или приблизить к нему правую часть, вызывает в
сечении элемента положительную поперечную силу.
Изгибающий момент в любом сечении рамы численно равен
алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к
элементам части рамы, расположенной по одну сторону от этого сечения
относительно его центра тяжести.
Та
внешняя
сила,
которая
по
отношению
к
наблюдателю,
расположенному, как было условлено, стремится повернуть относительно
центра тяжести левую отсеченную часть рамы по часовой стрелке или
правую ее часть против часовой стрелки,
вызывает в сечении элемента
положительный изгибающий момент.
При определении продольной силы в сечении все внешние силы,
приложенные к элементам части рамы, расположенной по одну сторону от
рассматриваемого сечения, проецируют на нормаль к нему.
Продольную силу будем считать положительной, если внешняя сила
вызывает в рассматриваемом сечении растяжение, и отрицательной – если
сжатие.
2. Построение эпюр внутренних усилий в рамах
При построении эпюр Q, M и N условимся придерживаться
следующих правил:
1. Опорные реакции необходимо показать на схеме всей рамы или
отдельных ее частей. Желательно предугадать действительное направление
опорных реакций.
Если это не получится и опорные реакции имеют отрицательное
значение,
то следует изменить их направление на обратное и в
последующем учитывать со знаком плюс.
38
2. При определении составляющих опорных реакций необходимо
выбирать рациональный порядок составления уравнений, стремясь к тому,
чтобы в каждое уравнение входило возможно меньше неизвестных (лучше
по одному).
3. Построение эпюр следует начинать с эпюры изгибающих моментов
М.
 Изгибающий
момент в сечении рамы
вычисляется как
алгебраическая сумма моментов, относительно центра тяжести сечения,
всех
сил, приложенных
к отсеченной части. Ординаты
эпюры
изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна.
 Поперечная
сила
в
сечении
рамы
вычисляется
как
алгебраическая сумма проекций сил, приложенных к отсеченной части,
на нормаль к оси элемента в рассматриваемом сечении.
 Продольная
сила
в
сечении
рамы
вычисляется
как
алгебраическая сумма проекций сил, приложенных к отсеченной части,
на ось стержня.
Правила знаков для усилий выбираются следующим образом. Одна из
сторон всех стержней отмечается штриховой линией, которая условно
обозначает низ стержня.
Рис.4.1. Правило знаков для М
Изгибающий момент считается положительным, если растянутым
оказывается волокно, расположенное со стороны штриховой линии
(рис.4.1.).
39
 Поперечная сила Q считается положительной, если проекция на
нормаль к оси стержня равнодействующих сил, приложенных к
левой отсеченной части стержня, направлена вверх (по часовой
стрелке относительно сечения) (рис.4.2.).
Рис. 4.2. Правило знаков для Q
 Продольная сила считается положительной в случае растяжения
(рис. 4.3.).
Рис. 4.3. Правило знаков для N
Штриховая линия, проводимая вдоль одной из сторон стержня рамы,
условно обозначает низ стержня. Эта линия может быть проведена с любой
стороны стержня. Для горизонтальных и наклонных стержней удобно
проводить штриховую линию снизу.
Положительные ординаты эпюры М откладываются со стороны
штриховой линии, положительные ординаты эпюр Q и N – со стороны,
противоположной низу стержня (штриховой линии).
Усилия в стержнях, вплотную примыкающих к узлам рамы, следует
обозначать принятыми буквами (М, Q, N), сопровождая их индексами в
40
соответствии с названием узла и номера стержня.
Например:
Mc2 = –32 кН – изгибающий момент во втором стержне в сечении,
примыкающем к узлу С (рис.4.4.).
Рис. 4.4. Эпюра моментов
Qс2 – поперечная сила во втором стержне в сечении, примыкающем к
узлу С.
Построение эпюры необходимо проверить как с точки зрения
соответствия всех эпюр характеру нагрузок, так и с точки зрения равновесия
всех узлов, отдельных частей и всей рамы в целом.
При проверке соответствия всех эпюр характеру нагрузок необходимо
руководствоваться следующим:
Для эпюры М:
 в пределах незагруженного участка прямолинейного стержня
эпюра должна изменяться по линейному закону;
 в месте приложения сосредоточенной силы эпюра имеет излом
по направлению действия этой силы;
 в месте приложения сосредоточенного момента эпюра имеет
скачок, равный по величине этому моменту;
 на
участках
воздействия
равномерной
нагрузки
эпюра
изображается параболой, выпуклость которой обращена в
сторону действия нагрузки;
 в шарнирах изгибающие моменты должны быть равны нулю.
41
Для эпюры Q:
 в пределах незагруженного прямолинейного участка стержня
значение Q должно быть постоянным;
 в местах приложения сосредоточенной силы эпюра имеет скачок,
равный проекции силы на нормаль к оси стержня;
 на прямолинейной участке, загруженном равномерной нагрузкой,
эпюра меняется по линейному закону;
 в тех сечениях стержня, где Q равна нулю или меняет знак,
изгибающий
момент
должен
иметь
максимальное
или
минимальное значение.
Для эпюры N:
 в пределах незагруженного прямолинейного участка стержня или
при нагрузке, действующей к оси стержня по нормали, значение
N должно быть постоянным;
 в месте приложения сосредоточенной силы, направленной не по
нормали к оси стержня, эпюра имеет скачок, равный проекции
силы на ось стержня;
 на
прямолинейном
участке,
загруженном
равномерной
нагрузкой, если она действует не по нормали к оси стержня,
эпюра меняется по линейному закону.
4. При проверке равновесия узлов рамы следует выразить каждый ее
узел сечениями, бесконечно близко расположенными к центру узла,
приложить
к
узлу
действующие
на
него
сосредоточенные
силы,
сосредоточенные моменты и усилия М, Q и N, возникающие в поперечных
сечениях.
Рекомендуется векторы усилий, действующих на узел, показать с
учетом их знаков и с указанием численного значения этих усилий. При этом
следует учесть, что направление положительного момента должно быть
таким, чтобы вызывать растяжение волокон стержня, отмеченных штриховой
линией, положительное значение Q стремится вращать узел по часовой
42
стрелке, а положительное значение N вызывает растяжение.
При равновесии узла уравнения проекций на горизонтальную ось,
уравнения
проекций
на
вертикальную
ось
и
уравнения
моментов
относительно центра узла при подстановке найденных значений усилий
должны обращаться в тождества.
5.
Эпюры М, Q и N должны быть выполнены с обязательным
численным обозначением характерных ординат на концах всех стержней,
под сосредоточенными силами и моментами, в середине участка с
распределенной нагрузкой.
6.
Ось стержня принимается за ось абсцисс. Вычисленные ординаты
эпюр откладываются перпендикулярно к оси рассматриваемого стержня.
Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от оси ригеля и
влево от оси стойки. Знак на эпюре ставится.
Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон.
Знак на эпюре не ставится.
Ординаты эпюры N откладываются симметрично по обе стороны от
оси рассматриваемого стержня. Знак на эпюре N обязателен.
7. Штриховка эпюр производится перпендикулярно к оси стержня.
3. Пример 4.1.
Определить внутренние усилия и построить эпюры М, Q и N в
простейшей статически определимой раме, расчетная схема которой
представлена на рис.4.5.
l1 = 6 м; l2 = 3 м; h1 = 6 м; h2 = 6 м;
  h  0,5  6  0,5  3м
F = 30 кН
q = 2 кН/м
43

h
 0,5
Рис. 4.5. Расчетная схема рамы
Решение.
1.
Проверка
статической
определимости
и
геометрической
неизменяемости рамы.
Определяем степень свободы системы по формуле:
n = 3Д – 2Ш – Соn , (15)
где n – степень свободы системы;
Д – число дисков;
Ш – число простых шарниров, не считая опорных;
Con – число опорных стержней.
n=3·1–2·0–3=0
Степень свободы системы равна нулю. А так как рама представляет
собой жёсткий диск, который прикреплен к земле с помощью трех стержней,
оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу, то
данная рама является системой статически определимой и геометрически
неизменяемой.
2.Определение опорных реакций.
Освобождаем раму от опорных связей, а их действие заменяем
реакциями
отброшенных
связей.
Направление
реакции
шарнирно-
неподвижной опоры А заранее указать нельзя, поэтому изображаем две
взаимно перпендикулярные составляющие этой реакции НА и VВ.
44
Реакция шарнирно-подвижной опоры «В» действует по вертикали
вверх (рис.4.6.).
Рис. 4.6. Схема определения опорных реакций
Теперь раму можно рассматривать как свободное твердое тело,
находящееся в равновесии под действием заданной нагрузки и трех
неизвестных, составляющих реакции опор НА, VA и VВ.
Для определения неизвестных необходимо составить три уравнения
статики, из совместного решения которых найдутся искомые величины.
Правильным выбором условий равновесия иногда удается уйти от
решения системы уравнений, свести задачу к решению независимых
уравнений. Так в нашем примере правильным выбором условий равновесия
можно добиться того, чтобы в каждое уравнение вошла лишь одна
неизвестная величина. Это в значительной степени упростит решение задачи.
1. ∑Х = 0
–НА = 0
2. ∑МА = 0
VB 
НА = F = 30 кН
F  а  ql1  l2 
l1  l2
 V  l1  0
2
1
l1  l2  1 
6  3


F

a

q
l

l


30

3

2
(
6

3
)

 28,5кН
1
2
l1 
2  6 
2 
3. ∑МВ = 0
l l

 VA  l1  F  а  ql1  l2    1 2  l2   0
 2

45
VA 
F  a ql1  l2   l1  l2
 30  3 26  3  6  2



 l2  

 3   10,5кН

l1
l1
6
l1  2
 2


Проверка. Для проверки правильности найденных значений реакций
опор составим уравнения проекций на вертикальную ось:
∑У = 0
–VA – q(l1 + l2) + VВ = –10,5 – 2(6 + 3) + 28,5 = 0
0=0
Произведенная проверка показывает, что реакции опор определены
верно. При подстановке в уравнение найденных значений усилий получено
тождество.
3. Определение изгибающих моментов и построение эпюры М.
При построении эпюры изгибающих моментов раму необходимо
разбить на участки, в пределах которых выражения для изгибающего
момента остается неизменным. Выражения для изгибающего момента будут
меняться в сечениях, где:
а) приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент;
б) начинается или заканчивается участок с распределенной нагрузкой;
в) происходит излом оси рамы.
Разбивка рамы на участки показана на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Разбивка рамы на участки
Номера
участков
обозначены
показаны «нижние» волокна стержней.
46
цифрами.
Штриховыми
линиями
Знак изгибающего момента определяется по его воздействию на
«нижнее» волокно стержня в пределах рассматриваемого участка. Если
«нижнее» волокно под действием изгибающего момента растянуто, то знак
плюс, если сжато – минус.
Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываются со стороны
растянутого волокна.
Рассмотрим определение изгибающих моментов в раме по участкам.
I участок (рис. 4.8.).
Рис. 4.8. Участок I
0 м ≤ У1 ≤ 3 м; М1 = НА · У1
Изгибающий момент имеет знак плюс, так как момент, созданный
силой НА = 30 кН, вызывает растяжение «нижнего» волокна стержня.
Характер изменения изгибающего момента – прямая линия, для
построения которой необходимо знать значения момента M1 в двух точках:
У1 = 0 м
МА1 = 30 · 0 = 0 кНм
У1 = 3 м
МА1 = 30 · 3 = 0 кНм
II участок (рис. 4.9.). 3 м ≤ У2 ≤ 6 м;
47
Рис. 4.9. Участок II
М2 = НА · У2 – F(У2 – 3)
У2 = 3 м
МК2 = 30 · 0 – 30 ·(3 – 3) = 90 кНм
У2 = 6 м
МС2 = 30 · 6 – 30(6 – 3) = 90 кНм
Сила НА создает положительный момент, сила F – отрицательный.
Характер эпюры – прямая линия.
III участок (рис. 4.10.).
0 м ≤ Х3 ≤ 6 м;
Рис. 4.10. Участок III
48
М 3  Н А  6  VА  Х 3  F  3  q  X 3 
Х3
2
Характер эпюры – кривая второго порядка, так как переменная Х3
входит в выражение для М3 во второй степени.
Х3 = 0 м
МС3 = 30 · 8 – 10,5 · 0 – 30 · 3 – 2 · 0
Х3 = 6м
МДЗ = 30 · 6 – 10,5 · 6 – 30 · 3 – 2 · 6 ·
0
= 90 кН·м
2
6
= –9 кН·м
2
Определим значение Х3 , при котором изгибающий момент М3 имеет
экстремальное значение. Для этого возьмем первую производную от
выражения для изгибающего момента М3 по Х3 и приравняем ее нулю:
dM 3
 V Д  q  X 3  0
dX 3
X3  
Полученное
значение
VA
10,5

 5,25 м
q
2
X3
=
–5,25
м
лежит
за
пределами
рассматриваемого интервала [0; 6], поэтому на рассматриваемом участке
функция экстремума не достигает. Изгибающий момент монотонно убывает
со значения 90 кНм в точке С до – 9 кНм в точке Д.
IV участок (рис. 4.11.).
Рис. 4.11. Участок IV
0 м ≤ Х4 ≤ 3 м;
М 4  q  X 4 
X4
2
Характер эпюры – кривая второго порядка.
Х4 = 0 м;
МЕ4 = 0
49
3
МД4 =  2  3  9кНм
2
Х4 = 3 м;
V участок (рис. 4.12.).
Рис. 4.12. Участок V
0 м ≤ У≤ 6м;
М5 = 0
Изгибающий момент М5 в любой точке по всей длине стержня равен
нулю, так как к стержню приложена только одна внешняя сила Vв, линия
действия которой совпадает с его осью, а, следовательно, плечо силы Vв
равно нулю.
На основании полученных данных строим эпюру М (рис.4.13.)
(Масштаб: в 1 см 20 кНм).
От оси рамы откладываем найденные значения ординат и соединяем
соответствующими линиями.
Рис. 4.13. Эпюра М
50
Статическая проверка правильности построения эпюры М.
Так как от действия моментов, вызываемых внешними силами, рама в
целом находится в равновесии, то к каждая ее часть должна находиться в
равновесии. Вырежем последовательно узлы рамы и проверим соблюдение
условий их равновесия.
Узел С.
Рис. 4.14. Узел С
∑МС = 0
МС2 – МС3 = 0
90 – 90 = 0
Из эпюры М видно, что в узле С действуют положительные моменты,
поэтому при рассмотрении равновесия этого узла векторы моментов
прикладываем таким образом, чтобы они вызывали сжатие нижних волокон
стержней (рис. 4.14.).
Условия равновесия узла выполнены.
Узел Д.
Рис. 4.15. Узел Д
∑Д = 0
–МД3 – МД4 = 0
–90 + 90 = 0
Условие равновесия узла выполнено.
Условия равновесия узлов выполнены, а это свидетельствует о том, что
51
эпюра М построена верно.
4. Определение поперечных сил и построение эпюры Q
При построении эпюры Q раму необходимо разбить на участки. Число
участков, которое нужно рассмотреть для построения эпюры поперечной
силы, устанавливается так же, как и при построении эпюры изгибающего
момента»
I участок
0 м ≤ У1 ≤ 3 м
Повернув мысленно стержень I до горизонтального положения
штриховой линией вниз и рассматривая равновесие левой отсеченной части,
получим:
Q1 = НД = 30 кН
Значение
поперечной
силы
по
всему
участку
постоянно,
следовательно:
QА1 = QК1 = 30 кН
Знак поперечной силы Q1 – плюс, так как проекция на нормаль к оси
стержня силы НД, расположенной слева от сечения, направлена вверх.
II участок
3 м ≤ У2 ≤ 6 м
Q2 = НА – F = 30 – 30 = 0
Значение поперечной силы по всему участку постоянно, поэтому:
QК2 = QС2 = 0
III участок
0 м ≤ Х3 ≤ 6 м
Q3 = –VA – q · X3
X3 = 0м;
QС3 = –10,5 – 2 · 0 = –10,5 кН
Х3 = 6 м;
QД3 = –10,5 – 2 · 6 = – 22,5 кН
IV участок
0 м ≤ Х4 ≤ 3 м
Q4 = q · X4
52
Х4 = 0 м; Q4 = 0; Х4 = 3 м; Q4 = 2 · 3 = 6 кН
V участок
0 м ≤ У5 ≤ 6 м
Q5 = 0
По пятому стержню поперечная сила равна нулю, так как отсутствуют
силы, которые проектировались бы на нормаль к оси стержня.
На основании полученных данных строим эпюру Q (рис.4.16.).
Масштаб: в 1 см 20 кн.
Рис.4.16. Эпюра Q
Проверяем соответствие эпюры М и Q дифференциальной зависимости
Q
dM
.
dX
Если функция М возрастет, то первая производная
должна быть
положительной и наоборот.
I участок: М возрастает от 0 до 90 кнм. Q – положительная.
II участок: М постоянная. Q2 равна нулю.
III участок: М убывает от 90 кнм до –9 кнм. Q – отрицательная.
IV участок: М возрастает от –9 кнм до 0. Q – положительная.
V участок: М равна нулю. Q5 – равна нулю.
Вывод:
Эпюры
М
и
Q
соответствуют
дифференциальному
соотношению между ними.
5. Определение продольных сил и построение эпюры N.
53
I участок
Проектируем силы, приложенные к первому участку на направление
оси стержня АС.
N1 = VA = 10,5 кН
Продольная сила N1 положительная, так как под действием реакции VА
стержень АС растянут.
III участок
Проектируем силы, приложенные к рассматриваемой части рамы на
направление оси стержня СД.
N3 = HA – F = 30 – 30 = 0
IV участок
N4 = 0
V участок
N5 = –VВ = –28,5 кН
На основании полученных данных строим эпюру N
(рис.4.17).
Масштаб: в 1 см 10 кн.
Рис. 4.17. Эпюра N
6. Проверка эпюр Q и N.
Для контроля правильности полученных результатов при построении
эпюр Q и N
проверим равновесие узлов рамы. Векторы усилий Q и N
прикладываем к рассматриваемому узлу с учетом их знаков.
54
Узел С.
Рис. 4.18. Узел С
∑Fy = 0
QС3 – NС1 = 0
10,5 – 50,5 = 0
Условие равновесия узла выполнено.
Узел Д.
Рис. 4.19. Узел Д
∑Fy = 0
–QД3 – QД4 + NД5 = 0
–22,5 – 6 + 28,5 = 0
Условие равновесия узла выполнено. Эпюры Q и N построены верно.
55
4. Вопросы для самопроверки
1.
Какие рамы следует отнести к сложным?
2.
Каков порядок расчета сложных рам?
3.
Как проверить статическую определимость и геометрическую
неизменяемость рамы?
4.
Как вычисляется изгибающий момент в сечении рамы?
5.
Как проверяется правильность очертания эпюры М?
6.
Правило знаков при построении эпюры М.
7.
Как вычисляется поперечная сила в сечении рамы?
8.
Как проверяется правильность построения эпюры Q?
9.
Правило знаков при построении эпюры Q?
10.
Как вычисляется продольная сила в сечении рамы?
11.
Как проверяется правильность построения эпюры N?
12.
Правило знаков при построении эпюры N.
13.
Дифференциальные зависимости между М и Q.
14.
Как по эпюре М определить знак поперечной силы?
15.
Как проверяется равновесие узлов рамы, отдельных ее частей и
рамы в целом?
56
ГЛАВА V
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
1. Общие сведения
В инженерной практике фермой называют такую конструкцию,
которая составлена из отдельных стержней, шарнирно соединенных между
собой по концам. Ферма (рис. 5.1.) состоит из поясов, ограничивающих ее
очертание, и стержневой решетки, связывающей между собой пояса.
Наклонные элементы решетки называются раскосами, вертикальные —
стойками или подвесками. Примыкания стержней друг к другу образуют
узлы фермы, например «узлы А , В, С » . Оси стержней любого узла должны
пересекаться в одной точке, называемой центром узла, который при расчете
фермы принимают за ось шарнира. Расстояние между осями опор фермы
называется ее пролетом, а расстояние между узлами пояса, по которому
приложена нагрузка,— панелью фермы.
Рис. 5.1.Ферма
Практически узлы не бывают шарнирными, точно так же, как не
бывают они и абсолютно жесткими. Так, сопряжения стержней в узлах
деревянных
ферм
выполняются
на
врубках,
гвоздях
и
шпонках;
металлических — на болтах, заклепках и сварке. Все эти сопряжения не
обеспечивают полной шарнирности соединения элементов.
Советскими учеными, главным образом академиком Е. О. Патоном и
профессором Б.Н.Горбуновым, был всесторонне изучен вопрос с нагрузками.
Теоретические
исследования
были
проверены
многочисленными
экспериментами, подтвердившими, что при отношении ширины стержня к
57
его длине между узлами, равном 1/10 и меньше, влиянием жесткости узлов
можно пренебречь и при расчете узлы считать шарнирными.
Плоской называют такую ферму, у которой оси всех стержней лежат в
одной плоскости. В практике самостоятельная плоская ферма встречается
редко. Как правило, из плоских ферм, устраивая между ними систему связей,
образуют пространственную систему.
Наличие связей обусловливает совместность работы отдельных ферм.
Однако учет этой совместной работы ведет к значительному усложнению
расчета, в силу чего в обычных расчетах пространственных систем,
образованных из отдельных плоских ферм (покрытий, пролетных строений
мостов, конструкций надшахтных копров и т. д.), принимают, что каждая
ферма от нагрузок в ее плоскости работает самостоятельно. В последние
годы
профессор
А.А.Уманский
разработал
новые
методы
расчета
пространственных конструкций, образованных путем соединения плоских
ферм.
Расчет ферм принято производить по недеформированной схеме, т. е.
считают, что деформации отдельных стержней, следовательно, перемещения
всех узлов фермы, от действия нагрузки будут настолько малыми, что
изменения, которые они вызовут в очертании фермы, и смещения
приложенных сил не вызывают изменения усилий в стержнях. За расчетную
принимают схему, которая соответствует ненагруженному состоянию
фермы. Отсюда ясно, что расчет по недеформированной схеме является
приближенным.
В
работах
ряда
ученых,
например
в
работах
профессора
Н.В.Корноухова, создана теория расчета ферм по их деформированной схеме
и намечены пути к тому, чтобы такой расчет сделать простым и доступным
для широкого круга инженеров и техников.
Проектируя фермы, необходимо стремиться к тому, чтобы обеспечить
передачу нагрузки на них только в узлах (рис. 5.2.).
58
Рис. 5.2. Схема приложение нагрузки к узлам фермы
Только в случае, когда ферма нагружена силами в узлах и оси стержней ее
совпадают с прямыми, соединяющими шарниры, любой стержень будет
испытывать лишь осевое сжатие или растяжение.
При неузловом нагружении элементов фермы, когда нагрузка
приложена к панелям, независимо от их прямолинейности, элементы, работая
на осевое усилие, будут работать и на изгиб.
В реальных конструкциях каждый элемент фермы имеет собственный
вес, следовательно, даже при узловом нагружении работает на изгиб от
собственного веса. Однако в обычных расчетах ферм с узловым нагружением
последним обстоятельством пренебрегают и принимают, что собственный
вес фермы равномерно распределяется и прикладывается также в узлах.
Степень погрешности в результате такого допущения, как показывают
исследования, ничтожно мала. Таким образом, предпосылки и допущения,
принимаемые в статическом расчете ферм, сводятся, к следующему:
1) узлы ферм — идеальные шарниры (лишенные трения);
2) фермы рассматриваются как плоские системы - т. е. как системы, у
которых оси всех стержней и действующие на ферму силы лежат в одной
плоскости;
3) определение усилий производится для недеформированной схемы
фермы;
4) нагрузки на ферму передаются только в узлах, при этом в узлах
считают приложенными и нагрузки от собственного веса фермы.
59
Область применения ферм и их классификация. По материалу фермы
могут
быть
деревянными,
железобетонными,
металлическими
и
комбинированными.
Области применения ферм чрезвычайно разнообразны. Их широко
применяют в мостах, а также в промышленном и гражданском строительстве,
в качестве ферм покрытий, каркасов, подкрановых балок и кранов, при
устройстве надшахтных копров, радиомачт, мачт для подвески кабелей и т. д.
Несмотря на такое большое разнообразие сооружений, фермы могут
быть классифицированы по направлению опорных реакций, очертанию
поясов и по типу решетки.
По направлению опорных реакций фермы бывают безраспорные и
распорные. К безраспорным фермам относят такие, у которых при действии
вертикальной
нагрузки
реакции
опор
будут
также
вертикальными.
Вспомним, что в балках при действии вертикальной нагрузки реакции опор
также все вертикальны. В силу этого безраспорные
фермы называются
балочными (рис. 5.3.а).
Если нагрузка вертикальная, а на опорах, кроме вертикальной реакции,
возникает еще и горизонтальная составляющая – распор (рис. 5.3, .6), то ферму
называют распорной.
Рис. 5.3. Системы ферм по направлению опорных реакций
60
Наибольшее распространение имеют разрезные балочные фермы, как
самые простые в изготовлении и монтаже (рис. 5.3.а).
По очертанию поясов фермы бывают трех типов:
- фермы с параллельными поясами — у которых оба пояса
прямолинейны и параллельны между собой (рис. 5.4.а);
- фермы с ломаными поясами — у которых оси одного или двух поясов
очерчены ломаной линией и не параллельны. Переломы пояса выбираются по
конструктивным
и
производственным
соображениям
или
должны
соответствовать архитектурным требованиям. В зависимости от очертания
поясов фермы называются полигональными, трапецеидальными, треугольными и т. д. (рис. 5.4., а, б и в);
- фермы с криволинейными поясами — у которых центры узлов
расположены по какой-либо геометрической кривой, например на параболе,
окружности и т. д., в соответствии с чем они называются параболическими,
циркульными и пр. (рис. 5.4., г).
Рис. 5.4. Очертания ферм
61
Стержни, образующие контур фермы называют верхним и нижним
поясами, вертикальные элементы решетки фермы называют стойками, а
наклонные элементы решетки – раскосы (восходящие и нисходящие).
Оптимальный угол наклона раскосов в треугольной решетке составляет
примерно 45°, в раскосной решетке - 35°.
Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется
плоской. Места соединения стержней фермы называются узлами.
Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При
расчете ферм трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними
нагрузками) пренебрегают. Тогда на каждый из стержней фермы будут
действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии
могут быть направлены только вдоль стержня.
Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на
растяжение или сжатие.
Плоские жесткие фермы называются статически определимыми, если
число стержней k и число узлов n связаны соотношением:
k=2n-3,
(15)
Если к<2 n -3, то система будет изменяемой. Так, если от фермы,
изображенной на рис. 5.5., отнять стержень 5, то параллелограмм,
составленный шарнирно соединенными стержнями 4, 3, б и 7.станет
изменяемым и ферма уже может менять свою форму под действием внешних
нагрузок.
Рис. 5.5. Статически определимая ферма
Если k >2n-3, то ферма имеет «лишние» стержни, удаление которых не
нарушает жесткости фермы. В этом случае ферма является статически
62
неопределимой, т. е. уравнения равновесия недостаточно для определения
усилий в стержнях фермы.
Произвести расчет фермы - это значит определить реакции опор
фермы и усилия в её стержнях, возникающие под действием внешних
нагрузок.
Внутренние усилия, возникающие в реальных стержнях в результате их
деформации численно равны реакциям этих стержней на узлы фермы. Знание
усилий необходимо при проектировании фермы для подбора стержней
требуемой
прочности,
чем
занимается
«Строительная
механика»
и
«Строительные конструкции».
2. 0пределение усилий в стержнях фермы
Из довольно большого числа способов определения усилий в стержнях
ферм чаще всего применяются на практике три способа:
1. Способ вырезания узлов;
2. Метод Риттера – метод сечений;
3. Графический метод - построение диаграммы Максвелла-Кремоны.
Способ вырезания узлов заключается в том, что для определения
усилий во всех стержнях фермы необходимо вырезать последовательно узлы
фермы и, рассматривая равновесие узлов, определить усилия в стержнях,
сходящихся в рассматриваемом узле. При этом нужно начинать вырезать
узел, в котором сходятся только два стержня, а далее последовательно
вырезаются узлы, в которых сходятся не более двух стержней с
неизвестными усилиями.
Метод Риттера заключается в том, что ферма мысленно рассекается на
две части. Рассматривая условия равновесия какой-либо отсеченной части и
составляя соответствующие уравнения, мы можем определить неизвестные
усилия во всех перерезанных стержнях, если их число равно трем (по числу
уравнений равновесия, которые можно составить для плоской системы сил).
Эти уравнения желательно составить таким образом, чтобы в каждое из них
63
входило только одно неизвестное усилие в стержне. Таким уравнением
оказывается в различных случаях либо уравнение моментов относительно
определенной точки (способ «моментной точки»), либо уравнение проекции
на какую-либо ось («способ проекций»).
Способ проекций, как правило, применяется при расчете ферм с
параллельными поясами.
Способ моментной точки применяется главным образом в тех случаях,
когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом
перерезанными оказались три ее стержня, направления осей которых не
пересекаются в одной точке.
Для определения усилия в каком-либо стержне необходимо разрезать
ферму так, чтобы в разрез, кроме данного стержня, попали еще два других
(оси которых не сходятся с ним в общей точке), после чего из уравнения
моментов относительно точки пересечения осей этих двух стержней можно
легко определить усилия в данном стержне.
Точка пересечения осей двух стержней, относительно которой
составляется уравнений моментов, называется моментной..
В начале расчета фермы иногда удается сразу отметить стержни, усилия в
которых при данной нагрузке равны нулю. Такие стержни называются
нулевыми.
Признаков нулевых стержней два:
1). Если в узле сходятся два стержня, не лежащих на одной прямой (рис. 5.6.),
и внешних сил к узлу не приложено, то усилия в обоих стержнях будут
равны нулю.
Рис. 5.6. Первый признак нулевого стержня
64
2). Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной
прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом (рис. 5.7.), а
внешних сил к узлу не приложено, то усилие в примыкающем третьем
стержне равно нулю.
Рис. 5.7. Второй признак нулевого стержня
Частный случай второго признака:
Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной
прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом, и по направлению
третьего стержня к узлу приложена сила (рис. 5.8.), то усилие в
примыкающем третьем стержне равно приложенной к узлу силе.
Рис. 5.8. Частный случай второго признака
Графический метод определения усилий в стержнях фермы –
построение диаграммы Максвелла-Кремоны.
Сущность графического метода определения усилий в стержнях фермы
состоит в построении силового многоугольника для каждого из узлов ферм.
При этом силовых многоугольников будет столько, сколько узлов в ферме.
Этот метод довольно трудоемок, т.к. требует большое количество
графических построений. Целесообразно строить все многоугольники сил не
отдельно для каждого узла, а вместе, что позволяет диаграмма МаксвеллаКремоны.
65
Порядок определения усилий в ферме графическим способом с
помощью построения диаграммы Максвелла-Кремоны:
1. Вычерчиваем ферму в строгом соответствии с масштабом длин.
2. Определяем величину и направление опорных реакций аналитическим или
графическим способом.
3. Нумеруем поля расчетной схемы: - внешние поля - заглавными буквами
латинского алфавита; внутренние поля - арабскими цифрами.
4. Строим в масштабе сил многоугольник внешних сил, действующих на
ферму,
обходя
ферму
по
часовой
стрелке.
Сипы
обозначаем
соответствующими полями, примыкающими к данной силе.
5. Строим диаграмму усилий для стержней фермы, для чего:
а) обходим по часовой стрелке узел, в котором сходится два стержня и
строим силовой многоугольник для этого узла. Усилия в стержнях нумеруем
соответствующими полями. Построение следует начинать с известных сил и
наносить все силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе
данного узла по ходу части стрелки.
б) переходим к следующему узлу, в котором сходится не более 2-х стержней
с неизвестными усилиями и повторяем предыдущее построение, и т.д.
6. Контролем правильности построения является параллельность последнего
стержня на ферме последнему соответствующему отрезку на диаграмме.
7.
Определяем усилие в стержнях фермы. Для этого измеряем отрезки,
соответствующие стержням фермы на диаграмме и в соответствии с
масштабом сил вычисляем величину усилия.
8.
Определяем знаки усилий в стержнях фермы. При определении знака
усилия читаем наименование стержня, обходя узел по часовой стрелке (1-2).
В такой же последовательности (допустим 1-2) читаем наименование усилия
на
диаграмме
усилий.
Направление
действующего
усилия: к узлу (–), от узла (+).
66
чтения
определит
направление
9. Все полученные данные о величине и знаке усилия в стержнях сводятся в
таблицу.
10. Производим сравнение результатов аналитического и графического
расчетов и вычисляем погрешность производимых расчетов.
3. Пример расчета 5.1.
Определить усилия в отмеченных стержнях фермы аналитическим и
графическим способом.
Для определения усилий необходимо вычертить схему фермы с указанием
конкретных геометрических размеров и нагрузок.
l=24 м
b=4 м
F=10
кН
d=4 м
Рис. 5.9. Расчетная схема фермы
Аналитический расчет фермы
1. Определение опорных реакций
На рис. 5.9. представлена ферма, условия опирания которой такие же,
как у простой балки. Такая ферма называется балочной. Как и у простых
балок, в балочных фермах при действии вертикальных нагрузок возникают
только вертикальные опорные реакции. Их определение производится так же,
как и в простых балках.
Вертикальные опорные реакции можно определить, пользуясь только 2-мя
уравнениями статики:
67
1) Σ МА = 0;
2) Σ МВ= 0,
где Σ МА - сумма моментов всех сил относительно точки А;
Σ МВ - сумма моментов всех сил относительно точки В.
Раскрыв значение Σ МА и Σ МВ, получим:
Vв·l - F· 5d - F· 4d - F· 3d - F· 2d - F· d = 0
VA·l - F· 5d - F· 4d - F· 3d - F· 2d - F· d = 0
Из первого уравнения определим величину опорной реакции VВ:
Vв = 25 кН
Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции VA:
VA = 25 кН.
После вычисления опорных реакций следует убедиться в правильности
их определений, т.к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в
определении внутренних усилий в стержнях фермы.
Для проверки правильности полученных результатов рекомендуется
составить третье уравнение равновесия, которое не использовалось при
определении опорных реакций.
Если вертикальные опорные реакции определены верно, то сумма проекций
всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.
ΣFу = 0;
VA + VB-5F =25 +25 -5·10 = 0.
Результаты проверки свидетельствуют о том, что вертикальные опорные
реакции определены верно.
2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.
В рассматриваемом примере (рис. 5.9.) нулевыми стержнями фермы
являются стержни 2-3 (из рассмотрения узла 2) и 8-7 (из рассмотрения узла 8)
по первому признаку нулевых стержней.
Стержень 3-14 также нулевой по второму признаку нулевых стержней (из
рассмотрения узла 14 рис. 5.10.).
68
Рис. 5.10. Равновесие узла 14
Пользуясь частным случаем второго признака нулевых стержней,
можно определить без вычисления усилия в стержнях 4—13, 5—12. Усилия в
стержне 4-13 равно— F, т.е. N4-13= —F; знак (—) указывает на то, что
стержень сжат. И действительно, рассматривая узел 4, мы можем убедиться в
том (рис. 5.11.).
Рис. 5.11. Равновесие узла 4
Вырезав
узел,
показываем
направление
усилий
от
узла,
т.е.
предполагаем, что все стержни растянуты.
Выбираем оси координат таким образом, чтобы одна из осей (ось х)
совпала с направлением усилий N4-13 и N4-13
Составляем уравнение равновесия всех сил, сходящихся в одной точке.
Это уравнение должно включить в себя только одно неизвестное
усилие N4-13. Для этого спроектируем все силы на вертикальную ось у:
N4-13 = - F = -10 кН.
-F- N4-13 =0;
Рассуждая таким же образом, определяем усилие в стержне 5—12.
N5-12 = F .
Усилие в стержне 1-14 определяем способом вырезания узла. Вырезаем
узел 1 и рассматриваем его равновесие. В данном узле сходятся 3 стержня, но
69
неизвестных усилий только два (N1-3 и N1-14). Усилие N1-2 = 0 (по первому
признаку нулевых стержней, рассматривая узел 2).
Выбираем оси координат так, чтобы одна из осей (ось х) совпала с
направлением «ненужного» нам усилия (N1-3).
Проектируем все силы на ось У и составляем уравнение:
Рис. 5.12. Равновесие узла 1
ΣFу = 0;
VA·cosα - N1-14·sinα = 0
N1-14 = VA·cosα / sinα = VA ·ctgα
сtgα = 4 / 4 = 1 из геометрических размеров фермы.
N1-14 = 25 кН.
3. Метод сечений.
Усилия в стержнях 5-6,5-11,7-11,10-11 определяем способом рассечения
(метод Риттера). Для определения усилий в стержнях 5-6 и 5-11 рассекаем
ферму сечением n- n (рис. 5.13.).
Рассматриваем равновесие одной отсеченной части фермы. Лучше
рассматривать правую от сечения часть, так как на нее действует меньше
сил.
Действие левой отброшенной части фермы на правую заменим
усилиями в рассеченных стержнях. Усилия направляем от узлов, предполагая
стержни растянутыми. Усилие в стержне 5-6 определяем способом
моментной точки. Этой точкой является узел 11.
70
Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на данную
часть фермы относительно точки 11.
Рис. 5.13. Равновесие правой части фермы (сечение n- n)
∑M11=0
N5-6·h - F·d + VB ·2d = 0
N5-6 = (F·d - VB ·2d) / h = (10·4 – 25· 2 ·4) = - 40 кН.
Знак минус указывает на то, что стержень 5-6 - сжат.
Усилие в стержне 5-11 способом моментной точки определить нельзя,
т.к. положение ее неизвестно (точка пересечения стержней 5-6 и 11-12
находится в бесконечности). Поэтому для определения усилия N5-11
используем способ проекций.
Спроектируем все силы, действующие на правую часть фермы, на
вертикальную ось. Составим уравнение равновесия:
ΣFу = 0;
N5-11·sinα - F- F + VB = 0
N5-11 = (2 F - VB) / sinα1
sin α1 = tg α1 / (√ 1 + tg2 α1) = 1 / 1,41
N5-11 = - 7,05 кН (стержень 5-11 сжат).
Для определения усилий в стержнях 7-11 и 10-11 рассечем ферму сечением
m-m и рассмотрим равновесие правой отсеченной части (рис.5.14.).
71
Рис. 5.14. Равновесие правой части фермы (сечение m- m).
Для определения усилия в стержне 10-11 используем способ моментной
точки. Такой точкой является узел 7. Составляем уравнение моментов
относительно точки 7.
∑M7 = 0
N10-11 ·h - VB ·d = 0
N10-11 = VB ·d / h = 25· 4 / 4 = 25 кН (растянут)
Для определения усилий в стержне 7-11 используем способ проекций.
Спроектируем все силы на вертикальную ось и составим уравнение:
ΣFу=0;
Проектируя на вертикальную ось все силы, тем самым исключаем из
уравнения проекций два усилия N6-7 и N10-11, и в уравнение входит только
одно неизвестное усилие:
N7-11 ·cosβ – F + VB = 0
N7-11 = (F - VB) / cosβ
cosβ = 0,707
N7-11 = (25 – 10) / 0,707 = 21,15 кН (стержень 7-11 растянут).
72
Определение внутренних усилий
графическим способом
Схема фермы М 1:100
3. Все полученные данные о величине и знаке усилия в стержнях
фермы сводим в таблицу 2.
73
Таблица 2
Номер стержня
Аналитический
Графический
расчет
расчет
1-2
А-1
2-3
А-1
1-3
1-2
1-14
2-К
3-4
В-4
3-13
3-4
3-14
2-3
13-14
3-К
4-13
4-5
4-5
С-5
5-13
5-6
12-13
6-К
5-12
6-7
5-8
С-8
6-11
8-9
11-12
7-F
5-11
7-8
6-7
Д-7
7-10
10-11
7-11
9-10
10-11
10- F
7-8
Д-12
8-9
Д-12
7-9
11-12
9-10
11-Е
Усилие в стержне (кН)
Аналитический
Графический
расчет
расчет
0
0
0
0
- 35,5
+ 25
+25
- 40
+ 21,25
0
0
+25
-10
-10
-40
-7
+45
+10
+10
- 40
-40
-10
+45
-7,05
-7,05
-40
+10
+21,15
+21,15
+25
+25
0
0
0
- 35,5
+25
4. Вопросы для самопроверки
1.
Что называется фермой?
2.
Классификация плоских ферм.
3.
Каковы особенности работы ферм?
4.
Какие существуют способы аналитического расчета ферм?
5.
Какие существуют признаки нулевых стержней?
6.
Какой порядок графического расчета плоских ферм?
7.
Как по диаграмме Максвелла-Кремоны определить величину и
направление усилий в стержнях ферм?
74
ГЛАВА VI
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
1. Общие сведения
Определение перемещений необходимо при расчете сооружений на
жесткость, а также при расчете статически неопределимых систем, когда,
помимо уравнений равновесия, приходится составлять уравнения перемещений.
Различают три рода воздействий, вызывающих те или иные перемещения: 1) силовое, 2) смещение опор или других связей, 3) температурное.
Рассмотрим общий метод определения перемещений от силового
воздействия применительно к балкам и рамам. При этом будем, пользоваться
следующими общепринятыми обозначениями перемещений:
∆ —перемещение от заданной нагрузки;
δ —перемещения от единичной силы.
У каждой из этих букв будем ставить два индекса; первый —
указывающий точку и направление перемещения, второй — причину,
вызвавшую перемещение. Например, ∆31 обозначает перемещение точки
приложения силы Р3 по ее направлению, вызванное действием силы Р1;
δ31 — перемещение по направлению силы Р3, вызванное единичной
силой Р1 = 1 и т. д. При этом индексы читаются: три — один, но не тридцать
один.
При определении перемещений будем рассматривать заданную систему
в двух состояниях: 1-е состояние — действительное, когда к системе
приложена заданная нагрузка; 2-е состояние — единичное, когда к системе
по направлению искомого перемещения приложена единичная «сила», а
заданная нагрузка отброшена. В данном случае единичная «сила» —
обобщенное понятие, так как в зависимости от определяемого перемещения
75
это может быть сосредоточенная сила Р =1, сосредоточенный момент т = 1 и
т.д. Все единичные силы — величины безразмерные.
Общая формула перемещений от силового воздействия имеет вид (16):
где ∆21 — перемещение по направлению единичной силы 2-го
состояния от сил 1-го состояния (от заданной нагрузки), т. е. искомое
перемещение; M1, N1 и Q1 — соответственно изгибающий момент,
продольная
и
поперечная
силы
в
сечении
от
заданной
нагрузки
(рассматривается 1-е состояние); М2, N2 и Q2—соответственно изгибающий
момент, продольная и поперечная силы в том же сечении (рассматривается 2е состояние); k —коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.
Вместо цифровых индексов в формуле (16) часто ставят буквенные,
например т и n. В этом случае она принимает вид (17):
В этих формулах ∫ указывает на интегрирование в пределах
рассматриваёмого участка длиной l, а знак ∑ — на суммирование
результатов интегрирования по всем участкам.
Практически определение перемещений в балках, рамах, а иногда и в
арках производится по формуле (18):
так как влияние продольных и поперечных сил на перемещения незначительно и. ими в большинстве случаев пренебрегают.
Если жесткость EJ в пределах каждого элемента системы постоянна, то
последняя формула примет вид (19):
76
Определение
перемещений
по
общей
формуле
производят
в
следующем порядке:
1. Прикладывают по направлению искомого перемещения единичную
«силу»,
(2-е
состояние),
соответствующую
определяемому
перемещению. При этом надо иметь в виду, что:
а) если определяют перемещение одной точки по какому-либо направлению, то прикладывают сосредоточенную единичную силу Р =1, действующую по направлению этого перемещения;
б)
если определяют угол поворота какого-либо сечения, то
соответствующая единичная «сила» представляет собой сосредоточенный
единичный момент т =1, приложенный в этом сечении;
в) если определяют взаимное перемещение двух точек по какому-либо
направлению, то соответствующая единичная «сила»
группу из двух
противоположно направленных
представляет собой
сосредоточенных
сил
Р = 1, действующих по линии искомого перемещения и приложенных в тех
точках, взаимное перемещение которых определяют;
г) если определяют угол взаимного поворота двух сечений, то соответствующая единичная «сила» представляет собой два противоположно
направленных сосредоточенных момента т = 1, приложенных к этим сечениям.
2. Находят выражения усилий M1, N1 и Q1 как функции координаты х
произвольного сечения (рассматривается 1-е состояние системы).
4. Находят выражения усилий M2, N2 ,Q2 как функции координаты х
произвольного сечения (рассматривается 2-е состояние).
5. Подставляют полученные выражения в формулу перемещений и
интегрируют
интегрирования
по
участкам.
Суммируя
результаты
для всех участков системы, получают искомое
перемещение ∆21. Если найденное перемещение положительно, то
оно
совпадает
с направлением
единичной
силы,
отрицательно, то противоположно этому направлению.
77
если
же
2. Вычисление интегралов Мора способом перемножения эпюр
(Правило А. Н. Верещагина)
Применение
вычисление
этого
способа
в
значительной
степени
упрощает
интеграла Мора. Способ заключается в следующем. Строят
эпюры нагибающих моментов от заданной нагрузки (эпюры Мп) и от
единичной нагрузки (эпюру Мn). Пусть первая эпюра имеет криволинейное
очертание, а вторая — прямолинейное. Тогда интеграл Мора может быть
вычислен
как произведение площади ωп эпюры криволинейного очертания
(рис.6.1, а) на ординату уп прямолинейной эпюры (рис. 6.1., б), взятую под
центром, тяжести криволинейной, т. е.
,
(20)
При перемножении эпюр ставят знак плюс, когда обе эпюры имеют
одинаковые знаки, и знак минус, когда их знаки разные.
Рис. 6.1. Эпюры моментов
Следует иметь в виду, что эпюра, для которой вычисляется площадь ω,
может быть любого очертания (не только криволинейная), эпюра же, из
которой берется ордината у, обязательно должна быть прямолинейной. Если
обе эпюры прямолинейные, то из одной (любой) может быть определена
площадь ω, а из другой взята ордината у. Когда одна из эпюр имеет сложное
очертание, ее разбивают на простые фигуры.
78
В этом случае:
ω·y = ω1 ·y1 + ω2·y2 + ω3·y3 +…+ ωn·yn
(21)
В таблице 3 приведены значения площадей и абсцисс центров тяжести
наиболее часто встречающихся фигур.
Если одна или обе эпюры очерчены ломаной линией, то их разбивают
на участки таким образом, чтобы, по крайней мере, одна из перемножаемых
эпюр в пределах каждого участка была прямолинейной.
Формула для определения перемещений с использованием правила А.
Н. Верещагина имеет вид:
∆1p
= ∑ ω·y/E·I
(22)
Здесь первый индекс (1) при ∆ показывает, что перемещение определяют по направлению единичной силы единичного состояния системы,
второй (Р), — что это перемещение вызвано заданной нагрузкой.
В дальнейшем эпюру моментов от единичной силы будем обозначать
M1, а от заданной нагрузки — Mр.
3. Примеры определения перемещений в статически определимых
системах
Пример 6.1.
Определить угол поворота сечения В балки, защемленной одним концом (рис.6.2, а) и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q =2 кН/м. Жесткость балки постоянна.
Рис. 6.2. Расчетная схема балки к примеру 6.1.
79
Решение
1-е состояние балки (действительное) показано на рис.6.2, а. Чтобы получить
2-е состояние (единичное), изображаем балку без заданной нагрузки,
приложив в сечении В единичный момент т = 1 (рис.6.2, б).
Изгибающий момент в произвольном сечении 1-го состояния балки
Для 2-го состояния
Подставив эти значения в формулу (19), найдем после интегрирования угол
поворота сечения В:
Пример 6.2.
Определить прогиб свободного конца балки, защемленной одним
концом (рис. 6.3, а). Жесткость балки постоянна.
Рис.6.3. Расчетная схема балки к примеру 6.2.
Решение
На рис. 6.3, б изображаем 2-е состояние балки, приложив в точке В единичную сосредоточенную силу. В действительном состоянии балка имеет два
участка.
80
Для участка
СВ: М1 = —Рх,;
для участка AC: M1 = — Рх — Р(х—
b)= — 2Рх+ Рb .
Во втором состоянии для обоих этих участков
М2 = — 1·х= х
Искомое перемещение:
Пример 6.3.
Определить прогиб в середине пролета балки изображенной на
рис.6.4., а. Жесткость балки постоянна.
Рис.6.4. Расчетная схема балки к примеру 6.3.
Решение
По направлению искомого перемещения прикладываем посредине
балки во 2-м состоянии единичную сосредоточенную силу (рис. 6.4., б).
81
Опорные реакции для действительного состояния: А =В = ql/2, для
единичного состояния А = В = 1/2. Изгибающий момент в произвольном
сечении действительного состояния балки:
Во 2-м состоянии балка имеет два равных участка.
Для левого участка:
Ввиду симметрии балки величина интеграла для правой ее половины
будет такая же, как и для левой. Поэтому интегрирование будем вести в
пределах левой половины балки, поставив перед интегралом коэффициент 2.
Итак, искомое перемещение:
Пример 6.4.
Определить вертикальное перемещение точки В рамы, изображенной па
рис.6.5, а. Жесткость стойки АС и ригеля СВ равна соответственно 2EJ и EJ.
Решение
Во
вспомогательном
вертикальную
единичную
(2-м)
состоянии
силу
приложим
в
точке
S.
(рис. 6.5, б). Составим выражения
изгибающих моментов.
Для ригеля:
а) от заданной нагрузки:
б) от единичной нагрузки
Для стойки:
82
а) от заданной нагрузки:
б) от единичной силы:
Рис. 6.5. Расчетная схема рамы
Искомое перемещение:
83
Пример 6.5.
Определить.
горизонтальное
перемещение
точки
В
рамы,
изображенной на рис.6.6, а. Жесткость стержней АС и CD равна 2EJ,
жесткость стержня DB равна EJ.
Рис.6.6. Расчетная схема рамы
Решение
Вычертим 2-е состояние рамы (рис.6.6., б), приложив в точке В
горизонтальную единичную силу Р =1.
Определяем опорные реакции:
а) от заданной нагрузки
∑X=
, откуда
∑
, откуда
∑
, откуда
б) от единичной силы:
∑X=
Так как линия действия силы Р = 1 проходит через центры обоих
опорных шарниров А и В, то ее моменты относительно этих центров равны
нулю, следовательно,
Составим выражения изгибающих моментов.
84
Для стойки АС:
а) для заданной нагрузки
б) от единичной силы
Для ригеля CD:
а) от заданной нагрузки:
б) от единичной силы:
ДЛЯ стойки BD:
а) от заданной нагрузки:
б) от единичной силы:
Искомое перемещение:
85
Пример 6.6.
Определить угол поворота свободного конца балки, изображенной на
рис. 6.2., а способом А.Н. Верещагина. Жесткость балки постоянна.
Решение
Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки. Изгибающий
момент в произвольном сечении балки:
при x=0 MB=0
при х = 2,5 м
Мх = —2,52 = —6,25 кН∙м;
при х = 5 м
МА = — 52 = — 25 кН∙м.
По полученным данным строим эпюру Мр (рис.6.7, б).
Рис. 6.7. Расчетная схема к пр.6.6.
Вычерчиваем балку в единичном состоянии (рис. 6.7., в) и вычисляем
изгибающие монеты в характерных сечениях:
Эпюра
приведена на рис. 6.7., г.
Вычисляем с помощью таблицы 1 площадь ω эпюры Мр
ω = l ·h/3 = 5х25/3 = 41,7 кН м3
Ординату у берем из прямолинейной эпюры
(у = 1). Так как обе
эпюры отложены по одну сторону от оси (они имеют одинаковый знак), то
искомое перемещение будет положительным:
∆1p = φв = (1/ E·I ) 41.7 · 1 = 41,7/ E·I
Такой же результат был получен и в примере 6.1.
86
Таблица 3
Вид эпюры
Площадь эпюры
Абсциссы центра тяжести эпюры
изгибающих
ω
X1
X2
Lh
L/2
L/2
Lh/ 2
L/3
2L/3
Lh/ 3
L/4
3L/4
2Lh/ 3
L/2
L/2
2Lh/ 3
3Lh/ 8
5Lh/ 8
2Lh/ 3
L/2
L/2
моментов
87
Пример 6.7.
Определить прогиб свободного конца балки, изображенной на рис. 6.8., а.
способом А.Н Верещагина. Жесткость балки постоянна.
Рис. 6.8. Расчетная схема к примеру 6.7.
Решение
Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки:
Эпюра Мр построена на рис.6.8., б.
Вычисляем изгибающие моменты в сечениях балки единичного
состояния (рис. 6.8., в):
Эпюра Mр приведена на рис.6.8., г.
Разбиваем эпюру Мр на три простые
фигуры,
как
показало
на
рис.6.8., б и определяем их площади:
Вычисляем ординаты у1, у2 и у3, взятые под центрами тяжести
соответствующих площадей.
Так как основание и высота треугольника ad1b имеют одинаковые
значения, то эти ординаты равны расстояниям до них: от точки b и их можно
88
получить из подобия треугольников. Например, у 3/1,33 =h/l =5/5, откуда у3
=1,33 м. Итак, у1 = 4 м; у2 =3,5 м; у3 =1,33 м.
Искомое перемещение:
4. Вопросы для самопроверки
1. Какие системы называют статически определимыми?
2. Как определяется грузовое и единичное состояние системы?
3. Что называется жесткостью стержня при изгибе?
4. Как определяется момент инерции прямоугольного и прокатного
профиля?
5. Формула интеграла Мора?
6. В чем состоит метод Верещагина?
89
ГЛАВА VII
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ
СИЛ
1. Общие сведения
Расчет статически неопределимых систем методом сил начинают с выявления степени статической неопределимости. Степень статической неопределимости любой системы может быть установлена по формуле, которая
для выявления степени статической неопределимости рам будет иметь вид:
Л = 3К — Ш,
(23)
где Л – число лишних связей, К – число контуров, а для неразрезных балок
— формулой (24):
Л = С оп - 3,
(24)
где Соп — число опорных стержней.
Остановимся на применении формулы (23).
Пример 7.1.
Пользуясь формулой (23), определить степень статической неопределимости
рамы, изображенной на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Рама
Решение
Рама состоит из двух замкнутых контуров I и II. Шарнирнонеподвижная опора А равноценна одному простому шарниру, шарнирноподвижная опора В — двум шарнирам. Следовательно, Ш = 1 + 2 = 3.
Степень статической неопределимости Л = 3К — Ш =3∙2 — 3 ==3 — рама
трижды статически неопределима.
90
Пример 7.2.
Определить степень статической неопределимости рамы, приведенной
на рис. 7.2.
Рис. 7.2. 3-х контурная рама.
Рис. 7.3. 6-ти контурная рама
Решение
Рама имеет три замкнутых контура (I, II и III). Суммарное число
шарниров Ш = 6 (два простых шарнира — Е и F и две шарнирно подвижные
опоры —A и D). Число лишних связей Л =3∙3 — 6=3. Следовательно, рама
трижды статически неопределима.
Пример 7.3.
Определить
степень
статической
неопределимости
рамы,
изображённой на рис. 7.3.
Решение
В этой раме шесть замкнутых контуров. Простых шарниров — три
(шарниры F,H и I). Шарнир G— двукратный, как соединяющий три стержня.
Каждая из шарнирно-подвижных опор А, В, D и Е эквивалентна двум
простым шарнирам, а шарнирно-неподвижная опора С — одному.
Следовательно, Ш = 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. Тогда степень статической
неопределимости Л =3∙6—14 =4. Таким образом, рама имеет четыре лишние
связи, т. е. является четырежды статически неопределимой.
После того как будет установлена степень статической неопределимости,
выбирают основную систему.
91
2. Выбор основной системы
Основной системой будем называть геометрически неизменяемую
статически определимую систему, полученную из заданной статически
неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.
На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама — заданная
система. Степень статической неопределимости этой системы:
Л = 3К — Ш =3∙1—0 =3.
Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную
систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи;
последнее может быть выполнено различными способами, но в результате
применения любого из них полученная основная система должна быть
геометрически неизменяемой.
Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная
путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалентной трем лишним связям.
Рис. 7.4. Выбор основной системы
Теперь сечение В основной системы может перемещаться по
горизонтальному и вертикальному направлениям и поворачиваться в
плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали
возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует
правая защемляющая опора.
92
Чтобы устранить различие между заданной и основной системами,
поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему
заданной нагрузкой q и в точке В ее, по направлениям указанных перемещений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные,
горизонтальную и вертикальную силы Х1; Х2 и момент Х3.
Величины Х1; Х2; X3 называются лишними неизвестными и являются
искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшенных
лишних связей на заданную систему.
Обращаем внимание, на то, что основная система, нагруженная
заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внутренних
усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопределимой.
Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических
расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее
приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной заданной
нагрузкой и лишними неизвестными.
Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из
которых должно выражать условие равенства нулю суммарного перемещения
по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от
заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в
определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими
уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных
связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом,
три канонических уравнения, имеющих следующий вид:
δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 + ∆1p = 0
δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 + ∆2p = 0
(25)
δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 + ∆3p = 0
где δ11 —перемещение точки приложения силы X1 по направлению этой
силы от единичной силы
= 1;
δ11 X1 —перемещение той же точки в
полным значением X1;
93
ТОМ
же направлении, вызванное
δ12 — перемещение точки приложения силы X1 по направлению этой силы,
вызванное единичной силой
δ12 X2 — перемещение той же точки в том же направлении, вызванное
полным значением силы Х2;
δ13 — перемещение точки приложения силы Хх по направлению этой силы от
единичной силы
= 1;
δ13X3 — перемещение той же точки в том же направлении, вызванное
полным значением силы Х3;
∆1p —перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной
нагрузкой; δ21 X1 — перемещение точки приложения силы Х2 по
направлению этой силы, вызванное силой X1, И Т. Д.
Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п
канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз
статически неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для
любой трижды статически неопределимой системы.
Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вычислению единичных δik и грузовых ∆ip перемещений.
Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном
состояниях основной системы.
Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она
находится только под действием заданной нагрузки.
Единичным будем называть состояние основной системы, при котором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, действующей в направлении неизвестной реакции Xt.
Заметим, что число единичных состояний основной системы должно
соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,
т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно
все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им
грузовую Мр и единичные M1, M2, ..., Мп эпюры изгибающих моментов.
94
Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единичные
δik и грузовые ∆ip перемещения.
Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о
взаимности перемещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с
взаимно переставленными индексами равны между собой, т. е. δik = δki.
Вычисленные значения δik и ∆ip подставляют в канонические уравнения
и решают полученную систему уравнений, в результате чего находят
значения неизвестных реакций связей X1, X2, ..., Хп.
Нагрузив теперь основную систему заданной нагрузкой и уже
известными силами X1 = А1; Х2 = А2, ..., Хп = Ап, строят обычным путем (как
для статически определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются
окончательными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и
продольных сил для заданной системы.
Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить
путем суммирования ординат эпюры Мр с соответствующими ординатами
эпюры
После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой
построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия
вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в
последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,
умноженными на X1, ординатами эпюры
ординатами эпюры
, умноженными на Х2 ..., и
, умноженными на Хп, т. е.
Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ11, δ22, δ33 и т.д.)
принято называть главными перемещениями, а с разными индексами
(δ12, δ13, δ23 и т.д.) — побочными.
Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют
положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на
себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.
95
Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а
при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае
в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вычислению
перемещений.
На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно
из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет
рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.
3. Применение метода сил к расчету статически неопределимых
балок и рам
Пример 7.4.
Построить эпюры Q и М для статически неопределимой балки,
изображенной на рис. 7.5., а. Проверить правильность построения эпюры М.
Жёсткость балки равна EJ.
Решение
Согласно формуле (23) Л = 4 — 3 =1, следовательно, балка имеет одну
лишнюю связь. В качестве основной системы примем балку с защемленным
левым концом, полученную из заданной балки в результате устранения
нагрузки и одной связи (шарнирно подвижной опоры В). Основная система,
нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной реакцией связи — силой X1,
действующей но направлению устраненной связи, показана на рис. 7.5,6.
В заданной системе вертикальное перемещение точки В невозможно. В
системе по рис. 7.5., б оно также должно быть равно нулю. Составим
каноническое уравнение, выражающее это условие:
δ11X1 + ∆1p = 0
(27)
Для определения δ11 и ∆1p строим эпюру М1 от нагружения основной
системы единичной силой Х1 = 1 (рис. 7.5., в) и эпюру Мр от нагружения этой
системы только силой Р (рис. 7.5., г). Перемещение δ11 получим умножением
эпюры М1 на эпюру М1, т. е. самой на себя, а чтобы получить значение ∆1p,
надо перемножить эпюру М1 с эпюрой Мр. Итак,
96
При определении ∆1p площадь ω взята из эпюры Мр, а ордината у — из
эпюры— М1. Если бы, наоборот, площадь была взята из эпюры М1, а
ордината—из эпюры Мр, то следовало принять во внимание лишь часть
acc1d1 эпюры М1, так как во всех сечениях балки в пределах участка СВ
изгибающие моменты равны нулю и произведение ωу для этого участка
также равно нулю.
Из уравнения (28) находим Х1
Теперь в системе, показанной на рис. 7.5., б, все силы известны. Вычисляем
поперечные силы в характерных сечениях и строим по ним эпюру Q
(рис.
7.5, д):
Для построения эпюры М вычислим изгибающие моменты:
Эпюра М приведена на рис. 7.5., е.
Проверим правильность построения окончательной эпюры изгибающих
моментов. Наиболее надежной является так называемая деформационная или
кинематическая проверка. Она заключается в определении перемещений по
направлению каждой отброшенной связи путем умножения окончательной
эпюры М на эпюру М1 от соответствующей единичной силы. Если при этом
перемещения по направлению каждой отброшенной связи будут равны нулю,
то окончательная эпюра изгибающих моментов построена правильно.
В рассматриваемом примере, отброшена одна вертикальная связь, поэтому
определим вертикальное перемещение точки В (∆В(верт)).
97
Рис. 7.5. Расчет балки методом сил
Для удобства перемножения эпюр треугольники aa1d и dсс1 (см. рис.
7.5., е) заменим треугольниками aa1c и асс1 имеющими одно и то же
основание ас. Добавленные треугольники a1dc и adc1 не влияют на результат
перемножения эпюр М и М1, так как площади этих треугольников, равные
между собой, но противоположные по знаку, умножаются на одну и ту же
ординату единичной эпюры М1 соответствующую центрам тяжести
площадей треугольников, расположенным на одном перпендикуляре к
прямой ас. В дальнейшем при решении других примеров в подобных случаях
будем поступать таким же образом. Итак,
98
Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Произведем
ту же проверку, используя формулу (23);
Как видим, получен тот же результат, что и выше.
Пример 7.5..
Построить эпюры Q, М и N для рамы, изображенной на рис. 7.6., а.
Жесткость стойки АС принять равной EJ, жесткость ригеля CD и стойки BD
равна 3EJ. Проверить правильность построения окончательной эпюры М.
Решение
Так как Л = ЗК — Ш = 3∙1 —2 = 1, то рама один раз статически
неопределима, т. е. содержит одну лишнюю связь.
Выберем основную систему, устранив нагрузку и горизонтальную связь
в опоре В. Вертикальную связь отбросить нельзя, так как в противном случае
оставшиеся три опорных стержня пересекутся в одной точке А и система
будет мгновенно изменяемой.
Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной
силой Х1; заменяющей действие отброшенной связи, приведена на рис.7.6., б.
Каноническое уравнение в данном случае будет выражать условие
равенства нулю суммарного горизонтального перемещения точки В от
заданной нагрузки и неизвестной силы X1:
Рассмотрим единичное состояние основной системы, когда по направлению
удаленной связи приложена сила Х1 = 1, а все остальные нагрузки
отброшены (рис. 7.6., в). Вертикальные опорные реакции здесь равны нулю, а
горизонтальную определим из уравнения ∑Х = 0:
откуда
99
Рис. 7.6. Расчет рамы методом сил
100
Изгибающие моменты:
в сечениях элемента АС
в сечениях элемента CD
в сечениях элемента DB
Эпюра
показана на рис. 7.6., в.
Далее изобразим грузовое состояние основной системы и построим эпюру Мр
(рис. 7.6.,г). Сначала определим опорные реакции:
откуда
откуда
откуда
Изгибающий момент в произвольном сечении стойки АС:
Для определения максимального изгибающего момента найдем расстояние
до сечения, в котором Q = 0:
Изгибающий момент в произвольном сечении стойки АС:
В данном случае это сечение совпадает с сечением С, следовательно,
Изгибающий момент в произвольном сечении ригеля на расстояниях х1 от
точки D
101
Найдем расстояние до сечения, в котором Q = 0, а изгибающий момент
имеет максимальное значение:
откуда х'о = VB/qt = 11/2 = 5,5 м.
Тогда Мтах = 11∙5,5 — 5,52 = 30,3 кН∙м.
Для определения перемещения δ11 умножим площади ω на ординаты у
взятые из одной и той же эпюры
Перемножая эпюры Мр и М1 для получения перемещения ∆1p, из первой
возьмем площади, из второй — ординаты, соответствующие центрам тяжести
этих площадей. При этом эпюру Мр по ригелю разобьем на две фигуры:
треугольник (l = 9 м, h = 18 тс∙м) и площадь, ограниченную параболой (l = 9
м, h = 20,3 тс∙м).
Обозначения в скобках приняты согласно табл. 14;
Теперь можем найти значение силы Х1:
Возвращаемся к системе, показанной на рис. 7.6.,б, вводя теперь уже
известную силу X1= 3,31 кН.
Сила X1 в данном случае не вызывает вертикальных опорных реакций, так
как проходит через центры обоих опорных шарниров. Поэтому эти реакции
остаются такими же, как и при нагружении основной системы только
заданной, нагрузкой (для получения эпюры Мр), т.е. VA =7 кН, VB = 11 кН.
Значение же реакции НА изменится по сравнению со значением, полученным
от указанного нагружения:
102
откуда
Переходим к вычислению поперечных сил:
Стойка АС
QA =НА = 2,69 кН; QC=HA— qh= 2,69 — 1∙6 = — 3,31 кН
Ригель СD
Qc= VА = 7кН; QD=VA — q1l = 7 — 2∙9 = —11 кН.
Стойка ВD
QB=X1 = 3,31 кН;
QD= QB = 3,31 кН
Эпюра Q показана на рис. 123,д.
Определяем изгибающие моменты;
Стойка АС
Мх = НАх — qx²/2 = 2,69а: — 1∙x²/2= 2,69 x — 0,5 x 2;
при х = 0
МА =0;
при х = 3 м
Мх= 2,69∙3 — 0,5∙З2 = 3,57 кН∙м;
при х = 6 м
Мс = 2,69-6 —0,5-62 = —1,86 кН∙м.
Найдем расстояние х0 до сечения, в котором изгибающий момент имеет
максимальное значение. Приравняем для этого нулю поперечную силу в этом
сечении, выраженную через х0:
откуда xo = HA/q = 2,69/1 = 2,69 м.
Тогда
Мmax = 2,69∙2,69 — 0,5∙2,692 = 3,62 кН∙м.
Ригель СD
103
Найдем расстояние х'о до сечения с максимальным изгибающим моментом.
В этом сечении
Следовательно,
Стойка ВD
Эпюра М показана на рис. 7.6.,е.
Для проверки правильности ее построения вычислим горизонтальное
перемещение точки В (∆В(гор)), умножив площади этой эпюры на
соответствующие ординаты из эпюры М1. Если эпюра построена правильно,
то ∆В(гор) должно получиться равным нулю. Заменим эпюру М по стойке АС
двумя фигурами: треугольником (l =6м, h = 1,86 кН∙м) и площадью,
ограниченной параболой (l =6м; h = 3,57 + 1,86/2 = 4,5 кН∙м), а по ригелю —
трапецией и также площадью, ограниченной параболой (l = 9 м, h = 10,9 +
9,39 = 20,3 кН∙м). Разбивать трапецию на два треугольника или находить
точное положение ее центра тяжести нет необходимости, так как в эпюре М1
все ординаты по ригелю имеют одно и то же значение. Итак,
Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Вычисляем
продольные силы и строим эпюру N (рис. 7.6.,ж):
ТФС = — МФ = — 7 кН; ТСВ = — Х1 = — 3б31 кН ТИВ= —МИ = — 11 кН.
104
4. Вопросы для самопроверки
1. Какие системы называют статически неопределимыми?
2. Какое состояние называется грузовым и единичным?
3. Чему должно соответствовать число единичных состояний основной
системы.
4. Как обозначают единичные и грузовые перемещения?
5. Приведите пример обозначения главных и побочных перемещений
6. Запишите общий вид канонических уравнений метода сил
7. Дайте определение основной системы.
8. Перечислите способы построения основной системы.
9. Как выполняется проверка правильности построения окончательной
эпюры изгибающих моментов?
105