Дискретные экстремальные задачи (внешняя ссылка)

Программа курса
«Дискретные экстремальные задачи»
1.
Организационно-методический раздел.
1.1 Название курса.
Дискретные экстремальные задачи.
Направление - математика
Раздел - “специальные дисциплины” вузовской компоненты.
Семестр(ы) - 7,8
1.2 Цели и задачи курса.
Дисциплина “ Дискретные экстремальные задачи ” предназначена для студентов и
магистрантов механико-математического факультета.
Основной целью освоения дисциплины является овладение студентами современными
методами решения задач дискретной оптимизации. Курс отражает современное состояние
теории дискретных экстремальных задач; его актуальность обусловлена широкими
возможностями применения рассматриваемых методов при решении практических задач
из производственной и научно-технической сферы.
Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:
1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой
2) сдача экзамена в соответствии с учебным планом.
1.3 Требования к уровню освоения содержания курса.
По окончании изучения указанной дисциплины студент должен
- иметь представление о задачах дискретной оптимизации;
- знать основные методы решения дискретных оптимизационных задач;
- уметь использовать освоенные методы при проведении теоретических и прикладных
исследований.
1.4
Формы контроля
Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом
предусмотрен экзамен.
Текущий контроль. Не предусмотрен.
2
Содержание дисциплины.
2.1 Новизна.
Курс отражает современное состояние теории дискретных экстремальных задач; его
актуальность обусловлена широкими возможностями применения рассматриваемых
методов при решении практических задач из производственной и научно-технической
сферы.
2.2
Тематический план курса.
Наименование разделов и тем
Лекции
Экстремальные задачи на
графах
Задачи целочисленного
линейного
программирования
Полиномиальная сводимость
и NP-трудные задачи
Приближенные алгоритмы
Итого по курсу
2.3
Количество часов
Семинары Лабора- Самостоторные
ятельная
работы
работа
Всего
часов
34
34
8
8
18
18
8
68
8
68
Содержание отдельных разделов и тем.
Экстремальные задачи на графах.
Формулировки некоторых экстремальных задач на графах. Задача о минимальном
остове (кратчайшей связывающей сети). Алгоритмы Краскала и Прима. Динамическая
задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры. Прямо-двойственный метод. Алгоритм
Дейкстры с позиций прямо-двойственного метода.
Задача о назначениях: условия оптимальности, описание алгоритма. Алгоритм решения
задачи о назначениях с позиций прямо-двойственного метода.
Задача нахождения паросочетания максимального веса. Теорема Бержа. Подход к
решению задачи, основанный на теории
двойственности, формулировка
вспомогательной задачи, описание алгоритма ее решения и доказательство его
конечности.
Упрощения в алгоритме в случае единичных весов ребер.
Задачи китайского почтальона и покрытия графа ребрами; их сводимость к задаче
отыскания паросочетания максимального веса.
I.
II. Задачи целочисленного линейного программирования.
Идея методов отсечения. Схема построения отсечений (дополнительных ограничений)
в алгоритмах Гомори. LD-метод. Первый (циклический) алгоритм Гомори и
доказательство его конечности. Третий (полностью целочисленный алгоритм) Гомори.
Целочисленные многогранные
множества. Целочисленность многогранника
допустимых решений транспортной задачи.
III. Полиномиальная сводимость и NP-трудные задачи.
Алгоритмы и оценки временной сложности. Классы P и NP. Полиномиальная
сводимость. NP-полные и NP-трудные задачи. Теорема Кука.
NP-полнота задач: 3-ВЫПОЛНИМОСТЬ, 3-СОЧЕТАНИЕ, ВЕРШИННОЕ ПОКРЫТИЕ,
КЛИКА, НЕЗАВИСИМОЕ МНОЖЕСТВО, ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ, 0-1 РЮКЗАК,
РАЗБИЕНИЕ, МНОГОПРОЦЕССОРНОЕ РАСПИСАНИЕ.
IV. Приближенные алгоритмы.
Полиномиальные алгоритмы построения приближенных решений с оценками точности.
Приближенные алгоритмы с оценками для задачи коммивояжера и задачи k--центр.
Полиномиальные аппроксимационные схемы.
3
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1 Темы рефератов (курсовых работ).
Не предусмотрено.
3.2 Образцы вопросов для подготовки к экзамену.
а) Динамическая задача о кратчайшем пути; алгоритм Дейкстры.
б) Целочисленные многогранные множества (основная теорема).
в) NP-полнота задачи ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ.
3.3 Список основной и дополнительной литературы.
1. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Дискретные экстремальные задачи принятия решений. Новосибирск: НГУ, 1991.
2. "Исследования по дискретной оптимизации". - М.: Наука, 1976.
3. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. - М.: Наука, 1969.
4. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: Мир, 1974.
5. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - М.:
Мир, 1982.
6. Пападимитриу Х, Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и
сложность. --- М.: Мир, 1985.
7. Гимади Э.Х., Глебов Н.И., Перепелица В.А. Алгоритмы с оценками для задач
дискретной оптимизации. Сб."Проблемы кибернетики", вып.31. --- М.: Наука, 1975.
Для изучения дисциплин, которые предусматривают использование
нормативно-правовых актов, указывать источник опубликования.
Не предусмотрено.
3.4
Отв. проф. Глебов Н.И.
доц. Плясунов А.В.