Математические методы и модели принятия решений (link is

АННОТАЦИЯ
курса “Дискретные модели и методы принятия решений ”
Предлагаемая дисциплина “ Дискретные модели и методы принятия решений ”, с
одной стороны, направлена на изучение математических постановок целого ряда типовых
(массовых) моделей принятия целесообразных решений, имеющих дискретную
структуру. С другой стороны, чтение курса ориентировано на установление пределов
возможностей современных математических методов при построении алгоритмов
решения дискретных оптимизационных задач.
В связи с NP-трудностью многих задач дискретной оптимизации, большое внимание в
курсе уделено применению эффективных (полиномиально ограниченных) приближенных
алгоритмов с оценками их качества, и, в частности, асимптотически точному подходу к
их решению.
Несомненно, что сочетание прикладной направленности изучаемого спецкурса с
глубоким изучением теоретических аспектов, возникающих при построении реализуемых
алгоритмов решения задач принятия решений, окажется неоценимым для предприятий,
фирм, учреждений, в которых будут работать выпускники, проходящие данную
специализацию, после окончания ими Новосибирского университета.
Организационно-методический раздел.
1.1 Название курса.
«Дискретные модели и методы принятия решений»
Направление - математика
Раздел - общие математические и естественно-научные дисциплины
Семестры – 2 семестра, 72 часа
1.2 Цели и задачи курса.
Дисциплина предназначена для студентов старших курсов и магистрантов
механико-математического факультета Новосибирского государственного
университета, проходящих специализацию в области дискретной оптимизации и
исследования операций.
Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:
1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой
2) сдача экзамена в соответствии с учебным планом.
1.3
Требования к уровню освоения содержания курса.
По окончании изучения указанной дисциплины студент должен
- иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других наук;
- знать содержание программы курса, формулировки задач, условия применимости и
характеристики методов решения дискретных задач принятия решений;
- уметь определять применимость конкретных методов для решения различных классов
задач дискретной оптимизации и исследования операций.
1.4
Формы контроля
Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом
предусмотрен экзамен.
Текущий контроль. Фиксация посещаемости спецкурса.
2
Содержание дисциплины.
2.1 Новизна.
Дисциплина “ Дискретные модели и методы принятия решений ” построена с учетом
современных достижений и тенденций в области методов решения дискретных
оптимизационных задач и в исследовании операций.
2.2
Тематический план курса.
Наименование разделов и тем
Введение в дисциплину и основные понятия
Модели динамического программирования
Сетевые модели планирования и управления
Календарное планирования с ограниченными ресурсами
Задачи упаковки в контейнеры и в полосу
Задачи о потоке
Задачи маршрутизации на графах
Многоиндексные задачи о назначениях.
Выбор экстремальных подграфов и подмножеств векторов.
Задачи размещения и стандартизации.
Итого по курсу:
Лекции
3
5
3
3
3
2
6
3
4
4
36
Кол-во
часов
6
10
6
6
8
4
12
6
8
8
72
2.3 Содержание отдельных разделов и тем.
1. Ведение в дисциплину и основные понятия. Типовые модели принятия решений.
Понятие о сложности задач дискретной оптимизации. Классы NP, P, NPC. Алгоритмы и
оценки их качества. Приближенные алгоритмы для труднорешаемых задач.
2. Динамическое программирование (ДП). Вывод основных рекуррентных соотношений
ДП. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм ДП с одним прямым и одним
обратным ходом. Релаксационный алгоритм. Сравнение с полным перебором. Задача о
ранце. Связь прямой и обратной задач о ранце. Задача альтернативного выбора. Задачи
о «ближайшем соседе». Задача Вентцель о распределении ресурсов между отраслями.
Вычислительные трудности для многомерной задачи.
3. Сетевое планирование и управление. Представление проекта в виде сетевой модели
(СМ). Параметры и алгоритмы анализа СМ. Алгоритм обнаружения контуров и
вычисления рангов вершин СМ. Стохастическая СМ.
4. Задача календарного планирования с ограничениями на ресурсы и директивные
сроки. Полиномиальный точный алгоритм в случае складируемости
ограниченных
ресурсов.
5. Задачи упаковки в контейнеры и в полосу. Асимптотически точный подход к ее
решению.
6. Задачи о потоке максимальной мощности в сети и о потоке минимальной
стоимости.
7. Задачи маршрутизации. Задача коммивояжера (ЗК). Метод ветвей и границ.
Применение метода ветвей и границ к ЗК. Условия асимптотической точности
алгоритма «Иди в ближайший непройденный город» для ЗК на случайных входах.
Приближенные алгоритмы.
8. Многоиндексные задачи о назначениях (аксиальная и планарная).
9. Задачи выбора экстремальных подграфов и подмножеств векторов.
10. Задачи размещения и стандартизации. Полиномиально разрешимые случаи.
Приближенные полиномиальные алгоритмы. Применение метода ветвей и границ.
Асимптотически точный подход.
2.4 Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной
работы.
Смотри п.2.6
2.6 Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Образцы вопросов для подготовки к экзамену.
1. Алгоритмы и оценки их качества. Определение асимптотически точного
алгоритма. Примеры таких алгоритмов.
2. Основные рекуррентные соотношения динамического программирования (ДП)
для планирования деятельности предприятия на n хозяйственных лет. Трудоемкость
алгоритма ДП с одним прямым и одним обратным ходом.
3. Трудоемкость релаксационного алгоритма ДП. Сравнение ДП с полным
перебором. Трудности в случае многомерной задачи ДП.
4. Задача о ранце (ЗР). Алгоритмы в случае нелинейной и линейной ЗР.
5. Связь прямой и обратной ЗР. Рекуррентные соотношения и алгоритм решения
задачи альтернативного выбора проблем.
6. Задача о "ближайшем соседе" (ЗБС). Алгоритмы в случае фиксированного числа
интервалов обслуживания.
7. Алгоритмы решения ЗБС с оптимизируемым числом интервалов обслуживания.
8. Задача Вентцель динамического планирования многих отраслей и сведение ее к
задаче двумерного ДП.
9. Сетевое планирование и управление. Представление проекта в виде сетевой
модели (СМ). Ранг вершины, наиболее ранний и наиболее поздний моменты свершения
события, критическое время и критический путь, полный резерв работы. Необходимый
и достаточный признак критичности работы.
10. Алгоритмы вычисления рангов вершин и обнаружения контуров СМ.
11. Задача календарного планирования с ограничениями на ресурсы и директивные
сроки. Построение асимптотически точного алгоритма в случае складируемости
ограниченных ресурсов.
12. Метод ветвей и границ (МВГ). Утверждение о конечности и точности МВГ.
13. Задача коммивояжера (ЗК). Применение МВГ к ЗК.
14. Доказательство условий асимптотической точности алгоритма "Иди в
ближайший непройденный город" для ЗК на случайных входных данных.
15. Задачи отыскания нескольких реберно непересекающихся маршрутов
коммивояжера.
16. Задача отыскания регулярного подграфа в полном взвешенном графе.
17. Задача отыскания подмножества векторов с максимальной нормой суммы.
18. Постановки задач размещения и стандартизации.
19. Полиномиально разрешимые случаи для задачи размещения.
20. Приближенные методы решения задач размещения (стандартизации).
3
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1 Темы рефератов (курсовых работ).
Не предусмотрено.
3.2. Список основной и дополнительной литературы.
1. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Математические модели и методы принятия решений.
Новосибирск: НГУ, 2008. 144с.
2. Береснев В.Л., Гимади Э.Х., Дементьев В.Т. Экстремальные задачи
стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978. 333с.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М: Сов. радио, 1972.
4. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М:
Мир, 416c.
Дополнительная литература
1. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и
сложность. – М.: Мир, 1985.
2. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Экстремальные задачи принятия решений.
Новосибирск: НГУ, 1982. 80с.
3. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Дискретные экстремальные задачи принятия
решений. Новосибирск: НГУ, 1991. 76с.
4. Гончаров Е.Н., Ерзин А.И., Залюбовский В.В. Исследование операций. Примеры и
задачи: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005.
3.3 Для изучения дисциплин, которые предусматривают использование нормативноправовых актов, указывать источник опубликования.
Не предусмотрено.
Отв. проф. д.ф.-м.н. Гимади Э.Х.
Доц. Пяткин А.В.
Преп. Рыков И.А.