Самостоятельная работа для студентов 1 курса по дисциплине

Самостоятельная работа для студентов 1 курса по дисциплине
«Математика»
Тема: Определение радианной и градусной меры угла.
Решение упражнений на преобразование тригонометрических
выражений.
Часть 1.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое угол в 1 радиан?
б) Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
угла  .
в) Как зависят знаки sin  , cos  , tg , ctg от того, в какой
координатной четверти расположена точка P ? Назовите эти
знаки.
2.
Изучить условие заданий для практической работы.
Опорный чертеж
На рисунке совмещены декартова система координат и окружность
единичного радиуса. Окружность «эквивалентна» понятию координатной прямой
(начало отсчета – точка пересечения окружности с положительной частью осиОх,
положительное направление – против часовой стрелки, единичный отрезок
выражен через число  ). На окружности отмечены точки, полученные при
повороте радиуса окружности, совпадающего с положительной частью оси Ox, на
различные углы  . Абсциссы этих точек  cos  , ординаты  sin  . Дополнительно
проведены две касательные к окружности (линии тангенса и котангенса)
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: 18 0 ,  250 0 ;


б) в градусной мере:
,  .
15
3
2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения

sin  и cos  , если  равно .
3
3. Определите знак: sin  212 0  и ctg
4. Вычислите: а) 2 cos
7
.
9
3 1

 tg  sin ; б)
2 2
2
5
 cos 3
2
.
cos 8
sin 4  sin
Вариант 2.
1. Выразите величину угла: а) в радианной мере:  360 0 ; 225 0 ; б) в градусной
 3
мере: ;
.
18
2
2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения

sin  и cos  , если  равно  .
4
 6 
3. Определите знак: cos 3050 и tg    .
 5 
4. Вычислите: а) 2 sin

6
 3ctg

3

1
cos 2 ;
2
7
 sin 3
2
.
5

1  tg
 ctg
4
4
tg8  ctg
б)
Вариант 3.
1. Выразите величину угла: а) в радианной мере:  10 0 ; 240 0 ; б) в градусной

мере: ; 3 .
9
2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения
5
sin  и cos  , если  равно
.
2
3. Определите знак: cos 105 0  и ctg
 
4. Вычислите: а)  sin 
2

cos
11
.
9
 cos 2 
sin 1,5
; б) cos 420 0  sin 720 0  tg 405 0 .
Вариант 4.
1. Выразите величину угла: а) в радианной мере  60 0 , 1350 ; б) в градусной

11
мере , 
.
4
6
2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения

sin  и cos  , если  равно  .
6
3. Определите знак: sin  324 0  и tg
9
.
4
 
4. Вычислите: а)  tg 
 3
б)


tg

4

 
  tg 
 6
sin 
;


2 sin  765 0  cos  1140 0  tg585 0  3ctg  240 0

Вариант 5.
1. Выразите величину угла: а) в радианной мере 165 0 , 300 0 ;
2 13
б) в градусной мере ,
.
3
6
2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения
13
sin  и cos  , если  равно 
.
2
и tg 4 .
3. Определите знак: sin 217



4. Вычислите: а) sin  4 cos  2tg ; б)
0
6
3
4
13

7





 21 
cos 3   sin  
  ctg  
  tg 
.
2 
4 

 2 

Вариант 6.
1. Выразите величину угла: а) в радианной мере  315 0 , 405 0 ;
7 
б) в градусной мере , .
20
3
2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения
9
sin  и cos  , если  равно
.
4
5
3. Определите знак: cos и sin 1,2 .
6
4. Вычислите: а)
2 sin

 3tg

 5 cos
3
;
2
4
4
 11 
 5 
 5 
б) cos 5   ctg 
  sin  
  3ctg 
.
 2 
 2 
 4 
Часть 2.
Преобразование тригонометрических выражений
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
«Основные тригонометрические формулы»
Вставьте пропущенные выражения:
1. Основное тригонометрическое тождество sin 2   ...  ... выполняется при
любых значениях  .
2. Упростите выражения: а) 1  cos 2  ; б) 1  sin  1  sin  .
3. Следствием из основного тригонометрического тождества является формула,
выражающая sin  через cos  : sin   ... .
4. Найдите значение тригонометрической функции cos  , если известно, что
3

sin   , 0    .
5
2
5. Тангенсом угла  называется отношение ... угла  к его...: tg  ... .
6. Из определения тангенса и котангенса следует: tgctg  ... .
7. Соотношение между тангенсом и косинусом одного и того же угла
1  tg 2  ... , когда cos ... .
sin 
8. Формула tg 
не имеет смысла при   ... .
cos 
sin 
9. Преобразуйте выражения: а) tg cos  ; б)
; в) sin 2   sin 2  cos 2  .
tg
1  tg 4
cos 
1  sin 
10. Упростите: а)
; б) 2
.

1  sin 
cos 
tg   ctg 2
ctg
11. Докажите тождество:
 cos 2  .
tg  ctg
Формулы приведения
1. Знаки тригонометрических функций:
Y
y
II
I
II
I
x
0
0
III
IV
III
IV
знаки синуса
знаки тангенса
x
2. Четность и нечетность тригонометрических функций:
sin    ...;
cos    ...;
tg    ....
Вывод: четной функцией является ....
3. Найдите значения выражений: а) sin  30 0 ; б) cos 
 
 
 ; в) tg    .
 3
 4

3
  , 2   могут
4. Тригонометрические функции углов вида   ,    ,
2
2
быть выражены через функции угла  с помощью формул приведения:








sin      ... ; cos     ... ; tg      ... ;
ctg      ... ;
2

0
sin 180    ... ;

sin 360
0

    ... ;
 3

sin 
    ... ;
 2

2

2

2

0
0
cos 180    ... ; tg 180    ... ; ctg 180 0    ... ;

cos 360
0

    ... ;

tg 360
0

    ... ;

ctg 360

0

   ... ;
 3

 3

tg 
    ... ; ctg
    ... .
 2

 2

    

5. Вычислите: а) sin 2400 ; б) tg 300 0 ;
в) sin    tg   ;
6 2 4



     3   
 3       
г) sin    cos  tg    ; д) tg   sin    cos    .
6
6
2 4  2 4 
 2 6 2 3 
 3

cos
    ... ;
 2

Формулы двойного угла
1. sin 2  2....
2tg
2. tg 2 
.
...
sin 2
;
sin 
б) sin   cos  2 .
3. Упростите:
а)
4. Вычислите:
а) 2 sin 75 cos 75 ;
0
0
б) sin 15 cos15 ;
0
0
1  ctg 2 15 0
в)
.
2ctg15 0
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Дано: cos   0,6;

2
    . Найдите:
б) sin 2 ;
а) sin  ;
Вариант 2
1. Упростите выражение
Вариант 3
1. Дано: sin   0 ,8;
а) cos  ;

2


  .
4

в) tg 
2 sin     cos 
.


3  3
3  3
cos    sin 
    sin     cos 
 
 2

 2

    . Найдите:
б) sin 2 ;


  .
4


в) tg 
Вариант 4 *
 3

 3

cos
   sin 3      cos    sin 3 
 
 2

 2
.
1. Упростите выражение
2 sin  cos2   