Задачи из учебника "Александров, Вернер и Рыжик

Задачи из учебника "Александров, Вернер и Рыжик."
III.1
Треугольник ABC - равносторонний со стороной 1.
(AK) - прямая, перпендикулярная его плоскости. |AK|=1.
Вычислите:
а). расстояние от A до (BKC).
б). расстояние между (BK) и (AC).
в). угол между прямыми (KC) и (AB).
г). угол между (BK) и (AKC).
д). угол между (BKC) и (ABK).
III.2
В правильной пирамиде PABC точка K лежит на ребре PB;
|AB|=2; угол APB = фи; |BK| = x.
Выразите как функцию от x:
а). расстояние от точки B до плоскости (AKC).
б). расстояние между скрещивающимися прямыми (AK) и (BC).
в). угол между скрещивающимися прямыми (AK) и (BC).
г). угол между прямой (PB) и плоскостью (AKC).
д). угол между плоскостями (AKC) и (PBC).
III.3
В четырёхугольнике ABCO углы при вершинах A и С - прямые.
|AO| = |CO| = 2; |AB| = x.
Из точки O восстановлен перпендикуляр OP к плоскости (PABC).
|OP|=1.
Выразите как функцию от x:
а). расстояние от O до (PAB);
б). расстояние от B до (APC);
в). расстояние между (AC) и (PB);
г). расстояние между (AP) и (OC);
д). угол между (PB) и (OC);
е). угол между (PC) и (PAB);
ж). угол между (PBC) и (PAO);
III.4
Из вершины B ромба ABCD восстановлен перпендикуляр BK
к плоскости ромба, т.е. к плоскости (ABCD).
Пусть сторона ромба равна d, острый угол при вершине
равен фи, а длина перпендикуляра BK равна x.
Найдите как функцию от x:
а). расстояние от точки A до плоскости (KCD);
б). расстояние между скрещивающимися прямыми (AK) и (BD);
в). угол между скрещивающимися прямыми (AK) и (BD);
г). угол между прямой (CK) и плоскостью (AKD);
д). угол между плоскостями (AKD) и (CKD).
III.5
Пусть ABCDA1B1C1D1 - куб с ребром 1.
Вычислите:
а). расстояние от точки A до плоскости треугольника BC1D;
б). расстояние между скрещивающимися прямыми (A1C) и (AD).
в). угол между (AK1) и (DK2), где точки K1 и K2 середины рёбер A1B1 и BC;
г). угол между прямой (CK3) и плоскостью (AK1K2),
где K3 - середина ребра C1D1;
д). угол между плоскостями (A1CC1) и (K1K2K3).
III.6
Концы отрезка лежат на гранях
двугранного угла величиной фи.
а). есть ли связь между длинами проекций отрезка на плоскости граней
и длиной прекции отрезка на ребро двугранного угла?
б). Верно ли утверждение:
"Концы отрезка равноудалены от плоскостей граней
тогда и только тогда, когда
отрезок образует с гранями разные углы."
в). Пусть известны длина отрезка и расстояние от его концов
до плоскостей граней. Можно ли найти расстояние между
скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит этот отрезок,
а другая - ребро двугранного угла?
Можно ли найти угол между этими скрещивающимися прямыми?
г). Пусть некоторая точка делит этот отрезок в заданном
отношении. При выполнении условий пункта в). можно ли найти
расстояние от этой точки до граней двугранного угла?
До ребра двугранного угла?