Угол между прямыми Любые две пересекающиеся прямые

Угол между прямыми
Любые две пересекающиеся прямые расположены в одной плоскости и образуют две пары
смежных углов. Меньший из этих углов
называется углом между пересекающимися
прямыми (рис. 38).
Пусть теперь а и b - две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку A на
прямой
и через нее проведем прямую b1 параллельно прямой b. Угол
между
прямыми а и b1 называется углом между скрещивающимися прямыми a н b (рис. 38).
Это определение корректно потому, что полученный угол не зависит от положения взятой
точки A на прямой. B самом деле, если на прямой a брать другую точку A1 и через нее
пронести прямую b2|| b, то получим угол
как углы с взаимно параллельными сторонами.
Тот же угол
получим в случае:
1) если через произвольную точку В прямой b провести прямую a1|| a (рис. 38):
2) если через любую точку M пространства провести две прямые a'|| a и b'|| b. Угол между
а' и b' можно также принять за угол между прямыми a и b (рис. 38).
При решении задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми
удобно пользоваться таким алгоритмом:
1. Провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так,
чтобы она пересекала вторую прямую. Мы получим пересекающиеся прямые, угол
между которыми равен углу между исходными скрещивающимися. 2. Найти
треугольник, в котором этот угол будет внутренним углом.
3. С помощью данных задачи найти тригонометрическую функцию этого
внутреннего угол или сам угол.
Рассмотрим этот алгоритм подробнее на примере решения задач.
1. В правильной шестиугольной призме
найти косинус угла между прямыми
, все ребра которой равны 1,
и
Проведем прямую
Угол
равен углу между прямыми
:
параллельно прямой
и
:
, так как эти углы имеют
параллельные стороны.
Чтобы найти косинус угла
, рассмотрим треугольник
:
Найдем длины сторон этого треугольника. Для этого
вспомним, чему равны элементы правильного шестугольника все стороны которого
равны 1.
,
(из треугольника
(как диагональ квадрата
)
)
– диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника со
сторонами, равными 1.
Мы получили равнобедренный треугольник
:
Ответ:
В некоторых задачах чтобы найти угол треугольника, нужно воспользоваться
теоремой косинусов: