МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (1 СЕМЕСТР)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Российский химико-технологический университет
им. Д. И. Менделеева
Дифференциальное
и интегральное исчисление функции
одной переменной
Утверждено Редакционным советом
университета в качестве учебного пособия
Москва
2012
УДК 517 (075)
ББК 22.161.1
Д50
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева,
В. В. Осипчик
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического
университета им. Д. И. Менделеева
Л. С. Гордеев
Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильнодорожного государственного технического университета (МАДИ)
С. А. Изотова
Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
Д50
переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,
М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,
М. Ф. Рушайло. М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева,
2012. – 108 с.
ISBN 978-5-7237-0993-5
Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому
анализу, читаемых кафедрой высшей математики.
Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа:
дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное
исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору
примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других
дисциплин.
Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей
РХТУ им. Д. И. Менделеева.
УДК 517 (075)
ББК 22.161.1
ISBN 978-5-7237-0993-5
© Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2012
2
Оглавление
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ................................................................................................... 6
§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .......... 6
1. Определение функции одной переменной ............................................... 6
2. Способы задания функции......................................................................... 6
3. Сложная и обратная функции ................................................................... 7
4. Элементарные функции ............................................................................. 8
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .................................................................................. 9
1. Предел функции в конечной точке x0 ....................................................... 9
2. Односторонние пределы .......................................................................... 10
3. Предел функции на бесконечности ........................................................ 11
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ............................. 12
5. Основные теоремы о конечных пределах .............................................. 13
6. Первый замечательный предел ............................................................... 16
7. Второй замечательный предел ................................................................ 17
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ............................................................. 18
1. Непрерывность функции в точке и на промежутке .............................. 18
2. Точки разрыва функции и их классификация ....................................... 19
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .... 21
1. Определение производной, её геометрический и механический смысл
........................................................................................................... …….21
2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций .. 24
3. Таблица производных основных элементарных функций ................... 25
4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с
существованием производной и непрерывностью функции ............... 26
5. Правила дифференцирования.................................................................. 28
6. Дифференцирование функции, заданной неявно .................................. 31
7. Производные показательной и степенной функций ............................. 31
3
8. Производные обратных тригонометрических функций ....................... 33
9. Дифференциал функции .......................................................................... 34
10. Производные и дифференциалы высших порядков ............................ 37
§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37
1. Теорема Ролля ........................................................................................... 38
2. Теорема Лагранжа .................................................................................... 40
3. Теорема Коши ........................................................................................... 41
4. Правило Лопиталя .................................................................................... 42
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ ..................................... 44
1. Асимптоты плоской кривой .................................................................... 44
2. Монотонность функции ........................................................................... 46
3. Экстремумы функции............................................................................... 47
4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции ............. 50
5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .................. 53
6. Схема исследования функции. Построение графика ............................ 53
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ................................................................................................. 57
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ......................................................... 57
1. Первообразная функция и её свойства ................................................... 57
2. Понятие неопределённого интеграла ..................................................... 59
3. Свойства неопределённого интеграла .................................................... 59
4. Таблица основных неопределённых интегралов................................... 60
§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ............................................................. 61
1. Непосредственное интегрирование ........................................................ 61
2. Интегрирование подстановкой................................................................ 64
3. Интегрирование по частям ...................................................................... 66
4. Интегрирование рациональных дробей ................................................. 70
5. Интегрирование тригонометрических выражений ............................... 77
6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений ....... 82
4
§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................................................. 86
1. Задача, приводящая к определённому интегралу ................................. 86
2. Свойства определённого интеграла ........................................................ 89
3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница
............................................................................................................ …....91
4. Методы интегрирования определённого интеграла ............................. 94
5. Приложения определённого интеграла .................................................. 99
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ...................................................... 101
1. Интегралы с бесконечными пределами................................................ 102
2. Интегралы от разрывных функций ....................................................... 103
5
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из
множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из
множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с
областью определения X = D(f) и областью изменения
Y = E(f). При этом x
считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой
переменной или функцией.
Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента
x = x0 называют y0 = f(x0).
Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)) на
плоскости Oxy, где x  D(f) и f(x)  E(f).
2. Способы задания функции
1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.
Различают несколько способов аналитического задания функции:
а) Функция задана явно формулой y = f(x).
x2  2
Например: y 
, где D(y) = (– ∞;1)  (1;+∞).
x 1
б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.
2
2
2
Например: x  y  r – уравнение окружности с центром в начале координат
и радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две
функции:
y  r 2  x2 и y   r 2  x2 ,
которые имеют область определения D( y )   r ; r  , а области значений этих
функций будут: для первой – 0; r  , для второй –  r;0.
6
в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём
и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:
Например:
можно
задать
 x  x(t )

 y  y (t )
окружность
x2  y2  r 2
с
помощью
параметрических уравнений:
 x  r cos t

 y  r sin t
2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают
функции y = sin x, y = cos x и др.
3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её
аргумента задаётся графически.
3. Сложная и обратная функции
Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а
функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g)  D(f).
Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией
от функции, или суперпозицией функций f и g ).
Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно
отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).
Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому
y  E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно
равенство y = f(x).
Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же
кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а
зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
7
4. Элементарные функции
Основные элементарные функции:
y = const (постоянная функция), D(y) = R; E(y) = c.
y  kx  b (линейная функция), D(y) = R; E(y) = R.
α
y = x (степенная функция), α R, E(y), D(y) зависят от α.
x
y = a (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).
y = log a x (логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), E(y) = R.
Тригонометрические функции:
y = sin x, D(y) = R, E(y) =  1;1 .
y = cos x, D(y) = R, E(y) =  1;1 .
y = tg x, D(y) =
π
π
 ( 2  πn, 2  πn) , E(y) = R.
nZ
y = ctg x, D(y) =
 (πn, π  πn) , E(y) = R.
nZ
Обратные тригонометрические функции:
π π
y = arcsin x, D(y) =  1;1 , E(y) =  ;  .
 2 2
y = arccos x, D(y) =  1;1 , E(y) = 0; π.
π π
y = arctg x, D(y) = R, E(y) =   ;  .
 2 2
y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = 0; π .
Элементарной функцией называется функция, составленная из основных
элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и суперпозиции.
2
Например: y  log 2 (sin x  cos x  3) – элементарная функция.
Графики обратных тригонометрических функций:
8
y = arcsin x
y = arccos x
Рис. 2
Рис. 1
y = arctg x
y = arcctg x
Рис. 3
Рис. 4
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1. Предел функции в конечной точке x0
Определение 1. Окрестностью точки
содержащий точку x0:
9
x0 называется любой интервал,
x  (a; b) .
Определение 2. -Окрестностью точки x0 называется интервал ( x0  δ ; x0  δ ),
длина которого 2, симметричный относительно x0:
x  ( x0  δ; x0  δ)  x  x0  δ.
Определение 3. Проколотой -окрестностью точки x0 называется -окрестность
точки x0 без самой точки x0:
x  ( x0  δ; x0 )  ( x0 ; x0  δ)  0  x  x0  δ.
Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x  x0, если для
любого малого числа ε > 0 существует такое малое число δ  δ(ε)  0 , что для
любого x, принадлежащего D(f) и проколотой
δ-окрестности точки x0, т.е.
0  x  x0  δ , выполняется неравенство: f ( x)  A  ε .
Итак: lim f ( x)  A  ε  0 δ  δ(ε)  0 : x  D( f ) и
x x
0
0  x  x0  δ  f ( x )  A  ε .
2. Односторонние пределы
Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x)
в точке x0, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число
δ  δ(ε)  0 – такое, что для всех x  D( f ) и лежащих в правой (левой)
10
окрестности
точки
x0 ,
т.е.
x0  x  x0  δ ( x0  δ  x  x0 ) ,
справедливо
неравенство: f ( x)  A  ε .
При этом используют следующие обозначения:
lim f ( x)  f ( x0  0) – для правого предела.
x x0 0
lim f ( x)  f ( x0  0) – для левого предела.
x x0 0
Замечание
1.
Если
имеет
f(x)
в
точке
x0 ,
предел
равный
А,
то
существуют f ( x0  0) и f ( x0  0) и справедливо равенство:
f ( x0  0)  f ( x0  0)  A. .
Замечание 2. Если f(x) имеет в точке x0 правый f ( x0  0) и левый f ( x0  0)
пределы, равные между собой, то в точке x0 функция f(x) имеет предел, равный
числу:
A  f ( x0  0)  f ( x0  0) .
Замечание 3. Если f(x) имеет в точке x0 правый f ( x0  0) и левый f ( x0  0)
пределы, но они не равны между собой, то в точке x0 функция f(x) не имеет
предела.
3. Предел функции на бесконечности
Определение 6. Окрестностью бесконечно удалённой точки называют
множество значений x, удовлетворяющих неравенству x  N , где N достаточно
большое положительное число.
Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при x   , если для
любого малого числа ε > 0 существует другое большое число N  N (ε)  0
такое,
что
для
любого
x  D( f ),
удовлетворяющего
x  N , выполняется неравенство f ( x)  A   . Этот факт
f ( x)  A .
записывают: lim
x 
11
–
неравенству
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 8. Функция (x) называется бесконечно малой при x  x0 или в
точке x 0 , если предел (x) при x x 0 равен нулю: lim α( x)  0 .
x  x0
Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x 0 , если
предел f(x) при x  x0 равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно
большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для
любого x  D( f ), удовлетворяющего неравенству 0  x  x0  δ , выполняется
неравенство f(x) > M.
Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором
множестве X  D(f), если существует такое число M > 0, что для любого
xX
выполняется неравенство f(x) < M.
Основные свойства бесконечно малых функций
1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке
x0
есть
бесконечно
α1 ( x), α 2 ( x),...,α n ( x)
малая
–
функция
бесконечно
в
малые
этой
точке
функции
в
x0 ,
т.е.
точке
x0 ,
если
то
α1 ( x)  α 2 ( x)  ...  α n ( x) – бесконечно малая функция в этой точке x 0 .
2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке x 0 есть
бесконечно малая функция в точке x 0 , т.е. если α1 ( x), α 2 ( x),...,α n ( x) –
бесконечно малые функции в точке x 0 , то α1 ( x)  α 2 ( x)  ...  α n ( x) – бесконечно
малая функция в этой точке x 0 .
3) Произведение бесконечно малой функции в точке x 0 на ограниченную
функцию в некоторой окрестности точки x 0 есть бесконечно малая функция в
точке x 0 , т. е. если
α(x) бесконечно малая функция в точке x 0 и f(x)
ограниченная в некоторой окрестности точки x 0 , то α(x)f(x) – бесконечно
малая функция в точке x 0 .
12
Следствие из свойства 3). Произведение постоянной c на бесконечно малую
функцию α(x) в точке x 0 есть бесконечно малая функция в точке x 0 , т.е. если
α(x) – бесконечно малая функция в точке x 0 , то сα(x) – бесконечно малая
функция в точке x0.
Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x0 и бесконечно
большой функцией в точке x0)
Если функция f(x) является бесконечно большой в точке x 0 , то функция
α( x ) 
1
является бесконечно малой в точке x 0 . (Верно и обратное
f ( x)
утверждение)
5. Основные теоремы о конечных пределах
Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке x0 тогда и только
тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+(x), где (x) – бесконечно малая
функция в точке x 0 .
Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в
точке и определения бесконечно малой функции в точке.
Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в
точке x 0 , то существует конечный предел суммы этих функций в точке x 0 ,
равный сумме пределов этих функций.
Доказательство: Пусть lim f ( x)  A , тогда по теореме 1
x  x0
f(x) = А+(x), где
(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Пусть lim g ( x)  B , тогда по
x  x0
теореме 1g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x0.
Рассмотрим сумму этих функций:
f(x) + g(x) = A + (x) + B + β(x) = (A+B) + (x) + β(x).
Обозначим
γ(x) = (x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x0 (по
свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).
13
По теореме 1: lim ( f ( x)  g ( x))  A  B  lim f ( x)  lim g ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
Теорема доказана.
Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в
точке x 0 , то существует предел произведения этих функций в точке x 0 , равный
произведению пределов этих функций.
Доказательство: Пусть lim f ( x)  A , тогда по теореме 1: f(x) = А+(x), где
x  x0
(x) – бесконечно малая функция в точке x 0 . Пусть lim g ( x)  B , тогда по
x  x0
теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x 0 .
Рассмотрим произведение этих функций:
f(x)  g(x) = (А +(x))(B + β(x)) = AB + B(x) + Aβ(x) + (x) β(x).
Обозначим: B(x) + Aβ(x) + (x) β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая
функция в точке x 0 (по свойствам бесконечно малых функций). Получим:
f(x)g(x) = AB + γ(x).
По теореме 1: lim ( f ( x)  g ( x))  A  B  lim f ( x)  lim g ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
Теорема доказана.
Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём
lim g ( x)  0 , то существует предел частного этих функций
x  x0
f ( x)
в точке x 0 ,
g ( x)
равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует
и существует
lim g ( x)  B ,
x  x0
lim f ( x)  A
x  x0
B ≠ 0, то существует
lim f ( x)
f ( x) A x  x 0
(доказать самостоятельно).
lim
 
x  x 0 g ( x)
B lim g ( x)
x  x0
Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные
пределы функций f(x) и g(x) в точке x 0 :
14
lim f ( x)  lim g ( x)  A
x x0
x x0
и при стремлении x к x0 выполняется неравенство:
f (x)  φ(x)  g (x)
то существует lim φ(x), равный А.
x x0
Доказательство: Возьмем любое  > 0. Вычитая из всех частей двойного
неравенства, данного в условии, число A, получим
f ( x)  A  φ(x)  A  g ( x)  A
()
Так как
A  lim f ( x) ,
x  x0
то найдётся такое 1, что для всех x  x0, удовлетворяющих условию
x  x0  δ1 ,
будет верно неравенство
f ( x)  A  ε ,
или, что то же,
 ε  f ( x)  A  ε
()
Аналогично для функции g(x) найдётся такое 2, что для всех x  x0,
удовлетворяющих условию
x  x0  δ 2 ,
будет верно неравенство
 ε  g ( x)  A  ε .
()
Из неравенств, отмеченных (), следует, что
 ε  φ(x)  A  ε ,
или, что то же самое
|φ(x)  A  ε
для всех x  x0, удовлетворяющих условию x  x0  δ , где  – меньшее из 1 и
2. Это означает, что
15
A  lim φ(x).
x x0
Теорема доказана.
6. Первый замечательный предел
Теорема 6. Предел функции f ( x) 
sin x
в точке x  0 существует и равен 1,
x
sin x
 1.
x 0 x
т.е. lim
Доказательство:
1) Пусть угол x > 0 (x  0 ). Площади S OAB , S сектOAC и S ODC соотносятся:
S OAB  S сектOAC  S ODC
S OAB 
(1)
OB  AB R 2 sin x cos x
R2 x
OC  CD R 2 tgx
; S сектOAC 
; S ODC 
,


2
2
2
2
2
где угол х в радианах.
Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:
R 2 sin x cos x R 2 x R 2 tgx R 2


|:
,
2
2
2
2
sin x cos x  x  tgx : sin x  0 ,
cos x 
x
1

sin x cos x
16
Так как все части двойного неравенства положительные, выражение
можно переписать так:
cos x 
sin x
1

x
cos x
1
1

 1 то по теореме 5:
x  0 cos x
cos 0
Так как lim cos x  cos0  1, lim
x 0
sin x
1.
x  0 x
lim
2) Пусть x < 0 (x  0 )
sin x замена 
sin( t )
sin t


lim

lim
 1 (по доказанному в первом
 t  0  t
x  0 x
t


0

x

t
t


lim
случае). Следовательно,
sin x
1.
x  0 x
lim
Теорема доказана.
7. Второй замечательный предел
x
 1
Теорема 7. Предел функции f ( x)  1   при x   существует и равен числу
x

e, т.е.
x
 1
lim 1    e .
x  
x

Замечание. Число e является пределом последовательности 1 

1

n
n

 , причем

это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической
десятичной дробью:
e
=
2,7182818284590…
. Более того, число e
трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми
коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в
частности, является основанием натурального логарифма. Показательная
функция с основанием e: y  e x , называется экспонентой.
17
Модификация второго замечательного предела
1
x
замена 
 1
  lim (1  t ) t  e,
lim 1     1
x  
x
  t  t 
x

т.е.
lim (1 
x 0
1
x) x
 e.
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Непрерывность функции в точке и на промежутке
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0D(f), если она
определена в некоторой окрестности точки x0 и предел f(x) в точке x0 равен
значению функции в этой точке, т.е.
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Замечание. Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в
точке её непрерывности:
lim f ( x)  f ( lim x)  f ( x0 ),
x  x0
x  x0
т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой
точке.
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0D(f), если
она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому
приращению
аргумента
x  x  x0
соответствует
бесконечно
малое
приращение функции f  f ( x0  x)  f ( x0 ) , т.е. lim f  0 .
x  0
Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0D(f), если
она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и
левый предел f(x) в точке x0 , причём они равны между собой и равны значению
функции в этой точке, т.е.
18
а)
б)
lim
f ( x)  A ;
lim
f ( x)  B ;
x  x0  0
x  x0  0
в) A  B  f ( x0 ) .
Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она
непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Теоремы о непрерывных функциях
Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции сf(x)
f ( x)
(c=const), f(x)  g(x), f(x)g(x) и
(если g(x)  0) также непрерывны в точке
g ( x)
x0.
Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x0 и функция y = f(u)
непрерывна в точке u0 = u(x0), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в
точке x0.
Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области
их определения.
2. Точки разрыва функции и их классификация
Определение 5. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой
точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы
одно из условий определения 3 непрерывности f(x).
Определение 6. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x),
если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x0 либо не
определена, либо имеет значение f(x0), не совпадающее с найденным пределом:
f(x0 – 0) = f(x0 + 0)  f(x0).
Определение 7. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x)
(разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не
равные между собой правый и левый пределы, т.е.
f(x0 – 0)  f(x0 + 0).
19
Определение 8. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции
f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних
пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.
πx


cos , если x  1
1. f ( x)  
2

1  x , если x  1 
f ( x)   x  1 , на промежутке (–1;1)
Решение. На промежутке (–∞; –1)
f ( x)  cos
πx
и на промежутке (1;+∞) f ( x)  x  1.
2
На этих промежутках элементарная функция f(x) непрерывна при всех x,
принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в
точках x = –1 и x = 1.
1)
lim
x  1 0
f ( x)  lim ( x  1)  2
x  1
πx
π
 cos( )  0
x  1 0
x  1
2
2
Получили, что f(–1–0)  f(–1+0)  x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.
2)
lim
f ( x)  lim cos
3) lim f ( x)  lim cos
x 1 0
x 1
πx
π
 cos( )  0
2
2
4) lim f ( x)  lim ( x  1)  0
x1 0
x1
Получили, что f(1 – 0) = f(1 + 0)  f(1) = 0 = x = 1 – точка непрерывности
функции f(x).
Ответ: f(x) непрерывна на промежутках (–∞;–1) и на (–1;+∞), точка x = –1 –
точка разрыва функции f(x) I рода.
1
x
Решение. На промежутках (–∞;0) и на (0;+∞) функция f(x) непрерывна.
2. f(x) =
Исследуем точку x = 0  D(f).
f ( x)  lim
1) xlim
 0
x  0
1
 
x
20
f ( x)  lim
2) xlim
 0
x  0
1
   x = 0 – точка разрыва функции f(x) II рода.
x
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Определение производной, её геометрический и механический
смысл
Пусть дана функция y  f (x) , определённая на множестве D(f). Рассмотрим
точку xD(f) и некоторое число x – такое, чтобы точка x+xD(f). Это число
x называется приращением аргумента x.
Определение 1. Приращением функции y  f (x) называется разность f(x+x) –
f(x). Приращение функции y  f (x) обозначают y, т.е. y = f(x+x) – f(x).
Определение 2. Производной функции y  f (x) называется предел отношения
приращения функции y к приращению аргумента x, если приращение
аргумента x стремится к нулю и этот предел существует. Производную
функции y  f (x) обозначают: y' или
dy
. Поэтому можно записать:
dx
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
.
x  0 x
x  0
x
y'  lim
Пример. Исходя из определения найти производную функции у =
1
.
x
Решение.
y= f(x+ x) – f(x) =
=
1
1 x  ( x  x) x  x  x
 x
 x
 


 y 
.
x  x x
x( x  x)
x( x  x) x( x  x)
x( x  x)
y
 x
1
1
1
 lim
 lim 2
 2
 2 .
x  0 x
x  0 x ( x  x )  x
x 0 x  x  x
x  x0
x
y '  lim

1
1
Ответ:     2 .
x
 x
21
Механический смысл производной
Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),
тогда S = S(t+t) – S(t) – расстояние, пройденное за время t и средняя
скорость движения:
Vср 
ΔS
.
Δt
Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел
Vср при t  0:
V(t) = lim
t 0
S
 S ' (t ) .
t
Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в
момент времени t :
S ' (t )  V (t ) .
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М0
(рис. 5).
Точка
M0(x0;y(x0))
–
фиксированная
точка
графика
y  f (x) .
Точка
M(x0+x; y(x0+x)) при различных значениях x – любая точка на графике.
Если точка M приближается к точке M0 (при этом x  0), то секущая линия
M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к
линии y = f(x) в точке M0.
22
Рис. 5
Рассмотрим треугольник M0MA: tg  =
MA
y

,  – угол наклона секущей
M 0 A x
M0 M к оси Ox.
Перейдем к пределу при x 0:
lim
x  0
(M M 0 )
y
 y' ( x0 )  tg α ,
x0 x
tg  = lim
где α – угол наклона касательной к оси Ox.
Таким образом,
y' (x0) = tg α  частное значение производной функции
y  f (x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к
линии y = f(x)
проходящей
в точке M0(x0; y(x0)). Тогда, используя уравнение прямой,
через
заданную
точку
M0(x0;y0)
с
известным
угловым
коэффициентом Kкас = y'(x0), можно записать уравнение касательной к линии
y = f(x) в точке M0(x0; f(x0)):
y = f(x0) + f ' (x0)  (x – x0).
Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной
касательной и проходящей через точку касания M0(x0;f(x0)):
23
y = f(x0) –
1
( x  x0 ) ,
f ' ( x0 )
используя условие перпендикулярности прямых: K норм  
1
1

.
K кас
f ' ( x0 )
2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
1) (sin x)  cos x
Вывод: y  sin x ; y  sin( x  x)  sin x  2 sin
 2 sin
y
 lim
x  0 x
x  0
(sin x)'  lim
 lim
x  0
2 sin
x  x  x
x  x  x
 cos

2
2
x
2 x  x
 cos
2
2
x
2 x  x
x
 cos
sin
2
2
2  cos x  x  
 lim
x  0 x
x
2 

2
x
2  lim cos x  x   1  cos x  cos x.
x x  0 
2 
2
sin
2) (cos x)   sin x ;
Вывод: y  cos x ; y  cos(x  x)  cos x 
 2 sin
x  x  x
x  x  x
x
 2 x  x 
 sin
 2 sin
 sin 

2
2
2
 2 
 2 sin
(cos x)'  lim
x0
3) (log a x)' 
x
 2 x  x 
x
 sin 

 sin
2
 2   lim
2  lim sin  x  x  
x0
x0
x
x
2 

2
 1  sin x   sin x.
1
x ln a
Вывод: y  log a x ; y  log a ( x  x)  log a x  log a
24
x  x
 x 
 log a 1 

x
x 

 x 
log a 1 

y
1
x 
 x 

(log a x)'  lim
 lim
 lim
 log a 1 

x  0 x
x  0
x  0 x
x
x 

1
1 

1


x

x
1
1

x




 x
 lim log a 1 
  log a  lim 1 
   log a e x  log a e 
x  0
x 
x  
x
x ln a

 x  0


(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).
4) (ln x ) 
1
x
Вывод: так как ln x = log e x, то, используя производную, для (log a x), можно
записать:
(ln x)  (log e x) 
1
1
 .
x  ln e x
5) (c)' = 0
Вывод: y = c, y = y(x+x) – y(x) = c – c = 0  (c)'  lim
x 0
y
0
 lim
 0.
x x  0 x
Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил
дифференцирования.
3. Таблица производных основных элементарных функций
1. (c)' = 0
2. (x)' = x – 1
3. (ax)' = axln a, (a > 0, a ≠ 1)
4. (ex)' = ex
5. (loga x)' =
6. (ln x)' =
1
, (a > 0; a ≠ 1)
x ln a
1
x
7. (sin x)' =cos x
8. (cos x)' = – sin x
25
9. (tg x)' =
1
cos 2 x
1
sin 2 x
10.(ctg x)' = –
11.(arcsin x)' =
1
1  x2
12.(arccos x)' = –
13.(arctg x)' =
1
1  x2
1
1  x2
14.(arcctg x)' = 
1
1 x2
4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с
существованием производной и непрерывностью функции
Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xD(f),
если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой
точке можно представить в виде:
x = Ax + α (x)x,
где A = A(x) – не зависит от x; α (x) – бесконечно малая величина при x0,
т.е. lim α(x)  0.
x 0
Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)
Функция y = f(x) дифференцируема в точке xD(f) тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.
Доказательство.
1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х.
Доказать: A = f '(x).
Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению
y = A  x + α (x)  x,
где α (x)  0 при x  0.
26
Разделим это равенство на x ≠ 0:
y
 A  α(x). .
x
Перейдём к пределу при x  0:
y
y
y
существует, а значит
 lim A  lim α(x)  lim
 A  0  lim
x  0 x
x  0
x  0
x  0 x
x  0 x
lim
f '(x) = A.
Необходимость доказана.
2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует
Доказать: f(x) дифференцируема.
Так как существует f '(x)= lim
x0
y
, то по свойству предела можно записать:
x
y
 f ' ( x)  α(x) ,
x
где α (x)  0 при  x 0.
Умножим это равенство на x:
y  f' ( x)  x  α(x)  x  функция y = f(x), дифференцируема в точке х.
Достаточность доказана.
Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)
Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xD(f), то она непрерывна в
этой точке.
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её
приращение в этой точке можно представить в виде:
y = A  x + α (x)  x,
где A = f '(x) и α (x)  0 при x  0.
Найдём предел от y при x  0:
lim y  lim ( A  x   (x)  x)  lim A  x  lim  (x)  lim x 
x  0
x  0
x  0
 A  0  0  0  0  lim y  0.
x  0
27
x  0
x  0
Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке
функция y = f(x) непрерывна в точке x.
Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.
5. Правила дифференцирования
Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция
U(x)  V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по
формуле:
(U(x)  V(x))' = (U(x))'  (V(x))'.
Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x)  V(x).
Тогда y = U  V. Разделим на x и перейдём к пределу при x  0:
y U V
y
U V
U
V


 lim
 lim (

)  lim
 lim
 U ( x)  V ( x),
x0 x x0 x
x x x
x x0 x x0 x
так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.
Значит, (U(x)  V(x))' = U '(x)  V '(x).
Теорема доказана.
Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция
(U(x)V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по
формуле:
(U(x)  V(x))' = (U(x))' V(x) + U(x)  (V(x))'.
Доказательство. Рассмотрим функцию y  U ( x)  V ( x) . Найдём её приращение
y = (U+U)(V+V) – UV = UV + UV + VU + UV – UV=
= UV + VU + UV.
Разделим y на x и перейдем к пределу при x  0:
y
V
U U
y
V
U U
U 
V 

 V  lim
 lim (U 
V 

 V ) 
x0 x x0
x
x
x x
x
x x
V
U
U
 V  lim
 lim
 lim V  U  V ' ( x)  V  U ' ( x)  U ' ( x)  0 
x0 x
x0 x
x0 x x0
 U  lim
 U  V ' ( x)  V  U ' ( x),
28
так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит
V
U
 V ' ( x) и lim V  0 .
 U ' ( x) , lim
x  0 x
x  0 x
x  0
lim
Следовательно,
(U(x) V(x))' = U ' (x)  V(x) + U(x)  V ' (x).
Теорема доказана.
Следствия:
а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция
(U(x)V(x) W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по
формуле:
(UVW)' = U 'VW + UV 'W + UVW '.
б) Производная
постоянной, умноженной на дифференцируемую
функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:
(CU(x))' = CU ' (x).
Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то
функция
U ( x)
дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по
V ( x)
формуле:
'
 U ( x)  U' ( x)V ( x)  U ( x)  V ( x)

 
.
V 2 ( x)
 V ( x) 
Доказательство. Рассмотрим функцию y 
y 
U ( x)
. Найдём её приращение
V ( x)
U  U U V (U  U )  U (V  V ) UV  V  U  UV  U  V
 


V  V V
V (V  V )
V (V  V )

V  U  U  V
V 2  VV
Разделим y на x и перейдём к пределу при x  0:
29
y V  U  U  V


x (V 2  VV )  x
y
 lim
x0 x
x0
U
V
U 
x
x
,
2
V  V  V
V
U 
 U
U
V
lim V 
U 

U 
x
x 
x
x  x0

2
2
V  V  V
lim (V  V  V )
V
lim
x0
U
V
 U  lim
V  U ' ( x)  U  V ' ( x) V  U ' ( x)  U  V ' ( x)
x0 x
x0 x



.
lim V 2  lim V  lim V
V 2 V 0
V2
V  lim
x0
x0
x0
Значит,
'
 U ( x)  U' ( x)V ( x)  U ( x)  V ( x)

 
.
V 2 ( x)
 V ( x) 
Теорема доказана.
Теорема
6
(производная
сложной
функции).
Если
функция
f(u)
дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x,
причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её
производная вычисляется по формуле:
(f (u(x)))' = f '(u) u' (x).
Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u)
дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:
y  f ' (u )  u  α(u )  u ,
где lim α(u )  0 .
u  0
Разделим на x и перейдём к пределу при x  0:
y
u
u
 f ' (u ) 
 α (u ) 
x
x
x
y
u
u
u
u
 lim ( f ' (u)   α (u )  )  lim f ' (u)  lim
 lim α (u )  lim

x
x x0
x0 x x0
x0 x x0
x0 x
lim
 f' (u)  u' ( x)  lim α (u )  u' ( x)  f' (u )  u' ( x)  0  u' ( x)  f' (u )  u' ( x).
u 0
30
Если  x 0, то  u 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна,
т.е.
(f(u(x)))' = f ' (u) u' (x).
Теорема доказана.
6. Дифференцирование функции, заданной неявно
Пусть функция y  f (x) задана неявно уравнением F ( x; y)  0 . Дифференцируя
это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим
из полученного равенства y'.
Пример. Найти y', если функция y задана уравнением:
x3 + y3 – xy = 0
Решение.
3x2 + 3y2y’ – y – xy’ = 0
y’(3y2 – x) = y – 3x2
y  3x 2
y'  2
3y  x
y  3x 2
Ответ: y '  2
.
3y  x
7. Производные показательной и степенной функций
Теорема 7. Степенная функция y = x (R) дифференцируема при любом xR
и справедлива формула:
(x)' =  x – 1.
Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x, предполагая x > 0:
ln y =  ln x
Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x неявно. Найдём
производные от обеих частей равенства:
1
1
 y'  α 
y
x
Выразим отсюда y':
31
1
y'  α   y
x
Подставим в полученное равенство y = x:
( x α )'  α 
1 α
x
x
( x α )  α  x α 1
Теорема доказана.
Теорема 8. Показательная функция y = ax (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при
любом xR и справедлива формула:
(ax)' = ax  ln a
Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax:
ln y = x ln a.
Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдём
производные от обеих частей равенства:
1
 y'  ln a
y
Выразим отсюда y':
y' = y  ln a.
Подставим в полученное равенство y = ax :
(ax)' = ax  ln a
Теорема доказана.
Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8
принимает вид:
(ex)' = ex  ln e или (ex)' = ex.
Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то
показательно-степенная функция y = (U(x))V(x) дифференцируема в точке x и
справедлива формула:
32
(U ( x))   (U ( x))
V ( x) '
V ( x)
 V ' ( x) ln U ( x)  U ' ( x)  V ( x)  (U ( x))V ( x) 1 .
Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства
y = (U(x))V(x) по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования
обеих частей полученного равенства.
8. Производные обратных тригонометрических функций
Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом x(–1;1) и
справедлива формула:
(arcsin x)' 
1
1 x
2
.
Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x [–1;1] и область ее
значений
 π π
y   ;  . Она монотонно возрастает на всей области её
 2 2
определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y
можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём
производную от обеих частей уравнения:
1  cos y  y ' .
Выразим из полученного равенства y':
y '
1
.
cos y
 π π
2
Но cos y  1  sin y  0 при y    ;  .
 2 2
Поэтому cos y  1  x 2 , так как x  sin y .
Следовательно, получаем:
(arcsin x)' 
1
1  x2
.
Теорема 11. Функция y = arсcos x дифференцируема при x (–1;1) и
справедлива формула:
33
(arccos x)'  
1
.
1 x2
Теорема 12. Функция y = arctg x дифференцируема при x (–;+) и
справедлива формула:
(arctg x)' 
Теорема 13. Функция y = arcсtg x
1
1  x2
.
дифференцируема при x (–;+) и
справедлива формула:
(arcctg x)'  
1
1 x2
.
Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично теореме 10.
9. Дифференциал функции
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно
записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно x, а
второе слагаемое – бесконечно малая величина при x  0 (более высокого
порядка малости по сравнению с x):
y  f ' ( x)  x  α(x)  x ,
где α (x)  0 при x  0.
Определение
4.
Слагаемое
f ' ( x)  x
называется
главной
линейной
относительно x частью приращения функции y = f(x), называемой
дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается
dy = y' (x) x .
Если x – независимая переменная, то справедливо равенство x = dx, так как
(x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:
dy = y' (x) dx .
34
Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более
высокого порядка малости по сравнению с x, то между приращением функции
и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это
равенство тем точнее, чем меньше x. На основе этого приближённого
равенства
получается
приближённое
представление
значения
дифференцируемой функции:
y  f ( x0  x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )  x 
 f ( x0  x)  f ' ( x0 )  x  f ( x0 )
Пример. Вычислить приближённо 4.08
Решение. Рассмотрим функцию y 
x . В качестве начальной точки
возьмём x0 = 4, приращение x = 0,08, f ( x0 )  4  2 и подставим в формулу:
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )  x
4  0,08  4 
4,08  2 
1
2 4
 0,08
0,04
2
4,08  2,02  4,08  2,02   ,
где  << 0,08.
Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой
окрестности точки x0 (рис. 6):
35
Рис. 6
Из M0AN
AN = M0Atg  = xf '(x0) = dy.
Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x0 равен приращению ординаты
касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x0; f(x0)), при переходе
от x0 к x0+x (от точки М0 в точку М).
Инвариантность формы дифференциала
Теорема 14. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция
u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для
сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:
dy = f '(u)du = y'(x)dx.
Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в
точке x. Поэтому справедливо равенство:
dy = y'(x)dx .
Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то
y' (x) = f ' (u)  u' (x).
Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)u'(x)dx = f '(u)du, так как по условию теоремы
функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно,
du = u' (x)dx.
36
Теорема доказана.
10. Производные и дифференциалы высших порядков
Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она
имеет
на
этом
промежутке
производную y' = f ' (x), которая
в
свою
очередь может иметь производную: (y')' = (f '(x))' = y'', называемую второй
производной функции y = f(x). Она обозначается:
y ' ' ( x)  ( y ' )' 
d2 y
dx 2
Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она
называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается:
y ' ' ' ( x)  ( y ' ' )' 
d3 y
dx 3
Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается:
y ( n) ( x) 
dn y
dx n

 y ( n 1) ( x)

'
Дифференциалом второго порядка функции y = f(x)
в точке x называется
выражение, обозначаемое d2y и вычисляемое по формуле:
d 2 y  f ' ' ( x)(dx) 2 ,
если x – независимая переменная.
Дифференциал третьего порядка функции y = f(x):
d 3 y  f ' ' ' ( x)(dx) 3 ,
если x – независимая переменная, и т.д.
Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством
инвариантности формы.
§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на
этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых
37
x  [a;b] выполняется неравенство:
m ≤ f(x) ≤ M.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для любого числа
С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b] найдётся хотя бы
одна точка х0, в которой выполняется равенство:
f(х0) = С.
Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого
отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х0
 (a;b), в которой выполняется равенство:
f(х0) = 0.
1. Теорема Ролля
Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и
выполнены следующие условия:
 f(x) непрерывна на отрезке [a;b];
 f(x) дифференцируема на интервале (a;b);
 f(a) = f(b),
то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х0, в которой
выполняется равенство:
f '(х0) = 0.
Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на
этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.
Возможны два случая:
m = M и m < M.
 Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x  [a;b].
Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х0 можно
рассматривать любое значение x  [a;b].
 Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из
чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M –
наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой
38
внутренней точке х0  (a;b). Тогда в точке х0 для приращения функции
справедливо неравенство: y = f(х0 + x) – f(хо) ≤ 0, так как f(х0) = M –
наибольшее значение f(x) на отрезке [a;b] и x такое, что х0 +  x  [a;b].
 Если  x > 0, то
y
y
 0 и существует lim
 f ' ( x0  0)  0.
x  0 x
x
 Если  x < 0, то
y
y
 0 и существует lim
 f ' ( x0  0)  0.
x  0 x
x
Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при x (a;b), то в
точке хо существует производная. Значит справедливы равенства:
f ' (х0 + 0) = f ' (х0 – 0) = f ' (х0) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля
С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции,
непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и
принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с
координатами (х0 ; f (х0)), где х0 (a;b), в которой касательная параллельна оси
Ox (рис. 7).
Рис. 7
39
2. Теорема Лагранжа
Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b]
и выполнены следующие условия:
 f(x) непрерывна на отрезке [a;b],
 f(x) дифференцируема на интервале (a;b),
то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х0, в которой
выполняется равенство:
f ' (х0) =
f (b)  f (a )
.
ba
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + x, где
 = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).
Так как F(a) = f(a) + a и F(b) = f(b) + b, то получим равенство:
f(a) + a = f(b) + b.
Отсюда выразим значение :
=–
f (b)  f (a )
.
ba
При этом значении  функция F(x) = f(x) –
f (b)  f (a )
x.
ba
Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
 F(x) непрерывна на отрезке [a;b]:
 F(x) дифференцируема на интервале (a;b)
 F(a) = F(b).
Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a;b) существует хотя бы одна
точка х0, в которой выполняется равенство:
F '(х0) = 0.
Найдём F '(x):
F '(x) = f '(x) –
f (b)  f (a )
1 .
ba
40
Поэтому F '(x0) = f '(х0) –
f (b)  f ( a )
f (b)  f (a)
= 0, если f '(х0) =
.
ba
ba
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график
функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале
(a;b), имеет хотя бы одну точку (х0; f(х0), в которой касательная параллельна
секущей, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) (рис. 8)
Рис. 8
3. Теорема Коши
Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке
[a;b] и удовлетворяют условиям:
 f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];
 f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);
 g '(x)  0 при любом x  (a;b),
то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х0, в которой выполняется
равенство:
f ' ( x0 ) f (b)  f (a)

.
g ' ( x0 ) g (b)  g (a)
41
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при
вспомогательной функции
F(x) = f(x) +   g(x),
где  = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).
4. Правило Лопиталя
Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в
некоторой окрестности точки х0 и в этой окрестности они удовлетворяют
условиям:
 f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может
быть самой точки х0;
 g '(x)  0 для любого x из этой окрестности;
f ( x)  lim g ( x)  0 или lim f ( x)  lim g ( x)   ,
 xlim
x
x x
x x
x x
0
0
0
тогда, если существует lim
x x 0
0
f ' ( x)
конечный или бесконечный, то выполняется
g ' ( x)
равенство:
f ( x)
f ' ( x)
= xlim
.
 x0 g ' ( x )
x x0 g ( x )
lim
Замечание
1.
Правило
неопределённостей типа
Лопиталя
используется
для
раскрытия
0

или
, возникающих при вычислении пределов.
0

Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0∞,
   , 10, 00 или ∞0, то с помощью тождественных алгебраических
преобразований такая неопределённость приводится к
0

или
и тогда можно
0

применить правило Лопиталя.
Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость
функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х0, то при выполнении остальных
требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При
этом будет справедливо равенство:
42
f ' ' ( x)
f ( x)
f ' ( x)
= lim
= lim
x x0 g ( x )
x x0 g ' ( x )
x x0 g ' ' ( x )
lim
Пример 1. Вычислить предел:
2e 2 x
2 1 2
e2x 1  0 
lim
    lim


x  0 sin 5 x  0  x  0 5 cos 5 x 5 1 5
Пример 2. Вычислить предел:
lim
x  
2x  3
ex
2 2

    lim
 0
x

x


 

e
Пример 3. Вычислить предел:
lim
x 0
x  sin x
x3
1  cos x  0 
sin x 1
1
0
    lim
    lim
 1  .
6
6
 0  x 0 3x 2
 0  x 0 6 x
Пример 4. Вычислить предел:
1
ln x   
x   lim x  0
lim ( x  ln x)  (0  )  lim
    lim
.
1
x  0
x  0
x  0
   x  0  1
x
x2
Пример 5. Вычислить предел:
sin x 
 1

 1
lim 
 tg x   (  )  lim 


π  cos x
π  cos x cos x 

x
x
2
2
1  sin x  0 
 cos x  0 
    lim
 0
π cos x
π  sin x
0


1
x
x
 lim
2
2
Пример 6. Вычислить предел:
lim sin x  ln x
sin x )
ln(
x
sin
x
0
x
lim x
 0  lim e
 e 0

x 0
 
x 0
43



lim 
x 0 

e 







ln x

1
 
sin x  e    
e
1
x
lim
cos x
x0

sin 2 x
sin 2 x
sin x sin x
lim

 e x0  x cos x  e x0 x  cos x  e1  0  e 0  1.
lim
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
1. Асимптоты плоской кривой
Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что
хотя бы одна из координат точки стремится к  и при этом расстояние от этой
точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется
асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.
Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой
y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов
lim f ( x) или
x a  0
lim f ( x) равен + или – .
x a  0
Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой
y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот,
если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a
является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).
Определение 3. Прямая y  kx  b называется наклонной асимптотой кривой
y  f (x) при x   (или x   ), если функцию f(x) можно представить в
виде:
f ( x)  kx  b  α( x) ,
где α (x) – бесконечно малая функция при x   (или x   ).
Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при
x   (или x   ) необходимо и достаточно существования двух конечных
пределов:
44
lim
x  
(или x   )
f ( x)
k и
x
lim
x  
(или x   )
( f ( x)  k  x)  b
Доказательство. Ограничимся случаем x   .
Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при x   кривой
y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде:
f ( x)  kx  b  α( x) , где α( x)  0 при x   .
Убедимся в существовании конечных пределов:
f ( x)
kx  b  α( x)
b α( x) 

 lim
 lim  k  
k.
x
x
x 
x   x
x  
x  
lim
lim ( f ( x)  kx)  lim (kx  b  α( x)  kx)  lim (b  α( x))  b  0  b .
x  
x  
x  
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть существуют конечные пределы
f ( x)
k и
x   x
lim
lim ( f ( x)  kx)  b .
x  
Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:
f ( x)  kx  b  α( x) ,
где α (x) – бесконечно малая величина при x   .
Отсюда получаем:
f ( x)  kx  b  α( x) ,
где α( x)  0 при x   .
Достаточность доказана.
x3
Пример 1. Найти асимптоты кривой y  2
.
x 1
Решение.
1) D(y) = (–;–1)  (–1;1)  (1;+ ).
2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:
45
lim
x3
x  1 0 x 2  1
lim
x3
x  1 0 x 2  1


  1 
x3
(1) 3

  


x  1 0 ( x  1)( x  1)  (1  0  1)( 1  0  1)    2  (0) 


  1 
x3
(1) 3

  


x  1 0 ( x  1)( x  1)  (1  0  1)( 1  0  1)    2  (0) 
lim
lim


x3
13

  1  
lim

lim

2
x 1 0 x  1 x 1 0 ( x  1)( x  1)  (1  0  1)(1  0  1)  (0)  2


x3
lim
x3
x 1 0
x2 1


x3
13
  1  

x 1 0 ( x  1)( x  1)  (1  0  1)(1  0  1)  ( 0)  2


 lim
Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.
3) Вычислим пределы:

 

f ( x)
x2
2x
lim
 lim 2
 lim
 1 , k = 1.
x x
x x  1
x 2 x
 x3

x3  x3  x
x


lim ( f ( x)  k  x)  lim
 x  lim
 lim

2 1
 x   x 2  1
x  
x   x 2  1
x


x

1 1

    lim
    0, b  0
   x   2 x   
Отсюда следует, что при x   прямая y = 1x +0, т.е. y = x – наклонная
асимптота при x   .
Найдём наклонную асимптоту при x   .
Вычисляя те же пределы при x   , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x
является наклонной асимптотой при x   .
Ответ: x =  1 – вертикальные асимптоты
y = x – наклонная асимптота при x  .
2. Монотонность функции
Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на
промежутке (a;b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому промежутку,
из условия x2 > x1 следует неравенство:
46
f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)).
Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b),
если она на этом промежутке является только возрастающей или только
убывающей.
Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x)
дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x  (a;b),
то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.
Доказательство. Возьмём любые два значения x1 и x2 из промежутка (a;b). Для
определённости предположим, что x2 > x1.
На отрезке [x1;x2] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия
теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке
[x1; x2], т.е. существует хотя бы одна точка c  (x1; x2), в которой выполняется
равенство:
f(x2) – f(x1) = f' (c)  (x2 – x1).
Если f '(x) > 0 для любых x(a;b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x2) – f(x1) > 0, т.е.
из условия x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). А так как x1 и x2 –любые
значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) возрастает на этом
промежутке.
Если
f ' ( x)  0
для
любых
x  (a; b) ,
то
f ' (c )  0 .
Поэтому f ( x2 )  f ( x1 )  0 , то есть из условия x2 > x1 следует неравенство
f(x2) < f(x1). Так как x1 и x2 любые значения из промежутка (a;b), то функция
y = f(x) убывает на этом промежутке.
Теорема доказана.
3. Экстремумы функции
Определение 6. Функция y = f(x) имеет в точке x0D(f) максимум ymax (минимум
ymin), если существует такая окрестность точки x0, в которой для всех x
выполняется неравенство:
47
f(x0) > f(x) (f(x0) < f(x)).
Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума функции.
Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) имеет
экстремум в точке x0, то в этой точке производная функции равна нулю или не
существует.
Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция
y = f(x) в точке x0 имеет максимум и в этой точке существует производная.
Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности
точки x0
f(x0) > f(x).
Отсюда следует, что для любого x ≠ 0 справедливо неравенство:
f(x0+x) – f(x0) < 0. Разделим это неравенство на x, получим:
при x > 0:
f ( x0  x)  f ( x0 )
 0,
x
при x < 0:
f ( x0  x)  f ( x0 )
 0.
x
Перейдём к пределам:
lim
f ( x0  x)  f ( x0 )
 f ' ( x0  0)  0,
x
lim
f ( x0  x)  f ( x0 )
 f ' ( x0  0)  0.
x
x  0
x  0
Так как f ' ( x0 ) существует, то:
f ' ( x0  0)  f ' ( x0  0)  f ' ( x0 )  0.
Аналогично рассматривается случай, когда x0 – точка минимума.
2) Если f '(x0) не существует или равна , то точка x0 может быть точкой
экстремума функции.
Например, функция y = x имеет минимум при x = 0, хотя y'(0) не существует
(рис. 9).
48
Рис. 9
Теорема доказана.
Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f(x)
непрерывна в точке x0, дифференцируема в некоторой её окрестности, за
исключением может быть самой этой точки, f’(x0) = 0 или не существует и при
переходе x через точку x0 производная f '(x) изменяет знак, то точка x0 является
точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется
с + на –, то x0 – точка максимума,
с – на +, то x0 – точка минимума.
Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x0 изменяет знак с
+ на – , т.е. f '(x) > 0 при x  (x0 – ; x0) и f '(x) < 0 при x  (x0; x0 + ), где
 > 0 (рис. 10).
Рис. 10
1) Пусть x  (x0 – ; x0). На отрезке [x; x0] функция y = f(x) удовлетворяет
теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x0) найдётся хотя бы одна точка c1,
в которой выполняется равенство:
f(x) – f(x0) = f '(c1)(x – x0),
где c1 (x0 – ; x0).
49
Так как f '(c1) > 0 и x – x0 < 0, то f(x) – f(x0) < 0.
2) Пусть
x  ( x0 ; x0  δ) . На
отрезке
[ x; x 0 ]
функция
y  f (x)
также
удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x0; x) найдётся хотя бы
одна точка с2, в которой выполняется равенство:
f(x) – f(x0) = f’(c2)(x – x0),
где c2  (x0; x0 + ).
Так как f '(c2) < 0 и x – x0 > 0, то f(x) – f(x0) < 0.
Следовательно, для любого x  (x0 – ; x0 + ) выполняется неравенство:
f(x0) > f(x).
Отсюда следует, что точка x0 является точкой максимума функции y = f(x).
Аналогично рассматривается случай, когда f ' (x ) при переходе x через точку x0
изменяет знак с – на +. При этом точка x0 является точкой минимума функции
y  f (x) .
Теорема доказана.
4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в любой точке промежутка (a;b).
Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка.
Значит, существует касательная к графику функции y = f(x) в любой его точке
(x; f(x)) при a < x < b.
Определение 8. График функции y = f(x), дифференцируемой в каждой точке
промежутка (a;b), называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если
для любого x  (a;b) график расположен не выше (не ниже) касательной к
графику в точке (x; f(x)).
Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).
Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке (a;b) и f ''(x)
для x  (a;b) сохраняет свой знак, тогда кривая y = f(x) выпуклая, если f ''(x)  0
50
при x  (a;b), и кривая y = f(x) вогнутая, если f ''(x)  0 при x  (a;b).
Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда f ''(x)  0 для
x  (a;b). Обозначим x0 любую точку промежутка (a;b). Построим касательную
к кривой y = f(x) в точке (x0; f(x0)): yкасат = f(x0) + f '(x0)∙(x – x0). Покажем, что
график функции y = f(x) лежит не ниже этой касательной,
т.е. выполняется неравенство: (f(x) – yкасат(x))  0 для любого x  (a;b) (рис.11).
f(x) – yкасат(x) = f(x) – (f(x0) + f '(x0)∙(x – x0)) =
= f(x) – f(x0) – f '(x0)∙(x – x0) = (f(x) – f(x0)) – f '(x0)∙(x – x0),
(1)
где x  (a;b) .
Функция y = f(x) на отрезке [x0;x] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа,
т.е. на отрезке [x0;x] найдётся хотя бы одна точка c1, для которой
выполняется равенство:
f (x) – f(x0) = f '(c1)∙(x – x0).
Рис. 11
Подставим в равенство (1) полученное соотношение.
f(x) – yкасат(x) = f '(c1)(x– x0) – f ' (x0)(x – x0) = (x – x0)(f ' (c1) – f ' (x0)). (2)
Функция f '(x) на отрезке [x0;c1] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа,
т.е. на промежутке (x0;c1) найдётся хотя бы одна точка с2, для которой
выполняется равенство:
51
f '(c1) – f '(x0) = f ''(c2)(c1 – x0).
Подставим в равенство (2) полученное соотношение:
f(x) – yкасат(x) = (x – x0)f ''(c2)∙(c1 – x0).
(3)
Если x > x0, то c1 > x0 и c2 > x0, т.е. x – x0 > 0 и с1 – x0 > 0.
По предположению f ''(x)  0. Тогда f(x) – yкасат(x)  0.
Если x < x0, то c1 < x0 и c2 < x0, т.е. x – x0 < 0 и c1 – x0 < 0. Тогда f(x) – yкасат(x)  0.
Следовательно, при любом x  (a;b) выполняется неравенство:
f(x) – yкасат(x)  0,
т.е. на промежутке (a,b) график функции y = f(x) вогнутый.
Аналогично можно доказать, что если f ''(x)  0 при любом x  (a;b), то кривая
y = f(x) на промежутке (a;b) будет выпуклой.
Теорема доказана.
Определение 9. Пусть в точке (x0; f(x0)) существует касательная. Тогда точка
(x0; f(x0)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой (или наоборот)
называется точкой перегиба графика функции y = f(x).
Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если функция y = f(x)
дважды дифференцируема в окрестности точки x0, вторая производная функции
f ''(x0) = 0 (или не существует) и f ''(x) меняет свой знак при переходе x через
точку x0, то точка (x0; f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x).
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ''(x) при
переходе через точку x0 изменяет знак с + на –.
Тогда в левой полуокрестности точки x0
f ''(x) > 0, т. е. кривая при x < x0
вогнутая, а в правой полуокрестности точки x0 f ''(x) < 0, т. е. кривая при x > x0
выпуклая.
Следовательно, точка (x0; f(x0)) по определению является точкой перегиба
графика функции y = f(x).
Аналогично рассматривается другой случай, когда f ''(x) при переходе
через точку x0 изменяет знак с – на +.
52
Теорема доказана.
5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].
Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением
функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается max f ( x) ( min f ( x) ), если для
a; b 
a; b 
любого x  [a;b] выполняется неравенство:
f(x)  f(c) (f(x)  f(c)) .
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной
на отрезке функции
она достигает своих наибольшего и наименьшего
значений.
Схема нахождения этих значений следующая:
1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те
точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].
2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.
3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).
4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.
Тогда M  max f ( x), m  min f ( x).
[ a;b]
[ a; b ]
6. Схема исследования функции. Построение графика
1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений
x, при которых функция y = f(x) имеет смысл.
2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли
наименьшее положительное число T такое, что f(x+T) = f(x) для любого x D(f).
Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график
только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на
всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых
повторяется картинка графика.
3)
Исследовать
функцию
на
чётность
выполняются ли равенства:
53
и
нечётность:
выяснить,
f(– x) = f(x) для любого x D(f) – чётность
или
f(– x) = – f(x) для любого x D(f) – нечётность.
Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси Oy –
чётная или относительно начала координат – нечётная.
4) Найти точки пересечения графика функции y  f (x) с осями координат:
 с осью Oy: точка (0; f(0)), если 0  D(f),
 с осью Oх: точка (xk; 0), где xk D(f) и является решением уравнения
f(x) = 0.
5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x  D(f)
выполняются неравенства f(x) > 0 (график функции расположен выше оси Ox) и
f(x) < 0 (график функции расположен ниже оси Ox).
6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва
(см. §3, п.2, с. 19).
7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1, с. 43).
8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6,
п.2, с. 45 и п.3, с. 46).
9) Найти множество E(f) значений функции.
10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
(см. §6, п.4, с. 49).
11) Построить график функции, используя свойства, установленные в
проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался
неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.
Пример. Исследовать функцию y = (x + 2)e–x и построить её график.
1) D(y) = R.
2) Функция не периодическая.
3) Так как y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x), то функция общего вида, не является ни
чётной, ни нечётной.
4) Точка пересечения графика с осью Ox : (– 2; 0), с Oy : (0; 2)
54
5) При x  (–; –2) функция отрицательная, при x  (–2; +) функция
положительная.
6) Функция непрерывна при x  R.
7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b.
f ( x)
( x  2)e  x    0 
x2 
lim

lim


lim
 


а)
x
x   x
x  
   x   xe x   
1
    0  k = 0 при x  +
x e x  xex   
1
 lim
lim ( f ( x)  kx)  lim (( x  2)e  x  0)  (  0)  lim
x  
x  
x  
x2
ex

1 1

    lim
 0
   x e x   
b = 0 при x   .
Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при x   .
б) lim
x  
f ( x)
 lim ( x  2)e  x  (  )   
x  
x
при x   наклонной асимптоты нет.
8) f '(x) = ((x + 2)e– x) ' = 1e– x+(x + 2)(–e–x) = e–x(1 – x – 2) = –(x + 1)e– x.
D(y') = R.
y ' = 0: – (x+1)e– x = 0  x = – 1, f(–1) = 1e1 = e.
при x  (– ;– 1) f(x) возрастает,
при x (– 1;+) f(x) убывает,
при x = –1 fmax (– 1) = (– 1+2)e– (– 1) = e.
9) E(f) = (–; e), так как
55
lim f ( x)  xlim
( x  2)e  x  (  )  .

x  
lim f ( x)  lim ( x  2)e  x  (  0)  lim
x  
x  
x2
x  
e
x
1 1

    lim x     0
   x   e

и fmax (–1) = e.
10) f ''(x) = (– (x + 1)e– x) ' = – 1e– x + (x + 1)e–x = e– x(x + 1 – 1) = xe–x.
D(f '') = R
f '' (x) = 0 : xe– x = 0  x = 0, f(0) = 2.
при x  (– ;0) график f(x) выпуклый
при x  (0;+) график f(x) вогнутый
Точка (0;2) – точка перегиба графика.
11) Результаты проведенного исследования cведём в таблицу и построим
график (рис. 12)
Таблица
Результаты исследования функции y = (x + 2)e – x
x
(– ;– 1)
–1
(– 1;0)
0
(0;+)
знак f ' (x)
+
0
–
–
–
знак f '' (x)
–
–
–
0
+
F(x)
e
2
56
Рис. 12
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Первообразная функция и её свойства
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на
некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x)
дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f(x).
Пример 1. Функция F (x) = sin x является первообразной функции
f(x) = cos x на бесконечном промежутке (– ; +), так как
F’(x) = (sin x) ' = cos x = f(x) для x  (– ;+).
Нетрудно убедиться, что функции F1(x) = sin x + 5 и F2(x) = sin x – 10 также
являются первообразными функции f(x) = cos x для всех x  (– ;+), т.е. если
для функции f(x) на некотором промежутке существует первообразная
функции, то она не является единственной. Докажем, что множество всех
первообразных для данной функции f(x) есть множество, которое задаётся
формулой F(x) + C, где C – любая постоянная величина.
Теорема 1 (об общем виде первообразной). Пусть F(x) – одна из первообразных
для функции f(x) на интервале (a;b). Тогда любая другая первообразная для
57
функции f(x) на интервале (a;b) представлена в виде F(x) + C, где C – некоторое
число.
Доказательство. Во-первых, проверим, что F(x) + C также является
первообразной для функции f(x) на интервале (a;b).
По условию теоремы F(x) на интервале (a;b) является первообразной для
функции f(x), поэтому выполняется равенство:
F '(x) = f(x) при любом x (a;b).
Так как С – некоторое число, то
(F(x) + С) ' = F '(x)+С ' = F '(x) + 0 = f(x).
Отсюда следует: (F(x) + С)' = f(x) при любом x (a;b), а значит F(x) + С на
интервале (a;b) является первообразной для функции f(x).
Во-вторых, проверим, что если F(x) и Ф(x) – две первообразные для функции
f(x) на интервале (a;b), то они различаются между собой на постоянную
величину, т.е. F(x) – Ф(x) = const.
Обозначим (x) = F(x) – Ф(x). Так как по предположению функции F(x) и Ф(x)
первообразные на интервале (a;b) для функции f(x), то выполняются равенства:
F '(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x) при любом x (a;b). Следовательно,
'(x) = F '(x) – Ф' (x) = f(x) – f(x) = 0 при любом x (a;b).
Функция (x) непрерывна и дифференцируема при x (a;b). Значит, на любом
отрезке [x1; x2]  (a; b) функция (x) удовлетворяет теореме Лагранжа:
существует точка x (x1; x2), для которой выполняется равенство:
(x2) – (x1) = ' ( x ) (x2 – x1) = 0(x2 – x1) = 0
 (x2) – (x1) = 0  (x2) = (x1)  (x) = const.
Значит, F(x) – Ф(x) = const.
Итак, получили, что если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на
интервале (a;b), то любая другая первообразная может быть представлена в
виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи
первообразных носит название общего вида первообразной.
58
2. Понятие неопределённого интеграла
Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на
интервале (a;b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом
интервале и обозначается символом:
 f ( x)dx  F ( x)  C.
 f ( x)dx
В обозначении
знак

называется знаком интеграла,
f ( x)dx –
подынтегральным выражением, f (x) – подынтегральной функцией, x –
переменной интегрирования.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a;b), то она имеет на
промежутке (a;b) первообразную и неопределённый интеграл.
Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной
функции f(x) на некотором промежутке носит название интегрирования
функции f(x).
3. Свойства неопределённого интеграла
Из определений первообразной F(x) и неопределённого интеграла от данной
функции f(x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого
интеграла:
1.
 f ( x)dx'  f ( x) .


2. d  f ( x)dx  f ( x)dx .
3.
 dF ( x)  F ( x)  C , где С – произвольная постоянная.
4.
 k  f ( x)dx  k   f ( x)dx , где k = const.
5.
  f1( x)  f2 ( x)dx   f1( x)dx   f2 ( x)dx
Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что
интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же
промежутке и существуют.
59
4. Таблица основных неопределённых интегралов
Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования,
т.е. по заданной производной функции f(x) надо восстановить начальную
функцию F(x). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с.
24) получается таблица основных интегралов.
1.  0  dx  C .
2.
 dx  x  C .
x α 1
 C , α  1 .
3.  x dx 
α 1
α
4. 
dx
 ln | x |  C .
x
ax
C .
5.  a dx 
ln a
x
x
x
6.  e dx  e  C .
7.  sin xdx   cos x  C .
8.
9.
 cos xdx  sin x  C .
dx
 cos 2 x  tg x  C .
dx
10.
 sin 2 x  ctg x  C .
11.
 1  x2  arctg x  C .
12.
13.
dx
dx
 a2  x2

dx
1 x
2

1
x
arctg  C, a  0 .
a
a
 arcsin x  C .
60
14.
dx

15. 
a2  x2
dx
x2  a2
dx
16. 
x2  a

 arcsin
x
 C , a  0,  a  x  a .
a
1
xa
ln
 C , a  0; x   a .
2a x  a
 ln x  x 2  a  C .
В формулах 1-16 С – произвольная постоянная.
Замечание. Интеграл, взятый не от любой элементарной функции, является
элементарной функцией. Примерами могут служить следующие интегралы,
часто встречающиеся в задачах:

e x dx – интеграл Пуассона,
2
 cos x dx,  sin x dx – интегралы Френеля,
2
2
dx
 ln x (0  x  1) – интегральный логарифм,
cos x
sin x
d
x
,
 x  x dx ( x  0) – интегральный косинус и синус.
Указанные функции существуют и имеют важное прикладное значение. Для
этих функций составлены таблицы значений.
§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Непосредственное интегрирование
а) Работа с таблицей: предложенный интеграл оказался одним из табличных
интегралов. В этом случае требуется безошибочно найти соответствующую
формулу таблицы основных интегралов и ею воспользоваться.
Пример 1.
1.

dx
4  x2
 arcsin
x
 C (формула 14)
2
61
2.

dx
4 x
2
 ln x  4  x 2  C (формула 16)
б) Метод разложения: предложенный интеграл после применения линейных
свойств (4 и 5) неопределённого интеграла заменяется на алгебраическую
сумму табличных интегралов.
Пример 2.
dx
dx
 3 2 2 4 
3
x   2 dx  7   x 2 dx  2    4   2 
x x 
x
x
  7
2
x 3 dx  2 ln
5
x3
x 1
 7
| x |  4   x dx  7 
 2 ln | x |  4 
C 
5
1
3
21 3 5
4

x  2 ln | x |   C
5
x
Ответ:

2
 3 2 2 4  21 3 5
4
x  2 ln | x |   C .
7 x   2  
x x  5
x

Пример 3.
cos2 x
cos2 x  sin 2 x
cos2 x
sin 2 x
dx  
dx  
dx  
dx 

cos2 x  sin 2 x
cos2 x  sin 2 x
cos2 x  sin 2 x
cos2 x  sin 2 x

dx
sin 2 x
Ответ:

dx
 ctg x  tg x  C
cos 2 x
 cos
cos 2 x
dx  ctgx  tgx  C .
2
x  sin 2 x
Пример 4.
1  cos x
1
1
1
1
2 x
sin
d
x

d
x

d
x

cos
x
d
x

x

sin x  C
 2  2
2
2
2
2
1
1
2 x
dx  x  sin x  C
Ответ:  sin
2
2
2
в) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести
к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счёт
62
преобразований под знаком дифференциала. При этом используют следующие
формулы:
d((x)) = '(x)dx;
dx
dx
1
 d(ln x);
 d( ); d(sin x)  cos xdx;
x
x
x2
d(cos x)   sin xdx;
dx 
dx
2
cos x
 d(tg x);
dx
sin 2 x
 d(ctg x);
1
1
d( ax  b); xdx  d( x 2 ) и т.д.
a
2
Далее используют тот факт, что если известен результат
 f ( x)dx  F ( x)  C ,
то равенство
 f (u)du  F (u)  C
будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = (x).
Пример 5.
sin x
 tg xdx   cos xdx  
Ответ:
d cos x
  ln | cos x |  C
cos x
 tg xdx   ln | cos x |  C .
Пример 6.

1
1 (2 x  7)11
1
10
10
(2 x  7) dx 
( 2 x  7)  d ( 2 x  7) 
C 
(2 x  7)11  C .
2

10
Ответ:  (2 x  7) 
2
11
1
(2 x  7)11  C .
22
Пример 7.

xdx
9  x4

1
d( x 2 )
1
x2


arcsin
 C.

2 32  ( x 2 ) 2 2
3
63
22
Ответ:

xdx
9  x4

1
x2
arcsin
C .
2
3
Пример 8.

e x dx
7  5e x

Ответ: 
1 d(7  5e x )
1
  ln | 7  5e x | C .

5 7  5e x
5
xdx
1
  ln | 7  5e x | C .
5
9  x4
Пример 9.
dx
d ln x
 x(ln 2 x  1)   ln 2 x  1  arctg(ln x)  C .
Ответ:
dx
 x(ln 2 x  1)  arctg(ln x)  C .
2. Интегрирование подстановкой
Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.
Теорема 1. Если не удаётся найти интеграл f (x) непосредственно, то можно
выбрать такую функцию x = (t), удовлетворяющую условиям:
1) (t) непрерывна при t  (;), соответствующем интервалу x (a;b),
2) дифференцируемая при t (;);
3) имеет обратную функцию t = –1(x),
чтобы
 f ( x)dx   f ( (t ))' (t )dt ,
t = –1(x)
стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно
сделать замену t = (x).
Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от
искусства вычисляющего.
64
Пример 10.



dt
Замена 

dx
dx
dt
3 1



t  3x

2
2
2
2
2
2
2
3


t
d
t
4  9x
2  (3 x)
2 t
2 t
 x  ; dx  
3
3




1 1
t
1
3x
  arctg  C  arctg  C .
3 2
2
6
2
Ответ:
dx
1
3x
 4  9x2  6 arctg 2  C .
Пример 11.


Замена
2
4
2
 x x  1dx   x  1  t ; dx  2tdt    (t  1)t  2tdt  2 (t  t )dt 
x  t2 1


2t 5
t3
2( x  1)5 2( x  1)3
 2 t 4dt  2 t 2dt 
 2  C 

C.
5
3
5
3

Ответ:


x x  1dx 
2
2
( x  1)5 
( x  1)3  C .
5
3
Пример 12.


Замена



 1 dt
2x
e
1 1
t 5
2x

 
dx 
e  t;
 
ln
C 
 4x
2

 2 t 5 2 2 5 t  5
e 5
 2x
dt 
2x
2e dx  dt ; e dx  

2
e2 x  5

ln
C.
4 5 e2 x  5
1
e2 x
1
e2 x  5
dx 
ln
C .
Ответ:  4 x
e 5
4 5 e2 x  5
65
Пример 13.
Замена
2
 9  x dx  x  3 sin t  t  arcsin
dx  3 cos tdt

x
  9  9 sin 2 t  3 cos tdt 
3


 3 1  sin 2 t  3 cos tdt  9 cos t  cos tdt  9 cos2tdt  9

1  cos 2t
dt 
2

9
9
9 9
9 9
dt  cos 2tdt  t 
cos 2td(2t )  t  sin 2t  C 
2
2
2 4
2 4

9
x 9
9
x 9 x
arcsin  sin t  cos t  C  arcsin    1  sin 2 t  C 
2
3 2
2
3 2 3

9
x 3
x2
9
x x 9  x2
arcsin  x  1 
 C  arcsin 
C.
2
3 2
9
2
3
2

Ответ:



9  x 2 dx 
9
x x 9  x2
arcsin 
C .
2
3
2
3. Интегрирование по частям
Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме.
Теорема 2. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на некотором
интервале
(a;b).
Пусть
на
интервале
(a;b)
функция
v(x)u'(x)
имеет
первообразную. Тогда на интервале (a;b) функция u(x)v'(x) также имеет
первообразную. При этом справедливо равенство:
 u ( x)  v' ( x)dx  u ( x)  v( x)   v( x)  u ' ( x)dx .
Доказательство. По формуле дифференцирования произведения:
(u(x)v(x))'= u '(x)v(x) + u(x)v '(x)
и свойству неопределённого интеграла:
 (u( x)  v( x))' dx  u( x)  v( x)  C
можно записать:
66
 (u ( x)  v( x))' dx   (u ' ( x)  v( x)  u ( x)  v' ( x))dx 
 u ( x)  v( x)   u ' ( x) v( x)dx   u ( x)  v' ( x)dx 
  u ( x)  v' ( x)dx  u ( x)  v( x)   v( x)  u ( x)dx
Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его
формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более
короткой форме:
 udv  u  v   v  du .
Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно
разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы
интеграл  v  du оказался легко интегрируемым.
Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью
метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три
группы.
1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция
содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln(x); arcsin2x;…
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет
собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.
2) Ко второй группе относятся интегралы вида:
 (ax  b)
n
cos αxdx ,
 (ax  b)e
αx dx
,
 (ax  b)
 (ax  b)
n
 sin αxdx ,
n Aαx dx
,
где a,b,,n,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n  N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n
раз.
3) К третьей группе относятся интегралы вида:
67
e
dx cos βxdx
αx
x
, e sin β dx ,
αx sin βxdx
A

A
,
 sin(ln x)dx ,  cos(ln x)dx ,
α x cos β xdx
,
где , , A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом
выборе
u(x).
Это
приводит
к
линейному
уравнению
относительно
предложенного интеграла, откуда его и находят.
Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения
интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
Пример 14.
u  arctg x; dv  x 2 d x 

 x3
x 3 dx
2
3

 x  arctgxdx   du  dx ; v  x   3 arctgx   3 
2
1

x

3 
1 x2

 x3

x3
1
x3
x 2  1 x 3
1 
x 
3

 arctg x  
d
x


|

arctg
x

x


dx 
x

x


3
3 1  x2
x  3
3 
x2  1 
 x

3
3
x
1
1 xdx
x
x 2 1 1 d( x 2  1)
 arctgx   xdx   2
 arctgx     2

3
3
3 x 1 3
6 3 2 x 1
x3
x2 1
 arctgx   ln | x 2  1 | C
3
6 6
Ответ:

x3
x2 1
x  arctg xdx 
arctgx 
 ln | x 2  1 | C
3
6 6
2
Пример 15.

dx 
 u  ln x du   x 4
x 4 dx x 4
1 3
x
3
 x ln xdx  dx  x3dx x 4   4 ln x   4  x  4 ln x  4  x dx 
v

4 

x4
x4

ln x 
 C.
4
16
68
Ответ:

x4
ln x 
 C.
4
16
x
x 3 ln xdx 
4
Пример 16.

du  dx 
ux
 x  sin xdx  dx  sin xdx v   cos x   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C.
Ответ:
 x  sin xdx  x cos x  sin x  C.
Пример 17.
2  e x dx   u  x 2 du  2 xdx   x 2  e x  2 x  e x dx  x 2 e x  2 xe x dx 
x

x 



x
dv  e dx v  e 
 u  x du  dx 

 x 2 e x  2( xe x   e x dx)  x 2 e x  2 xe x  2e x  C.

x
x
dv  e dx v  e 

2 x
2 x
x
x
Ответ: x  e dx  x e  2 xe  2e  C.
Пример 18.

du  e x dx  1 x
x
1 x
u

e
 e cos 2 xdx  dv  cos 2 xdx v  1 sin 2 x   2 e sin 2 x  2  e sin 2 xdx 
2


x

du  e x dx  1 x
x
u

e
  e sin 2 x  1   1 e x cos 2 x  1  e x cos 2 xdx  

1
dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2
2 2
2

2



1
1
1
 e x sin 2 x  e x cos 2 x  e x cos 2 xdx
2
4
4
Далее необходимо решить уравнение:
1 x
1
1
e sin 2 x  e x cos 2 x   e x cos 2 xdx.
2
4
4
x
Пусть  e cos 2 xdx  J , тогда уравнение запишется в виде:
e
x
cos 2 xdx 
J
1 x
1
1
e sin 2 x  e x cos 2 x  J 
2
4
4
69

5
1
1
J  e x sin 2 x  e x cos 2 x 
4
2
4
1
 J  (2 sin 2 x  cos 2 x)e x .
5

Ответ:
1
e x cos 2 xdx  (2 sin 2 x  cos 2 x)e x  C .
5
Пример 19.

sin(ln x) 
u  cos(ln x) du  
dx 

 x  cos(ln x)   sin(ln x)dx 
x
 cos(ln x)dx   dv  dx

vx



cos(ln x) 
u  sin(ln x) du 
dx 


 x cos(ln x)  x sin(ln x)   cos(ln x)dx
x
.
 dv  dx

vx


Пусть  cos(ln x)dx  J , тогда получаем уравнение вида:
J  x cos(ln x)  x sin(ln x)  J
2 J  x(cos(ln x)  sin(ln x))
J
Ответ:

cos(ln x)dx 
x
(cos(ln x)  sin(ln x)) .
2
x
(cos(ln x)  sin(ln x))  C .
2
4. Интегрирование рациональных дробей
Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей
Определение
1.
Рациональной
дробью
называется
отношение
двух
многочленов:
Pm ( x) c0 x m  c1 x m1  ...  cm

Qn ( x) b0 x n  b1 x n1  ...  bn
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m < n. В
противном случае (если m  n) она называется неправильной.
70
Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби
следующих четырех типов:
I.
A
( A, a  const, A, a  R) ,
xa
A
II.
III.
( x  a) k
( A, a, k  const, A, a  R, k  N , k  2) ,
Mx  F
(M , F , p, q  const, p 2  4q  0, M , F , p, q  R) ,
x 2  px  q
Mx  F
IV.
( x 2  px  q) k
(M , F , p, q, k  const, p 2  4q  0, M , f , p, q  R, k  N , k  2)
Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в
виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.
x4  2x2  5
Пример 20. Представить дробь
в виде суммы целой части и
x2  1
правильной рациональной дроби.
Так как высшая степень числителя равна 4, а знаменателя – 2, то данная дробь
неправильная (4 > 2). Разделим числитель на знаменатель:
2
x 4  2x 2  5 x  1
| 2

x4  x2
x 3
2
  3x 2  5
 3x  3
8
Следовательно, дробь можно записать в виде:
x 4  2x 2  5
x 2 1
Ответ:
x4  2x2  5
x 1
2
 ( x 2  3) 
 ( x 2  3) 
8
x 1
2
.
71
8
x 2 1
.
Теорема 4. Любую правильную рациональную дробь можно единственным
образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных
дробей.
Pm ( x)
Разложение правильной рациональной дроби Q ( x) (m<n) на сумму простых
n
дробей можно выполнить по следующей схеме:
 Найти корни многочлена Qn(x) и представить его в виде произведения
простых множителей:
Qn ( x)  b0 ( x  a1 ) ki1 ....( x  ar ) k r  ( x 2  p1x  q1 )l1 ....  ( x 2  ps x  qs )l s ,
где a i  a j , 1  i, j  r
pi 2  4qi  0, ( pi ; qi )  ( pi ; q j ) , 1  i; j  S
ki  N
, 1 i  r
li  N , 1  i  S
 Записать разложение дроби с неопределёнными коэффициентами:
A1k
Ark
Pm ( x)
M n x  F11
A11
Ar1
1
r


...


...


...



k1
k2
l1
2
Qn ( x) ( x  a )
( x  a1 )
(
x

a
)
r
(x  a )
(x  p x  q )
1

r
M1l x  F1l
1
1
( x 2  p1x  q1 )
 ... 
1
1
M sl x  Fsl
s
s

...

ls
2
2
( x  ps x  qs )
( x  ps x  qs )
M s1x  Fs1
 Определить коэффициенты
A11,...Ark2 , M11,...M sls , F11,...Fsls
суммарное число которых равно n, методом неопределенных коэффициентов.
Для этого необходимо всё разложение привести к общему знаменателю и
приравнять числитель полученной дроби к Pm(x). Приравнивая в этих
многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n
линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное
решение – искомые коэффициенты.
72
43x 2  5 x  14
Пример 21. Разложить дробь 3 2
на сумму простых дробей.
x  x  2x
1) Данная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:
x3  x2  2 x  x( x2  x  2)  x( x  1)( x  2) .
2) Запишем разложение данной дроби на сумму простых дробей:
43 x 2  5 x  14
43 x 2  5 x  14 A
B
C

 

x( x  1)( x  2) x x  1 x  2
x3  x 2  2 x
3) Для нахождения коэффициентов A, B и C приводим разложение дроби к
общему знаменателю и приравняем числители дробей.
A( x2  x  2)  B( x2  2 x)  C( x2  x)  43x2  5x  14
x 2 ( A  B  C)  x( A  2B  C)  (2 A)  43x 2  5x  14
x2
x
x0
 A  B  C  43
 B  C  36


3B  24  B  8
 A  2 B  C  5  2 B  C  12 
C  36  8  C  28
  2 A  14

A7


Следовательно, дробь можно записать в виде:
43 x 2  5 x  14
x  x  2x
3
Ответ:
43 x 2  5 x  14
x3  x 2  2 x

2

7
8
28


x x 1 x  2 .
7
8
28


x x 1 x  2 .
Интегрирование простых дробей
Задача
интегрирования
интегрирования
только
рациональной
правильных
дроби
сводится
рациональных
к
дробей,
умению
так
как
интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если
решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то
73
дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать
простые дроби (четыре типа).
A
d( x  a)
dx  A
 A  ln | x  a | C
xa
xa
I тип.


II тип.
 ( x  a) k
A
dx  A

d( x  a)
A( x  a) k 1
A
 A ( x  a)  k d( x  a) 
C 
C
 k 1
( x  a) k
(k  1)( x  a) k 1

(k  N , k  2)
III тип.





Замена


Mx  F
Mx  F
p
d
x

d
x

x


t


2
2
X 2  px  q


p
p2

p
x  q

x  t  ; dx  dt 
2
4



2

p

M t    F
Mt
p
dt
2

 
dt  
dt   F  M   

2
2
2
2





p
p
p



t2  q 
t2  q 
t2  q 






4
4
4







M
2

M
2


p 2  
d t 2   q 
p


4  F  M 
t




2 arctg

2


2
2
p 
p
p
t2  q 
q
q

4 
4
4


p
F M 
2

p
t
2 arctg

ln t 2   q 
 C

4 
2
2
p
p


q
q
4
4

M

ln | x 2  px  q | 
2
p
p
x
2 arctg
2 C
p2
p2
q
q
4
4
F M 
Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби
III типа.
74
Пример 22. Найти интеграл от дроби III типа:
3x  5
 x2  4x  13
dx 
3x  5
 ( x2  4x  4)  9
dx 
3x  5
 ( x  2)2  9dx 
(D = 16 – 52 < 0  дробь III типа)
 Замена 
x  2  t


 x  t  2
 dx  dt 

3(t  2)  5
dt 
2
t 9

3t  1
dt 
2
t 9


3t
dt
dt 

2
2
t 9
t 9
3 d(t 2  9) 1
t 3
1
t

 arctg  ln t 2  9  arctg  C 
2
3
3 2
3
3
t2  9
3
1
x2
3
1
x2
 ln ( x  2)2  9  arctg
 C  ln x2  4 x  13  arctg
C.
2
3
3
2
3
3

Ответ:
3x  5
 x2  4x  13
dx 
3
1
x2
ln x 2  4 x  13  arctg
C .
2
3
3
Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:
 Замена 


 x  1  t 
 2
 x  t  1
( x  2 x  2) 2
(( x 2  2 x  1)  1) 2
(( x  1) 2  1) 2  dx  dt 


(5 x  1)dx
(5 x  1)dx
(5 x  1)dx
5 d(t 2  1)
1 t2  t2

dt  5
 6
 
 6
dt 
(t 2  1) 2
(t 2  1) 2
(t 2  1) 2 2 (t 2  1) 2
(t 2  1) 2
5t  6
tdt
dt

ut
du  dt 
5
1 
dt
t 2 dt

t
d
t
1 
  6
  
 6
 dv 
v





2
2
2
2
2  t 1
t 1
(t  1)
(t 2  1) 2
2(t 2  1) 


5
t
dt 
5
3t

 6arctg t  6 


 6arctg t 

2
2
2
2
2


2(t  1)
2(t  1) 
2(t  1)
t 1
 2(t  1)
 3arctg t  C  
6t  5
2
2(t  1)
 3arctg t  C  
6 x  11
2
2( x  2 x  2)
75
 3arctg ( x  1)  C.
Ответ:

(5 x  1)dx
6 x  11

 3arctg( x  1)  C .
2
2
2
( x  2 x  2)
2( x  2 x  2)
Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо
выполнить следующие шаги:
1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е.
представить в виде:
Pm ( x)
R ( x)
 Tm n ( x)  r
Qn ( x)
Qn ( x) ,
где Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём
r < n).
Rr ( x )
на сумму простых
Qn ( x )
2) Разложить правильную рациональную дробь
дробей.
3) Вычислить интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых дробей,
полученных на шаге 2).
Пример 24. Найти интеграл
1) Дробь
x4  1
x3  x 2
x4  1
x
3
 x2
dx
– неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:
x 4  1 x3  x 2
4
3 |
 x x
x 1
3
 x3  12
x x
x2 1
Поэтому можно записать:
x4  1
x3  x 2
 x 1
76
x2  1
x3  x 2
.
x2  1
2) Полученную правильную дробь 3 2 разложим на сумму простых дробей:
x x
x 2 1
x 2 1
B
C
Ax  A  Bx 2  Bx  Cx 2

 2  

x x 1
x 3  x 2 x 2 ( x  1)
x
x 2 ( x  1)
A
x 2  1  ( B  C) x 2  ( A  B) x  A
x2 B  C  1
x  A  B  0
x 0   A  1
Отсюда следует:
x2 1
x3  x2

1
x2

 A  1

 B  1
C  2

1
2

x x 1 .
Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:
x4  1
x3  x2
 x 1
1
x2

1
2

x x 1.
3) Найдём интеграл:

x4 1
1
1
2 
dx
 x 3  x 2 dx    x  1  x 2  x  x  1 dx   xdx   dx   x 2  
dx
dx
 2

x
x 1
x2
1

 x   ln x  2 ln x  1  C.
2
x
Ответ:
x4  1
x
3
x
dx 
2
x2
1
 x   ln x  2 ln x  1  C.
2
x
5. Интегрирование тригонометрических выражений
1) Интеграл вида

sin m x  cosn xdx
n, m  Z 
а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение
преобразуют с помощью формул:
77
sin 2 x 
1  cos 2 x
1  cos 2 x
2
, cos x 
2
2
б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:
t = sin x, если n – нечётное;
t = cos x, если m – нечётное.
Эта
замена
приводит
к
интегрированию
степенных
интегралов
или
рациональных дробей.
в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае замены:
t = sin x, так и t = cos x.
Пример 25. Вычислить интеграл:
1
1 1  cos 4 x 1  cos 2 x
sin 2 2 x  cos 2 xdx 

dx 
4
4
2
2

sin 2 x  cos 4 xdx 



1
16

1
1
1
1
dx 
cos 4 xd(4 x) 
cos 2 xd(2 x) 
16
64
32
32

1
1
1
1
1
x  sin 4 x  sin 2 x  sin 2 x 
sin 6 x  C 
16
64
32
64
192
 1  cos 4x  cos 2x  cos 4x  cos 2xdx 



 cos 2x  cos 6xdx 
1
1
1
1
x  sin 4 x  sin 2 x 
sin 6 x  C.
16
64
64
192
1
1
1
1
2
4
Ответ: sin x  cos xdx  16 x  64 sin 4 x  64 sin 2 x  192 sin 6 x  C.


Пример 26. Вычислить интеграл:

 Замена 
sin 6 x
sin 6 x
sin 6 x  d(sin x) 
dx 
 cos xdx 
 t  sin x  
2
2
dt  d sin x 
cos x
cos x
cos x






t 6dt
dt
t5 t3
1 t 1
4
2

   t  t  1 dt   2
    t  ln
C 
2
5 3
2 t 1
1 t
t 1

sin 5 x sin 3 x
1 sin x  1

 sin x  ln
 C.
5
3
2 sin x  1
78
Ответ:

sin 6 x
sin 5 x sin 3 x
1 sin x  1
dx  

 sin x  ln
 C.
cos x
5
3
2 sin x  1
Пример 27. Вычислить интеграл:

t  sin x


dt
1
1
d
x





C


 C.


sin 3 x
t3
2t 2
2 sin 2 x
dt  d sin x  cos xdx 

cos x
Ответ:

cos x
1
d
x


 C.
3
2
sin x
2 sin x
2) Интегралы вида:
 sin(mx)  cos(nx)dx ;  sin(mx)  sin(nx)dx ;  cos(mx)  cos(nx)dx
где n, m  R; n  m.
Такие интегралы находят после предварительного применения формул:
sin(mx )  cos(nx) 
1
sin(m  n) x  sin(m  n) x  ,
2
sin(mx )  sin(nx) 
1
cos(m  n) x  cos(m  n) x  ,
2
cos(mx )  cos(nx) 
1
cos(m  n) x  cos(m  n) x  .
2
Пример 28. Вычислить интеграл:

sin 3x  cos 5 xdx 

1
sin( 8x)  sin( 2 x) dx  1 sin 8xdx  1 sin 2 xdx 
2
2
2



1
1
cos 8 x  cos 2 x  C.
16
4
Ответ:

sin 3x  cos 5xdx  
3) Интеграл вида:
1
1
cos 8x  cos 2 x  C.
16
4
 f (sin x; cos x)dx
, где f(u;v) – рациональная функция двух
переменных.
79
Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью
замены:
t  tg
x
;
2
x  2arctg t  dx 
2dt
1 t2
;
 x
x
1  tg 2  
2t
2  1 t2

2
sin x 

cos x 

2 .
x


2 x  1 t2 ;
2
1  tg  
1  tg   1  t
2
2
Пример 29. Вычислить интеграл:
2 tg



x
t  tg  x  2arctgt 
3
2dt
2
1 t2


dx
2dt
1
  1 t2

dt 

2

4
2t 3
sin 3 x 
1 t


2t
 sin x 

2


1 t

 
 1  t 2 2 dt 
t3
1 1  2t 2  t 4
1 dt 1 dt 1
 
d
t

     tdt 
4
4 t3 2 t 4
t3
 x
tg 2  
1 1
1
1
1
x
2 C
  2  ln t  t 2  C  
 ln tg 
.
2
8
2
2
8
8t
2 x 
8tg  
2
Ответ:

 x
tg2  
dx
1
1
x
2 C



ln
tg

3
.
2
8
 x 2
sin x
8tg2  
2
4) Интегралы вида:
 f (sin
2
x; cos 2 x)dx , где f(u;v) – рациональная функция
двух переменных.
Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с
помощью замены:
80
t  tgx  x  arctg t  dx 
sin 2 x 
dt
1 t2
tg 2 x
1
1
t2
2
cos
x



1  tg 2 x 1  t 2 ;
1  tg 2 x 1  t 2
Пример 30. Вычислить интеграл:


dt


Замена


dx
1 t2

t

tg
x

x

arctg
t


  2
 sin 2 x  4 cos 2 x 
t
1

dt
t2
1 
 4
dx 

; sin 2 x 
; cos 2 x 
2
2
1

t
1

t
2
2
2


1 t
1 t
1 t 

dt
t2  4
Ответ:

1
t2
1 tg x  2
ln
 C  ln
 C.
22 t  2
4 tg x  2

1 tg x  2
 ln
 C.
2
2
4
tg
x

2
sin x  4 cos x
dx
5) Интегралы вида:
 tg
m
xd x ;
 ctg
m
xdx , где m  N (m  2) .
Такие интегралы находят после предварительного применения формул:
tg 2 x 
1
2
cos x
 1 ; ctg2 x 
1
1
sin 2 x
или с помощью замены:
t  tg x  x  arctg t  dx 
или
t  ctg x  x  arcctg t  dx  
dt
1 t2
dt
1 t2
;
.
Пример 31. Вычислить интеграл:




Замена
t4
1 

4


dt    t 2  1 
dt 
 tg xdx  t  tg x  x  arctg t   
2
2
1

t
1

t


dt


dx 


1 t 2
81
t3
1 3
  t dt   dt  


t

arctg
t

C

tg x  tg x  x  C.
3
1 t 2 3
dt
2
Ответ:
1
 tg xdx  3 tg x  tgx  x  C.
4
3
6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
1) Интеграл вида

mx  n
ax  bx  C
2
dx
Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичных
преобразованиям и замене для нахождения интеграла от простой рациональной
дроби III типа.
Пример 32. Вычислить интеграл:
 Замена 
x  2  t
( x  5)dx
( x  5)dx
(t  3)dt








xt2
2
2
2
6  4x  x
10  t
  x  2  10 

 dx  dt 
1 d(10  t 2 )
t

 3
 
 3 arcsin

2
10
10  t 2
10  t 2
10  t 2
t dt
dt
  10  t 2  3 arcsin
Ответ:

( x  5)dx
6  4x  x2
t
x2
 C   6  4 x  x 2  3 arcsin
 C.
10
10
  6  4 x  x 2  3 arcsin
2) Подынтегральная функция содержит
x2
 C.
10
a2  x2 .
Тогда надо выполнить замену:
x

x  a sin t;  t  arcsin 
a

dx  a cos tdt
a 2  x 2  a cos t
Такая замена приводит к интегралу от некоторого тригонометрического
выражения.
82
Пример 33. Вычислить интеграл:

x

x

2

sin
t
;
t

arcsin

2
4  x2

  2 cos t  2 cos tdt 
dx 
dx  2 cos t


x
2 sin t
2
4  x  2 cos t 




cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t  d(cos t ) 
 2
dt  2
 sin tdt  2

sin t
sin 2 t
1  cos 2 t
 2
1  cos 2 t  1
d cos t
d(cos t )  2 d(cos t )  2

1  cos 2 t
1  cos 2 t
4  x2
2 1  cos t
2
 2 cos t  ln
 C  4  x 2  ln
C 
2
2 1  cos t
4 x
1
2
1
 4  x  ln
2
Ответ:

2  4  x2
2  4  x2
 C.
4  x2
2  4  x2
dx  4  x 2  ln
 C.
2
x
2 4 x
3) Подынтегральная функция содержит
Тогда надо выполнить замену:
x
a
a

;  t  arccos 
cos t 
x
dx 
a  sin t
cos2 t
dt
x 2  a 2  atg t
83
x2  a2 .
Пример 34. Вычислить интеграл:





Замена


dx
3
2

 x
; x  9  3tg t  


cos
t
x x2  9 
3 sin t

d
x

d
t


cos 2 t


3 sin t

dt
1
cos 2 t

dt 
3
sin t 3
3
cos t cos t

1
1
3
 t  C   arccos  C.
3
3
x
Ответ:

dx
1
1
3
 t  C   arccos  C.
3
x
x x2  9 3
4) Подынтегральная функция содержит
x2  a2 .
Тогда надо выполнить замену:
x

x  a  tg t;  t  arctg 
a

dx 
a
cos2 t
dt
x2  a2 
a
cos t
Пример 35. Вычислить интеграл:





sin 3 t
2
Замена
8

dt
3


3
2
x
x
cos
t
cos
t

dx  
x  2tg t ; t  arctg

2
2


4  x2
dx  2 dt ; 4  x 2  2 
cos t
2


cos t 
cos t
 8
sin 3 t
cos 4 t
 8

8
dt  8
d cos t
cos 4 t
 8
sin 2 t  sin tdt
cos 4 t
cos 4 t

1  
1 
  8 
 8 
C 
3
cos
t


cos 2 t
3
cos
t


d cos t
4  x 2 3  8 
38

1  cos 2 t d cos t
 8

4  x2
C 
2
4  x 2 3  4
3
84
4  x 2  C.
Ответ:

x3
4 x
2
4  x 
2 3
dx 
3
 4 4  x 2  C.
5) Подынтегральная функция содержит
n
ax  b :
Тогда надо выполнить замену:
t  n ax  b .
Пример 36. Вычислить интеграл:





Замена
xdx
(t 3  3)  3t 2dt 3 t 5  3t 2


3 2x  3  t


 
dt 

3
2

(
1

t
)

2
4
1

t
1  2x  3 
t3  3
3t 2 
; dx 
dt 
x 
2
2 



t 5  3t 2 4 3 2
4
 t  t  t  4t  4 
1 t
1 t
3 
4 
3 4
3 3
3 2
dt
   t 4  t 3  t 2  4t  4 

dt   t dt   t dt   t dt  3 tdt  3
4 
1 t 
4
4
4
1 t

3 5 3 4 1 3 3t 2
3
3
5
4
t  t  t 
 3t  3 ln 1  t  C  3 2 x  3  3 2 x  3 
20
16
4
2
20
16

1
2 x  3  3 3 2 x  32  33 2 x  3  3 ln 1  3 2 x  3  C.
4
2
Ответ:

xdx
 1  3 2x  3

3 3
2 x  35  3 3 2 x  34 
20
16
1
2 x  3  3 3 2 x  32  33 2 x  3  3 ln 1  3 2 x  3  C.
4
2
Пример 37. Вычислить интеграл:
Замена

 x  t 6  t  6
3
x  x  dx  6t 5dt
dx

5
5
3
6
t
d
t
t
t
x    2 3  6 2
dt  6
dt 

1

t
t t
t 1  t 

1 
dt

2
 6  t 2  t  1 

dt  6 t dt  6 tdt  6 dt  6
1

t
1

t


85
t3
t2
 6   6  6t  6 ln 1  t  C  2 x  33 x  66 x  6 ln 1  6 x  C.
3
2
Ответ:
dx
3 x
 2 x  33 x  66 x  6 ln 1  6 x  C.
x
§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Задача, приводящая к определённому интегралу
Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x).
Определение 1. Криволинейной
трапецией
называется
фигура,
ограниченная осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и графиком функции
y = f(x).
Ставится задача: вычислить площадь этой криволинейной трапеции (рис. 13)
Рис. 13
Решение.
1) Разобьём отрезок [a;b] на n частей точками x0 = a; x1; x2; xn–1; xn = b и
проведём прямые x = x1, x = x2, … x = xт–1, которые разобьют трапецию на n
частей.
2) Обозначим xk = xk – xk–1 – длины отрезков разбиения [a;b]. На каждом из
отрезков произвольно выберем точку Mk (k = 1, 2,…, n).
86
Построим на
каждом из отрезков прямоугольники с высотами, равными
значению функции в выбранных точках Mk .
Площади полученных
прямоугольников равны:
S1 = f (M1)   x1; S2 = f (M2)   x2, …., Sn = f (Mn)   xn .
3) Найдём сумму этих площадей:

S  f ( M1 )  x1  f ( M 2 )  x2  ....  f ( M n )  xn 
n
 f (M k )xk
k 1
Получили площадь ступенчатой фигуры. Эта площадь зависит от способа
разбиения отрезка [a;b] на части и от выбора на каждой из частей точек Mk (k =
1, 2,…, n).
Чем больше будет точек разбиения отрезка [a;b] на части и мельче по длине эти
n
части, тем точнее сумма S   f ( M k )xk будет приближаться к площади
k 1
данной криволинейной трапеции, т.е. можно записать:
Sкрив.тр. 

lim
max xk 0
n 
Определение 2. Сумма S 
S
n
lim
 f (M k )xk
max xk 0 k 1
n 
n
 f (M k )xk
называется интегральной суммой
k 1
функции f (x) на отрезке [a;b].
Определение 3. Предел интегральной суммы S функции f (x) на отрезке [a;b]
при n   и max xk  0 называется определённым интегралом функции f (x)
на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа
разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек Mk (k = 1,…, n) на
каждой из частей. Следовательно, можно записать:
b
n
Sкрив.тр.  lim  f (M k )xr   f ( x)dx .
n  k 1
a
87
При этом отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования, “a” – нижним
пределом интегрирования, “b” – верхним пределом.
Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции на отрезке
[a;b]). Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то определённый
b
интеграл
 f ( x)dx существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a;b] интегрируема.
a
Геометрический смысл определённого интеграла
b
1) S кр.тр.   f ( x)dx
a
2) Если область ограничена двумя кривыми y = f (x) и y = g(x), причём при
x [a;b] f (x)  g(x), то площадь области, ограниченной кривыми y = f (x);
y = g(x) и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле:
b
SD 
  f ( x)  g ( x)dx
a
88
2. Свойства определённого интеграла
a
1)
 f ( x)dx  0
a
2)
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
b
b
a
a
3)  k  f ( x)dx  k   f ( x)dx
4)
b
b
b
a
a
a
  f1( x)  f 2 ( x)dx   f1( x)dx   f 2 ( x)dx
5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она
интегрируема и на отрезке [a;b], причём верно равенство:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.
6) Если f (x)  0 при x [a;b], то
b
 f ( x)dx  0
a
7) Если на отрезке [a;b] f (x)  g (x), то
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
8) Теорема 2 (о среднем значении определённого интеграла). Если функция
f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна
точка c, в которой выполняется равенство:
89
b
 f ( x)dx  f (c)  (b  a)
a
Доказательство. Так как функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она
достигает на этом отрезке своих наименьшего “m” и наибольшего “M”
значений. Тогда m  f(x)  M для любого x[a;b]. По свойству 7
определённого интеграла можно записать неравенство:
b
b
b
a
a
a
 mdx   f ( x)dx   Mdx
Так как m и M – постоянные числа, то
b

b
b
 f ( x)dx  M  dx
a
a
a
m dx 
()
Вычислим по определению определённого интеграла

b
 dx 
a
lim
n 
max x k  0

S
lim
n 
max x k  0
1  x1  1  x2  ...  1  xn  
b
lim
n 
max x k  0
(b  a )  b  a   dx  b  a.
a
Тогда неравенство () можно переписать в виде:
b
m  (b  a )   f ( x)dx  M  (b  a ) .
a
Разделим все части полученного неравенства на (b – a) > 0 (длина отрезка
интегрирования):
b
 f ( x ) dx
m a
ba
90
M
Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает все
значения, заключённые между наименьшим
“m”
и
наибольшим
“M”
значениями. Значит найдётся на отрезке [a;b] хотя бы одна точка c, в которой
выполняется равенство:
b
 f ( x ) dx
a
ba
 f (c ) 
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) .
a
Теорема доказана.
3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница
Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и
его свойства
Определение 4. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она
непрерывна на отрезке [a;x] для любого x[a;b]. Следовательно, на отрезке
x
[a;b] определена функция F ( x)   f (t )dt , которая называется интегралом с
a
переменным верхним пределом.
Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда функция
x
F ( x)   f (t )dt обладает свойствами:
a
1) непрерывна на отрезке [a;b];
2) имеет производную F'(x) в каждой точке x[a;b], удовлетворяющую
'
x

равенству F ' ( x)    f (t )dt   f ( x) .
a

Доказательство. Вычислим приращение функции F(x), причём x возьмём
таким, чтобы точка x + x  [a;b].
Тогда
91
F  F ( x  x)  F ( x) 

x  x
x
x
x  x
a
a
a
x
 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt 
Применим
к
полученному

интегралу
x
x  x
a
x
f (t )dt   f ( x)dx   f (t )dt .
теорему
о
среднем
значении
определённого интеграла, т.е. на отрезке [x; x + x] существует такое число c, в
котором выполняется равенство:
x  x
 f (t )dt 
f (c)  ( x  x  x)  f (c)  x
x
Значит, F = f (c) x, где c  [x; x + x].
Если x  0, то c  x (так как x < c < x + x).
Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c)  f (x) при x0.
Таким образом, F0 при x0, что доказывает непрерывность F(x).
Кроме того, вычисляя предел отношения F к x при x  0, получим:
F
f (c)x
 lim
 lim f (c)  f ( x) ,
x 0 x
x 0
x 0
x
lim
(c x )
т.е. существует конечный предел отношения F к x при x  0, что означает
существование производной F' (x) = f (x).
Теорема доказана.
x
Из теоремы 3 следует, что функция F ( x)   f (t )dt является первообразной для
a
функции f (x).
Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и (x) – какая-либо
её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции
f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции (x) в точках b и a:
92
b
 f ( x)dx  (b)  (a)
a
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией (x) функция
x
F ( x)   f (t )dt также является на отрезке [a;b] первообразной для f(x). Тогда по
a
свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области
имеем:
x
 f (t )dt  Ф( х)  const
для любого x [a;b]
()
a
Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определённого
a
интеграла (§3, п.2, с. 93)
 f ( x)dx  0 , рассмотрим равенство () при x = a:
a
a
 f (t )dt  (a)  const 
a
0  (a)  const  const  (a)
Следовательно, равенство () можно переписать в виде:
x
 f (t )dt  Ф( x)   Ф(a) для x [a;b]
a
Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:
b
 f (t )dt  (b)  (a) 
a
b
 f (t )dt  (b)  (a)
a
Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она является основной формулой
интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и
неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого
интеграла.
93
Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:
b
b
 f ( x)dx  ( x)
a
,
a
где используется обозначение:
b
( x)  (b)  (a) .
a
Задача
вычисления
определённого
интеграла
свелась
к
нахождению
первообразной непрерывной функции.
Пример 1. Вычислить интеграл:
π
2
π
2
0
0
 sin xdx   cos
π
 (cos  cos 0)  (0  1)  1.
2
π
2
 sin xdx  1 .
Ответ:
0
Пример 2. Вычислить интеграл:
3
3
1 d( x 2  1) 1
1
1 10 1
2
dx 
 ln x  1  (ln 10  ln 5)  ln
 ln 2 .
2
2
2
2
2
2 5 2
x

1
x

1
2
2
2
3

x

3
Ответ:
x
1
 x 2  1dx  2 ln 2 .
2
4. Методы интегрирования определённого интеграла
Замена переменной в определённом интеграле
Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция
x = (t) имеет непрерывную производную '(t) на отрезке [;], область
94
значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a   (t)  b для t [;], причём
() = a, () = b.
Тогда справедливо равенство:
b
β
a
α
 f ( x)dx  f ( (t ))  (t )dt .
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то
b
существует определённый интеграл
 f ( x)dx
и справедлива формула Ньютона–
a
Лейбница:
b
 f ( x)dx  (b)  (a)
(1)
a
где (x) – одна из первообразных f (x) на отрезке [a;b].
Известно, что (x) дифференцируема в любой точке отрезка [a;b], причём
'(x) = f (x) для любого x [a;b].
Так как функция x = (t) непрерывна на [;] и множество её значений
совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f((t)) и ((t)) непрерывны в
любой точке t  [;].
Так как '(t) непрерывна на отрезке [;], то функция f((t))  '(t) тоже
непрерывна на [;], а значит существует интеграл:
β
 f ( (t )) (t )dt .
α
Покажем, что функция ((t)) является первообразной для
f ( (t )) (t ) .
Действительно, (( (t)))'t = '(x) '(t) = f (x) '(t) = f ( (t)) '(t) для любого
t  [;]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона–
Лейбница:
95
β
 f ( (t )) (t )dt  ( (t ))
 ( (β))  ( (α))  (b)  (a)
α
(так как () = b и () = a).
Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:
b
β
a
α
 f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt .
Пример 3. Вычислить интеграл:








Замена

 2 2tdt
4
2 t 11
dx

x t
 2
dt 


01  x
0 1 t

 01  t

x t
2
 x  t , dx  2tdt ,

0 0


4 2 
2
2
dt
2 dt  2
 2t  2 ln 1  t  4  0  2 ln 3  2 ln 1  4  2 ln 3 .
1 t
0
0
0
0
2

2

4
Ответ:
dx
 1
0
x
 4  2 ln 3 .
Пример 4. Вычислить интеграл:







 π
Замена
2

 2
2
2
2
2
 x 4  x dx   x  2 sin t , 4  x  2 cost    4 sin t  2 cost  2 costdt 

 0
0

x 0 2 
 dx  2 cos tdt ,

t 0 π 


2 
96
(2)
π
2
π
2
π
2
π
2

0
0
0
2
1  cos 4t
 16  sin t  cos tdt  4  sin 2tdt  4 
dt  2  dt  2  cos 4tdt 
2
2
2
0
 2t
2
0
π
2
π
2
1
π
 1
 sin 4t  2  0   sin 2 π  sin 0   π.
2
 2
0 2
0
2
Ответ:
x
2
4  x 2 dx  π.
0
Интегрирование по частям в определённом интеграле
Теорема 6. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на
отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:
b
b
b
a
a
a
 u ( x)  v'( x)dx  u ( x)  v( x)   v( x)  u ( x)dx .
Доказательство. Так как (u(x) v(x))' = u(x) v' (x) + u' (x) v(x) для любого
x  [a;b], то функция u(x)  V(x) является одной из первообразных функции
u (x) ∙ v' (x) + u' (x) ∙ v(x).
Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница:
b
b
a
a
 u ( x)  v' ( x)  v( x)  u ( x)  dx  u ( x)  v( x) 
Пользуясь свойством определённого интеграла можно это равенство записать в
виде:
b
b
b
a
a
a
 u ( x)  v'( x)dx   v( x)  u ( x)dx  u ( x)  v( x)
Отсюда следует:
97
b
b
b
 u ( x)  v'( x)dx  u ( x)v( x)    v( x)u ( x)dx
a
a a
Эту формулу удобно записать в виде:
b
b
b
 udv  u  v    v  du
a
a a
Пример 5. Вычислить интеграл:
dx 

3
u  arctg x du 
2   x2

1  x    arctg x 

 x  arctg xdx   dV  xdx
2
 2

x


 0
0
V

2 
3
3
1
 arctg 3  0 
2
2
1

2

3

0
3

0
3 π 1
  
2
2 3 2
1 x
π 1

 x
1  x2 2 2
dx
x 2 dx
3
0
1
 arctg x
2
3

0
3

0
3

0
x 2 dx


2 1  x2
1 
π 1

1 
dx  
2
2 2
 1 x 
3
 dx 
0
π
3 1

 arctg 3 
2 2 2
π
3 1 π π π
3 2π
3

    


.
2
2 2 3 2 6
2
3
2
3
Ответ:
 x  arctg xdx 
0
2π
3

.
3
2
Пример 6. Вычислить интеграл:
π
2

0

ux
 x  sin xdx  dV  sin xdx V
π
π
  cos  0  cos 0  sin x
2
2
du  dx 
   x cos x
  cos x 
π
2
0
π
2
0
π
2
  cos xdx 
0
π
π
   0  0  1  sin  sin 0  0  0  1  0  1.
2
2
98
π
2
Ответ:
 x  sin xdx  1.
0
5. Приложения определённого интеграла
Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
а) Область D ограничена кривыми y = f(x) и y = g(x), прямыми x = a и x = b,
причём f(x)  g(x) для x[a;b].
b
S D    f ( x)  g ( x)  dx .
a
б) Область D ограничена кривыми x = f(y) и x = g(y), прямыми y = c и y = d,
причём f (y)  g(y) для y[c;d].
d
S D    f ( y )  g ( y )  dy .
c
Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат
а) Полярная система координат задается полярной осью Ox, полюсом – точка O
и масштабной единицей (рис. 14)
Рис. 14
Точка M в этой системе задаётся двумя координатами ( и ):  – угол наклона
радиуса-вектора OM к оси Ox;  – длина радиуса-вектора OM . Формулы
перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе, связанной
с полярной точкой начала координат – точка 0, осью абсцисс с полярной осью и
осью ординат, перпендикулярной полярной оси
99
 x  ρ cos 
M(;) = M(x; y): 
 y  ρ sin 
и
ρ  x 2  y 2

 tg  y

x
Уравнение кривой в полярной системе координат – соотношение между  и :
 =  ().
б) Площадь криволинейного сектора в полярной системе, ограниченного
лучами  = и  = , кривой  = () (рис. 15), вычисляется по формуле:
β
1
S   ρ 2 ( )d .
2α
Рис.15
Вычисление объёма тела по площадям параллельных сечений
Пусть задано объёмное тело T, для которого известна площадь S(x) любого
сечения плоскостью, проходящей через точку (x;0;0) перпендикулярно оси Ox,
a  x  b (рис. 16). Нужно вычислить объём тела.
Рис. 16
Пусть функция S(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда объём тела T
вычисляется по формуле:
100
b
VT   S ( x)dx .
a
Вычисление объёма тела вращения
Надо вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox
криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой y = f (x), осью Ox и
прямыми x = a, x = b.
В таком случае площадь поперечного сечения в точке x [a;b] круг радиусом
f(x) равна:
S ( x)  π  f 2 ( x) .
Тогда объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной
трапеции ABCD, вычисляется по формуле:
b
V  π  f 2 ( x)dx .
a
Объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции
ABCD, ограниченной кривой x = (y), осью Oy и прямыми y = c,
y = d,
вычисляется по формуле:
d
V  π   2 ( y )dy .
c
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
При изучении определённого интеграл от функции f (x), требуется, чтобы
функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:
 была определена на конечном отрезке [a;b];
 была непрерывна на отрезке [a;b].
101
Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о
несобственных интегралах первого и второго рода.
1. Интегралы с бесконечными пределами
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+) или (–;a]
или (–;+).
b
Определение 1. Если существует конечный предел lim
b 
 f ( x)dx ,
то этот
a
предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном

промежутке [a;+), обозначается
 f ( x)dx
и в этом случае считается, что
a
b
интеграл сходится. Если
lim
b  
 f ( x)dx
не существует или равен , то
a

 f ( x)dx расходится.
считается, что интеграл
a
Аналогично определяются интегралы:
a



a
f ( x)dx  lim
b  
 f ( x)dx
b

a



a
a
c
b   b
c   a
  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx
Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а
если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл
считают расходящимся.
Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

 xe
1
2x
b
dx  lim  xe
b   1
2x
du  dx 
 ux
1 2x  

dx 
2x
V


e 
d
V

e
d
x

2

102



b
b
1 b 2x 
b
e2 1 2x 
 x 2x

 lim   e
 e
lim  

 e
  b

 2b
2
2
4
b   2



2
e
1
1
1 





b
1
1
1
b
1
3
 lim  
 e  2  e  2b  e  2    lim
 lim


4
4
b   2e 2b 2
b   2e 2b b   4e 2b 4e 2

1
  lim
b   4e
2b
3
0
4e
2

3
4e 2

Так как получили конечное число, то интеграл
 xe
 2 x dx
сходится и равен
1
3
.
4e 2

Ответ:
2 x
 xe dx 
1
3
.
4e2
2. Интегралы от разрывных функций
1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x
= b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b
будем называть особой точкой функции f (x).
b ε
Определение 2. Если существует конечный предел εlim
0
 f ( x)dx ,
то он
a
называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке
b
[a;b] и обозначается символом
 f ( x)dx . При этом говорят, что несобственный
a
b
интеграл
 f ( x)dx сходится и записывается равенство:
a
b
b ε
a
a
 f ( x)dx  εlim
 f ( x)dx .
0
103
Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что
b
несобственный интеграл
 f ( x)dx расходится.
a
2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке
x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют
особой точкой функции f (x).
 b


 , то он
lim
f
(
x
)
d
x
Определение 3. Если существует конечный предел



ε 0
 a ε

называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на
отрезке [a;b] и обозначается символом
b
 f ( x)dx .
a
b
При этом говорят, что несобственный интеграл
 f ( x)dx сходится и
a
записывается равенство:
b

a
 b


f ( x)dx  lim  f ( x)dx  .

ε 0
 a ε

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что
b
несобственный интеграл
 f ( x)dx расходится.
a
Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри
отрезка [a;b], то по определению полагают:
b
c
a
a
 f ( x)dx  
 c ε

 b



f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim   f ( x)dx 
 δ 0

ε 0
c
 a

 c δ

b
при условии, что оба предела в правой части существуют, и  и  не зависят
друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом
второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:
104
b
 f ( x)dx .
a
Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или
не существования конечного предела.
Пример 2. Исследовать на сходимость:

1 1 
1
  u  ln x du  1 dx 


 ln xdx   

ln
x
d
x

lim

lim
x
ln
x

d
x

x


  
 dV  dx
ε 0
ε 0

V x 
0
ε
 
ε ε 

1


1






1
 ln x 1
 ln 1 ln ε

ε





 lim
 x  lim

 1  ε  lim 0 
1  0 


1
1
1
1




ε 0
ε 0
ε
ε  ε  0





ε
 x



ε2


 lim ε  1  0  1  1
ε 0
1
Так получили конечное число, то
 ln xdx сходится и равен «–1».
0
1
Ответ:  ln xdx  1.
0
Пример 3. Исследовать на сходимость:
1

0
 1ε dx
 lim  
2
2
ε 0
1 x
 0 1 x
dx

1 ε



  lim  arcsin x

 ε 0

0 

 lim arcsin( 1  ε)  arcsin 0  lim arcsin( 1  ε)  arcsin 1 
ε 0
ε 0
1
Так как получили конечное число, то

0
1
Ответ:

0
dx
1  x2

dx
1  x2
π
.
2
Пример 4. Исследовать на сходимость:
105
сходится и равен
π
.
2
π
2


 ε
1
0
1
  ε dx 
 1 dx 
 1

 1  
dx
dx
dx


  lim      
 x 2   x 2   x 2  εlim
 x 2   δlim
   lim  
0
0 x 2  ε 0 x
 δ 0  x  δ 
1
1
0
 1 
δ 

1




1
1
1 

lim   1  lim   1        
ε 0 ε
δ
 δ 0
1
Так как получили бесконечность, то
1
Ответ:
dx
 x2
1
dx
 x2
1
расходится.
106
расходится.
Учебное издание
Рудаковская Елена Георгиевна
Рушайло Маргарита Федоровна
Меладзе Марина Абрамовна
Гордеева Елена Львовна
Осипчик Валерия Владимировна
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Редактор Н.А. Заходякина
Подписано в печать 00.00.2012 г. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 6,51. Уч.-изд. л. 3,75. Тираж 1000 экз. Заказ
Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева
Издательский центр
Адрес университета и издательского центра:
125047, Москва, Миусская пл., 9
107
Для заметок
108