Коньшина Е.В. Задание 7. Зачетная работа

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение “Гимназия №8”
Графический метод решения задачи о наилучшем рационе
питания
Гладкова Кристина Александровна
ученица 8 класса
Коньшина Елена Викторовна
учитель математики
Пермь 2011
Оглавление
Введение ..............................................................................................................................................3
Глава I. Понятие модели. Этапы построения математической модели ........................................5
Глава II. Модель задачи о нахождении наилучшего рациона питания.........................................6
Глава III. Графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания. .........................9
Глава IV. Возможные варианты графического решения задач линейного программирования
............................................................................................................................................................12
Заключение .......................................................................................................................................13
Список литературы ..........................................................................................................................14
Приложение
2
Введение
Моделирование является одним из способов изучения окружающей действительности.
Моделирующими методами ныне широко пользуются представители самых разных, как
естественнонаучных, так и гуманитарных областей знания. Математические знания необходимы
и будущим биологам, и филологам, экономистам и юристам, агрономам и инженерам.
В последнее время актуальны проблемы производства, планирования народного
хозяйства, автоматизации промышленности и управления всеми отраслями. Все это сделало
понимание
путей
использования
математического
аппарата
при
нематематических
исследованиях, чуть ли не одним из важнейших элементов общей культуры, а владения терминами
«математическая структура» и «математическая модель» - необходимыми атрибутам
образованного человека. Ряд математических моделей уже нашли практическое применение,
а многие на пути к нему. Исследуя модель, можно получить новую информацию об
интересующем нас объекте. Критерием применимости модели служит практика: выводы,
полученные на основе модели, должны подтверждаться на деле.
К числу моделей, нашедших практическое применение, принадлежат задача
линейного программирования, транспортная задача, сетевое планирование, балансовые
модели и многие, многие другие. Современный человек часто питается не рационально –
потребляет лишние калории, ест много жирной пищи и вообще тратит много денег на еду.
Объектом исследования данной работы является процесс нахождения оптимального рациона
питания по заданным условиям. Задача о рационе питания относится к классу задач
линейного программирования.
Предметом нашего исследования является графический метод решения задачи о
наилучшем рационе питания.
Цель работы: апробация графического метода решения задачи о наилучшем рационе
питания (по заданным условиям).
Для решения задач линейного программирования разработан симплекс-метод.
Гипотеза: если задача о рационе питания содержит не более двух переменных, то ее можно
решить графическим методом.
Задачи работы:

изучить этапы построения математической модели;

составить модели трех задач о нахождении рациона питания наименьшей
калорийности, состоящего из двух продуктов: рыбы и курицы. В первой задаче ввести
3
ограничение по количеству белка, во второй - ограничение по количеству белка и по
бюджету, в третьей - ограничение по жирам и белкам;

решить задачи о наилучшем рационе графическим способом;

составить алгоритм решения задачи о наилучшем рационе питания.
В работе использованы методы:
 математического моделирования;
 анализа;
 обобщения.
4
Заключение
Задачей линейного программирования общего вида называется задача нахождения
экстремума (максимума или минимума) линейной целевой функции при ограничениях,
являющихся линейными неравенствами или уравнениями. Задача о наилучшем рационе
питания относится к этому типу. Так как задача содержит только две переменные, ее можно
решить графическим методом. Таким образом, наша гипотеза подтвердилась.
Мы апробировали метод при решении трех задач о наилучшем рационе питания ( по
заданным условиям). В результате получили, что

Если
составить
рацион
наименьшей
калорийности,
учитывая,
что
потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм, оптимальным
решением будет 285 грамм курицы и 0 грамм рыбы.

составить
Eсли
рацион
наименьшей
калорийности,
учитывая,
что
потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм и денежная
сумма не должна составлять больше 50 рублей, то оптимальным решением
будет 250 грамм курицы, 42 грамма рыбы.

Если составить рацион наименьшей калорийности, учитывая, что суточные
потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм и жиров не
менее 30 грамм, то оптимальным решением будет 285 грамм курицы и 32
грамма рыбы.
Решая графическим способом задачу о наилучшем рационе, нужно проделать
следующие действия:
 преобразовать задачу к стандартной форме, если это необходимо.
 для каждого неравенства выполнить действия:
а)
для
неравенства
ах
+
bу
<
с
(или
ах
+
bу
>
с)
постройте прямую ах + bу = с (l);
б)
возьмите
«пробную»
точку,
которая
не
лежит
на
прямой
(1), и выясните, какое из неравенств выполняется: ах + bу < с или ах +
bу > с;
в)
отметьте
стрелками
(или
любым
другим
способом),
какая из двух полученных полуплоскостей является решением
данного неравенства.
5
 найти
область
допустимых
планов
задачи
как
пересечение
всех
полуплоскостей:
если D = 0, то решений нет;
если
D

0,
то
изобразите
линии
уровня
целевой
функции z  c1 x  c2 y  c0 , которые образуют семейство параллельных прямых.
 определить по чертежу точку максимума или минимума (точку выхода или
входа).
 вычислить значение целевой функции в точке экстремума (максимума или
минимума)
Областью решений задачи может быть, либо ограниченный выпуклый многоугольник,
либо неограниченная выпуклая многогранная область.
Если задача имеет оптимальное решение, то оно достигается, по крайней мере, в одной из
вершин области допустимых решений.
Если задача не имеет решения, то это происходит:
 из-за несовместности системы ограничений;

из-за неограниченности целевой функции.
6
Список литературы
1. Коршунова Н. И., Плясунов В. С. «Математика в экономике», «Вита-Пресс», 1996.
2. Книга о вкусной и здоровой пище. М.: Агропромиздат.
3. Солодовников А.С.Введение в линейную алгебру и линейное программирование.М.,Просвешение,1966.
7
Приложение
Задача1
Для обеспечения себя белками человеку нужно не менее 60 грамм в день. В 100
граммах сайры содержится 18 грамм белка , а в 100 граммах куриного филе 21 грамм
белка. Составить рацион наименьшей калорийности, если в 100 граммах сайры
262Ккал, а в 100 граммах курицы 166 Ккал.
Задача 2
Для обеспечения себя белками человеку нужно не менее 60 грамм в день. В 100
граммах сайры, которая стоит 12 руб. содержится 18 грамм белка , а в 100 граммах
куриного филе, которое стоит 18 руб. 21 грамм белка. Составить рацион наименьшей
калорийности, если денежная сумма составит не более 50 руб.
Задача 3
Для обеспечения себя питательными веществами человеку нужно не менее 60
грамм белков и не менее 30 грамм жиров в день. В 100 граммах сайры содержится 18
грамм белка , 21 грамм жира, а в 100 граммах куриного филе 21 грамм белка, 9 грамм
жира. Составить рацион наименьшей калорийности, если в 100 граммах сайры
262Ккал, а в 100 граммах курицы 166 Ккал.
8