Лекция № 3 Метрические пространства M R

Лекция № 3
Метрические пространства
Открытые и замкнутые множества. Множество M , лежащее
в метрическом пространстве R , называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: [ M ]  M . Иначе говоря, множество
называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.
Утверждение 1. В метрическом пространстве R замыкание
любого множества есть замкнутое множество. Кроме того, замыкание
[ M ] любого множества M  R есть наименьшее замкнутое множество, содержащее M .
Мы определили операцию замыкания множества в метрическом пространстве
как совокупность его точек прикосновений (см. лекцию 2). Сейчас дано определение замкнутого множества как такого множества, которое совпадает со своим замыканием. Речь
идет о том, чтобы выявить связь между этими понятиями.
Доказательство.
Поскольку
в
метрическом
пространстве
[[ M ]]  [ M ] (см. теорему 1, лекция 2), то отсюда автоматически
следует, что [ M ] – замкнутое множество. Кроме того, так как из
M  N следует, что [ M ]  [ N ] . Отсюда следует, что замыкание
[ M ] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее M . Действительно, если M  N и N замкнуто, то [ M ]  [ N ]  N , т.е.
[ M ]  N . В силу произвольности N получаем, что [ M ] –
наименьшее замкнутое множество, содержащее M .
Примеры.
1) Всякий отрезок [a ,b] числовой прямой есть замкнутое множество.
2) Замкнутый шар B [ x0 , r ]  { x  R :  ( x , x0 )  r } в метрическом
пространстве R представляет собой замкнутое множество. В частности,
в пространстве
C [ a ,b ] непрерывных функций множество
M  { f  C [ a ,b ] : | f ( t ) | K } замкнуто в метрике
 ( f , g )  max | f ( t )  g( t ) | .
a t b
3) Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.
4) Каково бы ни было метрическое пространство R , пустое множество
 и всё R замкнуты.
45
Убедитесь в этом в качестве упражнений!
Основные свойства замкнутых множеств раскрывает следующая
теорема.
Теорема 1. Пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутые множества.
Доказательство. Пусть F   F – пересечение замкнутых

множеств F и пусть x есть точка прикосновения для F . Это означает,
 – окрестность O ( x ) этой точки содержит хотя бы одну
точку y из F : y  O ( x )  F . Так как F   F , то эта точка обячто любая

зана принадлежать всем F . Но каждое из F , как замкнутое множе-
ство, содержит все свои точки прикосновения: y  F   . Поэтому
y   F  F , т.е. F тоже содержит все свои точки прикосновения,

т.е. оно также замкнуто.
Рассмотрим теперь объединение
n
F   Fi конечного числа
i 1
замкнутых множеств Fi , и пусть x  F . Если мы докажем, что тогда
точка x не может быть точкой прикосновения для множества F , то
утверждение о замкнутости множества F будет доказано. Действительно, если x  F , то x  Fi i . Тогда i  окрестности O i ( x ) , не
содержащие точек из Fi ( Fi – замкнуты!). Взяв   min{ 1 ,..., n } ,
получаем окрестность O ( x ) точки x  F , не содержащую точек из
F , т.е. F замкнуто. Теорема доказана.
Определение 1. Точка x называется внутренней точкой для
множества M метрического пространства R , если существует окрестность O ( x ) этой точки, целиком содержащаяся в M .
Определение 2. Множество, все точки которого внутренние,
называется открытым.
Примеры.
1
5) Интервал ( a ,b ) числовой прямой R есть открытое множество.
6) Открытый шар B( a , r )  { x  R : ( x , a )  r } в любом метрическом пространстве R есть открытое множество.
46
7) Множество непрерывных функций на [ a ,b ] , удовлетворяющих
условию f ( t )  g( t ) , где g( t ) – некоторая фиксированная непрерывная функция, представляет собой открытое множество функционального
пространства C [ a ,b ] .
Теорема 2. Для того чтобы множество M метрического пространства R было открыто, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение R \ M до всего пространства R было замкнуто.
Доказательство. Если M открыто, то каждая точка x из M
имеет окрестность, целиком принадлежащую M , т.е. не имеющую ни
одной общей точки с R \ M . Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащая R \ M , не может быть точкой прикосновения для R \ M ,
т.е. R \ M замкнуто. Обратно, если R \ M замкнуто, то любая точка из
M имеет окрестность, целиком лежащую в M , т.е. M открыто. Теорема доказана.
Так как пустое множество Ø и всё пространство R замкнуты
и в то же время служат дополнениями друг друга, то пустое множество
Ø и всё пространство R открыты.
Замечание 1. Если одновременная открытость и замкнутость пространства R
очевидна, так как R , во-первых, содержит все свои точки прикосновения (замкнутость!)
и, во-вторых, любая точка x  R входит в R вместе с некоторой окрестностью (открытость!). Что же касается пустого множества, то оно содержит все свои точки прикосновения, так как их у него нет (замкнутость!), и каждая точка входит в него с некоторой
окрестностью, так как если нет точек, то и нет их окрестностей (открытость!).
Из принципа двойственности (см. лекцию № 1, теория множеств) получаем очень важную теорему, двойственную теореме 1.
Теорема 1’. Объединение любого (конечного или бесконечного)
числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств есть
открытые множества.
Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура
открытых и замкнутых множеств в метрических пространствах может
быть весьма сложной. Это относится даже к открытым и замкнутым
множествам на плоскости (в ее естественной топологии). Однако в одномерном случае, т.е. на прямой, структура всех открытых (а следовательно, и замкнутых) множеств достаточно проста.
Теорема 3. Всякое открытое множество на числовой прямой
представляет собой объединение конечного или счетного числа попарно
непересекающихся интервалов.
Замечание 2. Множества вида
( , ) , ( , a )
считаем интервалами.
47
и
( b , )
мы также
Доказательство. Пусть G – открытое множество на прямой
( , ) . Введем для точек из G отношение эквивалентности, считая,
что
x ~ y , если существует такой интервал (  ,  ) , что
x , y (  ,  )  G . Проверим, что это действительно отношение эквивалентности.
1) Рефлексивность. Поскольку G – открытое множество, то не представляет труда указать интервал (  ,  )  G , которому принадлежит любая точка x  G : при достаточно малом   0 это интервал
( x   , x   ) . Таким образом, x ~ x .
2) Симметричность. Если x ~ y , т.е. существует такой интервал
что
Очевидно,
что
тогда
(  , ) ,
x , y (  ,  )  G .
y , x (  ,  )  G , т.е. симметричность установлена.
3) Транзитивность. Если x ~ y и y ~ z , т.е. существуют такие интервалы
и
(  ,  ) и (  , ) , что
x , y (  ,  )  G
y , z (  , )  G . Но тогда   y   , т.е.    , и наши два интервала «слились» в один и x , y , z  (  , )  G . Транзитивность
установлена.
Так как любое отношение эквивалентности в множестве G задает разбиение его на попарно непересекающиеся классы I эквивалентных
между собой точек, то
G   I .
I есть интервал ( a ,b ) , где a  inf I ,
b  supI . Включение I  ( a ,b ) очевидно. С другой стороны, если
x , y  I , то по самому определению I интервал ( x , y )  I . В любой
близости от a справа и в любой близости от b слева есть точки из I .
Поэтому I содержит любой интервал ( a' , b' ) , концы которого принадлежат ( a ,b ) , откуда I  ( a ,b ) . Очевидно, что система таких поДокажем, что каждое
парно непересекающихся интервалов не более чем счетна. Теорема
доказана.
Так как замкнутые множества – это дополнения к открытым, то
отсюда следует, что всякое замкнутое множество на числовой прямой
получается выбрасыванием из прямой конечного или счетного числа
интервалов.
48
Простейшие примеры замкнутых множеств – отрезки, отдельные точки и объединения конечного числа таких множеств.
Фундаментальные последовательности и полнота метрических пространств. В математическом анализе огромную роль играет
факт полноты числовой прямой. Попробуем разобраться в этом вопросе
подробнее. Начнем с примера.
Пример 8. Рассмотрим множество всех рациональных чисел с
обычной метрикой, т.е. с функцией расстояния  ( x , y ) | y  x | . Убедиться в том, что мы получили метрическое пространство, не составляет
труда. В этом метрическом пространстве рассмотрим последовательность чисел
x1  1.4; x2  1.41; x3  1.414 ; x4  1.4142 ; . . . .
Эти числа являются все более точными приближениями числа
2 рациональными (десятичными дробями!) числами. Ясно, что xn  2
при n   . Однако 2 не является рациональным числом. Следовательно, последовательность { x n } не имеет предела в нашем метрическом пространстве.
Покажем, что число
2
не может быть рациональным. Действительно, пред-
2  p q , где p и q – целые числа. Не ограничивая общности, мы можем считать дробь p q несократимой,
сократив в противном случае общие сомножители у чисел p и q . Тогда, после возведеположим, что оно рационально, т.е. представимо в виде
ния в квадрат
 2 2  ( p q )2 получаем: 2  p 2
последнего равенства следует, что
( 2n )  2q
2
2
, или
2n  q
2
2
p
q2
– четное число, т.е.
. Но тогда и число
q
p 2  2q 2 . Но из
p  2n . Тогда имеем:
, или
q  2m . Мы
p 2n
n

 ,
q 2m m
тоже четное, т.е.
получили противоречие с предположением о несократимости дроби
которое и доказывает наше утверждение.
В области действительных чисел такие ситуации исключены.
Это связано с понятием полноты метрического пространства, к изучению которого мы приступаем.
Определение 3. Последовательность точек { x n } метрического
пространства R называется фундаментальной, если для любого   0
49
найдется такой номер N  N , что  ( xn , xm )   при любых n  N и
mN.
В математическом анализе числовые последовательности, удовлетворяющие этому определению, называются удовлетворяющими
критерию Коши. Попробуем разобраться, какие последовательности
точек { x n } метрического пространства R являются фундаментальными.
Утверждение 2. Если последовательность { x n } метрического
пространства R сходится к точке x0  R , то она фундаментальна.
Доказательство. По определению, xn  x0 при n   , если
  0  такой номер N  N (  ) , что  ( xn , x0 )   при любых
n  N . Тогда в силу аксиомы треугольника имеем:
 ( xn , xm )   ( xn , x0 )   ( x0 , xm )  2 при любых n  N и m  N .
В силу произвольности   0 утверждение доказано.
Таким образом, мы установили, что сходящиеся последовательности обязаны быть фундаментальными (в смысле определения 3).
Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает пример 8. Мы вплотную подошли к такому важному понятию функционального анализа, как
полнота пространств.
Определение 4. Метрическое пространство R называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится
(к элементу этого пространства!).
Примеры.
9) В пространстве изолированных точек (см. пример 1, лекция 1), в котором метрика задана как
0 , если x  y ,
1, если x  y ,
( x, y )  
фундаментальными могут быть только стационарные последовательности, т.е. такие последовательности { x n } , у которых все элементы совпадают между собой начиная с некоторого n : xn  xn 1  xn  2  ... .
Совершенно очевидно, что такие последовательности сходятся, и поэтому это пространство является полным.
1
10) Полнота евклидова пространства R – совокупности действительных чисел – известна из анализа.
50
11) Полнота евклидова пространства R n непосредственно следует из
полноты совокупности действительных чисел. Действительно, пусть
{ x( p ) }  {( x1( p ) ,...xn( p ) )} есть последовательность векторов из R n ,
фундаментальная в метрике R n . Это означает, что   0 найдется
такое N  N , что
k 1( xk( p )  xk( q ) )2   2
n
при всех p , q  N . Тогда для каждого k  1,2,...,n получаем соответ( p)
ствующее неравенство для каждой из координат xk
:
| xk( p )  xk( q ) | 
для всех p , q  N , т.е. { xk
( p)
} – фундаментальная числовая последова-
тельность. Положим xk  lim xk( p ) и x  ( x1 , x2 ,...,xn ) . Тогда очевидp 
но, что
lim x( p )  x
p 
n
по норме пространства R .
n
n
12) Полнота пространств R0 и R1 доказывается совершенно аналогично.
13) Докажем полноту пространства C [ a ,b ] . Пусть { xn ( t )} – некоторая фундаментальная последовательность в C [ a ,b ] . Это означает, что
  0 существует такое N  N , что
max | xn ( t )  xm ( t ) | 
a t b
при всех n, m  N . Но тогда | xn ( t )  xm ( t ) |  при n, m  N для всех
t , a  t  b ; а это означает, что последовательность { xn ( t )} равномерно сходится к некоторой функции x( t ) . Как известно из анализа,
предел равномерно сходящейся последовательности функций есть непрерывная функция. Устремляя в предыдущем неравенстве m   ,
получим
| xn ( t )  x( t ) | 
51
для всех t и для всех n  N , а это означает, что { xn ( t )} сходится к
x( t ) в смысле метрики пространства C [ a ,b ] . Таким образом, полнота
пространства C [ a ,b ] установлена.
14) Рассмотрим пространство l 2 числовых последовательностей
x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) , удовлетворяющих условию

k 1| xk |2   , с мет-
рикой
( x, y ) 

k 1| yk  xk |2 .
Пусть { x( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,...,xk( n ) ,...)} – фундаментальная последовательность из l 2 . Это означает, что   0 найдется такое N  N , что
 2 ( x( n ) , x( m ) )  k 1| xk( n )  xk( m ) |2   при n,m  N . (1)
Из этого неравенства следует, что при любом k
| xk( n )  xk( m ) |2   ,
(n)
т.е. при каждом k последовательность действительных чисел { xk }
(n)
фундаментальна и поэтому сходится. Положим xk  lim xk и обознаn 
чим через x последовательность ( x1 , x2 ,...,xk ,...) . Нужно доказать, что
а)

k 1| xk |2   , т.е.
x  l2 ,
в) lim  ( x( n ) , x )  0 .
n
Из неравенства (1) следует, что для любого фиксированного M
k 1| xk( n )  xk( m ) |2  
M
В этой сумме теперь только конечное число слагаемых, и мы можем,
зафиксировав n , перейти к пределу при m   . Получим
k 1| xk( n )  xk |2   .
M
Это неравенство справедливо при любом M .
Восстановим бесконечный ряд, переходя к пределу при M   ; получаем

k 1| xk( n )  xk |2   .
52
(2)
В силу элементарного неравенства ( a  b )2  2( a 2  b 2 ) из сходимости рядов

k 1| xk( n ) |2
и

k 1| xk( n )  xk |2
следует сходимость ряда

k 1| xk |2 , т.е. утверждение а) доказано.
Далее, так как
 произвольно мало, то неравенство (2) означа-
ет, что

 k 1| xk( n )  xk |2
lim  ( x( n ) , x )  lim
n 
n 
0,
т.е. x( n )  x в метрике пространства l 2 . Утверждение в), а следовательно и полнота пространства l 2 , доказаны.
15) Теперь рассмотрим пространство всех непрерывных на отрезке
[ a ,b ] функций с метрикой
1
b
2
 ( x , y )    | x( t )  y( t ) |2 dt  .
a

Это – пространство C 2 [ a ,b ] (см. пример 8, лекция № 2). Покажем, что
оно не полное. Рассмотрим, например, последовательность непрерывных функций
1

 1 при  1  t   n ,

1
1

 n ( t )  nt при -  t  ,
n
n

1

 1 при n  t  1.

2
Она фундаментальна в C [ 1,1] , так как
1
 | n ( t )  m ( t ) |
2
1
dt 
2
.
min( n, m )
Но эта последовательность не сходится ни к какой функции из
C 2 [ 1,1] . Действительно, пусть
C 2 [ 1,1] , и
53
f ( t ) – некоторая функция из
 1 при t  0 ,
 1 при t  0.
( t )  
В силу неравенства треугольника имеем:
1
1
1
1
2  1
2  1
2
  | f ( t )   ( t ) |2 dt     | f ( t )   n ( t ) |2 dt     |  n ( t )   ( t ) |2 dt  .






 1

 1

 1

Так как f ( t ) – непрерывная функция, то интеграл в левой части неравенства отличен от нуля. Далее, ясно, что
1
lim  | n ( t )   ( t ) |2 dt  0 .
n 
1
Поэтому
1
 | f ( t )  n ( t ) |
2
dt не может стремиться к нулю при n   ,
1
откуда и следует, что в классе непрерывных функций у последовательности {  n ( t )} нет предела, т.е. пространство C 2 [ 1,1] не является
полным.
16) Рассмотрим пространство m всех ограниченных числовых последовательностей x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) , | xn | C  C x , с метрикой
 ( x , y )  sup | y k  x k |
k
Докажем, что это – полное метрическое пространство. Прежде всего
убедимся в справедливости аксиом метрики. Если x  y , то очевидно,
( x , y )  0 . Наоборот, если  ( x , y )  0 , т.е. sup | y k  xk | 0 , то
k
| y k  xk | 0 при любых k , т.е. x  y . Аксиома симметрии очевидна.
Докажем аксиому треугольника. Так как
| xk  zk || xk  yk  yk  zk || xk  yk |  | yk  zk | ,
то очевидно,
 ( x , z )  sup | xk  zk | sup | xk  y k |  sup | y k  zk |  ( x , y )   ( y , z ).
k
k
k
Таким образом, аксиома треугольника выполнена.
Докажем полноту пространства m . Пусть последовательность
{ x( p ) }  {( x1( p ) , x2( p ) ,...,xn( p ) ,...)} фундаментальна в m , т.е.   0
найдется такое N  N , что
54
 ( x ( p ) , x ( q ) )  sup | x k( q )  x k( p ) | 
k
при всех p , q  N . Но тогда тем более
| xk( q )  xk( p ) |  при любом фиксированном k ,
(3)
т.е. числовая последовательность { xk }q1 фундаментальна и, следовательно, имеет предел при любом фиксированном k . Пусть
(q)
xk  lim xk( q ) ; составим из этих пределов последовательность
q 
x  ( x1 , x2 ,...,xk ,...) . Покажем, что x  m и x( p )  x при p   по
метрике пространства m . Переходя в неравенстве (3) к пределу при
p   , получим неравенство
| xk( q )  xk |  ,
справедливое при любых k . Тогда
(4)
| xk || xk( q ) |  | xk( q )  xk | C x( q )   , т.е. x  m .
Далее, в силу неравенства (4) имеем:
 ( x ( q ) , x )  sup | x k( q )  x k |  для любого q  N .
k
В силу произвольности  получаем, что x( q )  x при q   в метрике пространства m . Полнота пространства m установлена.
Теорема о вложенных шарах.
Теорема 4. Для того чтобы метрическое пространство R было
полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых
стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Доказательство. Необходимость. Пусть метрическое пространство R полно и пусть B1 , B2 , B3 ,... – последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров. Пусть rn – радиус, а x n – центр
шара Bn . Последовательность центров { x n } фундаментальна, поскольку  ( xn , xm )  rn при m  n , а rn  0 при n   . Так как R
полно, то существует предел
x  lim xn ;
n
55
тогда
x   Bn . Действительно, шар Bn содержит все точки последоn
вательности { x n } , за исключением, быть может, точек x1 , x2 ,...xn 1 .
Таким образом, x является предельной точкой для каждого шара Bn .
Но так как Bn – замкнутое множество, то x  Bn для всех n , т.е.
x   Bn . Необходимость доказана.
n
Достаточность. Пусть { x n } – фундаментальная последовательность. Докажем, что тогда она имеет предел. В силу фундаментальности { x n } мы можем выбрать такую точку xn1 , что  ( xn , xn )  1
1
2
при всех n  n1 . Примем точку xn1 за центр замкнутого шара радиуса 1.
Обозначим его через B1 . Выберем затем xn 2 из { x n } так, чтобы было
n2  n1 и
 ( xn , xn2 ) 
шара радиуса 1
xn1 , xn2 ,...,xnk
1
22
при всех n  n2 . Примем точку за центр
и обозначим этот шар через B2 . Вообще, если точки
2
уже выбраны ( n1  n2  ...  nk ) , то выберем точку
xnk 1 так, чтобы было nk 1  nk и  ( xn , xnk 1 )  1
при всех
2 k 1
n  nk 1 , и окружим ее замкнутым шаром Bk 1 радиуса 1 . Продол2k
жая это построение, получим последовательность замкнутых шаров Bk ,
вложенных друг в друга, причем шар Bk имеет радиус 1 k 1 . Эта по2
следовательность шаров имеет, по предположению теоремы, общую
точку; обозначим ее x . Ясно, что эта точка x служит пределом подпоследовательности { xnk } . Но если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся к x подпоследовательность, то она сама
сходится к тому же пределу. Таким образом, x  lim xn . Теорема докаn 
зана.
Упражнение 1. Докажите, что если фундаментальная последовательность { x n } содержит сходящуюся к x подпоследовательность,
то она сама сходится к x .
56
Упражнение 2. Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.
Упражнение 3. Доказать, что подпространство полного метрического пространства R полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто
в R.
57