Лекция № 2 Метрические пространства

Лекция № 2
Метрические пространства
Определение и примеры. Важнейшая операция анализа – это
предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на
числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Алгебраическая природа действительных чисел здесь несущественна!
Сформулируем определение сходимости последовательности
действительных чисел к пределу. Будем говорить, что числовая последовательность { x n } сходится к числу x 0 , если для любого числа   0
существует номер N  N (  ) такой, что | xn  x0 |  при любых
n  N . На математическом «жаргоне» это формулируется еще проще:
xn  x0 при n   , если   0  N  N (  )
такой, что | xn  x0 |  n  N .
Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено понятие расстояния между элементами, мы
приходим к понятию метрического пространства – одному из важнейших понятий современной математики.
Определение 1. Метрическим пространством называется пара
( X ,  ) , состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной действительной функции ( x , y ) , определенной для любых x и y из X и
подчиненной следующим трем аксиомам:
1.  ( x , y )  0 если и только если x  y ,
2.
(аксиома симметрии): ( x , y )  ( y , x ) ,
3.
(аксиома треугольника): ( x , z )  ( x , y )  ( y , z ) .
Само метрическое пространство, т.е. пару ( X ,  ) , мы будем
обозначать одной буквой R  ( X ,  ) . Если недоразумения исключены,
то метрическое пространство можно обозначить тем же символом, что и
сам «запас» точек X .
Примеры метрических пространств.
1) Положив для элементов произвольного множества
34
0 , если x  y ,
1, если x  y,
( x, y )  
(1)
мы получим метрическое пространство. Его называют пространством
изолированных точек.
2) Множество действительных чисел с расстоянием
(2)
( x , y )  | x  y |
образует метрическое пространство R 1 .
3) Множество упорядоченных групп из n действительных чисел
x  ( x1 , x2 ,...,xn ) с расстоянием
( x , y ) 
 k 1( yk  xk )
n
(3)
называется n - мерным арифметическим евклидовым пространством
R n . Справедливость аксиом 1 и 2 для R n очевидна. Покажем, что в R n
выполнена и аксиома треугольника. Для этого нам потребуется доказать
неравенство Коши-Буняковского.
n
Неравенство Коши-Буняковского: (  ak bk )2 
k 1
n
n
k 1
k 1
 ak2  bk2 .
Докажем его. Справедливо тождество
n
n
n
k 1
k 1
k 1
(  ak bk )2   ak2  bk2 
1 n n
( ai b j  bi a j )2 ,


2 i 1 j 1
n
которое проверяется непосредственно, и т.к.
n
  ( ai b j  bi a j )2  0 ,
то
i 1 j 1
справедливость неравенства Коши-Буняковского установлена.
Теперь легко показать справедливость аксиомы треугольника
для метрики (3). Пусть x  ( x1 ,...,x n ) , y  ( y1 ,..., yn ) и z  ( z1 ,...,zn ) .
Тогда неравенство треугольника ( x , z )  ( x , y )  ( y , z ) запишется
в виде
n
 ( z k  x k )2 
k 1
n
 ( y k  x k )2 
k 1
n
 ( z k  y k )2 .
k 1
Полагая yk  xk  ak , z k  yk  bk , получаем, что z k  xk  ak  bk , а
последнее неравенство запишется в виде
35
n
 ( ak  bk )2
n
n
k 1
k 1
 ak 2   bk 2 .

k 1
Но это неравенство сразу следует из неравенства Коши-Буняковского:
n
n
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
n
 ( ak  bk )2   ak  2 ak bk   bk   ak 
2
n
n
a b
k 1
2
k
k 1
2
k
2
n
  bk
k 1
2




n
a
k 1
2
k
2
2
k 1
2

  bk  .

k 1

n
2
Таким образом, неравенство треугольника для метрики (3) установлено.
4) Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из n действительных чисел x  ( x1 , x2 ,...,xn ) , но расстояние определим по
формуле
n
1( x , y )   | xk  yk | .
(4)
k 1
Справедливость аксиом метрики очевидна. Обозначим это метрическое
пространство R1n .
5) В том же самом множестве, что и в примерах 3 и 4, определим расстояние между элементами по формуле
 0 ( x , y )  max | yk  xk | .
(5)
1 k  n
По прежнему справедливость аксиом метрики очевидна. Обозначим это
n
метрическое пространство через R0 .
Замечание 1. Примеры 3, 4 и 5 показывают, что иногда важно иметь различные
обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как
один и тот же запас точек может быть по разному метризован.
6) Множество C [ a ,b ] всех непрерывных действительных функций,
определенных на отрезке [ a ,b ] , с расстоянием
 ( f , g )  max | f ( t )  g( t ) |
a t b
(6)
также образует метрическое пространство, которое играет важную роль
в анализе.
7) Обозначим через l 2 метрическое пространство, элементами которого
служат всевозможные последовательности x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) дейст36

вительных чисел, удовлетворяющие условию
 xk2   , а расстояние
k 1
определяется формулой

 ( y k  x k )2 .
( x, y ) 
(7)
k 1
Из элементарного неравенства ( xk  yk )2  2( xk2  yk2 ) следует, что
функция
( x , y )
имеет
смысл
для
x , y  l2 , т.е.
всех
ряд

 ( y k  xk )2
сходится, если
k 1

 xk2   и
k 1

 yk2   .
k 1
Покажем теперь, что функция расстояния (7) удовлетворяет аксиомам
метрики. Аксиомы 1 и 2 очевидны, а аксиома треугольника принимает
здесь вид



k 1
k 1
k 1
 ( z k  x k )2   ( z k  y k )2   ( y k  x k ) 2 .
В силу сказанного выше каждый из трех написанных здесь рядов сходится. С другой стороны, при каждом n справедливо неравенство
n
 ( z k  x k )2 
k 1
n
n
 ( z k  y k )2 
 ( y k  xk )2
k 1
k 1
(см. пример 3). Переходя к пределу при n   , убеждаемся в справедливости аксиомы треугольника для метрики (7) в пространстве l 2 .
8) Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [a ,b] , но расстояние
определим по формуле
b
1
2

a


 ( x , y )    ( x( t )  y( t ))2 dt  .
(8)
2
Такое метрическое пространство мы будем обозначать C [ a ,b] и называть пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой.
37
Аксиомы 1 и 2 метрического пространства очевидны, а аксиома треугольника вытекает из интегральной формы неравенства КошиБуняковского
2
b
b
b

 x( t ) y( t )dt   x 2 ( t )dt  y 2 ( t )dt .




a
a
a

Это неравенство может быть получено из легко проверяемого
тождества
2
b
b
bb
b

  x( t ) y( t )dt    x 2 ( t )dt   y 2 ( t )dt  1   [ x( s ) y( t )  y( s )x( t )] 2 dsdt .


2aa
a
a
a

9) Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей
x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) действительных чисел. Полагая
 ( x , y )  sup | yk  xk | ,
(9)
k
мы получим метрическое пространство m . Справедливость аксиом метрики очевидна.
Предлагаю в качестве упражнения убедиться в том, что все
перечисленные в примерах 1 – 9 метрики удовлетворяют аксиомам 1 – 3.
Пусть R  ( X ,  ) - метрическое пространство и M - любое
подмножество в X . Тогда M с той же функцией расстояния ( x , y ) ,
которую мы считаем теперь определенной для x , y  M , тоже представляет собой метрическое пространство; оно называется подпространством пространства R .
Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия. Пусть X и Y – два метрических пространства и f - отображение пространства X в Y . Таким образом, каждому x  X ставится в
соответствие некоторый элемент y  f ( x )  Y . Это отображение называется непрерывным в точке x0  X , если для каждого   0 существует такое   0 , что для всех x  X таких, что
 ( x , x0 )   выполнено неравенство 1( f ( x ), f ( x0 ))   .
Здесь  – расстояние в X , а 1 - расстояние в Y .
Если отображение непрерывно во всех точках пространства
X , то говорят, что f непрерывно на X .
38
Замечание 2. Если
X
и
Y
– числовые множества, т.е.
f
- числовая функ-
ция, определенная на некотором подмножестве X числовой оси, то приведенное определение непрерывности отображения превращается в хорошо известное из элементарного
анализа определение непрерывности функции.
Аналогично можно определить непрерывную функцию (отображение) f от нескольких переменных x1  X 1 ,...,xn  X n (где
X 1 ,..., X n - метрические пространства) со значениями в метрическом
пространстве Y .
Функция расстояния ( x , y ) , если ее рассматривать как функцию двух переменных x и y из X , непрерывна по x и y . Это следует
из неравенства
|  ( x , y )   ( x0 , y0 ) |  ( x0 , x )   ( y0 , y ) ,
которое легко выводится из неравенства треугольника.
Если отображение f : X  Y метрического пространства X
на метрическое пространство Y взаимно однозначно, то существует
обратное отображение f 1 : Y  X пространства Y на пространство
X . Если при этом отображения f и f 1 непрерывны, то f называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, а сами пространства X и Y , между которыми можно установить гомеоморфизм,
называются гомеоморфными между собой.
Примером гомеоморфных метрических пространств могут служить вся числовая прямая (  , ) и интервал ( 1,1 ) . В этом случае
гомеоморфизм устанавливается формулой
y  ( 2  )  arctg( x ) .
Важным частным случаем гомеоморфизма является изометрическое
отображение.
Говорят, что взаимно однозначное отображение f между метрическими пространствами R  ( X ,  ) и R'  ( X ' , ' ) есть изометрия, если
 ( x1 , x2 )  ' ( f ( x1 ), f ( x2 ))
для любых x1 , x 2  R . Пространства R и R' , между которыми можно
установить изометрическое соответствие, называются изометричными.
39
Изометрия пространств R и R' означает, что метрические связи между их элементами одни и те же; различной может быть лишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрических пространств
несущественно.
Предельные точки. Замыкание. Введем некоторые понятия
теории метрических пространств.
Открытым шаром B( x0 , r ) с центром в точке x0 в метрическом пространстве R мы будем называть совокупность точек
удовлетворяющих условию
 ( x , x0 )  r :
xR ,
B( x0 , r )  { x  R :  ( x , x0 )  r } .
Замкнутым шаром
B [ x0 , r ] с центром в точке x0 в метриче-
ском пространстве R мы будем называть совокупность точек x  R ,
удовлетворяющих условию  ( x , x0 )  r :
B [ x0 , r ]  { x  R :  ( x , x0 )  r } .
 с центром в точке x0 мы будем
называть также  – окрестностью точки x0 и обозначать символом
O ( x0 ) .
Открытый шар радиуса
Точка x  R называется точкой прикосновения множества
M  R , если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из
M . Совокупность всех точек прикосновения множества M называется
замыканием этого множества и обозначается через [ M ] . Таким образом, мы определили для множеств метрического пространства операцию
замыкания – переход от множества M к его замыканию [ M ] .
Теорема 1. Операция замыкания обладает следующими свойствами:
1) M  [ M ] ,
2) [[ M ]]  [ M ] ,
3) если M 1  M 2 , то [ M 1 ]  [ M 2 ] ,
4) [ M 1  M 2 ]  [ M 1 ]  [ M 2 ] .
Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как всякая
точка, принадлежащая M , является для M точкой прикосновения. Докажем второе.
40
Пусть x  [[ M ]] . Тогда в любой окрестности O  ( x ) этой
точки найдется точка x1  [ M ] . Положим 1     ( x , x1 ) и рассмотрим шар O 1 ( x1 ) . Этот шар целиком лежит внутри шара O  ( x ) .
Действительно, если
z  O1 ( x1 ) , то
 ( z , x1 )  1 , и так как
 ( x , x1 )    1 , то по аксиоме треугольника
 ( z , x )   ( z , x1 )   ( x1 , x )  1    1   ,
т.е. z  O ( x ) . Таким образом, O 1 ( x1 )  O ( x ) . Так как x1  [ M ] ,
то в O 1 ( x1 ) найдется точка x2  M . Но тогда x2  O ( x ) . Так как
O ( x ) - произвольная окрестность точки x , то x  [ M ] . Мы доказали,
что
[[ M ]]  [ M ] . Поскольку обратное включение
[ M ]  [[ M ]] следует из свойства 1), то второе утверждение доказано.
Третье свойство очевидно. Докажем четвертое свойство.
Если x  [ M 1  M 2 ] , то x содержится по крайней мере в одном из
множеств [ M 1 ] или
[ M 2 ] , т.е. [ M 1  M 2 ]  [ M 1 ]  [ M 2 ] . Так
как M1  M1  M 2 и M 2  M 1  M 2 , то обратное включение следует
из свойства 3). Теорема доказана.
Точка x  R называется предельной точкой множества
M  R , если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек
из M .
Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать M . Например, если M – множество рациональных чисел из отрезка [0,1] , то каждая точка этого отрезка – предельная для M .
Точка x  M называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности O ( x ) нет точек из M ,
отличных от x .
Утверждение 1. Всякая точка прикосновения множества M
есть либо предельная либо изолированная точка этого множества.
Доказательство. Действительно, пусть x есть точка прикосновения множества M  R . Тогда любая ее окрестность O ( x ) должна
содержать точки из M . Пусть это будет точка x1 . Если x1 не совпало с
41
x , т.е. 1   ( x , x1 )  0 , то в окрестности O 1 / 2 ( x ) точки x также
должна содержать точки из M (точка x по-прежнему есть точка прикосновения множества M  R !). Пусть это будет точка x2 . Если x2 не
совпало с x , т.е.  2   ( x , x2 )  0 , то в окрестности O 2 / 2 ( x ) точки
x также должна содержать точки из M . Пусть это будет точка x3 . Если x3 не совпало с x , т.е.  3   ( x , x3 )  0 , то в окрестности
O 3 / 2 ( x ) точки x также должна содержать точки из M . Продолжая
этот процесс, мы имеем две возможности:
1) либо на каком-то n – ом шаге в окрестности O n / 2 ( x ) точки x не найдется точек xn 1 из M , отличных от x ; в этом случае точка x является изолированной точкой множества M .
2) либо для любого n в окрестности O n / 2 ( x ) точки x
найдется точка xn 1 из M , отличная от точки x ; в этом случае x является предельной точкой множества M , ибо по построению последовательность x1 , x2 ,...,xn ,... есть бесконечная последовательность
попарно различных точек. Утверждение доказано.
Опираясь на предыдущее утверждение, можно прийти к заключению, что замыкание [ M ] множества M , содержащегося в метрическом пространстве R , состоит, вообще говоря, из точек трех типов:
1) изолированные точки множества M ;
2) предельные точки множества M , принадлежащие множеству M ;
3) предельные точки множества M , не принадлежащие множеству
M.
Таким образом, замыкание [ M ] получается присоединением к M
всех его предельных точек.
Сходимость
в
метрических
пространствах.
Пусть
x1 , x2 ,...,xn ,... – последовательность точек в метрическом пространстве
R . Говорят, что эта последовательность сходится к точке x , если каждая окрестность O ( x ) точки x содержит все точки x n , начиная с некоторой. Другими словами, последовательность { x n } сходится к точке
42
x , если   0 N  N такое, что O ( x ) содержит все точки x n с
n  N  . Точка x называется пределом последовательности { x n } .
Это определение можно сформулировать еще и следующим образом: последовательность { x n } сходится к точке x , если
lim  ( x , xn )  0 .
n 
Непосредственно из определения предела вытекает, что
1) никакая последовательность не может иметь двух различных
пределов,
2) если последовательность { x n } сходится к точке x , то и всякая
ее подпоследовательность сходится к той же самой точке.
Следующая теорема устанавливает тесную связь между понятиями точки прикосновения и предела.
Теорема 2. Для того чтобы точка x была точкой прикосновения
множества M , необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность { x n } точек из M , сходящаяся к x .
Доказательство. Условие необходимо, так как если x – точка
прикосновения множества M , то в каждой ее окрестности O1 / n ( x )
содержится хотя бы одна точка xn  M . Эти точки образуют последовательность, сходящуюся к x . Достаточность очевидна. Теорема доказана.
Если x - предельная точка множества M , то точки
xn  O1 / n ( x )  M , отвечающие разным n , можно выбрать попарно
различными (докажите это!). Таким образом, для того чтобы точка x
была предельной для M , необходимо и достаточно, чтобы в M существовала последовательность попарно различных точек, сходящаяся к
x.
Понятие непрерывности отображения метрического пространства X в метрическое пространство Y можно теперь сформулировать в
терминах сходимости последовательностей. Именно, отображение
f : X  Y непрерывно в точке x0 , если для всякой последовательности { x n } , сходящейся к x0 , последовательность { yn  f ( xn )} сходится к y0  f ( x0 ) . Докажите это утверждение.
43
Плотные подмножества. Пусть A и B – два множества в метрическом пространстве R . Множество A называется плотным в B ,
если [ A ]  B . В частности, множество A называется всюду плотным
(в пространстве R ), если его замыкание [ A ] совпадает со всем пространством R . Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой.
Множество A называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре B  R содержится другой
шар B' , не имеющий с A ни одной общей точки.
Метрические пространства, в которых имеется счетное всюду
плотное множество, называются сепарабельными.
Примеры сепарабельных метрических пространств. Рассмотрим примеры метрических пространств, приведенные в начале этой
лекции.
1) «Дискретное» пространство, или пространство изолированных
точек, содержит счетное всюду плотное в нем множество если и
только если оно само состоит лишь из счетного числа точек.
Дело в том, что замыкание [ M ] любого множества M из
этого пространства совпадает с M . Докажите это!
Все пространства, перечисленные в примерах 2) – 8), содержат счетные
всюду плотные множества, т.е. являются сепарабельными!
Отмечу еще, что в [17] предложена аксиоматика построения
метрики как кратчайшего времени передвижения от одной точки до
другой. Там же содержится краткое неформальное изложение материала,
соответствующего лекциям 1, 2 и 5.
44