Модуль 2 - Учебно-методические комплексы

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Л.М. Волосникова/
__________ _____________ 2011 г.
Комплексный анализ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов 010100.62
направления «Математика»
профили подготовки «Вещественный, комплексный и
функциональный анализ», «Вычислительная математика и
информатика», «Дифференциальные уравнения, динамические
системы, оптимальное управление», «Алгебра, теория чисел,
математическая логика»
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы____________________________/С.Д.
« 6 »апреля 2011г.
Шалагинов./
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и теории функций 12.04.2011г.
протокол №8. Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 14 стр.
И.О. зав. кафедрой ______________________________/А.Г. Хохлов./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и
информационных технологий 18.04.2011, протокол №1
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/И.Н. Глухих/
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/С.А. Федорова/
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического анализа и теории функций
Шалагинов С.Д.
Комплексный анализ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов 010100.62
направления «Математика»
профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ», «Вычислительная математика и информатика»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Шалагинов
С.Д.
Комплексный
анализ.
Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов 01010062
«Математика», профили подготовки «Вещественный, комплексный и
функциональный
анализ»,
«Вычислительная
математика
и
информатика»,
«Дифференциальные
уравнения,
динамические
системы, оптимальное управление», «Алгебра, теория чисел,
математическая логика»,очная форма обучения
Тюмень, 2011, 14 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Комплексный анализ [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и
теории функций. Утверждено проректором по учебной работе
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Г. Хохлов, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций, к.ф.-м.н., доцент.
© Тюменский государственный университет, 2010.
© Шалагинов С.Д., 2011.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целями освоения дисциплины «Комплексный анализ» являются:
1) фундаментальная подготовка в области комплексного анализа;
2) овладение аналитическими методами теории функций комплексного
переменного
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего
использования в научных исследованиях и приложениях.
Задачами освоения дисциплины «Комплексный анализ» являются:
1) Обеспечение усвоения студентами данной дисциплины;
2) создание базы для изучения завершающих разделов курса и специальных
дисциплин;
3) формирование способностей будущих специалистов-математиков к ведению
исследовательской работы и решению практических задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к профессиональному циклу базовой (общепрофессиональной) части и является логически и
содержательно-методически продолжением дисциплины «математический анализ», требующим знания, умений и
готовностей этой дисциплины в полном объёме, а также использующим знание дисциплин «линейная алгебра» и
«аналитическая геометрия».
Освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее для дисциплин
«функциональный анализ», «уравнения с частными производными» и специальных
дисциплин.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими общекультурными
компетенциями (ОК):
должен демонстрировать:
исследовательские навыки (ОК 6);
способность адаптироваться к новым ситуациям (ОК 8);
умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую информацию (ОК 9);
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать
опасности и угрозы, возникающие в этом процессе; соблюдение основных требований информационной безопасности, в том
числе защиты государственной тайны (ОК 11);
владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки
работы с компьютером как средством управления информацией (ОК 12);
способность к анализу и синтезу (ОК 14);
способность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК 15).
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
должен демонстрировать:
умение формулировать результат (ПК 3);
умение строго доказать математическое утверждение (ПК 4);
умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7);
умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8);
знание корректных постановок классических задач (ПК 9);
понимание корректности постановок задач (ПК 10);
понимание того, что фундаментальное математическое знание является основой компьютерных наук (ПК 12);
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК 16);
знание проблемы современной информатики, ее категории и связи с другими научными дисциплинами (ПК 20);
знание содержания, основных этапов и тенденции развития программирования, математического обеспечения и
информационных технологий (ПК 21);
знание принципов обеспечения условий безопасности жизнедеятельности при эксплуатации аппаратуры и систем различного
назначения (ПК 22);
знание направления развития компьютеров с традиционной (нетрадиционной) архитектурой; тенденции развития функций и
архитектур проблемно-ориентированных программных систем и комплексов (ПК 25);
знание методов организации работы в коллективах разработчиков ПО, направления развития методов и программных
средств коллективной разработки ПО (ПК 29);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные понятия, определения и свойства объектов комплексного
анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их приложений в других областях математического знания.
 Уметь: оперировать с комплексными числами во всех формах;
дифференцировать, интегрировать и находить разложения в ряды Тейлора и
Лорана функций комплексного переменного; исследовать аналитические свойства
функций, находить нули и особые точки функций; применять теорию вычетов для
вычисления контурных, определенных и несобственных интегралов; строить
конформные отображения односвязных областей;
 Владеть: теоретическими и практическими навыками применения методов
комплексного анализа в научно-исследовательской и прикладной деятельности.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
3. Тематический план.
№
Тема
Таблица 1
6 семестр
Всего
часов
5 семестр
144
72
72
72
72
108
36
36
54
экзамен
126
3,5
36
36
54
экзамен
126
3,5
252
7
Тематический план 5 семестр
Не- Лек- Практ. Сам. Итодеции
заня- рабо
го
ли
тия
та
часесов
Таблица 2(1)
Из
Итого
них в колиинтер честактив
во
местра
1
1.
2.
2
Модуль 1
Комплексные числа.
Функции
комплексного
переменного.
Всего
Модуль 2
1.
2.
Голоморфные
функции.
Отображения с
помощью
элементарных
функций.
Всего
Модуль 3
1.
2.
№
1
1.
2.
Комплексное
интегрирование.
Голоморфные
функции и ряды.
Всего
Итого (часов, баллов)
Из них в
интерактивной форме
Тема
2
Модуль 1
Ряды Лорана.
Особые точки
голоморфной
функции.
Всего
3
1-6
1-3
4-6
по
теме
4
12
6
6
5
12
6
6
6
18
9
9
7
42
21
21
ной
форме
8
4
2
2
баллов
9
0-15
0-15
0-30
7-12
7-9
12
6
12
6
18
9
42
21
4
2
0-15
1012
6
6
9
21
2
0-15
1318
1315
1618
12
12
18
42
4
6
6
9
21
2
0-20
6
6
9
21
2
0-20
0-30
36
6
36
6
54
126
12
Тематический план 6 семестр
Не- Лек- Практ. Сам. Итодеции
заня- рабо
го
ли
тия
та
часесов
мепо
стра
теме
3
1-6
1-3
4-6
4
12
6
6
5
12
6
6
0-40
0-100
6
18
9
9
7
42
21
21
Таблица 2(2)
Из
Итого
них в колиинтер честактив
во
ной
балфорлов
ме
8
9
4
2
0-15
2
0-15
0-30
Модуль 2
1.
2.
Элементы теории
вычетов.
Приложения теории
вычетов.
Всего
Модуль 3
1.
2.
Основные принципы
теории конформных
отображений.
Построение
конформных
отображений.
Всего
Итого (часов, баллов)
Из них в
интерактивной форме
7-12
7-9
12
6
12
6
18
9
42
21
4
2
0-15
1012
6
6
9
21
2
0-15
1318
1315
12
12
18
42
4
6
6
9
21
2
0-20
1618
6
6
9
21
2
0-20
0-30
36
6
36
6
54
126
12
12
0-40
0-100
Таблица 3
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
5 семестр
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Комплексные числа.
1.2 Функции
комплексного
переменного.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Голоморфные
функции.
2.2 Отображения с
помощью
элементарных
функций.
Всего по модулю
2
Модуль 3
Письменные
работы
Контрольная
работа
Итого количество
баллов
0-15
0-15
0-15
0-15
0-30
0-30
Контрольная
работа
0-15
0-15
0-15
0-15
0-30
0-30
Контрольная
работа
3.1 Комплексное
интегрирование.
3.2 Голоморфные
функции и ряды.
Всего по модулю
3
0-20
0-20
0-20
0-20
0-40
0-40
0-100
Итого:
6 семестр
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Ряды Лорана.
1.2 Особые точки
голоморфной
функции.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Элементы теории
вычетов.
2.2 Приложения теории
вычетов.
Письменные
работы
Контрольная
работа
Итого количество
баллов
0-15
0-15
0-15
0-15
0-30
0-30
Контрольная
работа
0-15
0-15
0-15
0-15
Всего по модулю
2
0-30
0-30
Модуль 3
Контрольная
работа
0-20
0-20
0-20
0-20
0-40
0-40
3.1 Основные принципы
теории конформных
отображений.
3.2 Построение
конформных
отображений.
Всего по модулю
3
Итого:
0-100
Таблица 4
Планирование самостоятельной работы студентов
5 семестр
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные дополнительные
Модуль 1
1.1
Комплексные числа.
1.2
Функции комплексного
переменного.
Модуль 1
домашняя
работа
домашняя
работа
Контрольная
работа
Неделя
семестра
Объем
часов
1-6
18
1-3
6
-
4-6
6
-
6
6
0-30
7-12
7-9
18
6
-
10-12
6
-
12
6
0-30
13-18
13-15
18
6
-
15-18
6
-
18
6
0-40
Всего по модулю 1:
0-30
Модуль 2
2.1
Голоморфные функции.
2.2
Отображения с помощью
элементарных функций.
Модуль 2
домашняя
работа
домашняя
работа
Контрольная
работа
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Комплексное
3.2
0-30
домашняя
работа
интегрирование.
Голоморфные функции и
ряды.
Модуль3
Кол-во
баллов
домашняя
работа
Контрольная
работа
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
0-40
0-100
6 семестр
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные дополнительные
Модуль 1
1.1
Ряды Лорана.
1.2
Особые точки
голоморфной функции.
Модуль 1
домашняя
работа
домашняя
работа
Контрольная
работа
Неделя
семестра
Объем
часов
1-6
18
1-3
6
-
4-6
6
-
6
6
0-30
7-12
7-9
18
6
Всего по модулю 1:
0-30
Модуль 2
2.1
Элементы теории
Кол-во
баллов
домашняя
работа
-
2.2
вычетов.
Приложения теории
вычетов.
Модуль 2
домашняя
работа
Контрольная
работа
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Основные принципы
3.2
6
-
12
6
0-30
13-18
13-15
18
6
-
15-18
6
-
18
6
0-40
0-30
домашняя
работа
теории конформных
отображений.
Построение конформных
отображений.
Модуль3
10-12
домашняя
работа
Контрольная
работа
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
0-40
0-100
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Функциональный анализ.
Уравнения в частных
производных.
Граничные свойства
аналитических функций.
Темы дисциплины, необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
5 семестр
1.1
2.1
3.2
1.1
2.2
3.1
6 семестр
1.1
2.2
3.2
1.2
2.1
3.2
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
5. Содержание дисциплины.
1.
2.
3.
4.
Комплексные числа: комплексные числа и действия над ними, топология
комплексной плоскости, числовые последовательности и их пределы,
числовые ряды; стереографическая проекция, ее свойства; сфера Римана,
расширенная комплексная плоскость.
Функции комплексного переменного: предел и непрерывность функции
комплексного переменного, пути и кривые, функциональные ряды,
элементарные функции комплексного переменного.
Голоморфные функции: моногенность, голоморфность, геометрический
смысл голоморфной функции, конформное отображение.
Отображения с помощью элементарных функций: дробно-линейная функция,
степенная и экспоненциальная функции и обратные к ним, римановы
поверхности.
5.
6.
7.
8.
9.
Комплексное интегрирование: интеграл по комплексному переменному и его
свойства, интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши,
интеграл типа Коши, теорема Морера.
Голоморфные функции и ряды: ряды Тейлора, теорема Абеля, формула
Коши-Адамара, теоремы Вейерштрасса, теорема единственности и принцип
максимума модуля; ряды Лорана.
Особые точки голоморфной функции: изолированные особые точки
однозначного характера и их классификация, связь с рядами Лорана.
Элементы теории вычетов: теоремы о вычетах, вычисление вычетов, принцип
аргумента, теорема Руше, вычисление определенных интегралов.
Основные принципы теории конформных отображений: условия
однолистности, принцип сохранения области, принцип взаимно
однозначного соответствия, понятие о теореме Римана, аналитическое
продолжение, принцип непрерывности, принцип симметрии, принцип
Шварца, построение конформных отображений односвязных областей.
6. Планы семинарских занятий.
1. Комплексные числа: комплексные числа и действия над ними, топология
комплексной плоскости, предел последовательности, числовые ряды.
2. Функции комплексного переменного: предел и непрерывность функции
комплексного переменного, пути и кривые, функциональные ряды,
элементарные функции комплексного переменного.
3. Голоморфные функции: моногенность, голоморфность, геометрический смысл
голоморфной функции, конформное отображение.
4. Отображения с помощью элементарных функций: дробно-линейная функция,
степенная и экспоненциальная функции и обратные к ним, римановы
поверхности.
5. Комплексное интегрирование: интеграл по комплексному переменному и его
свойства, интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши, интеграл
типа Коши, теорема Морера.
6. Голоморфные функции и ряды: ряды Тейлора, теорема Абеля, формула КошиАдамара, теоремы Вейерштрасса, теорема единственности и принцип
максимума модуля; ряды Лорана.
7. Особые точки голоморфной функции: изолированные особые точки
однозначного характера и их классификация, связь с рядами Лорана.
8. Элементы теории вычетов: теоремы о вычетах, вычисление вычетов, принцип
аргумента, теорема Руше, вычисление определенных интегралов.
9. Основные
принципы
теории
конформных
отображений:
условия
однолистности, принцип сохранения области, принцип взаимно однозначного
соответствия, понятие о теореме Римана, аналитическое продолжение, принцип
непрерывности, принцип симметрии, принцип Шварца, построение
конформных отображений односвязных областей.
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины.
В течение каждого семестра студенты разбирают и решают задачи, указанные преподавателем к каждому практическому
занятию, разбирают и повторяют основные понятия и теоремы, доказанные на лекциях. В каждом семестре проводятся по 3
контрольные работы. Все контрольные мероприятия по дисциплине проводятся в письменной форме. Количество вариантов
совпадает с числом студентов группы (25-30 вариантов). Каждый вариант содержит 4 задания. Максимальная оценка за одно
задание представляет собой среднее арифметическое общего числа баллов за данную работу. Для оптимизации учебного
процесса используются авторские учебно-методические материалы.
5 семестр
Контрольная работа № 1
1. Найти все значения корня
4
 8  i8 3 .
2. Представить в алгебраической форме
3. Представить в алгебраической форме
Ln1  3i .
  2 3  3i 
Arctg
 .
3


4. Вычертить область, заданную неравенствами
z  1  1, z  i  1.
Контрольная работа № 2
1. Проверить, что
u v  является действительной (мнимой) частью голоморфной
функции. Восстановить голоморфную в окрестности точки
z0 функцию
f  z  по известной действительной части u  x, y  или мнимой v x, y  и
значению
f  z0 
u  x 2  y 2  x, f 0  0 .
2. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой
 z z dz,
L :  z  1, Im z  0.
L
3. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням
z
f z  
7 z  196
2
3
98 z  7 z  z
4
z
5
.
z  0 для данной функции
4. Определить тип особой точки
f  z   z 4 exp
4
.
Контрольная работа № 3
1. Представить в алгебраической форме
2. Определить вид кривой
ch1   i .
z   sec t  i3 tg t .
3. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки
f  z   z sin 
z0
z 1
, z0  2 .
z2
4. Для данной функции найти все изолированные особые точки и определить их
тип
f z  
2 z  sin 2 z


z2 z2  1
.
6 семестр
Контрольная работа № 1
Задача 1. Вычислить интеграл
cos2 z
 z sin zdz .
z   2
Задача 2. Вычислить интеграл
e3 z  1  sin 3 z
 z 2 sh 3z dz .
z  0,3



Задача 4. Вычислить интеграл
dx
 x 2  10 x  292
Задача 3. Вычислить интеграл
x
.

 x cos x
 x 4  13x 2  36dx .

2
Контрольная работа № 2
Задача 1. Найти образ области
D при отображении w  f  z :
z  1  2i
.
z 1 i
D при отображении w  f  z :
D  z  C z : z  2  i  2, f  z  
Задача 2. Найти образ области
D  z  Cz :   Im z  3 , z  it, t    , ,
 z
f  z   exp   .
 2
Задача 3. Найти образ области D при отображении w  f  z :
D  z  Cz : 2  Re z  0, z  t , t   1,0,
f  z   i ch
i z
2
Задача 4. Найти образ области
.
D при отображении w  f  z :
D  z  Cz : 0  Re z  1, Im z  0, f z   th i z .
Контрольная работа № 3
Задача 1. Вычислить интеграл
e z  sin z
 z 2 dz .
z  0,3
2
Задача 2. Вычислить интеграл

0
Задача 3. Найти образ области
dx
7  cos x

2
.
D при отображении w  f  z :
D  z  Cz : Im z  0, z  it, t   ,1,
1
1
f  z    z   .
2
z
Задача 4. Отобразить на верхнюю полуплоскость односвязную область
D  z  C z : z  1, z  i  1.
8.
Образовательные технологии: лекции, практические занятия, консультации, контрольные
работы, самостоятельная работа.
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
9.1. Основная литература:
1.
Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1984. 264 с.
2.
Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. М.: Наука, 1967.
Т.1. 486 с; 1968. Т.2. 624 с.
3.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.: Наука, 1984. 444 с.
4.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.I. М.: Лань, 2004. 336 с.
5.
Сборник задач по теории аналитических функций. // Под ред. Евграфова
М.А. М.: Наука, 1972. 388 с.
9.2. Дополнительная литература:
1. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций
комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 477 с.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Лань, 2002. 688 с.
3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории
функций комплексного переменного. М.: Наука, 2004. 312 с.
4. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. Задачи по теории функций
комплексного переменного с решениями. М.: Мир, 2005. 360 с.
5. Шалагинов С.Д. Теория функций комплексного переменного. Ряды Лорана:
Учебно-методический
комплекс:
Методические
указания
и
индивидуальные задания для студентов очной формы обучения Института
математики и компьютерных наук, физического факультета. Тюмень:
Издательство Тюменского государственного университета, 2007. 59 с.
6. Шалагинов С.Д. Математика. Теория функций комплексного переменного.
Вычеты и интегралы: Учебно-методический комплекс: Методические
указания и индивидуальные задания для студентов очной формы обучения
Института математики и компьютерных наук, физического факультета.
Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2010.
41 с.
9.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы: не требуются.
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для чтения лекций и проведения практических занятий.