Document 456767

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Шалагинов С.Д.
КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 02.03.01 «Математика и компьютерные науки»,
профиль подготовки «Вычислительные, программные, информационные
системы и компьютерные технологии»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Шалагинов С.Д. Комплексный анализ. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 02.03.01 «Математика и
компьютерные науки»,профиль подготовки «Вычислительные, программные,
информационные системы и компьютерные технологии». Форма обучения
очная. Тюмень, 2014, 24 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Комплексный
анализ [электронный ресурс] /Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий
кафедрой математического анализа и теории
функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Шалагинов С.Д., 2014.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целями освоения дисциплины «Комплексный анализ» являются:
1) фундаментальная подготовка в области комплексного анализа;
2) овладение аналитическими методами теории функций комплексного переменного
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в
научных исследованиях и приложениях.
Задачами освоения дисциплины «Комплексный анализ» являются:
1) Обеспечение усвоения студентами данной дисциплины;
2) создание базы для изучения завершающих разделов курса и специальных дисциплин;
3) формирование способностей будущих специалистов-математиков к ведению
исследовательской работы и решению практических задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к профессиональному циклу базовой (общепрофессиональной) части
и является логически и содержательно-методически продолжением дисциплины
«математический анализ», требующим знания, умений и готовностей этой дисциплины в
полном объёме, а также использующим знание дисциплин «линейная алгебра» и
«аналитическая геометрия».
Освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее для дисциплин
«функциональный анализ», «уравнения с частными производными» и специальных
дисциплин.
Разделы дисциплины и
(последующими) дисциплинами
№ Наименование
п/ обеспечиваемых
п (последующих)
дисциплин
1.
2.
3.
Функциональный
анализ.
Уравнения с
частными
производными.
Теория
интерполирования
и приближения
функций.
междисциплинарные
связи
с
обеспечиваемыми
Таблица 1.
Темы дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.1
+
1.2
5 семестр
2.1 2.2 3.1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.2
1.1
+
1.2
+
+
6 семестр
2.1 2.2 3.1
+
+
+
3.2
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ОПК-1, ПК-3.
ОПК-1 – Готовность использовать фундаментальные знания в области
математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры,
аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных
уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей,
математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической
механики в будущей профессиональной деятельности.
ПК-3 – Способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные понятия, определения и свойства объектов комплексного анализа,
формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы
их приложений в других областях математического знания.

Уметь: оперировать с комплексными числами во всех формах; дифференцировать,
интегрировать и находить разложения в ряды Тейлора и Лорана функций комплексного
переменного; исследовать аналитические свойства функций, находить нули и особые точки
функций; применять теорию вычетов для вычисления контурных, определенных и
несобственных интегралов; строить конформные отображения односвязных областей;

Владеть: теоретическими и практическими навыками применения методов комплексного
анализа в научно-исследовательской и прикладной деятельности.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестры 5 и 6. Форма промежуточной аттестации в обоих семестрах – контрольная работа,
экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216
академических часа, из них 117,3 часов, выделенных на контактную работу с
преподавателем, 98,7 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего):
зач. ед.
Общая трудоемкость
час
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
Таблица 2
6 семестр
58,7
54
Всего часов
117,3
108
5 семестр
58,6
54
72
36
9,3
98,7
6
216
36
18
4,65
49,35
3
108
36
18
4,65
49,35
3
108
экзамен
экзамен
3. Тематический план.
5 семестр
№
Тема
1
2
Модуль 1
Комплексные числа.
Функции комплексного
переменного.
Всего
Модуль 2
Голоморфные функции.
Отображения с
помощью
элементарных
функций.
Всего
Модуль 3
1.
2.
1.
2.
Комплексное
интегрирование.
2. Голоморфные функции
и ряды.
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов)
Из них в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
1.
Не- Лекдели ции
семе
стра
3
1-6
1-3
4-6
4
12
6
6
Практ.
занятия
Сам.
рабо
та
5
6
3
3
6
18
9
9
Итого часов
по
теме
7
36
18
18
Из них в
интерактивной
форме
8
4
2
2
Таблица 3
Итого
количество баллов
9
0-15
0-15
0-30
7-12
7-9
1012
12
6
6
6
3
3
18
9
9
36
18
18
4
2
2
0-15
0-15
0-30
1318
1315
1618
12
6
13,35
31,35
4
6
3
6,7
15,7
2
0-20
6
3
6,65
15,65
2
0-20
4,65
54
4,65
108
0-40
36
6
18
6
0-100
12
6 семестр
№
Тема
1
2
Модуль 1
Ряды Лорана.
Особые точки
голоморфной
функции.
Всего
Модуль 2
Элементы теории
вычетов.
Приложения теории
вычетов.
Всего
Модуль 3
1.
2.
1.
2.
Недели
семестра
3
1-6
1-3
4-6
Лекции
Практ.
занятия
Сам.
работа
Итого часов
по
теме
4
12
6
6
5
6
3
3
6
18
9
9
7
36
18
18
8
4
2
2
7-12
7-9
12
6
6
3
18
9
36
18
4
2
0-15
1012
6
3
9
18
2
0-15
9
0-15
0-15
0-30
0-30
1318
1315
Основные принципы
теории конформных
отображений.
2. Построение
16конформных
18
отображений.
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов,
баллов)
Из них в
интерактивной
форме
* с учетом иных видов работ
1.
Таблица 4
Из них в
Итого
интеракти
коливной
чество
форме
баллов
12
6
13,35
31,35
4
6
3
6,7
15,7
2
0-20
6
3
6,65
15,65
2
0-20
36
18
4,65
54
4,65
108
6
6
0-40
12
12
0-100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 5
5 семестр
№
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
Модули и темы
Модуль 1
Комплексные числа.
Функции комплексного
переменного.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Голоморфные функции.
Отображения с
помощью
элементарных
функций.
Всего по модулю 2
Модуль 3
Комплексное
интегрирование.
Голоморфные функции
и ряды.
Всего по модулю 3
Итого:
Письменные работы
Контрольная работа
0-15
0-15
Итого количество баллов
0-30
Контрольная работа
0-15
0-15
0-30
0-30
Контрольная работа
0-20
0-30
0-20
0-20
0-40
0-40
0-100
0-15
0-15
0-15
0-15
0-20
Таблица 6
6 семестр
№
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
Модули и темы
Модуль 1
Ряды Лорана.
Особые точки
голоморфной функции.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Элементы теории
вычетов.
Приложения теории
вычетов.
Всего по модулю 2
Модуль 3
Основные принципы
теории конформных
отображений.
Построение
конформных
отображений.
Всего по модулю 3
Итого:
Письменные работы
Контрольная работа
0-15
0-15
Итого количество баллов
0-30
Контрольная работа
0-15
0-30
0-15
0-15
0-30
Контрольная работа
0-20
0-30
0-20
0-20
0-40
0-40
0-100
0-15
0-15
0-15
0-20
5. Содержание дисциплины.
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Модуль 1.
Комплексные числа: комплексные числа и действия над ними, топология комплексной
плоскости, числовые последовательности и их пределы, числовые ряды;
стереографическая проекция, ее свойства; сфера Римана, расширенная комплексная
плоскость.
Функции комплексного переменного: предел и непрерывность функции комплексного
переменного, пути и кривые, функциональные ряды, элементарные функции
комплексного переменного.
Модуль 2
Голоморфные функции: моногенность, голоморфность, геометрический смысл
голоморфной функции, конформное отображение.
Отображения с помощью элементарных функций: дробно-линейная функция,
степенная и экспоненциальная функции и обратные к ним, римановы поверхности.
Модуль 3
Комплексное интегрирование: интеграл по комплексному переменному и его свойства,
интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши, интеграл типа Коши,
теорема Морера.
Голоморфные функции и ряды: ряды Тейлора, неравенства Коши для коэффициентов,
теорема Абеля, формула Коши-Адамара.
2 семестр
Модуль 1.
1. Теоремы Вейерштрасса, принцип единственности и принцип максимума модуля.
2. Ряды Лорана, теорема единственности, неравенства Коши для коэффициентов.
Модуль 2
3. Особые точки голоморфной функции: изолированные особые точки однозначного
характера и их классификация, связь с рядами Лорана.
4. Элементы теории вычетов: теоремы о вычетах, вычисление вычетов, принцип аргумента,
теорема Руше, вычисление определенных интегралов.
Модуль 3
5. Основные принципы теории конформных отображений: условия однолистности, принцип
сохранения области, принцип взаимно однозначного соответствия, понятие о теореме
Римана, аналитическое продолжение, принцип непрерывности, принцип симметрии,
принцип Шварца.
6. Построение конформных отображений односвязных областей.
6. Планы семинарских занятий.
1 семестр
Модуль 1.
1. Комплексные числа: комплексные числа и действия над ними, топология комплексной
плоскости, числовые последовательности и их пределы, числовые ряды;
стереографическая проекция, ее свойства; сфера Римана, расширенная комплексная
плоскость.
2. Функции комплексного переменного: предел и непрерывность функции комплексного
переменного, пути и кривые, функциональные ряды, элементарные функции
комплексного переменного.
Модуль 2
3. Голоморфные функции: моногенность, голоморфность, геометрический смысл
голоморфной функции, конформное отображение.
4. Отображения с помощью элементарных функций: дробно-линейная функция, степенная и
экспоненциальная функции и обратные к ним, римановы поверхности.
Модуль 3
5. Комплексное интегрирование: интеграл по комплексному переменному и его свойства,
интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши, интеграл типа Коши, теорема
Морера.
6. Голоморфные функции и ряды: ряды Тейлора, неравенства Коши для коэффициентов,
теорема Абеля, формула Коши-Адамара.
7. Итоговая контрольная работа.
2 семестр
Модуль 1.
1. Теоремы Вейерштрасса, принцип единственности и принцип максимума модуля.
2. Ряды Лорана, теорема единственности, неравенства Коши для коэффициентов.
Модуль 2
3. Особые точки голоморфной функции: изолированные особые точки однозначного
характера и их классификация, связь с рядами Лорана.
4. Элементы теории вычетов: теоремы о вычетах, вычисление вычетов, принцип аргумента,
теорема Руше, вычисление определенных интегралов.
Модуль 3
5. Основные принципы теории конформных отображений: условия однолистности, принцип
сохранения области, принцип взаимно однозначного соответствия, понятие о теореме
Римана, аналитическое продолжение, принцип непрерывности, принцип симметрии,
принцип Шварца.
6. Построение конформных отображений односвязных областей.
7. Итоговая контрольная работа.
7. Темы лабораторных занятий (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9.
Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов
Планирование самостоятельной работы студентов
5 семестр
№
Модули и темы
Виды СРС
обязатель
дополниные
тельные
Модуль 1
1.1 Комплексные числа.
1.2
Функции комплексного
переменного.
Модуль 1
домашняя
работа
домашняя
работа
Контроль
ная
работа
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Голоморфные функции.
2.2
Отображения с помощью
элементарных функций.
Модуль 2
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Комплексное
интегрирование.
3.2 Голоморфные функции и
ряды.
Модуль3
Всего по модулю 3:
Иные виды работ
ИТОГО:
Таблица 7
Кол-во
баллов
Неделя
семест
ра
1-6
1-3
Объем
часов
16
5
-
4-6
5
-
6
6
0-30
0-30
домашняя
работа
домашняя
работа
Контроль
ная
работа
7-12
7-9
16
5
-
10-12
5
-
12
6
0-30
13-18
13-15
17,35
5,35
-
15-18
6
-
18
6
0-40
17,35
4,65
54
0-40
0-30
домашняя
работа
домашняя
работа
Контроль
ная
работа
0-100
6 семестр
№
Модули и темы
Виды СРС
обязатель
дополниные
тельные
Модуль 1
1.1 Ряды Лорана.
1.2
Особые точки
голоморфной функции.
Модуль 1
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Элементы теории
вычетов.
2.2 Приложения теории
вычетов.
Модуль 2
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Основные принципы
теории конформных
отображений.
3.2 Построение конформных
отображений.
Модуль3
Всего по модулю 3:
Иные виды работ
ИТОГО:
домашняя
работа
домашняя
работа
Контроль
ная
работа
Таблица 8
Кол-во
баллов
Неделя
семест
ра
1-6
1-3
Объем
часов
16
5
-
4-6
5
-
6
6
0-30
7-12
7-9
16
5
-
10-12
5
-
12
6
0-30
0-30
домашняя
работа
домашняя
работа
Контроль
ная
работа
0-30
домашняя
работа
домашняя
работа
Контроль
ная
работа
13-18
13-15
17,35
5,35
-
15-18
6
-
18
6
0-40
17,35
4,65
54
0-40
0-100
Учебно – методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить
поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную
работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в
виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу,
предложенную в соответствующем разделе рабочей программы. В нем расположен список
основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы.
При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется
использовать учебно-методические комплексы из списка дополнительной литературы. В
этих комплексах содержится подробно описание контрольных работ, коллоквиумов,
приводится решение образца варианта контрольной работы по каждому модулю, а также
варианты для самостоятельного решения. Указанная литература имеется в библиотеке
ТюмГУ, а также на кафедре математического анализа и теории функций Института
математики и компьютерных наук.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы
В результате освоения ООП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
– готовностью использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1);
– способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3);
Выдержка из матрицы соответствия компетенции и составных частей ООП
приведена в таблице 9.
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах
их формирования, описание шкал оценивания:
Карта критериев оценивания компетенций приведена в таблице 10.
Алгебра *
ОПК-1
ПК-3
+
+
+
+

Дисциплина относится к базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Уравнения в частных производных
Функциональный анализ *
4 семестр
Теория вероятностей *
-
Комплексный анализ *
Дифференциальная геометрия и
топология *
Математический анализ *
Математическая логика *
3 семестр
Дифференциальные уравнения *
Дифференциальная геометрия и
топология *
Объектно-ориентированное
программирование
Дифференциальные уравнения *
2 семестр
Дискретная математика *
Математический анализ*
Алгебра *
Математический анализ *
1 семестр
Алгебра *
Аналитическая геометрия *
Циклы,
дисциплины
(модули) учебного плана
ОП бакалавриата
Математический анализ *
Индекс
компетенции
Аналитическая геометрия
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 9
Б.1. Дисциплины (модули)
5 семестр
+
Индекс
компетенции
ОПК-1
ПК-3

+
+
Дисциплина относится к базовой части
+
+
+
+
+
+
с
+
+
+
+
+
+
Теория обобщенных функций
Теоретическая механика
Методы оптимизации
6 семестр
Банаховы
алгебры
гармонический анализ
Физика
Численные методы *
и
ограниченной
Случайные процессы *
Функции
вариацией
Непрерывные группы
Уравнения в частных производных
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП бакалавра
Численные методы *
Функциональный анализ *
Теоретическая механика *
Комплексный анализ
Б.1. Дисциплины (модули)
7 семестр
+
+
ОПК-1
ПК-3

+
Дисциплина относится к базовой части
+
+
+
+
квалификационная
Выпускная
работа 
Преддипломная практика
Учебная практика
Р-адический анализ
Индекс
компетенции
Пространства Соболева
Вариационное исчисление
Б.1. Дисциплины (модули) Б.2. Практика / Б.3.
Циклы, дисциплины
НИР
ГИА
(модули)
учебного 8 семестр
плана
ОП
бакалавриата
+
-
Карта критериев оценивания компетенций
-
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
Виды занятий Оценочные
91-100 баллов
(лекции,
средства
семинарские,
(тесты,
практические,
творческие
(лабораторные работы,
)
проекты
и
др.)
Знает: основные Знает: основные Знает: основные Лекции,
Тестовые
понятия
утверждения
ОПК-1
Таблица 10
:
и понятия
утверждения,
также
и понятия
и практические
задания,
а утверждения,
а занятия
контрольные
методы также
методы
работы,
доказательства
доказательства
коллоквиумы,
стандартных
утверждений:
домашние
утверждений
задания.
Умеет:
решать Умеет:
решать Умеет:
решать
простейшие
стандартные
задачи
задачи
задачи
вычислительного
вычислительного вычислительного и теоретического
и теоретического и теоретического характера
характера
характера
комплексного
комплексного
комплексного
анализа,
анализа
анализа,
доказывать
доказывать
утверждения
стандартные
утверждения
Владеет:
Владеет:
Владеет:
математическим
математическим
математическим
аппаратом
аппаратом
аппаратом
комплексного
комплексного
комплексного
анализа
анализа,
анализа,
аналитическими
аналитическими
методами
методами
исследования
стандартных
случаях
в исследования
Знает:
Знает: основные Знает:
теоремы Лекции,
простейшие
утверждения
комплексного
практические
задания,
утверждения
комплексного
анализа
занятия
контрольные
комплексного
анализа
работы,
анализа
коллоквиумы,
домашние
Умеет:
Умеет:
Умеет:
доказывать
сформулировать
сформулировать
простейшие
результат,
результат,
утверждения
доказывать
доказывать
основные
утверждения
утверждения
комплексного
комплексного
анализа,
анализа,
получать
получать
следствия из них
ПК-3
Тестовые
задания.
следствия из них
Владеет:
Владеет:
Владеет:
методами
методами
методами
доказательств
доказательств
доказательств
простейших
стандартных
утверждений
утверждений
утверждений
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольная работа №1
Задача 1. Представить в алгебраической форме:
Arcctg
1 3  i


1 i 3 1
.
Задача 2. Проверить, что
u v 
является действительной (мнимой) частью голоморфной
функции. Восстановить голоморфную в окрестности точки
действительной части
функцию f  z  по известной
z0
u  x, y  или мнимой v x, y  и значению f  z0  :
u  x3  3 xy 2  2 y  1,
f 1  3i .
Задача 3. Найти особые точки данной функции и разложить ее в ряд Лорана в окрестности
каждой особой точки. Определить множество сходимости каждого ряда:
2 z  2  3i
.
 z  2i  z  2  i 
Задача 4. Определить тип особой точки z  0 для данной функции и вычислить  0  :
f z  
f z  
z 3  z  sin z
 e 2 z  1  2 z  2 z 2 


.
3
Контрольная работа №2
Задача 1. Вычислить интеграл:
Задача 2. Вычислить интеграл:
e5 z  1  sin 5 z .
 z 2 sh 5 z dz
z  0,5
4 sin
z
 z  1  i 22z 2i3  i dz
z i 2
 
2
Задача 3. Вычислить интеграл:

0
Задача 4.Найти образ области
dx
4 3 cos x  5 2
D при отображении w  f  z :
D  z  C z : z  1  i  1;
f z  
z 1
.
zi
Вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Комплексные числа и действия над ними.
Числовые последовательности и их пределы.
Числовые ряды.
Множества на плоскости. Области и кривые.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Дифференцируемость по комплексному переменному. Уравнения Коши-Римана.
Голоморфная функция. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Целая линейная и дробно-линейная функции и их свойства.
Экспонента и степень с натуральным показателем.
Функция Жуковского.
Тригонометрические и гиперболические функции.
Интеграл по комплексному переменному, его свойства и вычисление.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Первообразная функция, формула Ньютона-Лейбница.
Интегральная теорема Коши.
Интегральная формула Коши.
Бесконечная дифференцируемость голоморфной функции, формулы Коши для
производных, теорема Морера.
Теоремы Вейерштрасса о рядах голоморфных функций.
Степенные ряды, теорема Абеля, формула Коши-Адамара.
Теорема Тейлора, неравенства Коши для коэффициентов.
Нули голоморфной функции, их порядок.
Принцип единственности голоморфной функции.
Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.
Теорема Лорана, неравенства для коэффициентов.
Изолированные особые точки однозначного характера, связь с разложением в ряд
Лорана.
Теорема Коши о вычетах, вычисление вычетов.
Логарифмический вычет. Принцип аргумента.
Основная теорема алгебры многочленов.
Теорема Руше.
Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов.
Необходимое условие однолистности голоморфной функции.
Достаточное условие локальной однолистности.
Принцип сохранения области.
Принцип взаимно однозначного соответствия.
Понятие о теореме Римана.
Соответствие границ при конформном отображении.
Аналитическое продолжение. Теорема о монодромии.
Принцип непрерывности.
Принцип симметрии Римана-Шварца.
Принцип Шварца.
Интеграл Кристоффеля-Шварца.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 11
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать
экзамен.
Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины
за семестр и пять практических задач.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной
в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при
условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно
делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с
помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом они
частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать
ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на
дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов
от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы и
ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы
решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из
этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 12
Баллы
0-14
15-25
26-31
32-35
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных
материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его
примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их
приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые
формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка
выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со
слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей
в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение
навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого
теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения. Они
включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и
вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1
1.
Основная литература:
Методика решения задач повышенной сложности по теории функций
комплексного переменного /А. Н. Барменков, Е. В. Сандракова, В. Б.
Шерстюков, О. В. Шерстюкова. – М.: МИФИ, 2010. – 100 с. - [Электронный
ресурс]. - Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=231541
(дата обращения 16.10.2014)
12.2
1.
2.
3.
Дополнительная литература:
Зарипов, Р.Н. Специальные разделы математики: Теория функций комплексной
переменной. Основы операционного исчисления: учебное пособие / Р.Н. Зарипов,
Г.П. Чугунова ; Федеральное агентство по образованию, Государственное
образовательное учреждение Высшего профессионального образования Казанский
государственный технологический университет. - Казань: Издательство КНИТУ,
2008.
115
с.:
[Электронный
ресурс].
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=259067 (дата обращения: 16.10.2014).
Практическое руководство к решению задач по высшей математике: кратные
интегралы; теория поля; теория функций комплексногопеременного; обыкновенные
дифференциальные уравнения : учеб. пособие для студ. вузов/ И. А. Соловьев [и
др.]. - Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 448 с.
Чудесенко, В. Ф.. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики:
типовые расчеты : учеб. пособие/ В. Ф. Чудесенко. - 4-е изд., стер.. - СанктПетербург: Лань, 2007. - 192 с.: ил.; 21 см. - (Учебники для вузов. Специальная
литература). - Библиогр.: с. 189-190.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие
аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное
оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Комплексный анализ» содержит 6 модулей, которые изучаются два
семестра. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению к
установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет всех
форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый по
дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам. Опросы
проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также по базовым
знаниям, полученным на практических занятиях. Промежуточный контроль – это проверка
знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных контрольных
мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня
учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Условия получения зачета на основе полученного суммарного количества
баллов можно найти в п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания, выполнять упражнения. Результаты решения задач и выполнения упражнений, а
также возникшие трудности студент может обсудить с преподавателем на практическом
занятии либо в консультационные часы.