С5 Найдите все значения а, при каждом из которых

С5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
27х6 + (2х – а)3 + 9х2 + 6х = 3а имеет более одного корня
Решение
27х6 + (2х – а)3 + 9х2 + 6х = 3а
27х6 + + 9х2 + = - (2х – а)3 - 6х + 3а
(3х2)3 + 3(3х2) = (а – 2х)3 + 3(а – 2х)
3х2 = m, а – 2х = n
m3 + 3m = n3 + 3n, функция у = m3 + 3m – возрастающая,
значит, m = n, т.е. 3х2 = а – 2х, 3х2 + 2х – а = 0, уравнение имеет более
одного корня, если D = 1 + 3а >0, а > - 1/3
С5 Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
выполняется для всех х
При а ≤ 0 неравенство не выполняется.
Пусть а > 0, соs2х – 1 = - sin2 х, перепишем неравенство в виде:
а( 4 – sinх)4 + а > 2 + sin2 х
а(( 4 – sinх)4 + 1) > 2 + sin2 х
оценим левую часть, учитывая, что а >0:
3 ≤ 4 – sinх ≤ 5, 81 ≤ ( 4 – sinх)4 ≤ 625, 82а ≤ а(( 4 – sinх)4 + 1) ≤ 626а
оценим правую часть: 2 ≤ 2 + sin2 х ≤ 3
чтобы неравенство было верным при любом х, нужно, чтобы 82а>3, т.е.
а>3/82
С6: Инвариант. Пусть кузнечики в начале в вершинах квадрата с
координатами (0;1), (1;1), (1;0) , а незанятая вершина (0;0). После каждого
прыжка каждая координата меняется на четное число. Поэтому никакие
возможные изменения координат, занятых в начале клеток, не могут дать
точку с двумя чётными координатами. То есть в вершину (0;0) попасть
невозможно.
С5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение
Решение
Пусть sinx=t, где 0 ≤ t ≤ 1, тогда получим уравнение √𝑡 + а = t2 – а, где t ≥ - а
Рассмотрим функции f(x) = √𝑡 + а и g(x) = t2 – а.
Функции f(x) = √𝑡 + а и g(x) = t2 – а взаимно обратные, возрастающие, их графики
симметричны относительно прямой у = t. Если они имеют общие точки, то эти точки
лежат на прямой у = t. Т.е. получим уравнение t2 – а = t, t2 - t – а = 0, D = 1 + 4а,
1 + 4а ≥0, а ≥ - ¼, , х1,2 =
1±√1+4а
2
, т.к. 0 ≤ t ≤ 1, то 0 ≤
1±√1+4а
2
≤ 1,
0 ≤ 1 ± √1 + 4а ≤ 2, уравнение имеет хотя бы одно решение, если 1 + √1 + 4а ≤ 2
Откуда - 1/4 ≤ а ≤ 0