Матрицы и линейные преобразования - Северо

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания к типовому расчету
“Матрицы и линейные преобразования”
Для студентов направления 080100 “Экономика”
Составители:
С. В. Степанова, Е. Ю. Тараник, А. П. Качмазова
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра математики
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания к типовому расчету
“Матрицы и линейные преобразования”
Для студентов направления 080100 “Экономика”
Составители:
С. В. Степанова, Е. Ю. Тараник, А. П. Качмазова
Допущено редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического
института (государственного технологического
университета) в качестве учебного пособия для
студентов экономических специальностей
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
1
УДК 512.64
ББК 22.143
С79
Рецензент:
канд. физико-математических наук, доцент СКГМИ (ГТУ)
Вазиева Л. Т.
С79
Линейная алгебра: Методические указания к типовому расчету «Матрицы и линейные преобразования». Для студентов
направления 080100 «Экономика» / Сост. С. В. Степанова,
Е. Ю. Тараник, А. П. Качмазова; Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2013. – 40 c.
Данное пособие состоит из двух частей.
В I части даны 25 вариантов индивидуальных заданий по теме «Матрицы и
линейные преобразования» для самостоятельного решения, каждый из которых
содержит 7 задач.
Во II части приводится подробное решение типовых задач с необходимыми
разъяснениями и теоретическими сведениями.
Типовой расчет выполняется на отдельных листах.
В установленный срок типовой расчет сдается студентом на проверку преподавателю, а затем защищается.
УДК 512.64
ББК 22.143
Редактор: Иванченко Н. К.
Компьютерная верстка: Крыжановская И. В.

Составление: Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет), 2013
 Степанова С. В., Тараник Е. Ю., Качмазова
А. П., составление 2013
Подписано в печать 5.11.13. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура
“Таймс”. Печать на ризографе. Усл.п.л.2,33. Тираж 25 экз. Заказ №_____
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во “Терек”.
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СК ГТУ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
Теоретические вопросы
1. Сложение матриц и умножение матрицы на число.
2. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений.
3. Ранг матрицы. Связь его размерности с рангом матрицы.
4. Теорема Кронекера-Капелли.
5. Фундаментальная система решений однородной системы.
6. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.
7. Умножение матриц.
8. Невырожденные квадратные матрицы.
9. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
10. Решение матричных уравнений вида АХ = В.
11. Определители и их свойства.
12. Непосредственное вычисление определителей второго и
третьего порядка.
13. Формула разложения определителя по строкам и столбцам.
14. Применение определителей:
1) критерий невырожденности квадратной матрицы;
2) нахождение ранга матрицы;
3) критерий существования ненулевых решений однородной
системы линейных уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений;
4) нахождение решения системы линейных алгебраических
уравнений по формуле Крамера;
5) нахождение обратной матрицы.
3
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Задание № 1
Для данной матрицы А вычислить:
а) А3; б) ААт - АтА.
Задание № 2
Вычислить определитель матрицы.
Задание № 3
Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.
Задание № 4
Найти различными способами матрицу А-1, обратную матрице
А и проверить выполнение условия А  А-1 = Е.
Задание №5
Решить матричное уравнение.
Задание № 6
При каких значениях параметра m строки матрицы будут линейно зависимы?
Задание № 7
Найти размерность пространства решений и фундаментальный
набор решений системы однородных линейных уравнений.
4
ВАРИАНТ № 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 3 1 4 


а) А =  2 5 3 
 5 4 0 


2 1
3 0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 2
2
0
0
2
3
1
0
0
1
1
1
 3 4 0 


1 2
б) А =  5
 5 2 0 


-х1 + 3х2 + 2х3 = -4,
х2 - 2х3 = -3,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 20;
 3 4 0 

А=  5
1 2

 5 2 0 


24 
 1 5 0   21 1




Х  3 5 4 = 5
5 10 

 
 2 4 2   12 10 14 

 

1 3 6 2
13 2
А = 2 7
2 7 12 1
9 31 55 m
3х1 - х2 + 3 х3 +2 х4 +5 х5 = 0,
5 х1 - 3х2 + 2х3+3 х4 +4 х5 = 0,
х1 - 3х2 - 5х3 7 х5 = 0,
7 х1 - 5х2 + х3 + 4 х4 + х5 = 0.
5
ВАРИАНТ № 2
1.
2.
3.
 5 3 4 
а) А =  2 5 1


 5 5 3 


0
0
0
0
3
2
0
0 2
0 2
 3 3
1
2
2 0
0
0
0
0
0
0
0
1
 3 0 5 
б) А =  2 1 4 


 2 3 2 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 0,
2 х2 - 4х3 = -8,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 26;
4.
 2 5 3 
А =  5 4 3 


 3 2 3 


5.
 5 4 5 
 31 16 27 

  Х= 

 4 2 1 
 11 8 12 
 4 3 4 
 0
19
34 



6.
1 1 1 4
1 2 1 m
А=
5 3 12 45
3 2 6 23
7.
-х1 +3х2 + 3 х3 +4 х4 + 5 х5 = 0,
6 х1 + 2х2 + 2х3 + х4
= 0,
- х1 + х2 + х3 +2х4 +3 х5 = 0,
11 х1 +3х2 + 3 х3 + х4 - х5 = 0.
6
ВАРИАНТ № 3
1.
 4 1 3 
б) А =  4 0 5 


2 3 5 


 0 1 3
а) А =  4 2 4 


 3 4 0 


3 1 3 16
8
2 2 20 20 19
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
2
3
6
4
0
0
0
2
1
0
0
0
2
3
-х1 + 3х2 + 2х3 = 4,
3х2 - 6х3 = -15,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 32;
 0 3 3 
А =  2 2 3 


 3 3 3 


 3 3 1  21 14 5 

Х   3 1 1  0
7 12 

 
 1 0 1  3 11 9 

=

1
9
А=
3
1
2
12
3
1
4 1
15 m
2 3
1 0
х1 + х2 - 3 х3
- х5 = 0,
х1 - х2 + 2х3 - х4
= 0,
4 х1 - 2х2 + 6х3 + 3х4 - 4 х5 = 0,
2х1 + 4х2 -2х3 + 4 х4 - 7х5 = 0.
7
ВАРИАНТ № 4
1.
2.
3.
 4 2 5 
а) А =  3 2 5 


 4 4 2 


13
4
17 3 3 0
1 3 3 0
11
20
0
2
1
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
-х1 + 3х2 + 2х3 = 8,
4х2 - 8х3 = -24,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 38;
4.
 4 1 4 
А =  1 2 4 


 1 2 2 


5.
 5 5 4 

 Х=
 5 1 1 
 3 2 0 


6.
1 1 2 9
3 2 4 20
А=
8 6 13 61
0 3 1 m
7.
 2 5 3
б) А =  0 5 5 


 4 5 1 


 15 25 35 


 5 16 6 
 4
7
8 

х1 + 2х2 + 3 х3 -2 х4 + х5 = 0,
3 х1 +6х2 + 5х3- 4 х4 +3 х5 = 0,
х1 + 2х2 +7х3 -4 х4 +5 х5 = 0,
2 х1 + 4х2 +2 х3 -3 х4 +3 х5 = 0.
8
ВАРИАНТ № 5
1.
 5 3 2 

а) А =  1 4
1

 3 1 5 


1 2
 2 3
2
0
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0
0
0
0
 2 2
3
0
0
0
0
0
3
3
0
0
0
 1 3
2 3 5

б) А =  3 3
1

 0 4 2 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 12,
5х2 - 10х3 = -35,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 44;
 1 0 0 
А =  0 1 0 


 0 1 1


 1 2 1  23 11 15 
Х   4 3 3  =  17 21 18 

 

 5 3 5   32 17 23 

 

А=
1 1 6
0
3 4 21 3
3 1 11 3
0 8 27 m
9х1 +7х2 + 5 х3 + 6 х4 + 9 х5 = 0,
8 х1 + 4х2 + 2 х4 + 3 х5 = 0,
5 х1 +3х2 + х3 + 2 х4 + 3 х5 = 0,
7 х1 + 5х2 +3 х3 + 4 х4 + 6 х5 = 0.
9
ВАРИАНТ № 6
1.
2.
 5 1 4 

а) А =  1
5 5

 5 3 3 


0
0
0
0
3 3 3
1 1 1
0
0
2
0
3
3
2
0
0
0
0
0
0
1 1
3.
 1 4 5 

б) А =  0
4 1 

 1 4 3 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 16,
6 х2 - 12х3 = -48,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 50;
4.
 4 1 4 
А =  4 5 5 


 5 3 3 


5.
 2 1 2 

 Х=
 5 2 4 
 3 4 3 


6.
1 2 11 3
1 1 2
0
А=
4 6 24 5
3 0
m
3
7.
17 
 13 2


 43 12 19 
 36 14 2 


х1 - 4 х2 - 4 х3 + х4 - 3 х5 = 0,
х1 +7х2 + 6х3 - 2 х4 +6 х5 = 0,
9х1 + 8х2 +4х3 - 3 х4 +9 х5 = 0,
7 х1 + 5х2 +2 х3 - 2 х4 +6х5 = 0.
10
ВАРИАНТ № 7
1.
2 3 2
3 1 1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 4 1 1
б) А =  4 0 1


 1 3 1 


 1 2 3
а) А =  5 2 5 


 4 5 1 


5
17
12
13
2
2
0
13 12
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
-х1 + 3х2 + 2х3 = 20,
7 х2 -14х3 = -63,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 56;
3 2 0 
А =  0 3 3 


 0 0 2 


 2 1 2   9 10 9 

Х   1 5 1  =  10
6 10 

 
 3 5 5   10 44 30 


 
1 3 1 6
2 7 1 15
А=
2 7 2 14
5 17 m 33
6х1 + х2 - 3 х3 +9х4 +5 х5 = 0,
6 х1 + 5х2 - 3х3+9 х4 +7 х5 = 0,
2х1 + 4х2 - х3 + 3 х4 +2 х5 = 0,
4 х1 + 7х2 -2 х3 + 6 х4 + 5 х5 = 0.
11
ВАРИАНТ № 8
1.
2.
3.
 5 2 1 
а) А =  5 3 2 


 2 0 0 


14
19
17
7
1 3 0
3 3 3
7
12
3
1 1
3
1
0
0 0
2
1
0
0 0
-х1 + 3х2 + 2х3 = 24,
8х2 - 16х3 = -80,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 62;
4.
 3 3 3 

А=  5
1 2 

 1 4 3 


5.
 3 2 5 

 Х=
5 4 5 
 5 1 1 


6.
1
2
3 8
0 1 2 m
А=
5 7 11 27
2 3 5 12
7.
 2 0 4 
б) А =  3 4 2 


 5 2 3 


 28 14 12 


2 
 8 8
 20 1 13 


5х1 + 6 х2 +х3 +10 х4 +7 х5 = 0,
5 х1 + х2 + 2х3+5 х4 +4 х5 = 0,
4 х1 +3х2 + х3 +7 х4 +5 х5 = 0,
3х1 + 2х2 + х3 + 4 х4 + 3 х5 = 0.
12
ВАРИАНТ № 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 5 1 3 
б) А =  3 2 4 


 4 1 4


 4 2 3
а) А =  1 3 5 


 2 3 0 


2 1 0
 2 2 0
0
0
0
0
0
0
2
3
0
0
0
3
3
3
0
0
2 1
3
-х1 + 3х2 + 2х3 = 28,
9 х2 - 18х3 = -99,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 68;
 0 1 2 

А=  1
1 1

 3 0 3 


 5 5 3   7 21 9 

Х   1 2 4  =  7
4
4

 
 5 5 4   6 33 20 

 

1 2 4 3
2 5 9 3
А=
2 1 4 2
2 12 18 m
13х1 - 4 х2 - х3 - 4 х4 -6 х5 = 0,
11 х1 - 2х2 + х3- 2 х4 - 3 х5 = 0,
5 х1 +4х2 + 7х3 + 4 х4 +6 х5 = 0,
7 х1 + 2х2 + 5х3 + 2 х4 + 3 х5 = 0.
13
ВАРИАНТ № 10
1.
2.
3.
 5 5 2 
а) А =  1 4 2 


 0 4 4 


0
0
0
0
0 1 1
3 3 2
0
0
1 1
0
3
3
0 0
0
3 2 0 0
0
-х1 + 3х2 + 2х3 = -4,
3 х1 +х2 - 2х3 = 24,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 8;
4.
 0 1 1
А =  1 2 2 


 2 5 3 


5.
0 3 1

 Х=
0 0 3
 2 0 5 


6.
1 1
3 1
3 2 9 2
А=
4 2 11 3
1
2
m
1
7.
 2 2 2 
б) А =  2 0 3 


 5 1 2 


 17 3 2 


0 6 
 15
 27 6 0 


15х1 +2х2 + 4 х3 -3 х4 +9 х5 = 0,
3 х1 + 20х2 + 5х3-2 х4 +6 х5 = 0,
3 х1 + 6х2 + 2х3 - х4 +3 х5 = 0,
9х1 + 4х2 -3 х3 - 2 х4 + 6 х5 = 0.
14
ВАРИАНТ № 11
 1 5 3 

б) А =  4
5 1 

5 2 2


 3 2 4

1.а) А =  2 0
4

 5 3 5 


3 3 2 18 19
1 0 4 14 18
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0
0 1 1
0
0
0
0
3
3
0
0
0
1
2
-х1 + 3х2 + 2х3 = -4,
х1 + х2 - 2х3 = 4,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 16;
 1 2 2 
А =  2 3 2 


 2 2 2 


 5 0 3   0 25 29 
 

Х  3
5 4  =  10
0
6 

 4 1 5   21 21 52 

 

1 2 1 5
1 3 1 7
А=
2 6 2 15
11 31 m 76
6х1 + 5 х2 + 7 х3 +5 х4 +3 х5 = 0,
14 х1 +5х2 + 3х3+ 9 х4 - х5 = 0,
4 х1 + 5х2 + 8х3 + 4 х4 +5 х5 = 0,
8х1 + 5х2 + 4х3 + 7 х4 + 2 х5 = 0.
15
ВАРИАНТ № 12
1.
 5 5 3 

а) А =  3 0
4

4 0 3


1 3
3 0
2.
3.
0
0
0
0
0
0
0
0 3
3
3
0
0
2
2 1
0
0
0
1
1
-х1 + 3х2 + 2х3 = 0,
х1 +2 х2 - 4х3 = 3,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 22;
4.
 2 1 4 
А =  5 4 4 


 4 3 5 


5.
 2 4 0 

 Х=
 2 2 2 
 3 4 2 


6.
1 1 1
2 3 2
А=
5 6 6
2 3 m
7.
 2 1 0
б) А =  2 1 4 


 5 0 0 


 10 22 16 


 24 12 4 
 17 35 28 


1
0
4
2
5х1 + 7 х2 + 4 х3 +6 х4 +6 х5 = 0,
15х1 + 30х2 + 7х3+8 х4 +3 х5 = 0,
9х1 +6х2 + 5х3 + 8 х4 +9 х5 = 0,
6 х1 + 9х2 +3 х3 + 4 х4 + 3 х5 = 0.
16
ВАРИАНТ № 13
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 4 3 5 
а) А =  3 5 5 


 2 3 1 


0
0
0
0
0 2 1
0 1 0
1
3
1
0
0
2 2 0
0
0
0
0
0
1
0
 0 5 3 
б) А =  1 2 2 


 3 1 3 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 4,
х1 + 3х2 - 6х3 = 0,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 28;
 4 1 2 
А =  3 3 1 


 2 2 2


 5 1 3   13 8 40 
 

Х  1
5 2  =  0
5 8 

 5 4 5   10 11 31 

 

1
3 3 9
2 5 2 16
А=
1 0 2 4
6 24 m 63
х1 + х2 + 3 х3 - 2 х4 +3 х5
2 х1 +2х2 + 4х3 - х4 + 3 х5
3 х1 + 3х2 +5х3-2 х4 +3 х5
2 х1 + 2х2 +8 х3 - 3 х4 +9 х5
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
17
ВАРИАНТ № 14
1.
 2 3 3 
б) А =  4 3 5 


 4 4 5 


 4 5 0 
а) А =  5 3 1 


 2 2 3 


13 18 2 1 3
9 11 1 3 0
2.
3.
5
16
1
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
-х1 + 3х2 + 2х3 = 12,
х1 + 5х2 - 10х3 = -12,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 40;
4.
 3 2 3 
А =  0 3 3 


 1 0 1 


5.
 2 1 1   20 22 2 
 

Х  2
1 3  =  30 27
7 

 4 5 2   0 12 20 


 
6.
1 2 1 3
3 7 5 3
А=
1
1 0 2
9 20 14 m
7.
2х1 +3 х2 + х3 -6 х4 +9 х5 = 0,
х1
- 2х3+2 х4 +3 х5 = 0,
2 х1 + х2 +4х3 +2 х4 +3 х5 = 0,
3 х1 +2х2 +5 х3 + 4 х4 + 6х5 = 0.
18
ВАРИАНТ № 15
1.
0
0
0
0
2 2
1 2
 3 2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2.
0
3 3
1 1
3.
1
-х1 + 3х2 + 2х3 = 16,
х1 + 6х2 - 12х3 = 8,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 42;
4.
 2 4 3 
А =  2 3 4 


 2 4 2 


5.
 1 1 2 

 Х=
 2 3 1 
 3 2 4


6.
1 2 17 3
2 5 40 7
А=
3 8 60 10
1 3
m
3
7.
 4 1 3 
б) А =  3 4 4 


 3 1 2 


 2 0 2
а) А =  4 2 1 


 3 4 0 


 6 1 1 


 8 13 4 
 4 1 10 


х1 + 2 х2 + х3 - 3 х4 +2 х5 = 0,
2 х1 + х2 + х3+ х4 - 3 х5 = 0,
х1 + х2 + 2х3 +2 х4 -2 х5 = 0,
2 х1 + 3х2 - 5 х3 - 17 х4 + 10х5 = 0.
19
ВАРИАНТ № 16
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 1 2 2 
а) А =  2 2 1 


1 0 3 


3 2 3
1 2 2
0
0
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
3
1
0
0
0
 3 2
 3 0 4 

б) А =  2
0 0

 5 2 2 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 16,
х1 +6 х2 - 12х3 = -21,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 46;
 4 2 5 

А =  1 3
2

 3 2 2 


 2 4 0 

 Х=
 0 2 5 
 1 4 4 


А=
 24 2 6 


 10 26 17 
 38 9 31


1
2 11 3
 1 1 4
1
6 9 47 13
3 2
m 2
2х1 + 3 х2 + 7 х3 + х4 +2 х5 = 0,
х1 + 2х2 + 3х3+2 х4 +4 х5 = 0,
3 х1 + 2х2 + х3 +2 х4 +4 х5 = 0,
4 х1 +3х2 +2 х3 + 3 х4 + 6 х5 = 0.
20
ВАРИАНТ № 17
1.
2.
3.
 5 5 4 
а) А =  5 4 5 


 2 5 4 


3 3 2
 2 2 3
0
0
0
0
3
3
3
0
0
0
0
0
1 3
0
0
0
2 1
 0 5 1 

б) А =  0 1
2

 0 2 4 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 20,
х1 + 7х2 - 14х3 = -32,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 52;
4.
 0 1 0 

А =  1 1
0

 3 0 3 


5.
 1 5 2   7 49 4 
Х   3 4 2  = 13 26 3 

 

 0 4 3   4 7 10 

 

6.
1 3 7 2
9 22 51 m
А=
3 7 16 1
3 10 24 1
7.
2х1 - х2 + 3 х3 + 4 х4 - х5 = 0,
х1 + 2х2 - 3х3 + х4 + 2 х5 = 0,
5 х1 - 5х2 +12х3 + 11 х4 - 5 х5 = 0,
х1 - 3х2 + 6 х3 + 3 х4 - 3х5 = 0.
21
ВАРИАНТ № 18
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 5 0 2 
а) А =  4 1 3 


5 5 0


0
0
0
0
2 1 2
0  3 1
0
0
2
2
3
2
3
0
0
0
0 3 0
0
0
 2 4 3 
б) А =  0 3 4 


 2 4 5 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 24,
х1 +8х2 - 16х3 = -45,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 58;
 2 0 2 
А =  2 3 0 


2 3 5 


 3 0 3 

 Х =
 0 2 5
 1 1 1


А=
 21 0 27 


 28 15 29 
 5 7 3 


1 2 13
2
3 7 47 8
4 9 57 9
1 3
m
1
3х1 + х2 - 2х3 + х4 - х5 = 0,
2х1 - х2 + 7х3-3 х4 +5 х5 = 0,
х1 + 3х2 - 2х3 + 5 х4-7 х5 = 0,
3 х1 - 2х2 +7 х3 - 5 х4 + 8х5 = 0.
22
ВАРИАНТ № 19
1.
2.
 0 2 0 
а) А =  5 3 1 


 2 4 5 


1
0
1 2
2 2
0
0
0
0
2
3
2
0
0
9 18
3
1
3
2
3
16 12 4
3.
 2 4 1 

б) А =  3 2
3

 5 1 4 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 28,
х1 + 9х2 - 18х3 = -60,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 64;
4.
 4 3 0 
А =  1 5 2 


 2 2 2 


5.
3 
 4 5 4   12 7




Х 1
1 1  =  20 24 20 

 4 2 1   25 11 16 


 
6.
1 2 1 0
3 5 3 1
А=
3 9 0 2
7 19 m 3
7.
х1 + 2 х2 - 3 х3 +2 х4
= 0,
х1 - х2 - 3х3- 4 х4 -3 х5 = 0,
2х1 + 3х2 + х3 - 5 х4 +2 х5 = 0,
х1 - 2х2 - 2 х3 - 3 х4 - 5 х5 = 0.
23
ВАРИАНТ № 20
1.
 0 3 3 
а) А =  2 2 0 


 0 2 3


0
0
2.
0
0
2
0
2
1
3 2 2 1 8
3 2
1
3.
0
0
 1 5 2 
б) А =  0 3 3 


0 4 2 


3
4
7
2 2
7
7
-х1 + 3х2 + 2х3 = 0,
3 х1 + 2х2 - 4х3 = 31,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 14;
4.
 1 4 0 
А =  3 4 4 


 0 4 1


5.
 5 3 2 

 Х=
 5 1 3 
 4 1 1 


6.
1 3 13 2
1 4 19 5
А=
3 10 44 8
3 3 m 1
7.
18 23 20 


 9 21 38 
 2 15 23 


х1 - 2 х2 + 3 х3 -4 х4 +2 х5
х1 + 2х2 - х3
- х5
х1 - х2 + 2х3 - 3 х4
х2 - х3 + х4 - 2 х5
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
24
ВАРИАНТ № 21
1.
 5 3 1 
а) А =  4 4 2 


 5 4 3 


0 2 0
2 2 0
2.
3.
4.
0
0
 5 4 5 
б) А =  3 1 0 


 3 5 3 


0
0
0
0
0 1
2
0
0
1
1
3
0
0
2
3
3
-х1 + 3х2 + 2х3 = -4,
2х1 + х2 - 2х3 = 13,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 12;
 5 4 3 
А =  2 2 1 


 3 3 3 


11 16 
5 4 2  5




5. Х  5
1 1   28 29 22 

 1 4 5   14 18 18 

 =

6.
7.
1
3
А=
2
13
2 7 2
5 19
1
2 11 3
18 78 m
2х1 + 3 х2 +5 х3 - 4 х4 + х5 = 0,
х1 - х2 + 2х3+ 3 х4 +5 х5 = 0,
3х1 + 7х2 + 8х3 - 11 х4 - 3 х5 = 0,
2 х1 + 3х2 +5 х3 - 4 х4 + х5 = 0.
25
ВАРИАНТ № 22
 2 4 4 
1. а) А =  2 1 5 


 2 1 3 


2.
3.
4.
5.
6.
7.
0
0
0
0
0
0
2 0
3 3
0
3
1
0 0
1
3
0
0 0
1
2
1 0 0
 1 2 3 

б) А =  3 4
1

 1 3 2 


-х1 + 3х2 + 2х3 = 0,
2 х1 +2х2 - 4х3 = 16,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 18;
 3 2 3 

А =  3 3
5

 2 4 1


 4 0 1 

 Х=
 1 4 4 
 1 2 4 


 13 25 1 


 4 5 4 
 26 25 8 


1 2 3
0
1 3 5 2
А=
4 10 15 2
1 1 3
m
х1 - 2 х2 + х3 - х4 + х5
2 х1 +х2 - х3+ 2 х4 -3 х5
3 х1 - 2х2 - х3 + х4 - 2 х5
2 х1 - 5х2 + х3 - 2х4 + 2 х5
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
26
ВАРИАНТ № 23
1.
 5 2 3 
а) А =  4 3 3 


0 0 5


1 0
2 2
2.
3.
1
1
16
7
 2 2 0
б) А =  1 2 4 


 2 0 1 


2
16
0 3 3 7 11
0 0
0
1
3
0 0
0
2
2
-х1 + 3х2 + 2х3 = 4,
2 х1 + 3х2 - 6х3 = 17,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 24;
4.
 3 1 1 
А =  4 1 3 


 1 0 1 


5.
 0 4 5   15 11 39 
 

Х  5
4 1  =  0 11 21 

 1 3 4   7 17 34 

 

6.
1
1
6
0
3
8
32 m
А=
3 5 23 1
1 301 3 1
7.
2х1 + х2 - х3 - х4 + х5 = 0,
х1 - х2 + х3+ х4 - 2 х5 = 0,
3х1 + 3х2 - 3х3 - 3 х4 + 4 х5 = 0,
4х1 + 5х2 - 5 х3 - 5 х4 + 7 х5 = 0.
27
ВАРИАНТ № 24
1.
 2 5 2 
б) А =  1 3 5 


 2 5 3 


 1 2 2 

а) А =  4
5 3 

 2 3 2 


10 1 0 1 3
12 0 3 1 1
2.
3.
12
4
0 3 2
3
3 0
0
0
2
2
0
0
0
-х1 + 3х2 + 2х3 = 8,
2 х1 +4х2 - 8х3 = 16,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 30;
4.
 4 4 3 
А =  1 2 1 


0 5 2


5.
 3 0 1 

 Х =
 5 1 1 
 1 3 4 


6.
1 2 8 1
2 3 11 4
А=
5 8 29 10
2 3 m 2
7.
 16 18 2 


 11 19 9 
 5 8 29 


2х1 - 2 х2 + х3 - х4 + х5 = 0,
х1 + 2х2 - х3+ х4 -2 х5 = 0,
4х1 - 10х2 + 5х3 -5 х4 +7 х5 = 0,
2 х1 - 14х2 +7 х3 - 7 х4 + 11 х5 = 0.
28
ВАРИАНТ № 25
1.
 2 2 0 0
0 2 0 0
2.
3.
4.
 0 3 1

б) А =  3
2
5

 3 42 1


5 1 0 
а) А =  0 5 5 


 2 3 1 


0
0
0
0
1 1 3
0
0
0 0
3
0
0
3 2
3
-х1 + 3х2 + 2х3 = 12,
2 х1 +5х2 - 10х3 = 13,
4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 36;
 0 3 2 
А =  2 2 1 


0 0 3


4 16 
 2 2 2   14



5. Х  4 2 2 = 20 10 10 


 
 0 3 3   8 12 4 




6.
7.
1 2 7 1
3 18 48 m
А=
1 1 0
2
3 7 23 1
х1 + 3х2 + 2 х3 - 2 х4 +5 х5 = 0,
х1 - 2х2 + х3 - х4 +4 х5 = 0,
х1 - 4х2 + х3 + х4 - х5 = 0,
3 х1 - 3х2 + 4 х3 - 2 х4 - х5 = 0.
29
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1
3
T
T
Для данной матрицы  вычислить: а)  ; б)        .
5 
5 2
 3  3 4 




а)    4 1  2  ; б)    5  2  2  .
0  2 0 
 5 4
2 



Решение
а) Последовательно находим
5  5 2
5 
5 2



   4 1  2  4 1  2  
 0  2 0  0  2 0 



5  5  2   2  5  0 
 5  5  2  4  5  0 5  2  2  1  5   2


  4  5  1 4  2  0
4  1  1   2   2 4  5  1   2   2  0  
 0  5  2  4  0  0 0  2   2  1  0   2 0  5  2   2  0  0 


2
 33 2 21


  24 13 18  ;
 8  2 4 


5   173 26 161 
 33 2 21 5 2


 

       24 13 18  4 1  2    172 25
94  .
  8  2 4  0  2 0    48  26  36 


 

3
2
  3 5  5


б) Так как     3  2 4  , то
 4 2 2 


T
30
  3  3 4    3 5  5   34  17 11 

 
 

     5  2  2     3  2 4     17 33  37  ,
 5 4
2   4  2 2   11  37 45 

T
  3 5  5    3  3 4   59  21  32 

 
 

      3  2 4    5  2  2     21 29
0 ,
 4  2 2   5 4
2    32
0
24 

 
T
 34  59  17  21 11  32    25 4

 
          17  21 33  29  37  0    4
4
 11  32  37  0 45  24   43  37

 
 173 26 161 
  25 4



3
T
T
Ответ: а)    172 25 94  ; б)          4
4
  48  26  36 
 43  37



T
T
43 

 37  .
21 
43 

 37  .
21 
Задание 2
0 0
0 1
0 0
0
2
0
Вычислить определитель матрицы 0  1 3
2 0 2 0
2 3 2 0
Решение
0 0
0 1
0 0
0
2
0 1 3
0
2 0 2 0
2 3 2 0
0
0 0
0 1
1
1 3
0
25 0

0  1   1
2 0 2 0
0
2 3 2 0
0
31
0
1
0.
0
0
  1   1
1 4
0 1
3
2 0  2  0  18  4  0  0  4  18 .
2 3 2
Ответ: 18.
Задание 3
Решить систему линейных уравнений пол правилу Крамера
 x1  3x2  2 x3  4,

3x1  3x2  6 x3  36,
4 x  3x  5 x  20.
2
3
 1
Решение
1
 3
4
4
3
2
3  6  15  72  18  24  45  18  156.
3 5
3
2
1  36 3  6  60  216  360  120  540  72  1248.
20  3 5
1
2  3
4
1
3  3
4
x1 
4
2
36  6  180  120  96  288  60  120  624.
20 5
3
4
3 36  60  36  432  48  180  108  0.
 3 20
1  1248

 624

0

 8 x2  2 
 4 x3  3 
0

 156
  156
  156
;
;
.
Ответ: X  8;4;0 .
32
Задание 4
Найти различными способами матрицу  1 , обратную данной
матрице  и проверить выполнение условия   1   .
  2 1 0


   2  2 5
 1  5 1


Решение
I способ. Для получения обратной матрицы образуем расши-
 
ренную матрицу   и воспользуемся тем, что
  ~   
1
  2 1 0 1 0 0 0  9 2 1 0 2 

 

:      2  2 5 0 1 0  ~  0 8 3 0 1  2  ~
 1  5 1 0 0 1 1  5 1 0 0 1 

 

 0  9 2 1 1 2 0 1   0 0 1 8 43
9 43  2 43 

 

~  0 43 2 0  3 2 1  5  ~  0 1 0  3 43 2 43  10 43  ~
 1  1 2 0  1 2 0 0   1 0 0  23 43 1 43  5 43 

 

 1 0 0  23 43 1 43  5 43 


~  0 1 0  3 43 2 43  10 43     1 .
 0 0 1 8 43
9 43  2 43 



Итак,
  23 43 1 43  5 43 
  23 1  5 




1
1    3 43 2 43  10 43  или  1    3 2  10  .
43 
 8 43
9 43  2 43 
9  2 

 8
Проверкой убеждаемся, что
33
  2 1 0    23 1  5 
 43 0 0   1 0 0 

 1
 1
 

     2  2 5     3 2  10    0 43 0    0 1 0    .
 1  5 1  43  8 9  2  43  0 0 43  0 0 1 

 


 

1
1
II способ. Воспользуемся формулой  
2
матрица, присоединенная к  . Так как   2
1
 2

 5
 1
   
 5
 1

 2
5
1
0
1
0
5

2 5
1 1
2 0

1 1
2 0
2
5
 
1 T
 , где  

1
0
 2 5  43 , то
5 1
2 2 

1 5 
 23 3  8 

2 1  
   1  2  9

1 5 
,
5 10 2 


2 1

2  2 
то
 23 3  8 
  23 1  5 


1 
1 
1
 
  1  2  9     3 2  10  .
 43 
43 

9  2 
 5 10 2 
 8
  23 1  5 

1 
1
Ответ:  
  3 2  10  .
43 
9  2 
 8
T
Задание 5
Решить матричное уравнение
  4  1 3
  2  14 16 




10  5 
 1  3 1  X   7
  3 0 3
  3  12 18 




34
Решение
I способ решения состоит в нахождении (одним из способов)

матрицы  и решении уравнения AX  B по формуле X  A1B .
Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы:
 4 1 3
A  1  3 1  36  3  27  3  15
3 0 3
 3

 0
 1
   
 0
 1

 3
1
3
3
3
3
1

1
1
3 3
4 3
3 3
4 3

1 1
1
3
4

3
4
1
,
3 

0 
  9  6  9

1  
  3 3 3 
0  
,
8
7 13 
1  

 3 
  9  6  9
 9 3 8 


1
1
   3  3 3    6  3 7  .
15 
15 

7 13 
 8
  9  3 13 
T
1
Тогда
  9 3 8   2  14 16 
 15 60 15   1 4  1

 1
 

1
X    6  3 7  7 10  5     30  30 45     2  2 3 
15 

 15  0
0 75   0 0 5 
  9  3 13  3  12 18 

  

1
II способ решения основан на эквивалентности A B ~ E A B :
  4  1 3  2 14 16   0  13 7 26 26  4 

 

A B    1  3 1 7 10  5  ~  1  3 1 7 10  5  ~
  3 0 3  3  12 18   0  9 6 18 18 3 

 

35
0 0  5 3 0
0  25 3   0 0 1 0
0
5

 

~ 1 0
1 1
4
 6  ~1 0 0 1
4  1 ~
0 1  2 3  2  2 1 3  0 1 0  2  2 3 

 

1 0 0 1
4  1


~  0 1 0  2  2 3   E A1B .
0 0 1 0
0
5 

4  1
 1


Поэтому X    2  2 3  .
 0
0
5 



4  1
 1


Ответ: X    2  2 3  .
 0
0
5 

Задание 6
При каких значениях параметра m строки матрицы будут линейно независимы?
 1  3  3  1


9
0
 1 4
A
 1 6 18  1


  2  2 m  1


Решение
Строки (столбцы) квадратной матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0. Для удобства
поменяем местами последние два столбца матрицы (это влияет
лишь на знак определителя) и приведем ее к ступенчатому виду:
36
 1  3  1  3  1  3  1  3 

 

0
9  0 1 1
6 
 1 4
  1 6  1 18  ~  0 3  2 15  ~

 

  2  2 1 m   0  8  3 m  6

 

 3  1  3 1  3 
1  3 1

 

1
6  0 1 1
6 
0 1
0 0
1
 3  0 0
1
3 

 

 0 0  11 m  42   0 0

0
m

9



.
~
~
Так как определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, то A  m  9 , и строки матрицы линейно зависимы при A  0 , т. е. при m  9 .
Ответ: m  9 .
Задание 7
Найти размерность пространства решений и фундаментальный
набор решений системы однородных линейных уравнений.
 x1
2 x
 1

3x1
4 x1
 3x2  6 x3
 x2  3x3
 3x4
 4 x4
 3x5  0,
 x5  0,
 4 x2  8 x3  7 x4  4 x5  0,
 7 x2  14 x3  10 x4  7 x5  0.
Решение
Опуская в расширенной матрице (нулевой) столбец свободных
членов, решаем систему методом Гаусса:
37
3  3
1  3 6 3  3 1  3 6

 

2 1 3 4 1 0 5  9  2 5 
 3  4 8 7  4  ~  0 5  10  2 5  ~

 

 4  7 14 10  7   0 5  10  2 5 

 

 1 9 2  15 2

0  5 2 9 2
~
0
0
1

0
0
1

0 92 

1  5 2 1 9 2 0 0 9 2 
.
~
0
0   0  5 2 0 1  5 2

0
1 0
0 
0
0   0
Переходя к системе уравнений, получим:
9
9

 x1  2 x2  2 x5  0,

5
 5
 x2  x4  x5  0,
2
 2
x

0
.
 3

Выражая базисные переменные через свободные, имеем
9
9

 x1   2 x2  2 x5 ,

5
5

 x4  x2  x5 ,
2
2

 x3  0.

Откуда
9
5
5
 9

X общ    x2  x5 ; x2 ;0; x2  x5 ; x5  ,
2
2
2
 2

где x2 , x5  R .
38
Таким образом, размерность пространства решений исходной
системы равна двум. Базис этого пространства (ФНР) можно найти,
5 
 9
;1;0; ;0  , а
2 
 2
например, так. При x2  1 , x5  0 получаем X 1   
 9
 2
5 
2 
при x2  0 , x5  1 находим X 2    ;0;0; ;1 . Векторы X1 , X 2
образуют фундаментальный набор решений исходной системы.
Ответ: Размерность пространства решений равна двум. Фундаментальный
набор
решений:
5 
 9
X 2    ;0;0; ;1 .
2 
 2
39
5 
 9
X 1    ;1;0; ;0  ,
2 
 2
Литература
1. Красс М. С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. 5 изд., испр. и доп. М.: ДЕЛО, 2006.
2. Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. 4 изд., испр. М.: ДЕЛО, 2003.
3. Бабайцев В. А., Гисин В. Б. Сборник задач по курсу “Математика в экономике”. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование. В 3 ч. М.: Финансы и статистика; Ифра – М, 2010.
40