ВЫШКАмод.1вар3

Лекция 1. Введение.
1. Предмет высшей геодезии
2. Термины и определения
3. Основные разделы высшей геодезии
1. Предметом высшей геодезии является:
- определение формы, размеров и гравитационного поля Земли;
- создание государственных опорно-геодезических сетей;
- изучение геодинамических явлений;
- решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида или
в пространстве.
В связи с развитие GPS встает задача перехода от геоцентрической системы координат к системе координат, в которой ведется землеустройство и
земельный кадастр.
Настоящий переход осуществляется методами высшей геодезии.
GPS одновременно определяет 3 координаты XYZ с геодезической системе координат WGS 83.
В Беларусии используется система координат 1942 года или система координат Красовского. В этой системе координат велись землеустроительные
и кадастровые работы.
Возникает проблема связи этих двух систем координат. Причем в системе координат Красовского прямоугольные координаты отделены от высот
(известно, что высоты отсчитываются от уровня моря в гравитационной системе силы тяжести Земли).
Плановая и высотная система координат разделены. Координаты XY
определяются в проекции эллипсоида на плоскость, а высоты относительно
уровня моря (геоида).
Ставится задача по GPS измерениям определять плановые координаты
XY и высоты.
На больших территориях кадастр ведется в определенной картографической проекции. Поэтому, по координатам определенным с помощью GPS
необходимо определить координаты объекта в проекции.
Приведенные положения являются обоснованием к изучению высшей
геодезии.
Задача высшей геодезии – изучение фигуры и гравитационного поля
Земли по: геодезическим измерениям; гравиметрическим (измерениям силы
тяжести); астрономическим; наблюдениям искусственных спутников Земли.
Проблема определения фигуры Земли может быть определена так:
1) определяется поверхность относимости в виде поверхности эллипсоида;
2) необходимо определить поверхность геоида относительно эллипсоида, а для этого необходимо знать (дзета) – величину высоты геоида над эллипсоидом (аномалия высоты);
3) по этим данным определить положение точки физической поверхности Земли по формуле
Н=Нγ+ ζ
где Нγ – нормальная высота, определенная из нивелирования.
Считая, что геодезическая широта и долгота точки А0 также определены.
К научным задачам высшей геодезии относят:
1) определение гравитационного поля земного эллипсоида;
2) определение отступлений гравитационного поля реальной Земли от
поля эллипсоида. Тогда по гравитационному полю эллипсоида и отступлению определить гравитационное поле реальной Земли;
3) изучение геодинамических процессов.
Научно-технические задачи:
- создание опорных геодезических сетей;
- разработка и совершенствование методов высокоточных измерений
(линейных, угловых, гравиметрических, спутниковых);
- разработка методов математической обработки геодезических измерений.
2. Фигура Земли – фигура ограниченная физической поверхностью Земли, т.е. поверхность твердой оболочки и не возмущенной поверхностью морей и океанов.
Моделями Земли являются геоид и эллипсоид.
Геоид – уровненная поверхность поля силы тяжести Земли, совпадающие с уровнем моря. Уровень моря считаем началом счета высот.
Настоящая поверхность геоида была введена в 19 веке английским математиком Стотсом, а ее практическое применение в геодезии наиболее полно разработано российскими учеными Молодецким и Броваром.
Эллипсоид – это фигура, образованная в результате вращения эллипса
вокруг его малой оси РР1. Он характеризуется двумя параметрами: а - большой полуосью и в – малой полуосью или большой полуосью а и сжатием
ав

.
а
Вместо сжатия может быть использован эксцентриситет эллипсоида
а2  в2
2
е 
.
а2
Параметры общего земного эллипсоида определялись рядом ученых.
В 1942г. Красовским определено, а=6378245, α=1/298,3.
По спутниковым наблюдениям в 1984г. приняты за основу WGS 84:
а=6378137; в=1/298,2572.
Во многих странах определены свои эллипсоиды. Такие локальные эллипсоиды называются референс-эллипсоидами.
3. Раздел 1. Теоретическая геодезия или физическая. Её предметом являются методы и способы определения гравитационного поля Земли, параметров земного эллипсоида и формы геоида.
Раздел 2. Сферическая геодезия. Предметом которой являются методы и
способы геодезических задач на эллипсоиде.
Раздел 3. Основные геодезические работы. Предметом их являются методы выполнения высокоточных измерений для определения взаимного положения координат точек земной поверхности.
Лекция 2. Общие сведения о геодезических сетях.
Пути их модернизации.
1. Классификация геодезических сетей
2. Назначение геодезических сетей
3. Плотность и точность построения государственной геодезической сети
4. Понятие о спутниковых методах создания геодезических сетей
5. Совершенствование геодезических сетей
1. По территориальному охвату сети бывают:
- общеземные
- государственные
По геометрии:
- плановые
- высотные
- пространственные.
Геодезические сети (ГС) строят от общего к частному, т.е. вначале на
всю территорию страны строятся сети самой высокой точности, потом она
сгущается выполнением менее точных измерений, но таким образом, чтобы
достиглась соответствующая точность определения пунктов сети.
В таком иерархическом порядке строится ГС Беларусии:
1) государственная геодезическая сеть (ГГС) – 1, 2, 3, 4 класса геодезические сети и гравиметрической;
2) геодезическая сеть сгущения (ГСС) – плановая сеть (полигонометрии,
триангуляции 1, 2 разрядов) и высотная (техническое нивелирование);
3) съемочные сети (СС) – плановые (теодолитные хода, засечки) и высотные (техническое нивелирование).
Существуют специальные сети для решения конкретных задач народного хозяйства.
2. Государственная плановая сеть является основой картографирования
страны. Ею закрепляется определенная система координат.
Государственная геодезическая сеть также служит картографической
основой. Пункты нивелирной и плановой сети не совпадают. Плановое положение нивелирных пунктов известно приближенно.
Государственная гравиметрическая сеть предназначена для определения
гравитационного поля на территории страны. На этих пунктах измеряются
ускорение силы тяжести. Они служат для определения параметров земного
эллипсоида и в идеальном случае с высокой точностью должны определять
их плановые и высотные координаты. Их нужно совмещать с пунктами плановой и высотной сетей.
ГСС создаются для обоснования топографических съемок масштаба
1:5000 - 1:500 и для выполнения инженерно-геодезических работ.
Специальные сети создаются для решения конкретных задач экономики.
3. Плотность плановой ГГС характеризуется следующей таблицей.
Класс
S, км
Площадь на 1 пункт
2
13,3
138,0
3
7,6
45,0
4
4,4
15,1
Средняя длина стороны 1 класса 23 км.
Таблица зависимости плотности пунктов от масштаба съемки.
Масштаб
Площадь съемочПлощадь на 1
Расстояние меж2
2
ной трапеции, км
пункт, км
ду пунктами,км
1:25000
75
50-60
7-8
1:10000
18
50-60
7-8
1:5000
4,5
20-30
4-6
1:2000
1,1
5-15
2-4
Точность построения ГГС.
ГГС должна быть построена с такой точностью, чтобы влияние ошибок
положения геодезических пунктов было пренебрегаемо по отношению к графической точности карты.
Графическая точность карты принимается равной двойной точности
масштаба. Исходя из этого можно задать точность построения ГГС.
ms – средняя квадратическая ошибка определения длины стороны между
двумя смежными пунктами ГГС;
m – графическая точность карты;
M – масштаб карты.
Условие пренебрегаемого масштаба
ms<0,25 m M.
ms<0,25 0,2 25000=1,25м.
В городах базовым масштабом является масштаб 1:500.
ms=0,25 0,2 500=0,025м.
для городов ГГС должна характеризоваться точностью положения пунктов 2,5 см.
ГГС должна обеспечивать среднюю квадратическую ошибку положения
пункта 3 и менее см.
4. К настоящему времени спутниковые сети создаются GPS.
В данном методе от спутников к точкам А и В измеряются дальности Д1Д2. Координаты спутников известны.
В результате обработки вычислений ΔX ΔYΔZ между точками А и В.
Для решения задачи должно наблюдаться не менее четырех спутников
одновременно. Измерения производятся в геоцентрической системе координат.
При дальности 20000км приращение координат ΔX ΔYи ΔZ определяются со средней квадратической ошибкой ±2см даже если точность положения спутников характеризуется средней квадратической ошибкой порядка
±100м, но при этом дальности должны измеряться с точностью ±2см.
5. Совершенствование ГГС на территории бывшего СССР велось и ведется в следующем порядке: 1) в 1991г. завершено уравнивание астрономогеодезической сети 1 и 2 класса. В результате уравнивания получены следующие точностные характеристики:
- средняя квадратическая ошибка взаимного положения пунктов меньше
5см;
- взаимное положение между крайними пунктами сети определенно со
средней квадратической ошибкой 1,1м;
- относительная средняя квадратическая ошибка стороны в слабом месте
сети составляет 1/246000.
Доказано после уравнивания, что средняя квадратическая ошибка измерения направлений составили величину 0,''75, азимуты определяются с точностью 1,''27;
2) ведется работа по созданию спутниковой ГС на территорию бывшего
СССР и Беларусии соответственно.
Государственная спутниковая геодезическая сеть будет состоять из трех
уровней:
1) фундаментальная астрономогеодезическая сеть (ФАГС); расстояние
между пунктами 700-800км, взаимное положение будет определен с точностью ±2см. На этих пунктах будут определены и их астрономические координаты. Все измерения будут спутниковыми;
2) ФАГС сгущается в высокоточные ВГС. Расстояния между пунктами
150-300 км. Взаимное положение пунктов определяется с точностью ±2 см.
наблюдения выполняются стационарными двухчастотными спутниковыми
приемниками;
3) спутниковая геодезическая сеть – расстояние между пунктами до 45
км, должны совмещаться с пунктами существующей ГС.
Лекция 3. Производство высокоточных угловых измерений
1. Высокоточные теодолиты (ВТ)
2. Контрольные испытания
3. Производство высокоточных угловых измерений
4. Классификация ошибок угловых измерений
5. Влияние инструментальных ошибок на результаты угловых измерений
1. Высокоточные теодолиты делятся на: оптические и электронные.
В оптических теодолитах отсчет снимается микрометром, а в электронных на табло или записывается в блок памяти.
Высокоточные теодолиты можно охарактеризовать
Т05 – точность измерения углов 0,5'', страна изготовитель – Россия;
ОТ02М, ОТ1 - точность измерения углов 1'', Россия;
Т200S, ДКМ-3 – Швейцария, 0,5''.
Theo 002 - 0,5'', Германия.
2. Поверки первые 4 известны нам: поверка цилиндрического уровня,
визирной оси трубы (коллимационная ошибка), оси вращения трубы, сетки
нитей.
Поверка компенсатора, оптического центрира.
Кроме названных поверок к ним добавляются: поверка 7. Ось накладного уровня должна быть параллельна оси вращения трубы; поверка 8. Вращение алидады должно быть плавным; поверка 9. Отсчетное устройство должно
быть выверено и отъюстировано; поверка 10. Нити биссектора окулярного
микрометра трубы должно быть установлено вертикально; поверка11. Место
ноля не менее 10''.
Исследования:
- определение цены деления уровня
- окулярного микрометра трубы
- исследование правильности хода фокусирующей линзы трубы
- -//- рен
- -//- эксцентриситета алидады и лимба
- -//- правильности вращения алидады
- -//- ошибок диаметра лимба
- -//- систематических ошибок измерения углов, связанных юстом подъемных винтов
- определение средней квадратической ошибки измерения горизонтальных, вертикальных углов одним приемом.
3. Существуют следующие способы измерения направлений и углов:
1) способ круговых приемов
2) способ всевозможных комбинаций. Предложен Гауссом и усовершенствован Шрейдером
3) способ Томилина или видоизмененный способ всевозможных комбинаций
4) способ Аладжалова.
Способ всевозможных комбинаций
Пусть имеется, например точка А
Все комбинации объединяем в одну матрицу
Число таких комбинаций будет равно
nn 1
.
r
2
Веса измеренных направлений на станции считаются по формуле
P=m·n,
где m – число приемов.
Допустим, при измерении способом всевозможных комбинаций:
1) значения углов измеренных при КЛ и КП не должны расходиться более чем на 8''
2)расхождение между приемами для 1 класса не менее 4'', для 2 класса 5''
3) колебание средних значений одного и того же угла полученных как по
непосредственному его измерению, так и вычисленных по другим измеренным углам не должны превышать 3'' при числе направлений не более 5, и 4'' –
более 5.
4. Ошибки угловых измерений делятся на группы:
1) личные – ошибки системы «прибор-наблюдатель»
2) инструментальные – вызванные погрешностью отдельных узлов теодолита
3) внешней среды - t°С, давление.
5. 1) влияние коллимационной ошибки на отсчет по горизонтальному
кругу.
Минимально допустимая коллимационная ошибка не должна превышать
10''.
Влияние на направление выражается формулой
c
xc 
,
sin z
где z – зенитное расстояние.
Тогда при КП поправка в направление будет
N=КП+хс
при КЛ
N=КЛ±180 - хс
Среднее из отсчетов при КЛ и КП свободно от влияния коллимационной
ошибки.
2) влияние наклона оси вращения трубы.
Оно вызвано не выполнением третьей поверки. Влияние этой ошибки х i
хi=i·ctgz,
N=КП+ хi,
N=КЛ±180- хi.
3) влияние наклона вертикальной оси теодолита (оси вращения)
Угол δ определяется по накладному уровню по формуле
(Л  П)
(Л  П)
КП
КЛ
2
2
Тогда в делениях уровня этот угол равен
δ=b·τ,
1
b  Л  П КП  Л  П КЛ  ,
2
где τ – цена деления уровня.
хδ=δ·ctgz,
N=КП+ хδ,
N=КЛ±180- хδ.
4) влияние ошибок нанесения штрихов на лимб.
Деления на лимб наносятся с помощью делительной машины. Поэтому
исследования делений выполняют на специальных стендах.
Эти ошибки делятся на: длиннопериодические и короткопериодические.
Длиннопериодические выявляются по всей окружности лимба
Коротческие на интервале 1°
копериоди-
По этим графикам учитывается ошибки делений лимба. Однако, имеется
некоторая возможность ослабить их влияние на отсчеты. Рекомендуют переставить лимб между приемами с учетом наименьшего деления лимба.
Лекция 4. Элементы приведения. Предварительные вычисления
1. Элементы приведения
2. Предварительные вычисления при обработке линейно-угловых плановых геодезических сетей
1.
Пусть О центр пункта, I – точка установки прибора, V – визирный цилиндр не совпадающий с центром пункта.
Очевидно, что мы будем иметь элементы приведения:
1) центрировки l,Q
2) редукции l',Q'.
В элементах приведения вычисляем поправку за центрировку и редукцию.
2. Они включают:
1) проверку полевых материалов
2) составление сводок результатов
3) составление рабочей схемы плановой сети
4) предварительное решение треугольников и вычисление сферических
знаков
5) приведение результатов измерений к центрам знаков
6) вычисление приближенных координат пунктов
7) составление карточек предварительной обработки на каждый пункт
8) составление таблиц направлений приведенных к центрам знаков и редуцированных на плоскость проекции Гаусса-Крюгера
9) анализ полученных результатов
10) обработка результатов тригонометрического нивелирования и вычисление высот пунктов.
4-й пункт. В данной задаче по измеренным углам А, В, С и исходной
стороне вычисляются боковые стороны треугольника
a  sinA
,
sinB
a sin A
.
c
sin C
b
А+В+С=1800+ε.
где ε – сферический избыток.
На больших расстояниях измеряются углы в сферическом треугольнике
АВС.
С тем, чтобы выявить невязку треугольника из каждого угла извлекают
1/3 избытка. Тогда разность между суммой углов и 1800 будет равна невязке.
Формула вычисления сферического избытка
  fabsinC  fa sin B  fb sin A .
5 пункт. По известным формулам вычисляем поправки за центрировку и
редукцию в триангуляции.
В линейных сетях или измерениях элементы центрировки и редукции
вычисляются по следующим формулам
С
 cosQ 180  ,
l
C  l  cosQ ,
r
 cos180  Q ,
l
r  l  cos Q .
6 пункт. Приближенные координаты вычисляются по известным нам
формулам вычисления координат:
- в прямой и угловой засечке
- линейной засечке
- обратной засечке
- полярных координат и другие.
8 пункт. Целью редукционных вычислений является приведение измерений на эллипсоид, а затем на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера.
В связи с этим вычисляют следующие редукции или приведения:
1) редукция за уклонение отвесной линии
2) поправка в направление за высоту наблюдаемой цели над эллипсоидом
При визировании на высокую цель, высота которой Н над эллипсом
направление не совпадает с нормальным сечением на величину Δ.
3) поправка за переход от нормального сечения к геодезической линии.
Геодезическая линия – кратчайшее расстояние на кривой поверхности
4) поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии Гаусса-Крюгера. Последняя поправка для перехода на плоскость
Лекция 5. Уравнительные вычисления
1. Коррелатный способ
1.1 Сущность способа
1.2 Виды условных уравнений
1.3 Число условных уравнений
1.4 Решение условных уравнений по методу условных квадратов
2. Параметрический способ уравнивания
2.1 Сущность способа
2.2 Виды некоторых уравнений поправок
2.3 Решение уравнений поправок по методу наименьших квадратов
1.
1.1 Коррелатный способ легко понять, если его назвать способом условных уравнений или способом условий.
Сущность этого способа заключается в том, что если бы нам были известны истинные значения измеренных величин, то в геодезических сетях
выполнялись бы определенные геометрические условия.
Пусть в треугольнике известны значения углов х1, х2, х3.
Тогда в нем должно удовлетворяться следующее условие
х1+ х2+ х3 – 180=0.
Истинные значения нам не известны, а известны только измеренные. В
таком случае геометрическое условие не выполняется. Они отягощены случайными ошибками и не равны истинным значениям.
х1+ х2+ х3 – 180=W,
где W – невязка, а в уравнительных уравнениях он заменяется словом - свободный член.
Задачей уравнительных вычислений является найти такие поправки в
измеренные значения х1, х2, х3, чтобы компенсировать невязки и получить результат с повышенной точностью.
х1+Vx1+x2+ Vx2+x3+ Vx3 – 180=0
Vx1+Vx2 +Vx3 +w=0
w= х1+ х2+ х3 – 180
Последнее уравнение называется условным уравнением.
В общем виде условное уравнение можно записать
φ1=( Vx1,Vx2… Vxn)+w1=0
φ2=( Vx1,Vx2… Vxn)+w2=0
(1)
φr=( Vx1,Vx2… Vxn)+wr=0.
r- число условных уравнений. Оно равно числу избыточных измерений в
геодезическом построении.
В треугольнике, в котором измерены 3 угла – имеется одно избыточное
измерение. Потому, что з-й угол можно измерить по двум измеренным углам.
Систему условных уравнений (1) решают по методу наименьших квадратов и находят такие направления, чтобы точность окончательных результатов была максимальной.
1.2 На примере триангуляции мы ранее рассматривали условные уравнения: фигур, полюсное, базисное, дирекционных углов. В полигонометрии
возможны: условное уравнение полигонов, координатные по осям Х и У, углов.
1.3 Число условных уравнений равно числу избыточных измерений.
1.4 Пусть
a1v1+a2v2+a3v3+w1=0
b1v1+b2v2+b3v3+w2=0.
где ai, bi – коэффициенты условных уравнений при поправках vi.
wi – свободный член.
Будем считать, что измерения имеют веса pi.
Уравнивание по методу наименьших квадратов сводится к постановке
задачи на условный экстремум или к минимизации функционала Лагранжа.
   p i v 2 i  2k (a1v1  a2 v2  a3v3  w1 )  2k (b1v1  b2 v2  b3v3  w2 )  min
k1, k2 – коэффициенты Лагранжа или коррелаты.
Неизвестными величинами остаются поправки. Для их вычисления берут производную по поправкам и приравнивают к нулю.

 2 p1v1  2k1a1  2k2b1  0 .
v1
По этому же принципу находим остальные две производные.
Получим
1
v1   k1a1  k2b1  ,
p1
1
v2   k1a2  k2b2  ,
p2
1
v3   k1a3  k2b .
p3
1
3
Подставляем поправки в условные уравнения, получаем нормальные
уравнения
 aa 
 ab 
   k1    k2  w1  0 .
p
 p
После подстановки v1, v2, v3 во второе условное уравнение мы получаем
второе нормальное уравнение. Их система имеет вид
 aa 
 ab 
   k1    k2  w1  0 ,
p
 p
 ab 
 bb 
 k1    k2  w2  0 .
p
p

Система нормальная потому, что у нее число уравнений равно числу неизвестных.
k1, k2 получают при решении и вычисляют поправки v1, v2, v3.
В матричном виде решение выглядит так
a a a 
B=  1 2 3 
 b1 b2 b3 
 v1 
 
V   v2 
v 
 3
w

W  1 
w
 p1 2  


P   p2 

p3 

BV+W=0,
T
Φ = V PV+2KT(BV+W)=min,


 0,
 2V T P  2K T B  0 ,
V
V
VTP= - KTB.
Для вычисления VT умножим последнее уравнение на матрицу р-1 справа
VTP р-1= - KTB р-1
P р-1=Е – единичная матрица
VT= - KTBp-1
V=(VT)T= - (KTB р-1)T= - p-1BTK
Подставим V в условное уравнение, составим нормальные уравнения
- Bр-1BTK+W=0,
- NK+W=0.
Умножим на N-1 слева и получим
BV+W=0,
- NK+W=0.
Вычисляем поправку по формуле
V= - р-1BTK.
2.
2.1 Сущность этого способа покажем на примере линейной засечки
Пункты А В С являются исходными. Пункт Р – определяемый.
Из математики известно, что для определения t неизвестных необходимо
составить t уравнений.
Линейная засечка позволяет составить 2 уравнения
S1  X A  X 2  YA  Y 2
S 2   X B  X 2  YB  Y 2 .
В этих уравнениях 2 неизвестных х и у. Эти уравнения устанавливают
связь между S1 и S2 и неизвестными величинами х и у.
Неизвестные величины называются параметрами, а уравнения - параметрическими уравнениями связи
Однако на практике измеряют больше чем 2 стороны и составляют уже
например, 3 уравнения с двумя неизвестными. Такая система называется переопределенной, потому, что число неизвестных меньше числа уравнений.
Традиционными методами элементарной и высшей математики не возможно получить однозначный результат, потому, что может быть много комбинаций решения.
Для получения однозначного решения вводятся дополнительные условия, которые позволяют получить решение однозначное и наиболее точное.
Чаще всего используется условие минимума взвешенной суммы квадратов поправок в измерениях.
Тогда задача формулируется так:
Даны координаты исходных пунктов
ХА УА
ХВ УВ
ХС УС и т.д.
Измеренные величины S1 S2 S3, приближенные координаты неизвестных
х0 у0.
Для удобства изложения введем следующие переменные:
- поправки в стороны v1, v2, v3;
- поправки в приближенные координаты δх и δу.
х= х0+ δх
у= у0+ δу.
Решение задачи.
Для того чтобы получить однозначное решение необходимо потребовать выполнение следующих уравнений связи.
S1 v1 
S  v2 
2
S3 v3 
X
X
X
A
 X 0  X   YA  Y 0  Y  ,
B
 X 0  X   YB  Y 0  Y  ,
2
2
2
2
 X 0  X   YC  Y 0  Y  .
2
C
2
Эти уравнения связи решаются при условии минимума взвешенной
суммы квадратов поправок в измерения.
   p i v 2 i  p1v 21  p2 v 2 2  p3v 2 3  min .
Или говорят по методу наименьших квадратов.
Задача имеет нелинейный вид общего алгоритма решения нелинейных
уравнений. Такие системы решается способом приближений и на каждом
приближении решается система линейных уравнений соответственно данной
системе нелинейных уравнений.
Для этого исходную систему нелинейных уравнений приводят к линейному виду. Для этого каждое уравнение системы разлагается в ряд Тейлора,
ограничиваясь первыми степенями.
Покажем это на первом уравнении
f
f
2
2
S1  v1  X A  X 0   YA  Y 0   x  y ,
x
y
f
f
v1  x  y  l ,
x
y
где l 
X
 X 0   YA  Y 0   S1 .
2
A
2
Тогда систему не линейных уравнений записывают в линейном виде
f
f
v1  1 x  1 y  l1 ,
x
y
f
f
v2  2 x  2 y  l2 ,
x
y
f
f
v3  3 x  3 y  l3 .
x
y
2
   li v i  min .
Такое решение называют уравниванием параметрическим способом.
Покажем алгоритм уравнивания параметрическим способом на примере
двух неизвестных.
Пусть имеется в общем случае система
v1  a1x  b1y  l1 , р1
v 2  a2x  b2y  l2 , р2
v3  a3x  b3y  l3 , р3
Решим систему при условии
   p i v 2 i  p1v 21  p2 v 2 2  p3v 2 3  min .
Для того, чтобы получался минимум функционала Φ необходимо продеференцировать его по переменным и приравнять производные к 0. приведя
подобные члены мы получим
paax   pbay   pal  0 ,

  pabx   pbby   pbl  0
y
Таким образом, вместо трех уравнений связи или уравнений поправок
мы получим систему из двух уравнений
 раах   рbay   рal   0
 рbах   рbby   рbl   0 ,
Поскольку в данной системе число уравнений равно числу неизвестных,
то такая система называется нормальной.
Из нее решения находится δx и δy
Соответственно
х=хо+δх,
y=yо+δy.
Обобщим данное решение для n-мерного случая
 a1 b1 .. 


А   a2 b2 .. 
 ........ 


 x.. 


X   y.. 
 ........ 


 l1 .. 


L   l2 .. 
 ........ 


 v1 .. 


V   v2 .. 
 ........ 


P  E (единичное в часном случае равноточных измерениий)
Система других поправок записывается
V=AX+L,
Квадратичная функция
Ф=VTPV=min,
Найдем Х
Ф=VTPV=VTP(AX+L)=min,
Ф
V
 2V T P
0
Х
Х
V
A
Х
,
Ф
T
 2V PA  0
Х
V T PA  0
Выполняем новое транспонирование
(V T PA) T  0
AT PV  0
AT P ( AX  L)  0
A PAX  A PL  0
T
,
T
AT PA  N
N – матрица нормальных уравнений
NX  AT PL  0 ,
NX   AT PL .
Для получения решений умножим на N-1 слева, получим
Поскольку
100 


N 1  N  Е   010  ,
 001 


X   N 1 AT PL .
Транспонировали – строки заменяются столбцами
Оценка точности
Фх  σ 2 N 1 ,
где σ – стандарт измерения, вес которого равен единице
V T PV
σ
.
nt
где n – число уравнений поправок;
t – число неизвестных параметров;
N-1 – обратная матрица.
Фх – тоже матрица, диагональные элементы которой равны дисперсии
неизвестных параметров.
Слово «стандарт» имеет теоретический смысл. На практике вместо него
применяется термин среднеквадратическая ошибка и записываем.
 X   2 N 1
V T PV

nt
Для справки покажем определение коэффициента уравнений поправок
для некоторых измерений.
Сторон
S  V  ( x A  x 0  x) 2  ( y A  y 0  y ) 2
V
f
f
x  y  l
x
y
1  2( x A  x 0 )  1
f
 x 0
S 0 cos  0



  cos  0
0
0
x 2 ( x A  x 0 ) 2  ( y A  y 0 ) 2
S
S
Для стороны между двумя контурами первое и второе уравнение поправок имеет вид
V   cos  0 x1  sin  0 y1  cos  0 x2  sin  0 y 2  l
где l – свободный член
l  ( x 20  x10 ) 2  ( y 20  y10 ) 2  S
xi0 yi0 – приближенные координаты определяемых пунктов
S – измеренная длинна
Уравнение поправок направлений
Пусть имеется направление 1, 2, 3 и т.д.
Все направления отсчитывались от 0 лимба.
Направления М1, М2, М3.
Введем дополнительную неизвестную – z.
z- дирекционный угол нулевого деления лимба
1  z  M1
 2  z  M2
 i  z  Mi
Исходя из этого можно записать, что
Мi= - z+αi
z- называется ориентирующим углом, это дополнительное неизвестное
Пусть имеется направление 1-2
y 2  y1
.
x2  x1
Это выражение справедливо, если известны истинные значения всех величин. Но поскольку М измерено, а остальные величины неизвестны, то, задаваясь приближенными значениями координат и ориентирующего угла.
x10y10
x20y20
z0
их поправки δx1,δy1
δx2, δy2
δz.
А также поправкой в направление v уравнение связи можно переписать
так
y  y2  y1  y1
M  v  -z 0  z  arctg 2
x2  x2  x1  x1
f
f
f
f
v  z  x1  y1 
x2 
y  l ,
x1
y1
x2
y2 2
y 0 2  y 01
l   z0  arctg 0
M .
x 2  x 01
Уравнение поправок будет иметь вид
vzax1by1ax2 by2 l ,
sin 
где a 
S
cos
b
S
Уравнение поправок приращение координат измеряемых GPS – методом.
Будем считать, что приращение координат измеряются в геоцентрической системе координат, в которой функционирует сама GPS.
Можно записать следующие уравнение связи
М  z  arctg
x  x 2  x1
y  y 2  y1
z  z 2  z1
z2 и поправки к ним δx10 δx20 δy10 δy20 δz10 δz20 и поправкам в направления VΔx VΔy VΔz, то напримере приращения координат Δх
x10
x20
0
0
y1 y2 z10
0
x  vx  x20  x2  x10  x1
vx  x1  x2  l x
где l x  x20  x10  x
vy  y1  y 2  l y
l y  y 20  y10  y
vz  z1  z 2  l z
l z  z 20  z10  z