Вышка мод1 вар 4

Тема 1. Введение
1.Предмет высшая геодезия.
2.Термены и определения
3.Основные разделы высшей геодезии.
1. Предмет высшая геодезия.
Предметом высшей геодезии является:
1)Определение формы, размеров, гравитационного поля земли.
2)Создание государственных опорных геодезических сетей.
3)Изучение геодинамических явлений.
4)Решение геодезических задач, на поверхности земного эллипсоида и пространстве.
В связи с развитием GPS встает задача, перехода от геоцентрической системы координат к
системе координат в которой ведется землеустройство и земельный кадастр. Настоящий
переход, осуществляется методами высшей геодезии.
Глобальными, позиционными системами одновременно определяются 3 координаты(x,y,z)
в геоцентрической системе координат WGS 83.
В Беларуси, используется система координат 1942 года(Красовского).В системе координат
Красовского велись землеустроительные и кадастровые работы. Возникает проблема связи
этих двух систем координат. Причем, в системе Красовского прямоугольные координаты
отделены от высот (известно что высоты отсчитываются от уровня моря) в гравитационном
поле земли. Плановая система координат и высотная разделены. Координаты x,y
определяются в проекции эллипсоида Красовского, а высоты относительно уровня моря
(геоида). Поэтому ставится задача, по GPS-соединениям определять плановые координаты
x,y и высоты.
На больших территориях кадастр и землеустройство ведутся в определенной
картографической проекции, поэтому по координатам определенных с помощью
GPS,необходимо вычислить в проекциях координаты объектов. Приведенные положения,
являются обоснованием изучения высшей геодезии.
Задачи в геодезии:
Главной задачей в высшей геодезии является изучение фигуры и гравитационного поля
земли по:
1) Геодезическим измерениям ;
2) Гравиметрическим (измерение силы тяжести);
3) Астрономические определения;
4) Наблюдениями за искусственными спутниками земли.
Проблема определения фигуры земли может быть определена так:
1) Определение поверхности относительности в виде поверхности эллипсоида ;
2) Необходимо определить поверхность геоида относительно эллипсоида ℓ (зета)аномалия высоты;
3)По этим данным определяется положение точки физической поверхности земли по
формуле H=Hγ+S,
где Hγ – нормальная высота, определенная из нивелирования.
Считаем что геодезическая широта и долгота точки А₀ также определены.
К научным задачам в геодезии можно отнести:
1) Определение гравитационного поля земного эллипсоида;
2) Определение отступления гравитационного поля реальной земли от поля
эллипсоида тогда по гравитационному полю эллипсоида и отступлениям определяют
гравитационное поле реальной земли;
3) Изучение геодинамических процессов.
Научно-технические задачи:
1) Создание опорных сетей;
2) Разработка и усовершенствование методов высокоточных измерений
(линейных, угловых, гравиметрических, спутниковых);
3) Разработка математических методов геодезических измерений.
2.Основные термины и определения.
Фигура земли – это фигура ограниченная физическими поверхностями земли,
поверхности твердой оболочки на суше и невозмущенной поверхности морей и океанов.
Моделями земли являются геоид и эллипсоид.
Геоид – это уровненная поверхность поля силы тяжести земли совпадающей с уровнем
моря. Уровень моря считают началом счета высот.
Настоящая поверхность геоида была введена в 19в. английским математиком Стоксом. А
ее практическое применение в геодезии наиболее полно разработал российский ученый
Молоденский, а потом и Бровар.
Эллипсоид - это фигура, образованная в результате вращения эллипса вокруг его малой
оси рр₁.
Эллипсоид характеризуется 2 параметрами:
а – большая полуось, b – малая полуось
или большой полуосью и сжатием α,
𝛼=
𝑎−𝑏
𝑎
вместо сжатия может быть использован эксцентриситет «e»,
𝑎2 −𝑏
2
e2= 𝑎2
Параметры земного эллипсоида определяются рядом ученых. В 1942г. Красовским
определено, а=6378137 α=1/298,2572.
Во многих странах определены свои эллипсоиды, такие локальные эллипсоиды называют
референц-эллипсоидами.
3. Основные разделы высшей геодезии.
1) Теоретическая геодезия или физическая.
Ее предметом являются методы и способы определения гравитационного поля земли,
параметров земного эллипсоида и формы геоида.
2) Сфероидическая геодезия.
Предметом, которой являются методы и способы решения геодезических задач на
эллипсоиде
3) Основные геодезические работы.
Предметом их являются методы выполнения высокоточных измерений для определения
взаимного положения точек земной поверхности.
Тема 2. Общие сведения о геодезических сетях. Пути их модернизации
1.
2.
3.
4.
5.
Классификация геодезических сетей
Назначение геодезических сетей
Плотность и точность построения государственных геодезических сетей
Понятия о спутниковых методах создания геодезических сетей
Совершенствование государственных геодезических сетей
1.Классификация геодезических сетей.
По территориальному охвату геодезические сети бывают:
- общеземные
- государственные
По геометрии:
- плановые
- высотные
- пространственные
Геодезические сети строят по принципу от общего к частному. Вначале на всю
территорию строится сеть самой высокой точности. Потом она сгущается менее точными
измерениями, но таким образом, чтобы достигалась соответствующая точность определения
пунктов сети. В таком порядке строится геодезическая сеть Республики Беларусь:
- ГГС ( состоит из 1, 2, 3, 4 классов геодезической сети и гравиметрической, и нивелирной
I, II, III, IV классов ).
- ГСС ( состоит из плановой сети, сетей полигонометрии и триангуляции I, II разряда и
высотной, выполненной техническим нивелированием ).
- съёмочные сети.
- Существуют также специальные сети для решения задач народного хозяйства.
2. Назначение геодезических сетей
Государственная плановая геодезическая сеть является основой картографирования
страны, ею закрепляется определённая система координат.
Государственная нивелирная геодезическая сеть является картографической основой,
пункты нивелирной и плановой геодезической сети не совпадают. Плановое положение
нивелирных пунктов известно приближённо.
Государственная гравитометрическая геодезическая сеть предназначена для определения
гравитационного поля на территории страны.
На этих пунктах измеряют ускорение силы тяжести, служат для определения параметров
эллипсоида и в идеальном случае с высокой точностью определяются их плановые и
высотные координаты, их нужно совмещать с пунктами плановых и высотных сетей.
Государственные сети сгущения создаются для обоснования топографических съёмок
масштаба 1:5000, 1:500 и для выполнения инженерных геодезических работ.
Специальные геодезические сеть создаются для решения конкретных задач
экономики(Специальная геодезическая сеть на территории Полесья).
3. Плотность и точность построения государственных геодезических сетей
Плотность плановой государственной геодезической сети характеризуется таблицей:
Класс
S, км
Площадь на 1
пункт Р=0,755²
2
13,3
138,0
3
7,6
45,0
4
4,4
15,1
Средняя длина стороны 1 класса – 23 км.
Таблица зависимости плотности пунктов от масштаба съёмки
Масштаб съемки
Площадь
Площадь на один
Расстояние между
2
2
трапеции (км )
пункт (км )
пунктами (км)
1:25000
75
50-60
7-8
1:10000
18
50-60
7-8
1:5000
4,5
20-30
4-6
1:2000
1,1
5-15
2-4
Точность построения государственной геодезической сети
Государственная геодезическая сеть должна быть построена с такой точностью, чтобы
влияние ошибок положения геодезических пунктов бло принебрегаемо по отношению к
графической точности карты.
Графическая точность карты принимается равной двойной точности масштаба. Исходя из
этого можно задать точность построения государственной геодезической сети. Введем
следующие обозначения:
ms – средняя квадратическая ошибка определения длины стороны между двумя
смежными пунктами государственной геодезической сети;
m – графическая точность карты;
М – масштаб карты.
Если принять m=0,2 мм с учетом масштаба точность будет mМ, а условие принебрегания
ms≤ 0.25 mМ.
Пусть М=25000, ms≤0,25*0,2мм*25000=1,25(м).
В городах базовым является масштаб 1:500.
ms≤0,25*0,2*500=0,025(м).
Для городов геодезическая государственная сеть должна характеризоваться точностью
положения пунктов 2,5 см. Государственная геодезическая сеть должна обеспечивать
среднюю квадратическую ошибку положения пункта три и менее сантиметров.
4. Понятия о спутниковых методах создания геодезических сетей
В данном методе от спутников к точкам AB измеряются дальности D1,D2,D3 и т.д.
Координаты спутников известны. В результате обработки вычисляются ∆x, ∆y, ∆z между
точками AB. Для решения задачи должно наблюдаться не менее 4 спутников одновременно.
Измерения выполняются в геоцентрической системе координат x, y, z.
При дальностях 20000км приращение координат ∆x, ∆y, ∆z определяется с СКО ∓2см.
Даже если точность положения спутников характеризуется СКО порядка ∓100см , то при
этом дальности должны измеряться с точностью ∓20 см.
5.Совершенствование ГС
Совершенствование ГС велось и ведется в следующем порядке:
I. В 1991г. Завершено уравнивание астрономо-геодезической сети 1-го и 2-го класса. В
результате уравнивания получены следующие точностные характеристики:
1) Взаимного положения пунктов меньше 5см
2) Взаимное положение между крайними пунктами сети определено со
среднеквадратической ошибкой (СКО) 1,1м
3) Относительная СКО стороны в слабом месте сети составляет 1/246000
Доказано после уравнивания, что СКО измерения направлений составили величину 0,75”.
Азимуты измерены с точностью 1,27”.
II. К настоящему времени ведется работа по созданию спутниковой геодезической сети на
территории бывшего СССР.
Государственная спутниковая геодезическая сеть будет состоять из 3-х уровней:
1) Фундаментальная астрономогеодезическая сеть (ФАГС). Расстояния между пунктами
такой сети составляет 700-800 км. Взаимное положение их будет определяться с точностью
2см. На этих пунктах будут определяться их астрономические координаты. Все измерения
будут спутниковыми.
2) На втором уровне ФАГС сгущается высокоточной геодезической сетью (ВГС).
Расстояния между пунктами 150-300км. Взаимное положение пунктов также определяется с
точностью 2см. Наблюдения выполняют стационарными двухчастотными спутниковыми
приемниками.
Спутниковая геодезическая сеть. Расстояния между пунктами до 45км. Они должны
совмещать с пунктами геодезической сети.
Тема3. Производство высокоточных угловых измерений
1. Высокоточные теодолиты.
2. Контрольные испытания оптических теодолитов.
3. Производство высокоточных угловых измерений.
4. Классификация ошибок угловых измерений.
5. Влияние инструментальных ошибок на результат угловых измерений
1.Высокоточные теодолиты.
Высокоточные теодолиты делятся на оптические и электронные. В оптических отсчет
снимается по микроскопмикрометру, а в электронных он выводится на табло или
записывается в блок памяти.
Высокоточные теодолиты можно характеризовать так: Т05, точность измерения углов
0",5 изготавливают в России;ОТО2М,ОТ1, - точность измерения углов 1" – Россия.
DKM – 3 (Швейцария),Т20005 (Швейцария),Theo002 (Германия) - 0",5.
Теодолиты могут быть выполнены в оптическом и электронном виде.
2.Контрольные испытания оптических теодолитов.
Первые 4 поверки известны нам:
- поверка цилиндрического уровня;
- поверка визирной оси (коллимационная ошибка);
- поверка оси вращения трубы;
- поверка сетки нитей трубы;
- поверка компенсатора;
- поверка оптического центрира.
К этим поверкам добавляются:
- ось накладного уровня должна быть параллельна оси вращения трубы;
- вращение алидады должно быть плавным;
- отсчётное устройство должно быть выбрано и отъюстировано;
- нити биссектора окулярного микрометра трубы должны быть установлены вертикально;
- место нуля вертикального круга не более 10".
Исследование:
1)определение цены деления уровня;
2)определение цены деления окулярного микрометра трубы;
3)исследование правильности хода фокусирующей линзы трубы;
4)исследование рен;
5)исследование эксцентриситета алидады и лимба;
6)исследование правильности вращения алидады;
7)исследование ошибок диаметров лимба;
8)исследование систематических ошибок измерения углов связанных с люфтом
подъёмных винтов;
9)определение СКО измерения горизонтальных и вертикальных углов одним приёмом.
3.Производство высокоточных угловых измерений.
Существуют следующие способы высокоточного измерения направлений и углов:
1)Способ круговых приёмов.
2)Способ всевозможных комбинаций.
3)Способ Тамилина.
4)Способ Аладжалова.
1∗2
Все комбинации объединим в одну матрицу
1 ∗ 3 1 ∗ 4…
2 ∗ 3 2 ∗ 1…
1∗𝑛
2∗𝑛
(𝑛 − 1) ∗ 𝑛
𝑛(−𝑛−1)
Число таких комбинаций будет равно r= 2
Веса измеренных направлений на станции вычисляются по формуле P=m*n, где m-число
приёмов.
Допуски при измерении в способе всевозможных комбинаций:
1)Значение углов измеренных при круге лево, круг право не должен расходиться более
чем на 8".
2)Расхождение между отдельными приёмами для первого класса измерений не более 4", а
для второго 5".
3)Колебание средних значений одного и того же угла полученных как по
непосредственному его измерению,так и вычисленных по другим измерениям углы не
должны превышать 3" при числе направлений меньше 5 и 4" при числе направлений больше
5.
4.Классификация ошибок угловых измерений.
Ошибки угловых измерений подразделяются на группы:
- личные (ошибки системы прибор-наблюдатель);
- инструментальные (погрешности отдельных узлов теодолита);
- внешней среды.
5. Влияние основных ошибок на результаты измерения
1) Влияние коллимационной ошибки на отсчет по горизонтальному кругу, min допустимая
коллимационная ошибка в высокоточных теодолитах не должна превышать 10”.
𝒍
Влияние на направление выражается формулой: 𝑿𝒄 = 𝒔𝒊𝒏𝒁
Тогда при Кп поправка в направление равна:
N=КП+Xc
N=КЛ ± 180’-Xc
Среднее из отсчетовпри КЛ и КП свободно от влияния коллимационной ошибки.
2) Влияние наклона оси вращения трубы.
Оно вызвано невыполняющимся условием 3-ей поверки
Когда Xi=i*ctgZ
𝑵 = КП + 𝑿𝒊
Тогда {
𝑵 = КЛ ± 𝟏𝟖𝟎° − 𝑿𝒊
3) Влияние наклона вертикальной оси вращения теодолита.
Угол наклона 𝛿 определяется по наклонному уровню по следующей
формуле: 𝜹 = 𝒃 ∙ 𝝉
𝟏
Тогда в делениях уровня будет равен: 𝒃 = 𝟐 ((Л + П) ∙ КП − (Л + П) ∙ КЛ)
Сам угол будет равен: 𝐗 𝛅 = 𝛅 ∙ 𝐜𝐭𝐠𝐙
𝐍 = КП + 𝐗 𝛅
𝐍 = КЛ ± 𝟏𝟖𝟎° + 𝐗 𝛅
Влияние ошибки нанесения делений на лимб:
Деления на лимб наносятся с помощью делительной шкалы, поэтому исследования
выполняют на специальном стенде. Эти ошибки подразделяются на:
- длиннопериодические
{
- короткопериодические
По
По этим графикам учитываются деления лимба, однако имеется некоторая возможность
ослабить их влияние на отсчет, переставлять лимб между приемами с учетами наименьшего
деления лимба.
Тема 4. Элементы приведения. Предварительные вычисления
1. Элементы приведения
2. Предварительные вычисления при обработке угловых плановых геодезических сетей
1. Элементы приведения
Пусть О центр пункта, I точка установки теодолита или прибора, V внутренний цилиндр,
несовпадающий с центром пункта .
Очевидно что мы будем иметь элементы приведения:
1 центрировки 𝜃,I;
2 редукцию 𝜃,I;
По элементам приведения вычисляются поправки за центрировку и редукцию.
2. Предварительные вычисления при обработке линейно-угловых, плановых
геодезических сетей.
Предварительные вычисления включают:
1. Проверку полевых материалов.
2. Составление сводок и результатов измерений.
3. Составление рабочей схемы плановой сети.
4. Предварительное решение треугольников и вычисления сферических избытков.
5. Приведение результатов измерений к центру знаков.
6. Составление карточек предварительной обработки на каждый пункт.
7. Вычисления приближенных координат пунктов.
8. Редукционные вычисления.
9. Составление таблиц направлений приведенных к центрам знаков и редукцированых на
плоскость в проекции Гаусса-Крюгера.
10. Анализ полученных результатов.
11. Обработка материалов тригонометрического нивелирования и вычисление высот
пунктов.
B
a
c
A
b
C
В пунктах 1-3 выполняются проверка и сводка направлений. В 4-м пункте главной задачей
по измеренным углам и исходным сторонам вычислить боковые стороны треугольника:
𝑎
𝑏
𝑎 sin 𝐵
𝑎 sin 𝐴
=
; 𝑏=
; 𝑐=
sin 𝐴 sin 𝐵
sin 𝐴
sin 𝐶
На больших расстояниях измеряются углы в сферическом треугольнике ∆АВС. Сумма
углов в сферическом треугольнике:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1800 + 𝜀
𝜀 – сверический избыток.
1
𝜀
С тем чтобы выявить невязку треугольника из каждого угла извлекают 3избытка - 3, тогда
между суммой углов и 180⁰ уже будет равно невязке.
Формула вычисления сферического избытка:
𝜀 = 𝑓𝑎𝑏 sin 𝑐 = 𝑓𝑎𝑏 sin 𝐵 = 𝑓𝑎𝑏 sin 𝐴
5-й пункт: привидения результатов измерения к центрам знаков.
По известным формулам вычисляются поправки за центрировки и редукцию в
триангуляции. В линейных сетях элементы центрировки и редукции (Cm) вычисляются по
формулам:
A
Cm
D
I
O
l
O
l
D
O
A
rm
𝐶m
= cos(𝜃 − 1800 ) ; 𝐶𝑚 = 𝑙 cos 𝜃;
𝑒
𝑟m
= cos(1800 − 𝜃ʹ); 𝑟m = 𝑙ʹ cos 𝜃ʹ
𝑒ʹ
6-й пункт: приблеженные координаты вычисляются по известным нам формулам
вычисления координат:
1) В прямой и угловой засечке.
2) В линейной засечке.
3) В обратной засечке.
4) В полярных координатах и т. д..
8-й пункт: целью редукционных вычислений является, приведение измерений на
эллипсоид, а с эллипсоида на плоскость проекции Гаусса-Крюгера. В связи с этим
вычисляются следующие редукции или привидения:
1) Редукция за отклонение отвесной линии.
A
ýëëèï ñî èä
A
î òâåñ
í î ðì àëü
2) Поправка в направление за высоту наблюдения цели над эллипсоидом. При наведении
или визировании на высокую цель, высота (Н), которая над эллипсоидом, направление
совпадает с направлением угла.
H
B
ýëëèï ñî èä
í î ðì àëüí î å
ñå÷åí èå
A
3) Поправка за переход от нормального сечения и геодезической линии. Геодезическая
линия – кратчайшее расстояние на кривой поверхности.
ýëëèï ñî èä
B
í î ðì àëüí î å
ñå÷åí èå
ãåî äåç. ëèí èÿ
A
4)Поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии в проекции
Гаусса-Крюгера. Это последняя поправка уже перехода на плоскость.
x
ãåî äåçè÷åñêàÿ
ëèí èÿ
B
A
y
Тема 5. Уравнительные вычисления
1. Коррелатный способ
1.1Сущность способа
1.2 Виды условных уравнений. Число условных уравнений
1.3 Решение условных уравнений по методу наименьших квадратов
2. Параметрический способ
2.1 Сущность способа
2.2 Виды некоторых уравнений поправок
2.3 Решение уравнений поправок по методу наименьших квадратов
1. Коррелатный способ
Коррелатный способ легко понять, если его назвать «способ условных уравнений» или
«способ условий». Сущность этого способа заключается в следующем: если бы нам были
известны истинные значения измеренных величин, то в геодезической сети выполнялись бы
определённые геометрические условия.
Пусть в треугольнике известны истинные значения углов х 1, х2,х3, тогда в нём должно
удовлетворяться условие:
х1+ х2+ х3-180º=0
Известны измеренные значения, в таком случае геометрическое условие не выполняется.
х1, х2,х3 отягощены случайными ошибками и не равны истинным значениям.
х1+ х2+ х3-180º=W
W-невязка, а в уравнительных вычислениях она заменяется на «свободный член»
Задачей уравнительных вычислений является найти такие поправки в измеренные
значения х1, х2,х3, чтобы компенсировать невязки и получить результат с наивысшей
точностью.
V х1,V х2,V х3-поправки.
х1+ V х1+ х2+ V х2+х3+ V х3-180º=0
V х1+V х2+V х3+ W=0
W= х1+ х2+ х3-180º- условное уравнение
В общем виде условное уравнение можно записать так
φ1(V х1V х2…Vxn)+w1=0
φ2(V х1V х2…Vxn)+w2=0
φr(V х1V х2…Vxn)+wr=0
r-число условных уравнений, оно равно числу избыточных уравнений в геодезическом
построении.
Например, в треугольнике, в котором измерены 3 угла, имеется одно избыточное
измерение, потому что третий угол можно вычислить по двум измеренным:
х3=180º-( х1+ х2)
Систему условных уравнений решают по методу наименьших квадратов и находят такие
поправки, чтобы точность окончательных результатов была максимальна.
Вопрос 1.2
На примере триангуляции ранее рассматривали условные уравнения:
- фигур,
- полюсные,
-базисные,
-дирекционных углов;
В полигонометрии возможны условные уравнения полигонов, координатные по осям х и
у.
Число условных уравнений равно числу избыточных измерений.
Вопрос 1.3
Пусть а1V1+а2V2+а3V3+w1=0
b1 V1+b2 V2+b3 V3+w2=0
ai, bi-коэффициенты условных уравнений при поправках Vi/
wi-свободный член.
Будем считать, что измерения имеют веса pi. Уравнивание по методу наименьших
квадратов сводится к постановке задачи на условный экстремум или минимизации
функционала Лагранжа.
Ф= ∑ piVi²+2k1(а1V1+а2V2+а3V3+w1)+2k2(b1 V1+b2 V2+b3 V3+w2)=min
k1, k2 - коэффициенты Лагранжа или коррелаты.
Неизвестными являются V1, V2, V3. Для их вычисления берут производные по поправкам
и приравнивают их к нулю.
𝜕Ф
=2p1V1+2k1a1+2k2b1=0
𝜕𝑉
1
𝜕Ф
𝜕𝑉2
𝜕Ф
𝜕𝑉3
=2p2V2+2k1a2+2k2b2=0
=2p3V3+2k1a3+2k2b3=0
1
𝑈1 = − 𝑝 (𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑏1 );
1
1
𝑈2 = − 𝑝 (𝑘1 𝑎2 + 𝑘2 𝑏2 );
2
1
𝑈3 = − 𝑝 (𝑘1 𝑎3 + 𝑘2 𝑏3 );
3
Подстановкой 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 в условные уравнения получают нормальные уравнения:
1
1
1
−𝑎1 𝑝 (𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑏1 ) − 𝑎2 𝑝 (𝑘1 𝑎2 + 𝑘2 𝑏2 ) − 𝑎3 𝑝 (𝑘1 𝑎3 + 𝑘2 𝑏3 ) + 𝑊1 = 0;
1
𝑎𝑎
2
𝑎𝑏
3
[ 𝑝 ] 𝑘1 − [ 𝑝 ] 𝑘2 + 𝑊1 = 0;
Система имеет вид после подстановки 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 во второе условное уравнение, получаем
второе нормальное уравнение:
𝑎𝑎
𝑎𝑏
𝑝
𝑎𝑏
𝑝
𝑏𝑏
− [ ] 𝑘1 − [ ] 𝑘2 + 𝑊1 = 0;
− [ 𝑝 ] 𝑘1 − [ 𝑝 ] 𝑘2 + 𝑊1 = 0;
Система нормальная т. к. в ней число уравнений равно числу неизвестных. Получают 𝑘1 ,
𝑘2 и вычисляют поправки 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 .
В матричном виде решение выглядит так:
𝑉1
𝑃1
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑊1
𝑉
𝑃
В= 𝑏 𝑏 𝑏 ; 𝑉 = 2 ; 𝑊 =
; Р= 2;
𝑊2
1
2
3
𝑉3
𝑃3
𝐵𝑉 + 𝑊 = 0;
Ф = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 + 2𝐾 𝑇 (𝐵𝑉 + 𝑊) = 𝑚𝑖𝑛;
𝜕Ф
= 2𝑉 𝑇 + 2𝐾 𝑇 𝐵 = 0;
𝜕𝑉
𝑉 𝑇 = −𝐾 𝑇 𝐵;
𝑉 𝑇 𝑃−1 = −𝐾 𝑇 𝐵𝑃 −1, где 𝑃𝑃 −1 = 𝐸(единичная матрица);
𝑉 𝑇 = −𝐾 𝑇 𝐵𝑃−1;
𝑉 = (𝑉 𝑇 )𝑇 = −(𝐾 𝑇 𝐵𝑃−1 )𝑇 = −𝐵 𝑇 𝑃−1 𝐾;
Подставим вектор B в условное уравнение, составим нормальное уравнение:
−𝐵𝑃 −1 𝐵 𝑇 + 𝑊 = 0;
−𝐵𝑃 −1 𝐵 𝑇 = 𝑁;
−𝑁𝐾 + 𝑊 = 0, умножаем на 𝑁 −1 получаем:
𝑁 −1 𝑁𝐾 + 𝑁 −1 W=0;
𝑁 −1 𝑁 = 𝐸;
𝐾 = 𝑁 −1 W;
𝐵𝑉 + 𝑊 = 0;
−𝑁𝐾 + 𝑊 = 0;
𝑉 = −𝑃−1 𝐵 𝑇 𝐾.
2.Сущность параметрического способа уравнивания.
Сущность способа покажем на примере линейной засечки.
А
Пункты А, В, С являются исходными. Р – определяемый пункт с неизвестными
координатами.
Из математики известно,что для определения t неизвестных необходимо составить t
уравнений.
Линейная засечка позволяет составить 2 уравнения:
𝑆 = √(𝑥𝐴 − 𝑥)2 + (𝑌𝐴 − 𝑌)2
{ 1
𝑆2 = √(𝑋𝐵 − 𝑋)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌)2
Эти уравнения устанавливают связь между измеренными величинами S1, S 2 и
известными величинами х и у. Неизвестные величины называются еще параметрами, а эти
уравнения параметрическими уравнениями связи.
Однако на практике измеряют более чем 2 стороны и составляют уже, например, систему
трех уравнений с двумя неизвестными:
𝑆1 = √(𝑥𝐴 − 𝑥)2 + (𝑌𝐴 − 𝑌)2
{𝑆2 = √(𝑋𝐵 − 𝑋)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌)2
𝑆3 = √(𝑋𝐶 − 𝑋)2 + (𝑌𝐶 − 𝑌)2
Мы имеем переопределенную систему уравнений потому, что число уравнений больше
числа неизвестных.
Для получения однозначного решения вводится дополнительное условие, которое
позволяет получить решение однозначное и наиболее точное.
Чаще всего используют условие минимума взвешенной суммы квадратов поправок
измерений. Тогда задача формулируется так: даны координаты исходных пунктов Х А, УА, ХВ,
УВ, ХС, УС, …, S1, S2, SX3, …, x0, y0. Для удобства введем следующие переменные поправки
в стороны v1,v2, v3… и поправки в приближенные координаты неизвестных величин 𝛿 x, 𝛿 y,
т.е. чтобы решение можно было записать так:
х=х0+ 𝛿х
у=у0+ 𝛿у
Для того чтобы получить однозначное решение необходимо потребовать выполнение
следующих уравнений связи:
𝑆1 + 𝑣1 = √(𝑋𝐴 − 𝑋0 − 𝛿𝑥)2 + (𝑌𝐴 − 𝑌0 − 𝛿𝑥)2
{𝑆2 + 𝑣2 = √(𝑋𝐵 − 𝑋0 − 𝛿𝑥)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌0 − 𝛿𝑦)2
𝑆3 + 𝑣3 = √(𝑋𝐶 − 𝑋𝐶 − 𝛿𝑥)2 + (𝑌𝐶 − 𝑌0 − 𝛿𝑦)2
Эти уравнения связи решаются при условии минимума взвешенной суммы квадратов
поправок в измерениях.
ȹ = ∑ 𝑃𝑖 𝑣𝑖 2 = 𝑃1 𝑣𝑖 2 + 𝑃2 𝑣𝑖 2 + ⋯ + 𝑃𝑛 𝑣𝑖 2 = 𝑚𝑖𝑛 – решение по методу наименьших
квадратов
Задача имеет нелинейный вид
В математике не существует общего алгоритма решения нелинейных уравнений. И такие
системы решаются способами приближений и на каждом приближении решается система
линейных уравнений соответствующая данной системе нелинейных уравнений.
Для этого исходную систему нелинейных уравнений приводят к линейному виду. Для
этого каждое уравнение системы разлагается в ряд Тэйлора, ограничиваясь первыми
степенями. Покажем это на первом уравнении
y= f(x0 + 𝛿𝑥)
𝜕𝑓
y= f(𝑥0 ) + 𝜕𝑥 𝛿𝑥
Тогда очевидно что
𝑆1 + 𝑣1 = √(𝑋𝐴 − 𝑋 0 )2 + (𝑌𝐴 − 𝑌 0 )2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Или
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑣1 = 𝜕𝑥 𝛿𝑥 + 𝑑𝑦 𝛿𝑦+l, где l – l= √(𝑋𝐴 − 𝑋0) 2 + (𝑌𝐴 − 𝑌0 )2 − 𝑆1
Тогда систему линейных уравнений записывают в линейном виде
𝜕𝑓1
𝜕𝑓1
𝑣1 =
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙1
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑓2
𝜕𝑓2
𝑣2 =
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑓3
𝜕𝑓3
𝑣3 =
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙3
𝜕𝑥
𝜕𝑦
3
∅ = ∑ 𝑃𝑖 𝑣𝑖 2 = 𝑚𝑖𝑛
𝑖=1
Такое решение называется уравнивание параметрическим способом. Покажем алгоритм
уравнивания параметрическим способом на примере двух неизвестных.
Пусть имеется система трех:
𝑣1 = 𝑎1 𝛿𝑥 + 𝑏1 𝛿𝑦 + 𝑙1 𝑃1
𝑣2 = 𝑎2 𝛿𝑥 + 𝑏2 𝛿𝑦 + 𝑙2 𝑃2
𝑣3 = 𝑎3 𝛿𝑥 + 𝑏3 𝛿𝑦 + 𝑙3 𝑃3
2
2
2
φ=𝑃1 𝑣1 + 𝑃2 𝑣2 + 𝑃3 𝑣3 = 𝑚𝑖𝑛
φ=𝑃1 (𝑎1 𝛿𝑥 + 𝑏1 𝛿𝑦 + 𝑙1 )2 + 𝑃2 (𝑎2 𝛿𝑥 + 𝑏2 𝛿𝑦 + 𝑙2 )2 + 𝑃3 (𝑎3 𝛿𝑥 + 𝑏3 𝛿𝑦 + 𝑙3 )2 = 𝑚𝑖𝑛
Для того чтобы получился мин6имум функционал φ, необходимо продифференцировать
её по переменным и приравнять производные к нулю.
𝜕𝜑
= 2𝑃1 (𝑎1 𝛿𝑥 + 𝑏1 𝛿𝑦 + 𝑙1 )𝑎1
𝜕𝑥
+ 2𝑃2 (𝑎2 𝛿𝑥 + 𝑏2 𝛿𝑦 + 𝑙2 )𝑎2 + 2𝑃3 (𝑎3 𝛿𝑥 + 𝑏3 𝛿𝑦 + 𝑙3 )𝑎3 = 0
Приведен подобные члены
[𝑃𝑎𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑦 + [𝑃𝑎𝑙] = 0
𝜕𝜑
= [𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑏]𝛿𝑦 + [𝑃𝑏𝑙] = 0
𝜕𝑦
Таким образом вместо трёх уравнений связи или уравнений поправок мы получаем
систему двух уравнений
[𝑃𝑎𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑦 + [𝑃𝑎𝑙] = 0
{
[𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑏]𝛿𝑦 + [𝑃𝑏𝑙] = 0
Поскольку в данной системе число уравнений равно числу неизвестных, то такая система
называется нормальной. Из её решения находится 𝛿𝑥, 𝛿𝑦 и соответственно
𝑥 = 𝑥0 + 𝛿𝑥
𝑦 = 𝑦0 + 𝛿𝑦
Обобщим данное решение n-мерного случая
Введём следующие матричные уравнения:
𝑎1 𝑏1 …
𝐴 = (𝑎 𝑏 …)
2 2
…
𝛿𝑥
𝑋 = (𝛿𝑦)
…
𝑙1
𝐿 = (𝑙 )
2
…
𝜗1
𝑉 = (𝜗 )
…2
𝑃 = 𝐸 (единичная в частном случае равноточных измерений)
Тогда система уравнений поправок записывается
𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐿,тогда квадратная форма
Φ = 𝑃1 𝜗12 + 𝑃2 𝜗22 + ⋯ = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 = 𝑚𝑖𝑛
x-?
Φ = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 = 𝑉 𝑇 𝑃(𝐴𝑥 + 𝐿) = 𝑚𝑖𝑛
𝑑Ф
𝑑𝑉
= 2𝑉 𝑇 𝑃
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑉
=𝐴
𝑑𝑥
𝑑Ф
= 2𝑉 𝑇 𝑃𝐴 = 0
𝑑𝑥
𝑉 𝑇 𝑃𝐴 = 0
Выполним новое транспонирование(𝑉^𝑇 𝑃𝐴)𝑇 = 0
𝐴𝑇 𝑃𝑉 = 0
𝐴𝑇 𝑃(𝐴𝑥 + 𝐿) = 0
𝐴𝑇 𝑃𝐴𝑥 + 𝐴𝑇 𝑃𝐿 = 0
𝐴𝑇 𝑃𝐴 = 𝑁
N – матрица нормальных уравнений
𝑁𝑥 + 𝐴𝑇 𝑃𝐿 = 0
𝑁𝑥 = 𝐴𝑇 𝑃𝐿
Для получения решения умножим на 𝑁 −1 слева
𝑁 −1 𝑁𝑥 = −𝑁 −1 𝐴𝑇 𝑃𝐿
𝑁 −1 – обратная матрица
1 0 0
Поскольку 𝑁 −1 𝑁 = 𝐸 = ( 0 1 0 )
0 0 1
𝑥 = 𝐴𝑇 𝑃𝐿
Транспонирование –строки заменяются столбцами
𝑎1 𝑎2
𝑎1 𝑏1
(
)=(
)
𝑏1 𝑏2
𝑎2 𝑏2
Оценка точности делается по формуле
𝐷𝑥 = 𝛿 2 𝑁 −1
δ – стандарт измерения вес которому приписан 1
𝛿=√
𝑉 𝑇 𝑃𝑉
𝑛−𝑡
n- число уравнений связей (уравнения поправок)
t - число неизвестных параметров
𝐷𝑥 – матица, диагональные элементы которой равна дисперсиям определённых
параметров.
Слово стандарт имеет теоретический смысл. На практике вместо него применяется термин
СКО.
𝜇𝑥 = 𝜇 2 𝑁 −1
𝜇=√
𝑉 𝑇 𝑃𝑉
𝑛−1
Для справки покажем определение коэффициентов уравнений поправок для некоторых
измерений
Уравнение поправок сторон
𝑆 + 𝜗 = √(𝑥𝐴 − 𝑥0 − 𝜗𝑥 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦0 − 𝛿𝑦)2
𝑑𝑓
𝑑𝑓
𝜗=
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑓
2(𝑥𝐴 − 𝑥0 ) ∗ (−1)
∆𝑥0 𝑆0 cos 𝛼0
=
=−
=
= − cos 𝛼0
𝑑𝑥 2√(𝑥𝐴 − 𝑥0 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦0 )2
𝑆0
𝑆0
Для стороны между двумя определёнными пунктами 1 и 2 уравнение поправок будет
иметь вид:
𝜗 = − cos 𝛼0 𝛿𝑥1 − sin 𝛼0 𝛿𝑦1 + cos 𝛼0 𝛿𝑥2 + sin 𝛼0 𝛿𝑥2 + 𝑙
Где 𝑙 = √(𝑥20 − 𝑥10 )2 + (𝑦20 − 𝑦10 )2 − 𝑆
𝑥𝑖0 , 𝑦𝑖0 – приближённые координаты определённых пунктов
S – измеренная длинна
Уравнение поправок в направления
Пусть имеются направления 1,2,3 и т.д. Все направления отсчитывались от нуля лимба.
Введём дополнительное неизвестное Z-это дирекционный угол нулевого деления лимба.
𝛼1 = 𝑍 + 𝑀1
𝛼2 = 𝑍 + 𝑀2
…
𝛼𝑖 = 𝑍 + 𝑀𝑖
Исходя из этого можно записать, что направление 𝑀𝑖 = −𝑍𝑖 + 𝛼𝑖
Z – ориентирующий угол
Пусть имеется направления 1, 2
Очевидно, что можно записать
𝑦 −𝑦
М=-z+arctg𝑥2 −𝑥1
2
2
1
1
Это выражение справедливо, если известны истинные значения всех величин. Но
поскольку М измерено, а остальные величины неизвестны, то задаются приближенные
значения координат и ориентировочного угла: 𝑥10 , 𝑦10 , 𝑥20 , 𝑦20 , 𝑧, 𝛿𝑥1 , 𝛿𝑦1 , 𝛿𝑥2 , 𝛿𝑦2 , 𝛿𝑧, 𝑣
Уравнение связи можно переписать так:
𝑦20 + 𝛿𝑦2 − 𝑦10 − 𝛿𝑦1
𝑀 + 𝑣 = −(𝑧 0 + 𝛿𝑧) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0
𝑥2 + 𝛿𝑥2 − 𝑥10 − 𝛿𝑥1
После разложим в ряд Тейлора
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑣 = −𝛿𝑧 + 𝜕𝑥 𝛿𝑥1 + 𝜕𝑦 𝜕𝑦1 + 𝜕𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦 + 𝑙,
1
1
где 𝑙 = −𝑧0 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
2
- уравнение поправок направлений
𝑦20 −𝑦10
𝑥20 −𝑥10
Для справки покажем как определяется одна из производных:
(𝑥2 − 𝑥1 )2 (𝑦2 − 𝑦1 )
𝜕𝑓
1
−1 ∗ (−1) ∗ (𝑦2 − 𝑦1 )
1
=
∗
=
∗
2
0
0
2
2
2
𝑦 −𝑦
(𝑥2 − 𝑥1 )
𝜕𝑥1
(𝑥2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 ) (𝑥2 − 𝑥1 )2
1 + (𝑥2 − 𝑥1 )
2
1
𝑦2 − 𝑦1 = ∆𝑦 = 𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼
(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 = 𝑆 2
𝜕𝑓
𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜕𝑥1
𝑆2
𝜕𝑓
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜕𝑥1
𝑆
𝜕𝑓
−𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝜕𝑦1
𝑆
𝜕𝑓
−𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜕𝑥2
𝑆
𝜕𝑓
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝜕𝑦2
𝑆
Тогда уравнение поправок направлений имеет вид:
𝑣 = −𝛿𝑧 + 𝑎𝛿𝑥1 − 𝑏𝛿𝑦1 − 𝑎𝛿𝑥2 + 𝑏𝛿𝑦2 + 𝑙,
Где 𝑎 =
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑆
,𝑏=
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑆
Уравнение поправок приращений координат измеренных GPS-методом
Будем считать что приращение координат измеряется в геоцентрической системе
координат, в которой функционирует сама GPS.
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1
Зададимся приближенными значениями координат 𝑥10 , 𝑦10 , 𝑥20 , 𝑦20 , 𝑧10 , 𝑧20 , поправками к
ним 𝛿𝑥1 , 𝛿𝑦1 , 𝛿𝑥2 , 𝛿𝑦2 , 𝛿𝑧1 , 𝛿𝑧2 и поправками в измерения 𝑣∆𝑥, 𝑣∆𝑦, 𝑣∆𝑧, то на примере
приращения координат вычисляются:
∆𝑥 + 𝑣∆𝑥 = 𝑥20 + 𝛿𝑥2 − 𝑥20 − 𝛿𝑥1
𝑣∆𝑥 = −𝛿𝑥1 + 𝛿𝑥2 + 𝑙𝑥 ,
где 𝑙𝑥 = 𝑥20 − 𝑥10 − ∆𝑥
𝑣∆𝑦 = −𝛿𝑦1 + 𝛿𝑦2 + 𝑙𝑦 ,
где 𝑙𝑦 = 𝑦20 − 𝑦10 − ∆𝑦
𝑣∆𝑧 = −𝛿𝑧1 + 𝛿𝑧2 + 𝑙𝑧 ,
где 𝑙𝑧 = 𝑧20 − 𝑧10 − ∆𝑧