Решение тригонометрических уравнений

Математика, 11 класс
Пишкова Наталья Евгеньевна
Решение тригонометрических уравнений
К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных
пособий подходят по-разному. Мы назовём тригонометрическим уравнением равенство
тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком


3

тригонометрических функций. Уравнения вида cos 3x  sin x ; tg   11x   tg    5 x   0 ;
2

2

1
sin 3x  sin 5x  sin 4x и т.д. – тригонометрические уравнения. Уравнения вида sin x  x ;
2
1
1
cos 2 x  x  ; tg 2 x  x и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу
2
3
трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически.
Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим согласно
определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому.
Например, 2( x  6) cos 2 x  x  6 .
Видим, что x  6 не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно
решается аналитически:
( x  6)( 2 cos 2 x  1)  0 , откуда x  6 или
1

cos 2 x  , x    n , где n  
2
6
Решить тригонометрическое уравнение – значит, найти все его корни – все значения
неизвестного, удовлетворяющие уравнению.
При решении тригонометрических уравнений будем пользоваться известными
тригонометрическими формулами.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:
sin x  a и cos x  a , где a  1 ;
tgx  a и ctgx  a , где a  R
Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь
решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к рассмотрению решения
тригонометрических уравнений различных типов.
1) Уравнение вида sinx=a
Уравнение sin x  a может иметь решение только при a  1 .
Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:


n
x   1 arcsin a  n , где n   и   arcsin  .
(1)
2
2
Примеры. Решить уравнение:
2
1
x
3
2
Решение:
1) sin
2
1
x  (1) n arcsin  n ,
3
2
2

x  (1) n  n ,
3
6
x  (1) n

4

3
 , n.
2

3
 n , n   .
4 2
Полезно знать, что arcsin( a)   arcsin a , поэтому если  1  a  0 , то формула (1)
Ответ: x  (1) n
примет вид: x  (1) n1 arcsin a  n , где n   .
Пример. Решить уравнение:
sin
3

3
2
x
Решение:
3
3
3

3
1
 (1) n 1 arcsin
 n ,
 (1) n 1  n ,
 (1) n1  n ,
3
2
3
x
x
x
3
9
81
x
,
,
, n .
x
х
n 1
(3n  (1) n1 ) 2
3n  (1)
n 1 1
(1)
n
3
81
Ответ: х 
, n .
(3n  (1) n1 ) 2
Частные случаи:

1. Если sin x  1 , то x   2n , n   .
2

2. Если sin x  1 , то x    2n , n   .
2
3. Если sin x  0 , то x  n , n   .
2) Уравнения вида cosx=a
Уравнение cos x  a может иметь решение только при a  1 . Известно, что решение
данного уравнения находят по обобщенной формуле:
x   arccos a  2n , где n   и 0  arccos a   .
Полезно знать, что arccos( a)    arccos a .
Примеры. Решить уравнения:
2
1) cos( 2  3x) 
2
Решение:
2
2
cos(3x  2) 
 2n ,
, 3x  2   arccos
2
2

2  2
3x  2    2n , x  
 n , n   .
4
3 12 3
2  2
 n , n   .
Ответ: x  
3 12 3
3
2) cos  x  
2

5
5
3
  2n ,
 x     2n ,
x    2n ,
Решение:  x   arccos 

6
6
 2 
1.
x
5
 2n , n   0 , где  0  0,1,2,...
6
2
5

x    2n  .
6

2.
x 
2
 5

x     2k  .
 6

5
 2k , k  
6
2
2
5

 5

Ответ: x    2n  , x     2k  , n   0 , k   .
6

 6

Частные случаи:


1. Если cos x  0 , то x   n или x  (2n  1) , n   .
2
2
2. Если cos x  1, то x    2n или x  (2n  1) , n   .
3) Уравнения вида tgx=a, где a  R
Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:
x  arctga  n , где n   .
Полезно помнить, что arctg (a)  arctga .
Примеры. Решить уравнение:
tg
2
 1
3x
Решение:
2

   n ,
3x
4
8
x
, n.
(4n  1)3
2
2
 arctg (1)  n ,
 arctg1  n ,
3x
3x
2

1
3
 (4n  1) ,
 (4n  1)
,
3x
4
x
8
8
Ответ: x 
, n.
(4n  1)3
4) Уравнения вида ctgx=a, где a  R
Известно,
что
решение
данного
x  arcctga  n , где n   и 0  arcctg   .
Полезно знать, что arcctg (a)    arcctga .
Примеры. Решить уравнение:
уравнения
находят
по
формуле
3
3
ctg 3 x  
Решение:

3
  n ,
3x  arcctg  

 3 
2
3x 
 n ,
3
Ответ: x  (3n  2)

3
 n ,
3
3x    arcctg
3 x  (3n  2)

3
,
3x   
x  (3n  2)

3

9
 n ,
, n.
, n.
9
5) Уравнения, сводимые к алгебраическим
Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же
неизвестного выражения, входящего только под знак функции.
Тригонометрические уравнения:
a sin 2 x  b sin x  c  0;
a cos 3 x  b cos x  c  0;
atg 4 3 x  btg 2 3 x  c  0;
actg 2 2 x  bctg 2 x  c  0
уже сведены к алгебраическим.
Действительно, положив в них соответственно sin x  z , cos x  z , tg 3 x  t , ctg 2 x  u ,
получим алгебраические уравнения:
ay 2  by  c  0;
az 3  bz  c  0;
at 4  bt 2  c  0;
au 4  bu  c  0.
Решив каждое из них, найдем sin x , cos x , tg3x , ctg2 x .
Уравнения
a sin 2 x  b cos x  c  0,
a cos 2 x  b sin x  c  0,
a  tgx  b  ctgx  0
не являются по виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:
т.к. sin 2 x  1  cos 2 x , получаем a cos 2 x  b cos x  (a  c)  0 , аналогично
b
0
a cos 2 x  b sin x  (a  c)  0 и a  tgx 
tgx
Пример. Решить уравнение:
Решение:
2(1  sin 2 3x)  sin 3x  1  0 ,
2y2  y 1  0
1. sin 3x  1,
y1, 2

3x 
1
2. sin 3 x   ,
2
2

2 sin 2 3x  sin 3x  1  0 ,
1 3


4
 2k ,
x  (1) n 1
Ответ: x  (4k  1)
2 cos 2 3x  sin 3x  1  0
3x 

18
n 1
, x  ( 1)



n
3

2
(4k  1) ,
sin 3 x  y ,
x  (4k  1)

6
, k 
, n.
n
, k, n   .
18
3
6
При решении подобного типа уравнений, необходимо помнить формулы:
sin 2 x  cos 2 x  1;
1  tg 2 
1
;
cos 2 
1  cos 2  2 cos 2  ;
2tg
;
tg 2 
1  tg 2
sin 2  2sin  cos ;
tg 
sin 
;
cos
1  ctg 
ctg 
cos
;
sin 
ctg 
1
;
tg
1
;
sin 2 
1  cos 2  2 sin 2  ;
2tg
;
sin 2 
1  tg 2
cos 2  2 cos 2   1 ;
1  tg 2
;
cos 2 
1  tg 2
cos 2  1  2 sin 2  .
а также формулы из п. 1 – 4.
6) Однородные уравнения
a sin x  b cos x  0;
Уравнения
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0;
a sin 3 x  b sin 2 x cos x  c sin x cos 2 x  d cos 3 x  0
и
т.д.
называют
однородными
относительно sin x и cos x . Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех членов
такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения.
Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.
Делением на cos k x , где k - степень однородного уравнения, уравнение приводится к
алгебраическому относительно функции tgx .
Рассмотрим уравнение a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0 …(1)
Разделим уравнение (1) на cos 2 x и получим:
a  tg 2 x  b  tgx  c  0 …(2)
При a  0 , уравнения (1) и (2) равносильны, т.к. cos 2 x  0 .
Если же cos x  0 , то из уравнения (1) видно, что и sin x  0 , что не возможно, т.к.
теряет смысл тождество sin 2 x  cos 2 x  1 ( sin x и cos x при одном и том же значении x в
нуль не обращаются).
Из уравнения (2) определяем значения tgx , а затем находим соответствующие
значения x . Очевидно, что при b 2  4ac  0 значения tgx не существуют на множестве R, а
потому уравнение (2) в этом случае, а значит и уравнение (1) решений не имеют.
Уравнение a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d …(3) в таком виде не является
однородным, но его можно привести к однородному, умножив его правую часть на
sin 2 x  cos 2 x  1 :
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos x  d (sin 2 x  cos 2 x);
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d sin 2 x  d cos 2 x;
(a  d )  tg 2 x  b  tgx  (c  d )  0  (4)
При a  d уравнение (3) и (4) – равносильны.
Из уравнения (4) находим tgx , а затем соответствующие значения x
Примеры. Решить уравнение:
1) 2 sin x  3 cos x  0
cos x  0
Решение:
Разделим обе части уравнения на cos x :
3
3
tgx  ;
x  arctg  k , k   .
2  tgx  3  0 ;
2
2
3
Ответ: x  arctg  k , k   .
2
2) Sin2x  cos 2x  0
cos 2x  0
Решение:
Разделим обе части уравнения на cos 2x :
tg 2 x  1  0;
tg 2 x  1;
2x  

4
 k ;
2 x  (4k  1)

x  (4k  1)

8
, k .
Ответ: x  (4k  1)

8
, k .
;
4
3) cos 2 x  sin x cos x  0
Решение:
В условии не указано, что cos x  0 , а потому делить на cos 2 x - нельзя. Но можно
утверждать, что
sin x  0 , так как в противном случае cos x  0 , что невозможно
одновременно. Разделим обе части уравнения на sin 2 x , получим:
ctg 2 x  ctgx  0;
ctgx(ctgx  1)  0;
1. ctgx  0;
или
2. ctgx  1  0;
x

2
 n
ctgx  1;
x

3
  k ,
4
где n, k   .
3
  k , n, k   .
2
4
4) 4 sin 2 x  2 sin x cos x  3
Решение:
Умножим правую часть уравнения на sin 2 x  cos 2 x , получим:
4 sin 2 x  2 sin x cos  3 sin 2 x  3 cos 2 x;
Ответ: x 
 n ,
x
sin 2 x  2 sin x cos 3 cos 2 x  0
Очевидно, что cos x  0 . Разделим на cos 2 x , получим:
tg 2 x  2  tgx  3  0;
tgx  3 и tgx  1

x  arctg 3  k и x 

4
 n , n, k   .
 n , n, k   .
4
7) Уравнения, решаемые разложением на множители
При решении многих тригонометрических уравнений нужно пользоваться всеми
известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это
вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного
умножения, искусственные приёмы. Необходимо также помнить формулы, указанные в п.5 и
tg  tg
формулы tg (   ) 
, sin 3  3 sin   4 sin 3  , cos 3  4 cos 3   3 cos  .
1  tgtg
x
tg  cos x  1
Пример. Решить уравнение:
2
Решение:
x
tg  1  cos x;
2
x
x
tg  2 sin 2 ;
2
2
x
x
x
tg 1  2 sin cos   0;
2
2
2
x
tg (1  sin x)  0;
2
x
1) tg  0 или
2) 1  sin x  0
2
x
1.  n , x  2n
2
Ответ: x  arctg 3  k , x 
2. sin x  1 ,
x

2
 2k ,
n, k   .
Ответ: x  2n , x 

 2k , n, k   .
2
8)Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций
Формулы преобразований суммы тригонометрических функций в произведение:

 
sin   sin   2 sin
 cos
;
2
2
 

sin   sin   2 sin
 cos
;
sin(    )
2
2
ctg  ctg 
;
sin  sin 

 
cos   cos   2 cos
 cos
;
sin(    )
2
2
ctg  ctg 
.

 
sin

sin

cos   cos   2 sin
 sin
;
2
2
sin(    )
tg  tg 
;
cos  cos 
Пример. Решить уравнение:
Решение:
sin 2 x  sin 8 x  2 cos 3x;
sin 2 x  sin(   8 x)  2 cos 3x
2 sin 5 x  cos 3x  2 cos 3x;
2 sin 5  cos 3x  2 cos 3x  0;
cos 3x(2 sin 5 x  2 )  0;
cos 3x  0

3x   n
или
2
3 x  (2n  1)


2
2 sin 5x  2  0
2
sin 5 x 
2
5 x  (1) k

4
 k

k
, k .
20 5

 k

n, k   .
Ответ: x  (2n  1) , x  (1) k
6
20 5
9) Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и
произведения тригонометрических функций в сумму
x  (2n  1)
6
, n
x  (1) k

разложения
Формулы сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в
сумму:
1
а) sin(    )  sin  cos   cos  sin  ;
б) sin  cos   sin(    )  sin(    ) ;
2
1
cos(   )  cos  cos   sin  sin  ;
cos cos   cos(   )  cos(   ) ;
2
tg  tg
tg (   ) 
;
1
sin  sin   cos(   )  cos(   ) .
1  tgtg
2
Примеры. Решить уравнение:
1) sin( 2  3x)  sin 2 cos 3x  cos 2  - некоторое число.
Решение:
sin 2 cos 3x  cos 2 sin 3x  sin 2 cos 3x  cos 2 ;
cos 2 sin 3x  cos 2  0;
cos 2 (sin 3x  1)  0;
cos 2  0 , тогда
xR



или sin 3x  1  0 ,
3x   2n ,
3x  (4n  1) , x  (4n  1) , n   .
sin 3x  1,
2
6
2



Ответ: x  R , если   (2k  1)
или x  (4n  1) , если   (2k  1) , k, n   .
4
6
4
2) cos 3x cos 2  sin 3x sin 2x
Решение:
cos 3 x cos 2 x  sin 3 x sin 2 x  0;
cos(3 x  2 x)  0;
cos 5 x  0;
5 x  (2n  1)

;
2


x  (2n  1) , n   .
Ответ: x  (2n  1) , n   .
10
10

 
 1
3) sin 3x sin   3x  sin   3x  
3
 3
 8
Решение:
1

2   1
2   1
1 1

sin 3x    cos 6 x  cos
   ; sin 3x    cos 6 x  cos    ; sin 3 x cos 6 x    ;
2 4
3  2
3  4

 2

1
1
1
2 sin 3 x cos 6 x  sin 3 x  ;
sin 9 x  sin 3 x  sin 3 x  ;
sin 9 x   ;
2
2
2
9 x  (1) n

6
 n ;
Ответ: x  (1) n
x  (1) n


n

54

n
9
, n.
, n.
54 9
10) Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Формулы понижения степени:
1  cos 2t
1  cos 2t
sin 2 t 
и cos 2 t 
.
2
2
Примеры. Решить уравнение:
1) 2 sin 2 x  cos 4 x  0
Решение:
1  cos 2 x  cos 4 x  0;
1  cos 4 x  cos 2 x  0;
2 cos 2 2 x  cos 2 x  0;
cos 2 x(2 cos 2 x  1)  0;
cos 2x  0 ;
или
2x 
2 cos 2x  1;
Ответ: x  (2n  1)

2
(2n  1) ;
cos 2 x 

4
, x
1
;
2

6
x  (2n  1)
2x  

3
 k , n, k   .

4
, n
 2k ;
x

6
 k , k   .
2) 2 cos 2 2 x  cos 10 x  1  0
Решение:
1  cos 4 x  cos 10 x  1  0;
cos 4 x  cos 10 x  0;
2 cos 7 x cos 3x  0;
cos 7 x  0 ;
или
7 x  (2n  1)
cos 3x  0 ;
x

 cos 4  
2

Решение:
x
x
sin 4  cos 4  sin x;
2
2
2
3 x  (2k  1)
Ответ: x  (2n  1)
3) sin 4


x  (2n  1)
;

2
, x  (2k  1)
14
x
   sin x
2
x  (2k  1)
;

6
x  (1) arcsin( 3  1)  n , n  

6
, n
, k .
1
sin 2 x  sin x;
2
1
1  sin 2 x  sin x  0;
2
2
sin x  2 sin x  2  0;
1
2
n
14
, n, k   .
x
x
x
 2 x
 cos 2   2 sin 2 cos 2  sin x;
 sin
2
2
2
2

x
x
1  2 sin 2 cos 2  sin x;
2
2
1. sin x  3  1

sin x  1  3;
2. sin x  (1  3 )  1
x .
Ответ: x  (1) n arcsin( 3  1)  n , n   .
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 11 классов.
Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000, г.
Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 30
баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 5 баллов).
x
 cos 2 x  0 ;
2
М.11.4.2. 5sin x  6 cos x  0 ;
М.11.4.3. 2 sin 4 x  3sin 2 2 x  1;
М.11.4.4. cos x  sin x  1  sin 2 x;
М.11.4.1. 2 sin 2
М.11.4.5. tg 3 x  tgx;
М.11.4.6. sin 3x  sin 5x  sin 4x ;
М.11.4.7. sin( 150  x)  cos( 450  x) 
М.11.4.8. sin 2x  cos x  cos 2x  sin x ;
М.11.4.9.
1
;
2