По курсу «Терия графов

МИНОБРНАУКИ РФ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Рассмотрено и рекомендовано
на заседании кафедры высшей математики
исследования операций ЮФУ
Протокол №_1___________
"__30___"___августа_______2011г.
Зав. кафедрой ________________
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
(зам. декана по учебной работе)
___________________
"____"____________2011 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины " Теория графов "
вузовского компонента цикла ОПД
по специальности 010501прикладная математика и
информатика
Семестр 5
Всего часов –72, из них – лекции 36,
самостоятельная работа 36 час.
Отчетность по курсу – зачёт
Составитель:
доц. Землянухина Л.Н.
Утвержден Советом Южного федерального университета
Протокол №_____ от «______» _________ 2011г.
Ростов-на-Дону
2011
Пояснительная записка к рабочей программе по дисциплине
" Теория графов "
Курс «Теория графов» посвящен вопросам современного состояния
теории графов, некоторым известным проблемам . приводятся примеры
сведения прикладных задач к задачам теории графов и использования аппарата
этой теории. В курсе рассматриваются комбинаторные алгоритмы, связанные с
поиском структурных и числовых характеристик графов.Рассматриваются
важнейшие разделы теории графов , имеющие широкий спектр приложений и
позволяющие развить навыки формирования моделей принятия решений и их
реализации. В курсе изучаются задачи связности графа, свойства деревьев,
теория матроидов , независимые множества вершин, хроматические полиномы,
эйлеровы и гамильтоновы циклы Рассматриваемые разделы являются основой
информатики и программирования. Данный курс позволит студентам освоить
основные разделы теории графов, применять различные алгоритмы для решения
практических задач .
1.1. Цели преподавания.
Целью изучения курса «Теория графов» является освоение основных разделов
теории графов, укрепление знаний по фундаментальным концепциям,
получение знаний, применимых как в кибернетике, теории игр и т.п., так и в в
теории множеств, матриц и других чисто абстрактных дисциплин. Основной
задачей курсаявляется ознакомление студентов с теоретическими основами
теории графов. Кроме этого, большое внимание уделяется вопросам применения
теории графов к решению прикладных задач, построению эффективных
алгоритмов.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА
“ Теория графов “
Лекций - 36час
Тематический план дисциплины.
Тема 1. «Введение. Основные определения»
2 час
Введение, основные определения. Способы представления графов
(аналитический, графический, матричный, списками смежности).
Матрицы смежности и инцидентности графов. Подграф, порожденный
подграф. K-дольный граф. Операции над графами: удаление вершины,
ребра, добавление ребра, объединение, дизъюнктивное объединение,
произведение, отождествление вершин, пересечение графов.
Тема 2. «Поиск в ширину и связность»
4 час
Цепи и циклы, связность. Свойства цепей, циклов. Связность графа.
Компоненты связности.Теорема о числе ребер в графе с n вершинами и
p компонентами связности. Достаточное условие связности, использующее число ребер. Поиск в ширину. Свойство дерева ПВШ. ПВШ и
связность. Двудольность, критерий двудольности графа.
Тема 3. «Метрические характеристики графа»
4 час
О цепи максимальной длины.. Эксцентриситет, диаметр и радиус графа.
Свойство диаметральной цепи. Связь между рангом и диаметром графа.
ПВШ и эксцентриситет. Алгоритма поиска в ширину и его применение
для нахождения минимальной цепи, радиуса, диаметра, распознавания
связности и двудольности.Задача о кратчайшей цепи графа. ПВШ и
дерево кратчайших цепей. Задача о кратчайшем пути взвешенного графа
(случай неотрицательных весов). Алгоритм Дейкстры
Тема 4. «Деревья»
6 час
Деревья. Эквивалентные определения.О числе концевых вершин.
Матрица Кирхгофа. Теорема о числовой матрице с нулевой суммой
элементов в каждой линии. Теорема о связи матрицы Кирхгофа и
матрицы инцидентности графа. О минорах матрицы инцидентности графа.
Теорема Кирхгофа о числе остовов графа. Задача о кратчайшем остове.
Алгоритм Краскала. Циклический и коциклический ранги графа. Точки
раздела и разрезы, деревья и кодеревья. Достаточное условие,
определяющее точку раздела. Независимые циклы и разрезы. Поиск в
глубину. Свойства дерева ПВГ. Построение базисных циклов и
разрезов.
Тема 5. «Матроиды»
12 час
Матроиды , определение, аксиомы баз ( две эквивалентные
совокупности). Порядок матроида. О равномощности баз. Независимые
подмножества. Аксиомы независимости. Определение матроида через
независимые множества.Ранговая функция матроида. Аксиомы ранга.
Зависимые множества, циклы. Аксиомы циклов. Следствия о циклах,
независимых множествах и базах. Кобаза. Двойственный матроид.
Двойственные понятия (козависимое множество и т.д.). Критерий
зависимости множества. О пересечениях циклов, коциклов и
независимых множеств. Критерий распознавания цикла. Представление
матроидов. Критерий представимости матроида матрицей A. О
представлении двойственного матроида. Бинарные матроиды. Теорема о
пространстве циклов .Теорема о пространстве двойственных циклов.
Задача дискретной оптимизации на матроиде. Жадный алгоритм.
Описание класса задач, для которых жадный алгоритм находит
оптимальное решение. Задача о расписании со штрафами.
Тема 6. «Независимые множества вершин графа.»
2 час
Определение. Алгоритм Магу построения характеристического полинома.
Построение максимального независимого множества интервального графа
Тема 7. «Раскраска вершин графа»
4 час
Раскраски графа. Хроматический полином, его свойства. Построение
хроматического полинома. Построение оптимальной раскраски для
интервального графа (жадный алгоритм)
Тема 8. «Обходы графа»
2 час
Эйлеровы циклы. Гамильтоновы циклы.
Литература
1. Зыков А.А. основы теории графов. – М:Вузовская книга,2004.
2. Землянухин В.Н., Землянухина Л.Н. Алгоритмы на графах: Учеб. Пособие. –
Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2004. – 49с.
3. Лекции по теории графов./ Емеличев В.А. и др.-М:наука, Гл.ред.
физ.мат.лит. 1990.-384 с.
4. Кристофидес H . Теория графов . Алгоритмический подход .М:Мир , 1978.
5. Асанов М.О. и др. Дискретная математитка: графы, матроиды, алгоритмы –
Ижевск:НИЦ»Регулярная и хаотическая динамика», 2001,288с.
Дополнительная литература
1. Свами М., Тхуласираман К. Графы , сети и алгоритмы . М:Мир ,
1984.
2. Оре О. Теория графов. Алгоритмический подход. М:Мир.1978.
3. Майника Э . Алгоритмы оптимизации на сетях и графах . М:Мир ,
1981.
4. Цой, Цхай. Прикладные задачи теории графов. Алма-Ата.1968.
5. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании.М:наука,
Гл.ред. физ.мат.лит. 1985.-352 с.
6. Касьянов В.Н., Евстегнеев В.А. Графы в программировании:
обработка,
визуализация, применение.- СПб.:БХВ-Петербург,2003. - 1104с.
7. Липский В. Комбинаторика для программистов.М: Мир . 1988.
Самостоятельная работа
На каждую 2 часовую лекцию в рамках самостоятельной работы
предусмотрено 1 час индивидуальной подготовки студентов, для закрепления
лекционного материала, а также освоения некоторых вопросов заданных
лекторам для самостоятельного изучения.
Контрольные вопросы и задания по самостоятельной работе
1. Найти все попарно неизоморфные графы с 5-ю вершинами.
2. Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не
менее (n-1)/2, связен.
3. Пусть G и H два графа. Доказать, что если G изоморфен H , то и H изоморфен G.
4. Доказать, что графыG и H, заданные списками ребер, изоморфны.
G : (1,4) (1,5) (1,6) (2,4)
H : (1,2) (1,3) (1,5) (2,4)
(2,5) (2,6) (3,4) (3,5)
(2,6) (3,4) (3,6) (4,5)
(3,6)
(5,6)
5. Докажите, что не существует графа, степени которого все попарно различны.
6. Пусть задан граф G по правилам: вершины соответствуют натуральным числам между а=2
и в=25 с шагом 3. Две вершины смежны, если соответствующие числа взаимно просты.
Найти с помощью ПВШ диаметр, диаметральную цепь, радиус и центры графа.
7. Доказать, что центр дерева состоит из одной вершины, если диаметр дерева четный и из
двух вершин, если – нечетный.
8. Найдите базисные циклы и разрезы графа, заданного списками смежности:
1  {2,4} ,  2  {1,3,5, 6} , 3  {2,4} ,  4  {1,3,5,6,7}, 5  {2,4,6,8}
 6  {2,4,5,7,9}, 7  {4,6,10}, 8  {5,9}, 9  {6,8,10}, 10  {7,9},
9. Является ли двудольным граф, заданный списками смежности:
1  {2,7, 9} ,  2  {1,3,5} , 3  {2,4, 9} ,  4  {3,6} ,
5  {2,8} ,  6  {4,7} , 7  {1,6, 8} , 8  {5,7,9} , 9  {1,3,8}
10. Используя характеристическую функцию, найти число независимости графа, заданного
списком ребер: U  {(1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,5)}
11. Сколько баз содержит циклический матроид, построенный для связного графа с m
ребрами. Как найти это число баз?
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Вариант 1
1. Опишите матричный способ задания орграфа. Постройте списки смежности вершин по
матрице инцидентности.
2. Является ли двудольным граф, заданный списками смежности:
1  {2,7, 9} ,  2  {1,3,5} , 3  {2,4, 9} ,  4  {3,6} ,
5  {2,8} ,  6  {4,7} , 7  {1,6, 8} , 8  {5,7,9} , 9  {1,3,8}
3. Дать определение матроида через аксиомы баз.
4. Сколько баз содержит циклический матроид, построенный для связного графа с m
ребрами. Как найти это число баз?
5. Используя характеристическую функцию, найти число независимости графа,
заданного списком ребер: U  {(1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,5)}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 2
1. Опишите способ задания графа списками смежности. Постройте по спискам
смежности вершин матрицы смежности и инцидентности.
2. Найти расстояние d(3,10) в графе, заданном списками смежности:
1  {2,4} ,  2  {1,3,5, 6} , 3  {2,4} ,  4  {1,3,5,6,7}, 5  {2,4,6,8}
 6  {2,4,5,7,9}, 7  {4,6,10}, 8  {5,9}, 9  {6,8,10}, 10  {7,9},
3. Дать определение матроида через аксиомы независимости.
4. Сколько баз содержит коциклический матроид (двойственный), построенный для
связного графа с m ребрами. Как найти это число баз?
5. Используя хроматический полином, найти хроматическое число графа, заданного
списком ребер: U  {(1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,5)}
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант 3
Опишите способ задания графа списком ребер. Постройте списки смежности вершин
по матрице инцидентности.
Найдите базисные циклы и разрезы графа, заданного списками смежности:
1  {2,7, 9} ,  2  {1,3,5} , 3  {2,4, 9} ,  4  {3,6} ,
5  {2,8} ,  6  {4,7} , 7  {1,6, 8} , 8  {5,7,9} , 9  {1,3,8}
Ранговая функция матроида. Аксиомы ранга.
Дано множество заданий одинаковой длительности, каждому из которых приписан
крайний срок выполнения. Показать, что набор всех подмножеств заданий, которые
можно выполнить без нарушения сроков. Образует некоторый матроид.
Дан суточный план полетов. Построить интервальный граф и найти его хроматическое
число .
Перечень вопросов, выносимых на экзамен.
1. Операции над графами: удаление вершины, ребра, добавление ребра, объединение,
дизъюнктивное объединение, произведение, отождествление вершин, пересечение графов.
2. Цепи и циклы, связность. Свойства цепей, циклов. Связность графа. Компоненты
связности.
3. Теорема о числе ребер в графе с n вершинами и p компонентами связности. Достаточное
условие связности, использующее число ребер.
4. Поиск в ширину и связность.
5. О цепи максимальной длины. Метрические характеристики графа. Эксцентриситет,
диаметр и радиус графа. Свойство диаметральной цепи. Связь между рангом и диаметром
графа.
6. Задача о кратчайшей цети. Задача о кратчайшем остове.
7. Двудольность, критерий двудольности графа
8. О минорах матрицы инцидентности графа. Теорема Кирхгофа о числе остовов графа.
9. Матроиды , определение, аксиомы баз ( две эквивалентные совокупности). Порядок
матроида. О равномощности баз.
10. Независимые подмножества. Аксиомы независимости. Определение матроида через
независимые множества.
11. Ранговая функция матроида. Аксиомы ранга.
12. Бинарные матроиды. Теорема о пространстве циклов .Теорема о пространстве
двойственных циклов.
13. Задача дискретной оптимизации на матроиде. Жадный алгоритм. Описание класса задач,
для которых жадный алгоритм находит оптимальное решение.
14. Независимые множества вершин графа. Алгоритм Магу построения характеристического
полинома. Построение максимального независимого множества интервального графа
15. Раскраски графа. Хроматический полином, его построение. Построение хроматического
полинома. Построение оптимальной раскраски для интервального графа (жадный алгоритм)
Экзаменационные билеты
Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Кафедра исследования операций
Экзаменационный билет № 1
По курсу «Терия графов»
1.
Теорема о числе ребер в графе с n вершинами и k компонентами связности. Достаточное условие связности, использующее число ребер.
2. Независимые подмножества. Аксиомы независимости. Определение
матроида через независимые множества. Ранговая функция матроида.
Аксиомы ранга.
3. Задача дискретной оптимизации на матроиде. Жадный алгоритм.
Описание класса задач, для которых жадный алгоритм находит
оптимальное решение.
Зав. кафедрой _______________Экзаменатор __________________
10 января 2006 г.
Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Кафедра исследования операций
Экзаменационный билет № 2
По курсу «Терия графов»
1.
Поиск в ширину и связность.
2. Матроиды , определение, аксиомы баз ( две эквивалентные совокупности). Порядок матроида. О
равномощности баз..
3.
Независимые множества вершин графа. Алгоритм Магу построения характеристического полинома..
Зав. кафедрой _______________Экзаменатор __________________
10 января 2006 г.
Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Кафедра исследования операций
Экзаменационный билет № 3
По курсу «Терия графов»
1. Задача о кратчайшем остове.
2. Теорема о пространстве циклов
3. Раскраски графа. Хроматический полином, его построение
Зав. кафедрой _______________Экзаменатор __________________
10 января
2006 г.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Кафедра исследования операций
Экзаменационный билет № 4
По курсу «Терия графов»
1. Двудольность, критерий двудольности графа
2. Теорема о пространстве двойственных циклов.
3. Построение оптимальной раскраски для интервального графа (жадный алгоритм)
Зав. кафедрой _______________Экзаменатор __________________
10 января
2006 г.