Доказательство неравенства Гельдера

Доказательство неравенства Гельдера
Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть p>1, q>1 и 1/p+1/q=1. Тогда для любых неотрицательных вещественных
чисел a и b справедливо неравенство
Доказательство. Рассмотрим функцию
определенную для положительных вещественных значений x. Поскольку f'(x)=xp-1-1, то f'
зануляется в единственной точке -- x=1. Учитывая, что
а f(1)=1/p+1/q-1=0, находим, что
неравенстве x=ab-q/p, получим
для всех
.Полагая в последнем
или
Последняя формула, написанная с учетом того, что q-q/p=q-q(1-1/q)=1 и завершает
доказательство леммы.
Приступая к доказательству неравенства Гельдера, введем обозначения
Как известно, интеграл Лебега от неотрицательной функции равен нулю если и только
если эта функция почти всюду равна нулю. Поэтому если A=0, то функция |f|p (а значит -и f) равняется нулю почти всюду в X. Но тогда и функция fg равняется нулю почти всюду
в X, а значит --
Таким образом, в случае A=0 обе части неравенства Гельдера обращаются в ноль и
поэтому оно справедливо.
Случай B=0 рассматривается аналогично.
Если же
и
,то подставив в неравенство
a=|f(x)|/A, b=|g(x)|/B и проинтегрировав по X, получим
что с точностью до обозначений совпадает с неравенством Гельдера.
значения