УДК 622.002.5 Гуляева Анна Афанасьевна студент гр. АУ-Б-08 Московский государственный горный университет

УДК 622.002.5
Гуляева Анна Афанасьевна
студент гр. АУ-Б-08
Московский государственный горный университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА ОСНОВЕ
ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С ЧАСТОТНЫМ
УПРАВЛЕНИЕМ
MODELING OF THE ELECTRIC DRIVE ON THE BASIS OF THE
THREE-PHASE ASYNCHRONOUS MACHINE WITH FREQUENCY
CONTROL
Современные системы векторного управления прошли долгий путь
развития и в настоящее время являются наиболее распространенными
среди систем электропривода переменного тока. Они позволяют просто и
эффективно управлять такими сложными объектами как асинхронный
двигатель с короткозамкнутым ротором (АКЗ), что в свою очередь,
позволяет существенно расширить область его применения, почти
полностью вытесняя из автоматизированных управляемых приводов
двигатели постоянного тока. Это связано в первую очередь с развитием
силовой электроники, позволяющей создавать надежные и относительно
дешевые преобразователи, а также с развитием быстродействующей
микроэлектроники, способной реализовать алгоритмы управления
практически
любой
сложности.
Поэтому
высококачественный
асинхронный векторный электропривод (АВП) в настоящее время является
по существу техническим стандартом.
Асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором (АКЗ) уже
около 100 лет используется и будет использоваться как практически
единственная реализация массового нерегулируемого электропривода,
составляющего до настоящего времени более 90% всех промышленных
электроприводов. В последнее десятилетие благодаря успехам
электроники (преобразователи частоты) короткозамкнутый асинхронный
двигатель стал основой частотно-регулируемого электропривода, успешно
вытесняющего доминировавший ранее электропривод постоянного тока во
многих сферах.
Применение такого электропривода особенно важно для решения
задачи автоматизации ленточных конвейеров. В силу специфических
условий работы электрооборудования на горных предприятиях
электропривод постоянного тока практически не находит применения в
качестве привода ленточных конвейеров. Абсолютное большинство
действующих в стране конвейерных установок снабжено электроприводом
на основе асинхронного двигателя с короткозамкнутым (АКЗ) и с фазным
ротором (АДФ). Существуют схемы электроприводов на основе АКЗ и
11
АДФ, которые применяются или могут найти в будущем широкое
применение в горной промышленности.
Обобщенный асинхронный двигатель с трехфазной обмоткой на
статоре и трехфазной обмоткой на роторе изображен на рис. 1. Модель
асинхронной электрической машины составим согласно известному
методу, приведенному в работах [1, 2, 4].
j
RA
 A , iA
uA

 a , ia
Ra

uB
 c , ic
Rb
 b , ib
RB
 C , iC
Rc
 B , iB
RC
uC
Рис. 1. Обобщенная асинхронная машина.
Обмотки статора и ротора в общем случае подключены к
симметричным трехфазным источникам напряжения.
Уравнения равновесия ЭДС на обмотках статора и ротора базируется
на втором законе Кирхгофа.
Для статора:
d A 
,
dt 

d B 
u B  RB i B 
,
dt 
d C 
uC  RC iC 
.
dt 
u A  R Ai A 
Для ротора:
d a 
,
dt 

d b 
ub  Rb ib 
,
dt 
d c 
u c  Rc ic 
.
dt 
u a  Ra ia 
(1)
В уравнениях (1) фигурируют мгновенные напряжения, токи и
потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления
обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому
RА=RВ=RС=Rs - активное сопротивление статорной обмотки, Rа=Rb=Rс=RR
- активное сопротивление роторной обмотки.
12
Вторым используемым законом является закон Ампера, который
связывает потокосцепления обмоток с токами, протекающими по
обмоткам:
Для статора:
 A  LAAi A  LAB iB  LAC iC  LAa ia  LAb ib  LAc ic ,

 B  LBAi A  LBB iB  LBC iC  LBa ia  LBb ib  LBc ic , 
 A  LCAi A  LCB iB  LCC iC  LCa ia  LCbib  LCc ic . 
(2а)
Для ротора:
 a  LaAi A  LaB iB  LaC iC  Laa ia  Labib  Lac ic ,

 b  LbAi A  LbB iB  LbC iC  Lba ia  Lbb ib  Lbc ic , 
 c  LcAi A  LcB iB  LcC iC  Lca ia  Lcb ib  Lcc ic . 
(2б)
Уравнения для определения потокосцеплений показывают, что
потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти
зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (2) LАА,
LBB, LCC, Laa, Lbb, Lcc, являются собственными индуктивностями
соответствующих обмоток, все остальные - взаимоиндуктивностями между
соответствующими обмотками.
Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон
Ньютона - закон равновесия моментов на валу машины:
J
d m
 M M С,
dt
(3)
где J (кгм2) — момент инерции на валу машины, учитывающий
инерционность как самой машины, так и приведенной к валу
инерционности рабочего механизма и редуктора,  m (
rad
)с
угловая
скорость вала машины, M С (Нм) – момент нагрузки рабочего механизма,
приведенный к валу, в общем случае он может быть функцией скорости и
угла поворота.
Наконец, четвертым и последним законом, лежащим в основа
анализа машины, является закон, сформулированный Ленцем, как правило
левой руки. Этот закон связывает векторные величины момента,
потокосцепления и тока:
(4)
M  k (  i) .
Следует сразу подчеркнуть, что, несмотря на полное и строгое
математическое описание, использование уравнений (1) - (4) для
исследования машины встречает серьезные трудности. Из них основные:
- в уравнениях (3 и 4) фигурируют векторные величины, а в
уравнениях (1 и 2) скалярные;
- количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество
коэффициентов - 44;
13
- коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора
в уравнениях (2) являются функцией угла поворота ротора относительно
статора, то есть уравнения (2) являются уравнениями с переменными
коэффициентами;
- уравнение (4) является нелинейным, так как в нем перемножаются
переменные.
На пути упрощения математического описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного тока, удивительно удачным и
изящным оказался метод пространственного вектора, который позволил
существенно упростить и сократить вышеприведенную систему
уравнений; метод позволяет связать уравнения (1-4) в единую систему с
векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что
мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния
(напряжения, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать
так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором.
Это математическое преобразование имеет вид (например, для тока
статора):
i
2
2
(i A  ai B  a iC ),
3
где
смещение
ae
j
2
3
2
,a  e
обмоток,
(5)
j
4
3
-
векторы,
учитывающие
i A  I m cos t , iB  I m cos(t 
пространственное
2
2
), iC  I m cos(t 
)3
3
симметричная трехфазная система токов статора.
Подставив в уравнения (5) значение мгновенных токов, найдем
математическое описание пространственного вектора статорного тока:
2
4
j
j
2
2
2
i S  I m (cos t  e 3 cos(t 
)  e 3 cos(t 
))  I m e jt .
3
3
3
(6)
На рис. 2.1 представлена геометрическая интерпретация
пространственного вектора тока - это вектор на комплексной плоскости с
модулем (длиной) Im, вращающийся с угловой скоростью  в
положительном направлении. Проекции вектора i s на фазные оси А, В, С
определяют мгновенные токи в фазах. Аналогично пространственными
векторами можно представить все напряжения, токи и потокосцепления,
входящие в уравнения (1.1), (1.2).
Теперь можно переходить к упрощению уравнений.
Рис. 2. Пространственный вектор тока.
14
Шаг первый. Для преобразования уравнений (1) в мгновенных
значениях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на
выражения: первые уравнения на
2
2
2 2
, вторые – на a , третьи – на a , - и
3
3
3
сложим раздельно для статора и ротора. Тогда получим:




d R
u R  RR i R 
, 
dt

 S  LS i S  Lm ( )i R , 

 R  Lm ( )i S  LR i R ,
u S  RS i S 
d S
,
dt
(7)
где LS, LR - собственные индуктивности статора и ротора, Lm() взаимная индуктивность между статором и ротором. Таки образом, вместо
двенадцати уравнений (1)-(2) получено лишь четыре уравнения (7).
Шаг второй. Переменные коэффициенты взаимной индукции
уравнениях для потокосцеплений (7) являются результатом того, что
уравнения равновесия ЭДС для статора записаны в неподвижно системе
координат, связанной со статором, а уравнения равновесия ЭДС для ротора
записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором.
Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в
единой системе координат, вращающейся произвольной скоростью к. В
этом случае уравнения (7) преобразуются к виду:




d R
u R  RR i R 
 j ( k   ) R ,
dt


 S  LS i S  Lm i R ,

 R  Lm i S  LR i R ,

u S  RS i S 
d S
 j k  S ,
dt
(8)
где  = р•m, р - число пар полюсов в машине.
В уравнениях (8) все коэффициенты являются величинами
постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть определены
по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.
Шаг третий. Этот шаг связан с определением момента. Момент в
уравнении (4) является векторным произведением любой пары векторов.
Из уравнения (8) следует, что таких пар может быть шесть
(i S , i R ); ( S , R ); (i S , S ); (i S , R ); (i R , S ); (i R , R ) . Часто в рассмотрение
вводится потокосцепление взаимной индукции  m  Lm (i S  i R ) . В этом
случае
появляется
ещё
четыре
возможности
представления
электромагнитного момента машины через следующие пары:
15
(i S , m ); (i R , m ); ( S , m ); ( R , m ) .
После выбора той или иной пары
уравнение момента приобретает определенность, а количество уравнений в
системе (8) сокращается до двух. Кроме того, в уравнениях (3) и (4)
векторные величины момента и скорости могут быть заменены их
модульными значениями. Это является следствием того, что
пространственные векторы токов и потокосцеплений расположены и
плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой
скорости совпадают с осью. В качестве примера запись уравнений момента
через некоторые пары переменных состояния машины имеет вид:
3

pLm  Mod (i S  i R ), 
2

3

M  p  Mod ( S  i S ), 
2

3

M  pk R  Mod ( R  i S ).
2

M
(9)
В конечном виде уравнения обобщённой асинхронной машины
имеют вид:




d R
u R  RR i R 
 j ( k  p m ) R ,
dt


 S  LS i S  Lm i R ,


 R  Lm i S  LR i R ,

3

M  p  k  Mod ( i  i k ),

2

d m

J
 M  MС.

dt
u S  RS i S 
d S
 j k  S ,
dt
(10)
Уравнения асинхронной машины с короткозамкнутым ротором или
машины с фазной обмоткой, если к ней не подключено питающее
напряжение, можно получить из уравнений (10), если в этих уравнениях
положить u R  0 .




d R
0  RR i R 
 j ( k  p m ) R ,
dt


 S  L S i S  Lm i R ,


 R  Lm i S  L R i R ,

3

M  p  k  Mod ( i  i k ),

2

d m

J
 M  MС.

dt
u S  RS i S 
d S
 j k  S ,
dt
(11)
16
Для динамических систем необходимо учитывать переходные
электромагнитные процессы в машине. В этом случае в качестве пары
переменных, описывающих машину, оставим пространственные векторы
тока статора и потокосцепления ротора ( i S , R ), тогда уравнения (11) с
учётом уравнений для потокосцеплений (8) после соответствующих
преобразований примут вид:

k
diS
 j k L`S i S  R  R  jk R p m R ,
dt
TR


d R
1

0   k R RR i S   R 
 j ( k  p m ) R ,

TR
dt
(12)


3
M  p  k R  Mod ( R  i S ),

2

d m

J
 M  MС ,

dt
L2
L2
L
L
где r  RS  2m RR , L`S  LS  2m , k R  m , TR  R - коэффициенты.
LR
LR
LR
RR
u S  r i S  L`S
Для синтеза и анализа электропривода, построенного на базе
асинхронного короткозамкнутого двигателя решающим является выбор
системы координат. При построении реальных систем электроприводов
переменного тока практически всегда в систему управления включают
преобразователи координат. Это обусловлено тем, что реализация
регуляторов возможна лишь во вращающейся системе координат, а
реальные токи в обмотках статора – это токи в неподвижной системе
координат. Используя при математическом описании электропривода
вращающуюся систему координат, удается существенно упростить
описание и моделирование, так как не возникает необходимости в
преобразователях из вращающейся системы и обратно, а также в
преобразователях фаз 2/3 и 3/2.
Во вращающейся с относительной угловой скоростью k в системе
координат с вещественной осью “x” и мнимой осью “y” уравнения (12) в
операторной форме запишутся в виде:
uSx  r (1  TS/ s )iSx  K L/S iSy 
uSy  r (1  TS/ s )iSy  K L/S iSx 
kR
 Rx  k R pm Ry ,
TR
kR
 Ry  k R pm Rx
TR
1
 Rx  s Rx  (k  pm ) Ry ,
TR
1
0  k R RR iSy   Ry  s Ry  (k  pm ) Rx ,
TR
m  1.5 pk R ( RxiSy  Ry iSx ) ,
0  k R RR iSx 
(13)
Jsm  M  M H .
17
Структурная схема АКЗ и ее модель зависит от выбора базового
вектора, который определяет скорость вращения координат. За базовый
вектор принимается тот, который при анализе совмещается с одной из осей
системы координат.
Так если за базовый вектор принять вектор u S , то система координат
будет вращаться со скоростью 1 равной угловой частоте напряжения
питания. Кроме того, если совместить вектор u S с осью x вращающейся
системы координат, то в уравнениях (13) следует принять
usx  U1 , usy  0 .
U1  r (1  TS/ s )iSx  1 L/S iSy 
0  r (1  TS/ s )iSy  1 L/S iSx 
kR
 Rx  k R pm Ry ,
TR
kR
 Ry  k R pm Rx
TR
1
 Rx  s Rx  (1  pm ) Ry ,
TR
1
0  k R RR iSy   Ry  s Ry  (1  pm ) Rx ,
TR
m  1.5 pk R ( RxiSy  Ry iSx ) ,
0  k R RR iSx 
(14)
Jsm  M  M H .
Моделирование проведено в пакете прикладных программ Simulink.
Структурная схема, построенная по уравнениям (14) представлена на
рис. 3.
Для моделирования выберем АКЗ 20HP (15kW) из библиотеки Sim
Power System со следующими паспортными данными и параметрами:
U AB  400B, f  50 Гц, RS  0.2147 Ом., RR  0.2205 Ом., LS  LR  0.06518 Гн,
Lm  0.06419 Гн, J= 0.102 кгм 2 , p=2.
Коэффициенты, необходимые для моделирования уравнений
помещены в табл. 1.
Таблица 1.
Коэффициенты
r
TR
1
S
T
TR
kR
kR
L'S
О
Един.измерения
Значение
Ом
с
с
Гн
0.4285 0.0046 0.2956 0.9848 0.00196
18
Результаты моделирования представлены на рис. 4. В этой модели
напряжение питания и частота, являясь переменными режима, могут
изменяться независимо друг от друга.
Рис. 3. Модель АКЗ во вращающейся системе координат с базовым
вектором напряжения.
Рис. 4. Переходные процессы в АКЗ при пуске и набросе нагрузки.
19
Результаты моделирования, приведенные на рис. 4, показали, что при
прямом пуске привода с постоянной нагрузкой наблюдаются значительные
колебания момента и скорости. Кроме того, наблюдается значительное
падение скорости под нагрузкой, то есть ошибка отработки задания.
Математическое описание АКЗ во вращающейся системе координат,
совмещенной с вектором напряжения является основой для синтеза
асинхронных систем с частотными способами управления.
Литература.
1. Герман-Галкин
С.Г.
Matlab&Simulink.
Проектирование
мехатронных систем на ПК. - СПб.: «КОРОНА Век», 2011.
2. Ильинский Н.Ф. Основы электропривода. Учебное пособие для
ВУЗов. – М.: МЭИ, 2003.
3. Медведев В.С. Потемкин В.Г. Control System Toolbox. Matlab 5
для студентов. – М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1999.
4. Усольцев
А.А.
Векторное
управление
асинхронными
двигателями. Учебное пособие. – СПб.: НИУ ИТМО, 2002.
Аннотация.
В данной работе сделан анализ асинхронного двигателя с
короткозамкнутым ротором и исследованы его переходные процессы,
пусковые свойства. Поставленная задача реализована в наглядном и
эффективном средстве визуального программирования моделей – пакете
Simulink программы MATLAB.
In this work is made the analysis of the asynchronous machine with a
squirrel cage, are investigated its transitional processes and start-up properties.
The objective is realized in an evident and effective means of visual
programming models – a MATLAB program Simulink package.
Ключевые слова.
асинхронный электродвигатель c короткозамкнутым ротором,
математическая модель, переходные процессы, метод пространственного
вектора, вращающаяся система координат
three-phase asynchronous machine with a squirrel cage, mathematical
model, transitional processes, method of space vector, rotating coordinate
system
20