Zadachi_1

Вариант № 1
Выполнил: Студент группы ИТ72
Уксусов Кирилл
1. Колебания точки совершаются по закону x(t )  2 cos( 4t   / 3) мм.
Найти период колебаний и максимальное ускорение точки.
Дано:
x(t )  2 cos( 4t   / 3)
Найти:
Т - ?, amax - ?
Решение:
Из уравнения гармонических колебаний:
  4 c 1 - циклическая частота.
2 2
T

 0,5c
 4
a (t )  x" (t )   ' (t )
 (t ) - скорость

 (t )  8 sin( 4t  ) мм/c
3

5
a (t )  32 2 cos( 4t  )  32 2 sin( 4t  ) мм/c2
3
6
Ответ:
Т=0,5 с; amax= 32 2 мм/c2
2. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через
середину радиуса. Найти период малых колебаний и приведенную длину физического маятника.
Дано:
R  0,2 м , d  0,1м
Найти:
Т - ?, L - ?
Решение:
d – расстояние от центра до точки подвеса
1
0  mR 2 - момент инерции для однородного диска
2
по т. Штейнера:
  0  md 2
1
m( R 2  2 d 2 )
mR2  md 2 
2
2
2
2
 R  2d
0,04  0,02
L


 0,14 м
md
2d
0,2

T  2
L
0,14
 2
 0,74 с
g
10
Ответ:
L=0,14 м; T=0,74 c
3. Шарик массой 20 г колеблется на пружине жесткостью 104 Н/м, амплитуда колебаний 1 см.
Определить максимальную силу, действующую на шарик и его максимальную кинетическую
энергию.
Дано:
m  2 10 2 кг , k  10 4 H / м , A  10 2 м
Найти:
F0 - ?-, Eкmax - ?
Решение:
Уравнение силы действующей на шарик:
F  F0cost F  ma (II закон Ньютона)

F  - A02 m cos(0t   )  A02 m sin( 0t    )



2
F0
k
m
2
4
F0  Ak  10 10  10 2 Н
F0  A02 m , где 02 
d F0
m 2
F
F
 cos t или    0 cos tdt  0 2 sin t
, где
dt
m
2
m
m
0
t
Eк 
Eк максимальна при sin 2 t  1
F0
10 4  2 10 2
1

 Дж
2
2
4
2m
2  2 10 10
2
Ответ:
F0  10 2 Н, Eк  0,5 Дж
2
Eк 
4. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 10 мГн и конденсатора емкостью 4
нФ. В начальный момент конденсатор зарядили до напряжения 2 В. Записать закон изменения
заряда на конденсаторе и силы тока в контуре.
Дано:
L  10 2 Гн , С  4 10 9 Ф , U 0  2В
Найти:
q(t) -?, i(t) - ?
Решение:
q(t )  q0 cos t - уравнение свободных колебаний
q(t )  q0  CU  8 10 9 Кл
1
1
1



1011 Гц – циклическая частота
2
9
2
LC
10  4 10
1
q (t )  8 10 9 cos( 1011 t ) Кл
2
i (t )  q ' (t )
1
i (t )  40 10 5 10 sin(
1011 t ) А
2
Ответ:
1
1
q (t )  8 10 9 cos( 1011 t ) Кл, i (t )  40 10 5 10 sin(
1011 t ) А
2
2
5. За 5 минут амплитуда колебаний математического маятника уменьшилась в два раза. Найти
коэффициент затухания.
Дано:
t=300c, n=2
Найти:
 -?
Решение:
A
n 0
A
Амплитуда затухающих колебаний: A  A0 e  t
A
n  0  e  t
A
ln n   t
ln n ln 2 0,69
1



 0,0023
t
300 300
c
Ответ:
1
  0,0023
c
6. Колебательный контур имеет емкость С = 1 нФ и индуктивность L = 5 мГн. Логарифмический
декремент затухания равен 0,005. За сколько времени вследствие затухания потеряется 99%
энергии контура?
Дано:
E
С  10 10 9 Ф , L  5 10 3 Гн ,   0,005 , 0  99%
E
Найти:
t -?
Решение:
T
2
0
T  2 LC  2  3,14 5 103 109  14 106

0,005
 
 360
T 14 10 6
E0
 100  n , E  E0 e 2 t , e 2 t  n
E
ln n ln 100
t

 0,0063 c
2 2  360
Ответ:
t = 0,0064 с
7. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях заданных
уравнениями x1  4 cos(100t ) и x2  7 cos(100t   / 2) . Найти амплитуду результирующего
колебания, его частоту и начальную фазу.
Дано:
x1  4 cos(100t ) , x2  7 cos(100t   / 2)
Найти:
A  ?,0  ?,   ?
Решение:
1  100c 1 , 1  0, A1  4
2  100c 1 , 1 

, A1  7
2
Амплитуда результирующего колебания:
A  A12  A22  2 A1 A2 (cos( 2  1 ))  16  49  8,06 м
Начальная фаза:
A sin 1  A2 sin  2
tg  1
 1,75o
A1 cos 1  A2 cos  2
  arctg 

3
При сложении колебаний одинаковой частоты получается колебание той же частоты,
следовательно,   100 Гц
Ответ:
A  8,06 м,  

3
,   100 Гц
8. Точка совершает два колебания, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям,
которые заданны уравнениями x  2 sin t и y  2 cos 2t . Найти уравнение траектории, построить
ее с соблюдением масштаба.
Дано:
x  2 sin t , y  2 cos 2t
Найти:
уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба
Решение:
x
x  2 sin t   sin t
2
y  2 cos 2t  2(cos 2 t  sin 2 t )  2(1  2 sin 2 t )
y  2(1  2
x2
x2
)  2(1  )  2  x 2
4
2
9. Найти сопротивление цепи, состоящей из конденсатора емкостью 20 мкФ и резистора
сопротивлением, включенную в сеть переменного тока частотой 50 Гц.
Дано:
С  20 10 6 Ф , R  10 Ом,   50 Гц
Найти:
Z-?
Решение:
Первый случай: Последовательное включение в цепь R и С
Векторная диаграмма амплитудных значений падений напряжений на резисторе (UR) и
конденсаторе (UC). Амплитуда Um приложенного напряжения равна векторной сумме амплитуд
падений напряжений UR и UC.
2
2
2
Из прямоугольного треугольника имеем: U m  U R  U C
1
1
I m , получаем: Z 2  R 2  2 2
Учитывая, что U m  I m , U R  RI m , U R 
C
C
Отсюда искомое сопротивление цепи при последовательном включении резистора и конденсатора:
1
Z  R2  2 2
C
Z  102  106  1000 Ом
Второй случай: Последовательное включение в цепь R и С
Векторная диаграмма параллельной цепи.
Из треугольника: I m  I R  I C , U m  U R  U C , I m 
2
1
1

  2C 2  Z 
Z
R2
Ответ:
Z = 1000Ом
2
R
R  C 1
2
2
2

Um
U
U
, I R  R , I C  C =>
1
Z
R
C
1
100  50  4 10
2
12
1
 103 Ом
10. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются
в воздухе. Длина волны  = 70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний, 2)
максимальную скорость частиц воздуха.
Дано:
  500 Гц, A  25 10 5 м,   70 10 2 м
Найти:
  ? , max возд.  ?
Решение:
  T
    70 10 2  500  350 м/c
 max возд.  A  2A  6,28  500  25 10 5  7,85 м/c
Ответ:
  350 м/c, max возд.  7,85 м/c
11. Труба, длина которой 40 см, заполнена воздухом и открыта с одного конца. При какой
наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Скорость звука в воздухе 340
м/с.
Дано:
l1  0,4 м,   340 м/c
Найти:
 min  ?
Решение:
Частота минимальна при максимальной длине стоячей волны.
В открытой части будет пучность, а в закрытой – узел. Поэтому труба уложится в четверть длинны


волны. l  ,  
4


 340
4l 
  min  
 212,5 Гц
 min
4l 1,6
Ответ:
 min  212,5 Гц
12. В вакууме распространяется плоская монохроматическая волна. Амплитуда напряженности
магнитного поля равна 20 мА/м. Найти амплитуду напряженности электрического поля волны и
плотность потока энергии электромагнитной волны.
Дано:
H 0  2 10 2 А/м,  0  8,85 10 12 Ф/м,  0  4 107 Гн/м,   1 ,   1
Найти:
E0  ?, j  ?
Решение:
0 E  0 H - связь между мгновенными значениями напряженностей электрического и
магнитных полей электромагнитной волны.
  1,   1   0 E  0 H
В электромагнитной волне векторы E и H всегда колеблются в одинаковых фазах, поэтому
выражение может быть записано и для мгновенных значений амплитуд напряженностей
электрического и магнитного полей электромагнитной волны:
 0 E0  0 H 0
E0 
0
4  107
H0 
 20  103  740 мВ/м
0
8,85  1012
Модуль плотности потока энергии: j    EH  740 103  20 103  14,8 103
Ответ:
j  14,8  103 , E0  740  10 3 В/м