ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ Решение олимпиадных задач. Схема модуля:

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Решение олимпиадных задач.
Схема модуля:
1) Основные понятия.
2) Основные законы, используемые при решении задач.
3) Примеры решения задач.
4) Задания для самоконтроля.
1
Модуль №1. Решение олимпиадных задач по теме «Электромагнетизм»1.
1). Основные понятия.
№
Название
п/п
1.
Электродвижущая сила (ЭДС)
2.
ЭДС индукции
3.
Вектор магнитной индукции
4.
Сила тока
5.
Магнитный поток
6.
Сопротивление
7.
8.
1
Единица
Обозначение
Внутренне сопротивление
источника тока
Количество теплоты

i




измерения
В (вольт)
В (вольт)
Тл (тесла)
А (ампер)
Вб (вебер)
R
Ом
r
Ом
Q
Дж (джоуль)
За основу взяты задания районного этапа за предыдущие годы.
2
2). Основные законы и формулы, используемые при решении задач.
№
Название
п/п
1.
Закон Ома для
полной цепи
Закон
2.
электромагнитной
Математическое выражение, закон
I

Rr
 i  (t )
индукции
3.
Сила Ампера
FA  IBl sin 
4.
Сила Лоренца
FL  gvBsin 
5.
Магнитный поток
  BS cos
6.
7.
Закон Джоуля Ленца
ЭДС в движущемся
проводнике
Q  I 2 Rt
 i  vBl sin 
3
3). Примеры решения задач.
I тип. Задачи, в которых изменение магнитного потока происходит за счет

изменения площади контура S при неизменном B .
Задача 1. по двум проводникам скользит перемычка с постоянной
скоростью. Найти зависимость силы тока от времени. Скорость перемещения


перемычки v, индукция магнитного поля B, B  v , длина перемычки a,
сопротивление единицы длины  . При t=0, S0=0 поле однородное.

B

v
Решение: запишем зависимость S от t: S  avt  S 0 , S  avt . Теперь выразим
зависимость Ф от t: (t )  BS cos  ,
  0, (t )  Bavt,
 i  (t ),  i  ( Bavt )   Bavt.
Знак минус указывает, что
i
препятствует изменению Ф. Т. к. других ЭДС
в контуре нет, знак можно не учитывать , т.к. нас интересует величина тока I,
а направление определим по правилу левой руки или Ленца.
Найдем теперь зависимость R от t: R(t )  2(a  vt)  .
Найдем I: I 
i
R(t )

Bav
2(a  vt) 
4
Задача 2.
Проводник EF движется с постоянной скоростью v, замыкая два проводника
AC и AD, образующие между собой угол  . Перпендикулярно плоскости
системы проводников приложено постоянное магнитное поле индукции B.
Найти полное количество теплоты, выделявшееся за время движения
проводника EF из точки А в точку С. Сопротивление единицы длины
проводников r. Проводник EF движется перпендикулярно AC , длина АС=L.
D

B
E

А
F
C
Решения: действуем по схеме предыдущей задачи.
1
1
1
EF  AF tg , S  vt vt tg  v 2 t 2 tg ,  (t )  BS  B v 2 t 2 tg ,
2
2
2
vt
1
R  ( AF  FE  AE )r  (vt  vt tg 
)r  (1  tg 
)vrt,  i   (t )  v 2 tg B t.
cos 
cos 
AF  vt,
Минус связан с направлением тока, опустим его.
I
i
R

v 2 tg Bt
tg Bv

1
1
(1  tg 
)vrt (1  tg 
)r
cos 
cos 
Ток от времени не зависит.
L
v
По закону Джоуля – Ленца: Q  I 2 Rt , t  .
Время движения от А до С:
Q sin 2  B 2 v 2 (cos   sin   1)vrt
sin  tg B 2 v 3t


, т.е.
t
(cos   sin   1)r
(cos   sin   1) 2 r 2 cos 
Q
sin  tg B 2 v 3 t 2
sin  tg B 2 vL2
 
(cos   sin   1)r 2 2r (cos   sin   1)
5
4). Следующие две задачи предлагаются для самостоятельного решения по
этой же схеме:
1. Тонкое проводящее кольцо помещено в однородное магнитное поле,
перпендикулярное плоскости кольца. Индукция поля B. Радиус кольца
увеличивается с постоянной скоростью v. Определить зависимость
тока в кольце от времени, если в начальный момент сопротивление
кольца R0, а радиус r0. Плотность и удельное сопротивление материала
кольца при растяжении не меняются.
/Ответ: I 
2 r0 vB
/
R0
2. Квадратная рамка, стороны которой изменяют синфазно свою длину по
гармоническому закону, помещена в однородное магнитное поле с
индукцией B. Поле перпендикулярно плоскости рамки. В начальный
момент времени размер стороны рамки минимален и равен а. Первый
раз стороны рамки достигают максимального размера b в момент
времени  . Найти законы изменения со временем ЭДС индукции и
тока, возникающего в рамке, если сопротивление единицы длины
стороны равно  .
/Ответ:  i  B l (a  b) sin t , где  

1
и l  (a  b  (a  b) cos t ),

2
I
B
(a  b) sin t ./
4
В третьей задаче добавляется кроме электромагнитного взаимодействия еще
и механическое.
Задача 3. Горизонтальный проводник массы m может скользить без
нарушения электрического контакта по двум вертикальным проводящим
стержням. Стержни разнесены на расстоянии l друг от друга и соединены
внизу источником тока с ЭДС E. Перпендикулярно плоскости движения
приложено постоянное магнитное поле индукции B. Найти установившуюся
скорость,
с
которой
будет
подниматься
проводник.
Сопротивление
6
проводника R. Сопротивлением стержней и источника тока, а также трением
пренебречь. Система находится в поле тяготения Земли.
Из рисунка следует, что сила Ампера направлена
вверх, против силы тяжести. v=const по условию,
значит

B

g

a  0,
m


FA  mg  0,


FA  mg ,
FA  BI l ,
I
 i
R
 - ЭДС источника,  i - ЭДС в движущемся

v
проводнике.  и  i имеют разные знаки по
E
 i  vB l , I 
правилу Ленца.
  vB l
R
, mg 
Bl (  vBl )
mgr
mgR
,   vBl 
 vBi   
R
Bl
Bl
Ответ: установившаяся скорость равна: v 
Для
тренировки
можно
предложить
Bl  mgR
B 2l 2
.
следующую
задачу:
по
двум
проводникам скользит под действием силы тяжести
вертикально вниз перемычка сопротивлением R и

B

g
длиной l, магнитное поле перпендикулярно контуру
с индукцией B. Найти установившуюся скорость
падения. Сопротивлением проводника пренебречь.
Масса перемычки m.

v
/Ответ: v 
mgR
/
B 2l 2
Задача 4. Плоский контур, имеющий вид
двух квадратов со сторонами а=20 см,
b=10
см,
находится
в
однородном
а
магнитном поле, перпендикулярном к его
плоскости. Индукция поля меняется во
времени
по
закону
b
B  B0 sin t ,
7
B0  10 мТл,   100 с 1 . Найти амплитуду индукционного тока в контуре, если
сопротивление единицы длины его   50 мОм / м . Индуктивностью контура
пренебречь.
В данной задаче площадь не меняется, ЭДС индукции возникает из-за
переменной индукции, но схема примерно та же.
Вся хитрость в том, что  i в контурах
I 
1   2
R
направлены друг против друга
,  1  (a 2 B0 sin t ),  2  (b 2 B0 sin t )
 1  a 2 B0 cos t ,  2  b 2 B0 cos t , R  4  (a  b),
I
(a 2  b 2 ) B0 cos t (a  b) B0 cos t

4  ( a  b)
4
Ответ: амплитуда тока I M 
(a  b) B0
.
4
Для самостоятельного решения предлагается задача: контур в виде
окружности
радиуса
магнитном
поле,
R
находится
которое
в
меняется
однородном
по
закону

B
B  B0 cos t , сопротивлением единицы длины  . Найти
амплитуду колебаний силы тока.
/Ответ: I M 
B0 R
/
2
8
Модуль №2. Решение олимпиадных задач по термодинамике2. на
применение I начала термодинамики и нахождения КПД цикла.
1). Основные понятия.
№
Название
п/п
Обозначение
Единица
измерения
1.
Давление
P
Па
2.
Объем
V
м3
3.
Температура
T
К
4.
Внутренняя энергия
U
Дж
5.
Количество теплоты
Q
Дж
6.
Работа газа
A
Дж
7.
Масса газа
M
кг
8.
Молярная масса
M
кг
моль
CV
Дж
моль К
9.
2
Молярная теплоемкость при
постоянном объеме
За основу взяты задания районного этапа за предыдущие годы.
9
2). Основные формулы и законы, используемые при решении задач.
№
п/п
Название
Математическое выражение, закон
U
1.
Внутренняя энергия
U
2.
3.
Работа газа при
изобарном процессе
Работа газа при
расширении
3 m
RT - одноатомный газ
2M
5 m
RT - двухатомный газ
2M
A  PV
A  S , где S – площадь фигуры,
ограниченной графиком давления в
координатах PV.
Уравнение
4.
Менделеева –
Клапейрона
5.
6.
7.
Первое начало
термодинамики
Измерение
внутренней энергии
КПД цикла
PV 
m
RT
M
Q  U  A
U  CV

m
T
M
A
Q
10
3). Примеры решения задач.
Рассмотрим задачи двух типов: на применение I начала термодинамики и
нахождения КПД цикла.
1 тип.
Задача 1. один моль идеального одноатомного газа участвует в процессе,
изображенном на рисунке. Определить количество теплоты, которое
получает газ при переходе из состояния 1 в состояние 2.
Решение:
P
из
термодинамики
2P0
первого
начала
Q  A  U .
имеем
Найдем A как площадь заштрихованной
1
трапеции:
2
P0
A 
V
V0
(2 P0  P0)
2
 (3V0  V0 )  3P0V0 .
Изменение внутренней энергии можно
найти из формул:
3V0
PV 
m
RT и U  3 m RT . Для
M
2M
3
2
3
2
3
2
3
2
одноатомного газа имеем U  PV , U  U  U 0   3V0 P0   2 P0V0  P0V0 .
9
2
Ответ: Q  A  U  P0V0 .
Задача 2. двухатомный газ переводят из
P
состояния
в
состояние
2.
радиус
окружности в выбранных единицах
3
P0
2
P0
1
R
1
P0V0
2
.
Найти количество теплоты, полученное
2
газом.
Решение: т.к. газ двухатомный, то
V
V0
2V0
U
5
5
5
5
PV , U  U  U 0   2V0 P0   P0V0  P0V0
2
2
2
2
работу
газа
найдем
как
площадь
заштрихованной фигуры, состоящей из прямоугольника и полуокружности.
11
A  P0 (2V0  V0 ) 
Q
 P0V0
2 4
 P0V0 


P0V0  (1  ) P0V0
8
8
5

7 
28  
P0V0  (1  ) P0V0  (  ) P0V0 
P0V0 .
2
8
2 8
8
Ответ: Q 
28  
P0V0 .
8
Для самостоятельного решения: некоторое количество двухатомного
идеального газа переводят из состояния
P
1
в
состояние
изображенной
P0
1
2
по
кривой,
сплошной
линией.
Участок 2-3 в выбранных единицах
3
PК
представляет
4
радиуса
V
V0
4
собой
окружность
( P0  PK )  (VK  V0)
2
.
Найти
количество теплоты, сообщенное газу,
VК
если VK  3V0 , PK 
P0
.
2
/Ответ: Q  3,05P0V0 ./
2 тип.
Задача 3. Определить КПД цикла, изображенного на графике. Газ
одноатомный идеальный.
КПД цикла определяется по формуле:
P

2P0
2
AП
Q , АП – полезная работа, равная
площади ограниченной графиком цикла
P0
(заштрихованная фигура). Q – тепло
3
1
полученное газом от нагревателя.
V
V0
3V0
Вначале определяем на каких участках
цикла газ получает тепло. Для этого
используем первое начало
12
термодинамики. . анализ показывает, что тепло поступает на участке 1-2.
Значит Q=Q1-2.
2 P  P0
3
3
15
 3V0  2 P0  P0V0  P0V0 , A12  0
 2V0  3P0V0 ,
2
2
2
2
3
3
9
 U 23  A2 3 , U 23   3V0 P0   2 P0  3V0   P0V0  0
2
2
2
Q  U 12  A12 , U 12 
Q23
Тепло газ отдает. Аналогично на участке 3-1.
AП  S  
P0  2V0
PV
A
15
21
2
 P0V0 , Q  P0V0  3P0V0  P0V0 ,   П  0 0  .
21
2
2
2
Q
P0V0 21
2
Ответ:  
2
.
21
Для самостоятельного решения:
1. Один моль идеального
P
одноатомного газа совершает
циклический процесс,
9P0
изображенный на рисунке. Цикл
2
3
4
состоит из двух изобар, двух
P0
изохор и процесса 3-4, который в
1
5
выбранном масштабе,
представляется четвертью
V0
5V0
8V0
V
окружности с центром в точке О
(8V0,9P0). Определить КПД цикла.
/Ответ:   0,42 ./
2. Над
P
одним
одноатомного
2
циклический
3
молем
идеального
газа
совершается
процесс:
1-2-3-4-1,
который в координатах (V,P) имеет
P0
V0
вид
4
1
параллелограмма,
стороны
которого 1-4 и 2-3 параллельны оси
3V0
7V0
V
V. Известно, что температура газа в
13
точке 2 в 15 раз превышает температуру в точке 1, V2=3V0, V3=7V0.
Найти КПД цикла.
/Ответ:  
16
./
77
3. Над молем идеального газа совершают замкнутый цикл, состоящий из
двух изобар и двух изохор. Известно, что два угла цикла лежат на
одной изотерме, а абсолютные температуры в двух других циклах
отличаются в 4 раза. Найти КПД цикла.
/Ответ:  
R
, где R – универсальная газовая постоянная./
2 R  3CV
4. Определить
КПД
цикла
1-2-3-1,
изображенного
на
рисунке,
совершаемого над одним молем одноатомного идеального газа.
/Ответ:  
P
2P0
P0
2
1
./
16
3
1
V0
2V0
4V0
V
14
Модуль №3.
Решение олимпиадных задач по теме «Механические колебания»3.
1). Основные понятия.
№
Название
п/п
Обозначение
Единица
измерения
1.
Координата
х
м (метр)
2.
Амплитуда
хм
м (метр)
3.
Циклическая частота

рад/с (радиан в
4.
Частота

Гц (герц)
5.
Период
Т
с (секунда)
6.
Сдвиг по фазе

рад (радиан)
7.
Собственная циклическая
частота
0
8.
Амплитуда скорости
Vм
9.
Жесткость пружины
k
3
секунду)
рад/с (радиан в
секунду)
м/с (метры в
секунду)
н/м (ньютон на
метр)
За основу взяты задания районного этапа за предыдущие годы.
15
2). Основные законы и формулы, используемые при решении задач.
№
п/п
1.
2.
Название
Уравнение колебаний
Закон гармонических
колебаний
Математическое выражение, закон
a   0 x или
x(t )   0 x
2
x  x м cos( 0t   )
Связь амплитуды
3.
скорости и
M  0 xM
циклической частоты
4.
5.
Связь циклической
частоты и частоты
Связь периода и
частоты
  2
T
Зависимость периода
6.
от циклической
частоты
7.
T
1

2

Формулы
sin( x)  x,
приближенных
1
 1  x,
1 x
x
1 x 1 ,
2
при x  1
вычислений
16
3). Примеры решения задач.
Решения олимпиадных задач на механические колебания, как правило,
сводятся к нахождению частоты или периода. Для этого необходимо
получить уравнение колебаний вида a   0 x или x(t )   0 x , т.е.
ускорение есть вторая производная от координаты тела.
Рассмотрим классический пример: грузик на пружинке. Считаем, что силы
тяжести нет. Пружина не деформирована. Fу – сила упругости. Пружина
сжата.
По II закону Ньютона

ma  F у .
 Fу  0
По закону Гука max  kx .
2
k
k
x  02 
m
m
2
m
T
 2
0
k
ax  
х
0

х
1
2
k
m
х
0
Пример 2. Грузик висит на пружинке. Грузик находится в равновесии,
 

т.е. ma  Fу 0  mg  0 . Fу0 – начальное
значение
силы
упругости.
х
l0 – начальная деформация пружины.
Выведем
тело
из
положения
равновесия:




ma  Fу  mg , учтем, что mg  Fу 0

 
ma  Fу  Fу 0 спроектируем на ось X

Fу
max  k ( x  l0 )  (kl0 )
max  kx
0

mg
 ax  
k
x
m
Это же получилось в первом
примере.
Попробуйте
сами
убедиться, что в следующем задании
ответ будет такой же.
17
Задача для самостоятельного решения:
Дано:

m
m
трения нет
T-?
g

Пример 3. Колебания поплавка: цилиндрический поплавок длиной l и
плотностью  совершает свободные колебания на
поверхности жидкости, не погружаясь полностью.
S
Найти частоту, если плотность жидкости  0 , а
0
сопротивлением можно пренебречь. Рассмотрим
l
вначале поплавок в положении равновесия.
l0
0
Запишем
II
закон
Ньютона:


FA0  mg  0
FA0  сила Архимеда в равновесии.
.
Выведем поплавок из равновесия, сместив на x,
например, вниз, тогда:


ma  FA  mg
0
x
l
FA0  gl0 S
FA   0 gS (l0  x)
Минус перед x связан с направлением оси X.
0
Спроектируем на ось X:
0  gl0 S  mg
max  gS (l0  x)  mg
Отсюда: max   gSx , m  Sl a x  
S
1
2
3
0 g
0 g
x  02 
l
l
Для самостоятельного решения предлагается
следующая задача: цилиндрическое тело длиной
l и площадью основания S плавает в трех
несмешивающихся
жидкостях
с
разной
плотность, причем 1   2   3 . Высота среднего
слоя h. Плотность цилиндра  0 . Определить
частоту
малых
вертикальных
колебаний
цилиндра. При колебаниях учитывать, что тело
погружено во все три жидкости. Трения нет.
Ответ: 0 
(  3  1 ) g

,  0
 0l
2
18
Другой тип задач связан с математическим маятником.
 
В равновесии имеем mg  N  0 .
Выведем маятник из положения равновесия:

x
l
l


  , ma  mg  N .
Проекция на ось X
дает: max  mg sin  .
l

N
x


mg

N
ax  
x
0
g
g
x   02 
l
l

mg
Внимание! В задачах подобного типа используются формулы приближенных
вычислений. В данном случае используется приближение: sin    , если угол
мал (  0,1 рад) .
Пример 4. К муфте массой m, надетой на гладкую горизонтальную
неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая
через блок, находящийся на расстоянии l от спицы. На
другом конце нити привязан груз массы M. При малом
смещении муфты из положения равновесия она
L
совершает колебательное движение. При колебаниях
муфты изменением натяжения нити из-за колебаний
груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний
M
муфты и частоту вертикальных колебаний груза.
Выведем систему из положения
равновесия.


m
Из III закона Ньютона N  mg .
II закон Ньютона для груза запишется так:
 
 
ma  N  mg  Fу , где Fу - сила упругости стержня.
Проекция на ось X дает: max   N sin   Mg sin  .
При
малых
углах

N
sin   tg , из рисунка видно tg 


Mg
max  
Mgx
Mg
Mg
1
, ax  
x, 0 
, 
l
ml
ml
2
Mg
.
ml
Из рисунка при анализе следует, что частота груза M
будет в 2 раза больше частоты груза m.
m
x
x
.
l
0
X
19
Задания для самоконтроля.
Задача 1. Колесо, масса которого m однородно
распределена по ободу, может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оси. К ободу колеса
прикрепили груз малого размера массы m. Найти
период малых колебаний колеса с грузом вокруг
оси, если радиус колеса R.
Ответ: 0 
g
2R
, T  2
2R
g
m
Задача 2. Струна, на концах которой закреплены грузы массой M=0,4 кг
каждый,
перекинута
через
два
m
неподвижных блока, расположенных на
расстоянии L=1 м. К середине струны
прикреплен точечный грузик массой
m=9,8 кг.
M
M
Определить период малых поперечных
(вертикальных) колебаний грузика. Массу
струны и ее начальное натяжение,
вызванное грузиком не учитывать.
Ответ:   2
Mg
, T  0,16c.
mL
Задача 3. К маятнику, представляющему собой грузик массы m на невесомом
стержне длины l, прикреплены две одинаковые легкие
резинки, жесткости k каждая. Одна резинка
присоединена к грузику, а вторая - к середине стержня.
k
l
В
положении
равновесия
обе
резинки
не
деформированы. Определить период малых колебаний
k
маятника (в плоскости чертежа).
m
Ответ:
1
1
g k 
g
k 2
T  (  ) 2 ( 
)
l m
l 4m
20