О ПРОДОЛЖИМОСТИ ОДНОГО ПРОЦЕССА ТРЕТЬЕГО

О ПРОДОЛЖИМОСТИ ОДНОГО ПРОЦЕССА ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА С ГЛАДКИМ ОПЕРАТОРОМ
Виладий Меерович Мадорский – кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры информатики и прикладной математики УО «Брестского
государственного университета имени А.С. Пушкина»
Итерационные процессы, локально сходящиеся с кубической скоростью,
обладают достоинством, что «разболтка» процесса наступает часто на один-два
порядка позже по норме невязке, чем при применении итерационных
процессов, локально сходящихся с квадратичной скоростью (как правило, если
методы второго порядка позволяют получить приближённое решение с
точностью до 10 12  10 13 по норме невязки, то методы третьего порядка часто
позволяют получать приближённое решение с точностью 10 12  10 15 по норме
невязки)
Рассматривается уравнение
f  x   0, f D  R n  R n .
(1)
Относительно нелинейного оператора f предполагается, что

f  C D2  и
 f x 1

 B0  0 .
Для решения уравнения (1) применяем итерационный процесс:
Шаг 1. Решается линейная система
f  xn y n   f  xn , n  0,1 ..
(2)
Шаг 2. Находим элемент y n
y n  xn  y n .
(3)
Шаг 3. Решается вторая линейная система
f  xn xn   f  xn   f  y n , n  0,1,2...
(4)
Шаг 4. Вносится поправка в вектор xn
xn1  xn  xn .
(5)
Шаг 5. Проводится проверка окончания процесса: если f xn1   
(или xn1  xn   ),  – малая величина, параметр останова, то конец
просчётов, иначе переход на шаг 1.
Символический процесс шаг 1-шаг 5 записывается в виде
1
1
xn1  xn   f  xn  f  xn   f xn   f  xn  f  xn  , n  0,1,2... .
(6)
1
Здесь  f  xn  – оператор, обратный оператору f  xn  – производной Фреше
оператора f на элементе xn . Локальная кубическая скорость процесса (2)-(5)
доказана в работе [1].
Так как f  C D2  , то имеют место соотношения
f x1   f x2   L x1  x2 , x1 , x2  D ,
(7)



f x1   f x0   f x0 x1  x0   0.5K x1  x0 , x, x0  D .
2
(8)
Далее, полагаем M  max L, K .
Относительно процесса (2)-(5) заметим, что при применении LU –
разложения объём вычислительной работы при решении СЛАУ (2) и (4) лишь
незначительно больше, чем при решении одной линейной системы, поскольку
матрицы этих систем одинаковые.
Найдём условия, при которых при переходе от точки x0 , в которой
 f x0  существует, к точке x1 будет существовать ограниченный обратный
1
оператор  f  x1  . В силу (7) имеем
E   f x0  f x1    f x0 
1
  f x0 
1
 f x0   f x1  
f x1   f x0   B0 M x1  x0  B0 M x0 .
1
(9)
Далее, с учётом (6), (8) справедлива оценка
2
x1  x0  B0 f x0   0,5MB02 f x0  


 B0 f x0  1  h0 ; h0  0.5MB02 f x0  .
Подставляя (10) в правую часть (9), имеем
B0 M x1  x0  B02 M f x0  1  h0   2h0 1  h0 .
Если в качестве l0 взять l0  2h0 1  h0  и потребовать, чтобы
(10)
E   f x0  f x1   l0  2h0 1  h0   1,
1
(11)
то из (11) в силу теоремы Банаха существует оператор, обратный оператору
 f x0 1 f x1  и справедлива оценка  f x1 1  B0 1  l0 1 .
Из (11) имеем, что h0 


3  1 / 2 . Найдём оценку для f  x1  .
f  x1   f  x0    f  x0  f  x0   0.5M  f  x0 
1
1
 f x   f x    f x 

 0.5MB02 f x0   0.5MB02 f x0  1  0.5MB02 f x0 
2

2

1
0

2
0

 h0 f x0  1  1  h0  .
Поскольку l1  2h1 1  h1  , выясним, при каких
следовательно, l1  l0 . Из (12) и оценки B1 имеем
2
2

0


f  x0 
2
(12)
условиях

h1  h0
и,

 B 
2
2
h1 
f  x1   0.5M  0  h0 f  x0  1  1  h0   h02 2  2h0  h02 / 1  l0  .
 1  l0 
2
Требование h1  h0 приводит к соотношению h0 2  2h0  h02  1  2h0 1  h0  ,
которое справедливо при h0  0,1633 .
Таким образом, если начальное приближение x0 таково, что существует
0.5MB12


1
оператор  f  x0  и h0  0,1633 , то процесс шаг 1-шаг 5 продолжаем.
Найдём условия, при которых решение уравнения (1) в области D существует
x1  x0  B0 f x0  1  h0 ; x2  x1  B1 f x1  1  h1  




B0
h0 f x0  2  2h0  h02 1  h0   B0 f x0  1  h0 q0 ;
1  l0


здесь q0  h0 2  2h0  h02 / 1  l0 
x3  x2  B2 f x2  1  h2   B0 f x0  1  h0 q02 .
Индуктивно получим оценку:
(13)
xn1  xn  B0 f x0  1  h0 q0n .
Из (13) следует оценка для радиуса области существования решения r для
сходящегося процесса шаг 1-шаг 5:



r   xi  B0 f x0  1  h0  1  q0  q02  ...  B0 f  x0  1  h0  / 1  q0 . (14)
i 0
Наряду с оценкой (14) может быть получена оценка (15)


i 0
i 1


r   xi  x0   xi  B0 f  x0  1  h0   B1 f  x1  1  h0  1  q1  q12  ... 
 B0 f x0  1  h0   B1 f x1  1  h0 / 1  q0 .
(15)
Найдём условия, при выполнении которых в области D  S  x0 , r  не более
одного решения. Положим, что в S  x0 , r  существует два решения x  и x  .
Тогда справедлива оценка
1
x   x   x   x    f x0  f x   f x  

 B0 f x0  x   x 
    
   f x   f x   B Mr x


0

 x  .
(16)
B0 Mr  q  1
(16)
потребовать,
чтобы
или
q0.5B0 f x0 
r  q / B0 M  
, q  0,1 , то в сфере  x0 , r  будет не более одного
h0
решения. В условиях сходящегося процесса (2)-(5) рассмотрим неравенство
B0 f x0  1  h0 
0.5qB0 f x0 
q
,
(17)


1  q0
B0 M
h0
которое равносильно утверждению r  r .
Из (17) следует оценка для h0 :
1
(18)
h0    0,25  0,1841q  F q   0,159 .
2
Так, что при h0  0,159 решение в сфере S  x0 , r  существует и
единственно. Если в качестве r взять правую часть соотношения (15) и
потребовать выполнения условия
B f x1  1  h0  0.5qB0 f x0 
,
(19)
B0 f x0  1  h0   1

1  q0
h0
то неравенство (19) также равносильно условию r  r .
Из (19) имеем соотношение, связывающее нормы B0 f x0  и B1 f x1  (нормы
на соседних шагах).
Если
в


B1 f  x1 
0,5q  h0  h02
1  q0  ;

B0 f  x0 
h0 1  h0 

(20)

B1 f  x1 
0,5q  h0  h02
1  q0     1.

И пусть
B0 f  x0 
h0 1  h0 
Рассмотрим соотношения:
2
B1 f  x1 
0,5q  F q   F q 
1  q0 F q 

B0 f  x0 
F q 1  F q 


(21)


(22)
2
B1 f  x1 
0,5q  F q   F q 
1  q0 F q     1

B0 f  x0 
F q 1  F q 


q0 F q   F q  2  2 F q   F q  / 1  2 F q 1  F q  .
Соотношение (21) эквивалентно неравенству
B0 f x0  1  F q   B1 f x1  1  F q   B1 f x1  1  F q q0 F q   ... 
2
 0,5B0 f x0  q / F q .
(23)
Левая часть (23) эквивалентно вычислению радиуса области
существования решения уравнения (1) с условным коэффициентом сжатия
(УКС) q0 F q   0,159 , правая часть этого неравенства – эквивалентное
вычисление радиуса области единственности с тем же УКС.
Предположением о том, что при выполнении (21) h0  F q  приводит к
тому, что при подстановке в (23) вместо F q  величины h0  F q  левая часть
этого неравенства увеличивается, а правая уменьшается, что невозможно в силу
(22). Таким образом, при выполнении (21), (22) на некотором шаге немедленно
выполняется условие h0  F q   0,159 , что эквивалентно выполнению
достаточного условия существования и единственности решения в сфере
0,5qB0 f  x0 
S  x0 , r , r 
. Таким образом, справедлива
F q 
Теорема. Пусть выполняются перечисленные выше условия на оператор f .
Если на некотором шаге сходящегося процесса (2)-(5) выполняются условия
(21), (22), тогда в сфере S  x0 , r  решение x  существует и единственно.
Вопрос о достижении условий, при которых мы попадаем в область
притяжения процесса (2)-(5) подробно исследован в работе [2].
Замечание. Идея доказательства для негладких операторов и процессов
второго порядка реализована в работе [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений
со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт // Мир. – 1975.– 558 с.
2. Мадорский, В. М. Квазиньютоновские процессы для решения нелинейных
уравнений / В. М. Мадорский // Брест. – 2005.– 186 с.