1 - Nirvana.FM

Вычисление площадей с помощью
определенного интеграла
Вычисление площади криволинейной трапеции,
ограниченной линией, заданной параметрически:
x   (t ) , y   (t ) ,   t   (рис.1)
Если  (a )  a,  (b)  b, то, переходя в интеграле формулы
b
S   y( x)dx к переменной
t , получим
y
a
b
S   (t )   (t )dt.
a
Функции  (t ) и  (t ) предполагаются
непрерывными на  ,  .
0
a
b
Рис.1
x
Вычисление длин дуг плоских кривых

Что понимается под длиной дуги AB (рис.2)
Ai
Ai+1
A1
An-1
A
B
Рис. 2

Впишем в AB ломанную A0 A1 A2 ... An линию (через A0 обозначена
точка A, через An - точка B). Обозначим через  длину наибольшего звена
ломанной и рассмотрим множество всевозможный ломанных, вписанных

в AB .
Определение. Если при   0 существует конечный предел L

периметров всевозможных ломанных, вписанных в AB , то этот предел
называется длиной дуги , а сама дуга при этом называется спрямляемой.
Таким образом,
def
L  lim
 0
n 1
AA
i 0
i
i 1
.
Вычислительные формулы для длины дуги
при различных способах задания кривой
1. Кривая задана уравнением y  f (x), a  x  b . Функция f (x) непрерывна
и имеет непрерывную производную f (x) на a, b :
b
L   1  f  2 ( x)dx .
(1)
a
2. Кривая задана параметрически x=x(t), y=y(t),   t   . Функции
x(t) и y(t) непрерывны и имеют непрерывные производные на  ,  ,
причем x (t )  0 .

L   ( x(t )) 2  ( y (t )) 2 dt .
(2)

3. Кривая задана в полярных координатах уравнением r  r ( ) ,
     . Функция r ( ) непрерывна и имеет непрерывную
производную r ( ) на  ,  :

L   r ( )) 2  (r ( )) 2 d .
(3)

Дадим краткие пояснения к выводу формул (1) - (3).
n 1
b
1  f  2 (ci )xi
1. L   1  f  ( x)dx  lim

 0
2
i 0
a
К пределу аналогичной суммы придем, если воспользуемся
определением длины дуги и формулой конечных приращений Лагранжа
(рис.3).
y
Ai+1
Ai
xi
0
xi
yi
xi+1
Рис. 3
x
def
L  lim
 0
n 1
AA
i 0
i
i 1
.
Ai Ai 1  (xi ) 2  (yi ) 2 ,
где yi  f ( i )xi  i - некоторая точка промежутка xi , xi 1  .
2. Формулу (2) получим, если в интеграле формулы (1) перейдем к
переменной t при условии, что x( )  a , x(  )  b . При этом воспользуемся
формулой
f ( x) 
dy y (t )

,
dx x (t )
x (t )  0 .
3. Чтобы получить формулу (3), следует воспользоваться формулами
x  r cos  , y  r sin  перехода от полярных координат к декартовым и
задать кривую в виде:
x  r cos  ,
y  r sin  ,
    .
Полученные соотношения можно рассматривать как параметрические с
параметром  уравнения кривой. Останется убедиться, что
( x( )) 2  r 2 ( )  r  2 ( ) , и воспользоваться формулой (2).
Вычисление работы с помощью
определенного интеграла
Пусть под действием некоторой силы F материальная точка M
движется по прямой Os, причем направление силы совпадает с
направлением движения. Требуется найти работу, произведенную силой F
при перемещении точки M из положения s = a в положение s = b.
1) Если сила F постоянна, то работа A выражается произведением силы
F на длину пути, т.е.
A = F(b-a).
2) Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимости от
положения материальной точки, т.е. представляет собой функцию F(s),
непрерывную на отрезке a  s  b.
Разобьем отрезок a, b на n произвольных частей с длинами
s1 , s 2 ,..., s n ,
затем в каждом частичной отрезке si 1 , si  выберем произвольную точку
 i и заменим работу силы F(s) на пути si произведением
F ( i )si .
Это значит, что в пределах каждого частичного отрезка мы принимаем силу
F за постоянную, а именно полагаем F = F ( i ) . В таком случае выражение
F ( i )si при достаточно малом si дает нам приближенное значение
работы силы F на пути si , а сумма
n
An   F ( i )si
i 1
будет приближенным выражением работы силы F на всем отрезке a, b .
Очевидно, An представляет собой интегральную сумму, составленную
для функции F = F(s) на отрезкке a, b . Предел этой суммы при
max( si )  0 существует и выражает работу силы F(s) на пути от точки
s = a до точки s = b:
b
A   F ( s)ds .
a
Объем тела вращения
Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной
трапеции aABb, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a,
x = b.
В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной
к оси абсцисс, есть круг, площадь которого
2
Q  y 2    f (x) .
Применяя общую формулу для вычисления объема
b
   Q( x)dx ,
a
получим формулу для вычисления объема тела вращения:
b
b
    y dx     f ( x)2 dx .
2
a
a
y
x
y
a xa
(e  e  x a )
2
Рис. 4
Пример. Найти объем тела, образуемого вращением цепной линии
y
a xa
(e  e  x a )
2
Вокруг оси Ox на участке от x = a до x = b (рис. 4)
Решение.
b
a2
a 2
a 2  a 2 x a
a 2 x a 
2x a
2 x a
    (e x a  e  x a ) 2 dx 
(
e

2

e
)
dx

e

2
x

e
 
4 0
4 0
4  2
2
0
b

a 3
8
(e
2b a
b
e
2b a
)
a 2 b
2
.