Ключевая идея решения всех задач:

2014-15 учебный год
Список всех задач старшей группы (9-11 классы, понедельник-вторник)
1. Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два
взвешивания на двухчашечных весах найдите фальшивую монету.
2. Есть 30 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). Можно ли за три
взвешивания на двухчашечных весах гарантированно найти фальшивую монету?
(кодирование, принцип Дирихле)
3. Есть 250 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За какое
наименьшее количество взвешиваний на двухчашечных весах можно
гарантированно найти фальшивую монету? (кодирование, принцип Дирихле)
4. Было 8 гирь массами 1 г, 2 г, . . . , 8 г без надписей. Одну из гирь потеряли.
Известно, что чем больший вес имела гиря, тем больше был ее размер. Как за два
взвешивания на чашечных весах выяснить, какая именно гиря потеряна?
(кодирование тремя итогами)
5. По кругу лежит 17 одинаковых на вид монет, из которых две лежащие рядом –
фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, и обе фальшивые монеты
весят одинаково и при этом легче настоящих на 1 грамм. Имеются нежные весы: это
чашечные весы, которые ломаются, если разность весов на чашах больше 1 грамма;
при этом, однако, весы показывают, какая чаша перевесила. Как за два взвешивания
на нежных весах без гирь найти обе фальшивые монеты? (кодирование пятью
итогами, 17=3∙5+2)
6. М – середина стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD. Оказалось, что углы
BAD, BMC и CDA равны 60. Докажите, что AB+CD = AM+BC. (метод «идеального»
построения, вневписанная окружность)
7. Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99г, а
все остальные – по 100г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все
99-граммовые детали. (кодирование четырьмя итогами, 16=4²)
8. Сколькими способами король может пройти с клетки a5 на восьмую горизонталь
шахматной доски за 7 ходов? (подсчёт для каждой клетки)
9. У сержанта в отделении 12 солдат разного роста. Он выстраивает их на плацу в две
шеренги по 6 солдат так, что в каждой шеренге солдаты убывают по росту слева
направо, а в передней шеренге каждый солдат ниже стоящего строго за ним солдата
второй шеренги. Сколькими способами сержант может построить своё отделение с
соблюдением требуемых условий? (подсчёт для каждого состояния)
10.Записывается ряд натуральных чисел по возрастанию по следующему правилу:
каждое число есть сумма нескольких (возможно, одной) различных степеней тройки
(1, 3, 9, 27, …). Найдите сотое число. (троичное+двоичное кодирование)
11.В классе 27 учеников. Каждый урок физкультуры учитель делит класс на две
команды, играющие друг против друга. За какое наименьшее количество уроков
учитель может добиться того, чтобы каждый сыграл против каждого? (двоичное
кодирование)
12.Сколько существует 10-значных чисел из 1 и 2, в которых нет двух подряд стоящих
двоек? (рекуррентные соотношения, числа Фибоначчи, кодирование, сочетания,
треугольник Паскаля)
13.В треугольнике ABC с острым углом при вершине А проведены биссектриса АЕ и
высота ВН. Известно, что AEB = 45°. Найдите угол ЕНС. (Областная олимпиада
11 кл, 1994-95 г.г., №51 из книги Агаханова и К «Областные олимпиады»., реш. на
стр.80) (метод «идеального» построения)
14.В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняются равенства ADB = 2BCA и
BDC = 2BAC. Докажите, что AD = CD. (метод «идеального» построения, метод
«параллельных палочек»)
15.Сколько существует 10-значных чисел из 1 и 2, в которых каждая цифра не может
встречаться три раза подряд? (рекуррентные соотношения, числа Фибоначчи,
кодирование, сочетания, треугольник Паскаля)
16.В районе 14 школ. На район выделили 90 комплектов мультимедийных досок с
проектором. Докажите, что как бы мы их ни распределяли между школами,
найдутся две школы, получившие одинаковое число комплектов (может быть, ни
одного). (упорядочивание, принцип Дирихле - переполнение)
17.Докажите, что из 53 различных натуральных чисел, не превосходящих в сумме
2014, всегда можно выбрать 2 числа, составляющие в сумме 53. (разбиение на пары,
упорядочивание, принцип Дирихле - переполнение)
18.Существует ли такая натуральная степень числа 3, которая оканчивается на 0001?
(остатки, принцип Дирихле и ряды чисел одного вида, лемма о «хороводах»)
19.Докажите, что найдётся число вида 20132013…201300…0, которое делится на 2014.
(остатки, принцип Дирихле и ряды чисел одного вида)
20.Докажите, что существует натуральное число, оканчивающееся на 2014 и делящееся
на 2013. (остатки, принцип Дирихле и ряды чисел одного вида)
21.На каждой чаше весов лежат по 144 одинаковые с виду монеты. Среди них
встречаются монеты весом в 9 грамм и монеты весом в 10 грамм, причём и те, и
другие присутствуют. За одну операцию можно взять любые две группы, состоящие
из одинакового количества монет, и поменять их местами. Докажите, что можно не
более, чем за 11 операций сделать так, чтобы весы не были в равновесии
(изначально весы в равновесии). (числа Фибоначчи, 144=F12)
22.Докажите, что среди натуральных чисел, записываемых только двойками, есть
число, делящееся на 2014. (остатки, принцип Дирихле и ряды чисел одного вида)
23.Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. Из
вершины A проведена высота AD. В треугольнике ABD проведена биссектриса BE.
Докажите, что AB+AE = BC. (метод «параллельных палочек»)
24. В треугольнике ABC B=60°. На сторонах AB и BC нашлись такие точки P и Q
соответственно, что AP=CQ и AP+PQ=AC. Докажите, что треугольник ABC –
равносторонний. (метод «параллельных палочек»)
25.Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматную доску (88)
так, чтобы каждый король бил ровно одного короля? (метод узелков)
26.Какое наименьшее число королей можно расставить на белых клетках шашечной
стоклеточной доски (1010) таким образом, чтобы они побили все свободные
клетки? (метод отмеченных множеств)
27.Какое наибольшее количество не бьющих друг друга королей можно поставить на
шахматную доску (88)? (метод разбиения на части, метод «якорей»)
28.На поле 1010 по очереди случайным образом выставляются все корабли полного
комплекта (1 линкор 14, 2 трёхпалубных корабля 13, 3 двухпалубных корабля 12
и 4 однопалубных корабля 11), начиная с больших, по уменьшению размера. Верно
ли, что весь комплект обязательно удастся выставить? (метод отмеченных
множеств)
29. На поле 1010 по очереди случайным образом выставляются все корабли полного
комплекта (4 однопалубных корабля 11, 3 двухпалубных корабля 12, 2
трёхпалубных корабля 13 и 1 линкор 14), начиная с малых, по увеличению
размера. Верно ли, что весь комплект обязательно удастся выставить? (контрпример)
30.В чемпионате России по футболу играют 16 команд. В первом туре все команды
сыграли по одной игре. Во втором туре также все команды сыграли по игре.
Докажите, что можно указать такие 8 команд, что никакие две из них не играли друг
с другом. (лемма о «хороводах»)
31.В космическом пространстве летает 2015 астероидов, на каждом из которых сидит
астроном, причем все расстояния между астероидами различны. Каждый астроном
наблюдает за ближайшим астероидом. Докажите, что за одним из астероидов никто
не наблюдает. (лемма о «хороводах», принцип крайнего)
32.Некоторая комбинация поворотов граней вывела кубик Рубика из собранного
положения. Докажите, что кубик можно снова собрать, повторив эту же
комбинацию еще несколько раз. (лемма о «хороводах»)
33.N кругов расположены так, что центр каждого из них лежит внутри ровно одного из
остальных, и внутри каждого лежит центр ровно одного из остальных. Найдите все
числа N, при которых такое возможно. (лемма о «хороводах», принцип крайнего)