1-5 +еще понемногу всякого
advertisement
Основные понятия математического моделирования Нас окружают сложные технические системы. В процессе проектирования новой или модернизации существующей технической системы решаются задачи расчета параметров и исследования процессов в этой системе. При проведении многовариантных расчетов реальную систему заменяют моделью. В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта. Математическая модель технического объекта - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера). Модель может быть представлена различными способами. Формы представления модели инвариантная - запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели; аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели; алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. схемная (графическая) - представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.); физическая аналоговая Наиболее универсальным является математическое описание процессов математическое моделирование. В понятие математического моделирования включают и процесс решения задачи на ЭВМ. Обобщенная математическая модель Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Элементами обобщенной математической модели являются (рис. 1): множество входных данных (переменные) X,Y; X - совокупность варьируемых переменных; Y - независимые переменные (константы); математический оператор L, определяющий операции над этими данными; под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные); множество выходных данных (переменных) G(X,Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию. Рис. 1. Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования. Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров. Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry. Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект. Это могут быть: - технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования; - физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования; - тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования. Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели образуют метрическое пространство критериальных показателей RG. Схема использования математической модели в системе автоматизированного проектирования показана на рис.2. Рис. 2. Требования к математической модели Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности. Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться. Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров. Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти. Противоречивость требований к модели обладать широкой областью адекватности, высокой степени универсальности и высокой экономичности обусловливает использование ряда моделей для объектов одного и того же типа. Методы получения моделей Получение моделей в общем случае - процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В тоже время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие, алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов проектируемой системы обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных экспериментальных исследований. Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные. Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели. Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов. Несмотря на эвристический характер многих операций моделирование имеет ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют методика макро моделирования, математические методы планирования экспериментов, алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности. Использование математических моделей Вычислительная мощность современных компьютеров в сочетании с предоставлением пользователю всех ресурсов системы, возможностью диалогового режима при решении задачи и анализе результатов позволяют свести к минимуму время решения задачи. При составлении математической модели от исследователя требуется: изучить свойства исследуемого объекта; умение отделить главные свойства объекта от второстепенных; оценить принятые допущения. Модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом. Алгоритм решения задачи на ЭВМ связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы. Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента — достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов. Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др. 1. Оценка точности и достоверности результатов моделирования. Обработка результатов имитационных экспериментов принципиально не может дать точных значений (т.к. моделируются случайные процессы, и мы можем их только как-то оценить). Существует некая степень точности результатов - приближение к какому-то истинному значению. И эта степень точности в значительной мере определяется размером выборки (количеством реализаций). Задача определения такого размера выборки, который позволяет обеспечить желаемый уровень точности и в то же время минимальную стоимость моделирования, весьма трудна, но и весьма важна. Число испытаний N определяет точность получаемых результатов моделирования. Если необходимо оценить величину случайного параметра Х по результатам моделирования x1, x2, … xn, то за оценку следует брать величину хср. Но из-за случайности хср будет отличаться от истинного значения параметра Х а если мы зададимся какой-то точностью оценки (назовем ее - ), то должно выполняться неравенство: |Х-хср|< - точность оценки величины случайного параметра Х; (половина ширины доверительного интервала) хср - среднее значение результатов моделирования x1, x2, … xn. Вероятность того, что данное неравенство выполняется, называют уровнем значимости или доверительной вероятностью: P(|Х-xср|<)= - уровень значимости, доверительная вероятность, (1-) - достоверность. Это выражение и берется за основу при определении точности результатов статистических испытаний, т.е. результатов имитационных экспериментов. α и ε - задаем сами. Определение количества реализаций для оценки вероятности наступления события. Отклики моделей обычно одно из двух состояний, например успех - неудача. Такие отклики называют переменными Бернулли. Они характеризуются биномиальным распределением. Пусть целью моделирования будет определение вероятности наступления некоторого события А, определяющего какое-то состояние моделируемой системы. В любой из реализаций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значение x1=1 с вероятностью р (т.е. событие наступило) и x2=0 с вероятностью 1-р. На основе центральной предельной теоремы, можно найти количество реализаций для оценки вероятности наступления события с заданным уровнем значимости и точностью. Центральная предельная теорема: распределение суммы независимых наблюдений n различных СВ стремится к нормальному, при n, независимо от характера распределения СВ. ta - квантиль нормального распределения вероятностей. Находится из специальных таблиц распределения Стьюдента (t-распределение) на основе заданного уровня значимости и определенных степеней свободы. Число степеней свободы: ν = k - 1 - m, (k - число значений или интервалов СВ; т - число определяемых параметров). Для определения вероятности р делают пробные испытания (N=50…100) и получают частоту m/N, после чего определяют конечное количество испытаний. р=m/N Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины. Случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию 2. На основе центральной предельной теоремы количество реализаций N для оценки среднего значения случайной величины будет Величину σ нужно либо знать, либо для ее определения нужно провести пробный эксперимент и найти ее оценку. Если мы имеем представление о пределах, в которых может изменяться отклик системы, то грубую оценку величины σ можно получить из условия, что размах переменной отклика равен примерно 4σ: Если известен разумный размах переменной отклика - d, то σ=d/4. Для определения оценки 2 проводят 50…100 испытаний и определяют по формуле: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Основная задача планирования имитационного эксперимента (ИЭ) заключается в контроле достоверности (точности) результатов моделирования. Поскольку имитируемые процессы содержат обычно случайные факторы, то необходимо обоснование того, что результаты моделирования - а это оценки средних значений, вероятностей и других вероятностных характеристик (в.х.) - достаточно близки к истинным, теоретическим значениям этих в.х. В практике имитационного моделирования систем сложились два основных способа осуществления имитационного эксперимента (ИЭ), называемые соответственно параллельным экспериментом и последовательным экспериментом [13]. Параллельный ИЭ - это «классический» эксперимент, в котором процесс воспроизводится многократно, и каждая реализация процесса (реплика) является статистически независимой от других реплик. Параллельный эксперимент осуществляется путем многократного прогона имитационной модели при одних и тех же начальных условиях. Наблюдаемая случайная величина (с.в.) в силу действия случайных факторов в каждом прогоне изменяется по-разному. Ее зависимость от времени на протяжении одного прогона и представляет собой одну реплику. При этом мы можем запомнить все значения интересующей нас с.в., которые она имеет в разных репликах в один и тот же фиксированный момент времени t, и рассматривать этот набор значений как независимую выборку. Действительно, все эти значения статистически независимы, т.к. независимы реплики. Следовательно, для этих значений можно находить оценку среднего, оценку дисперсии, доверительные интервалы оценок (например, по правилу «трех сигм» [8]), и т.д., основываясь на классических методах анализа независимых выборок. Последовательный ИЭ применяется в случае моделирования эргодических процессов и основан на том, что среднее значение эргодического процесса, найденное «по времени», равно среднему, найденному «по множеству». Это значит, что если достаточно долго моделировать зависимость случайной величины от времени и определять ее среднее по времени (как интеграл по времени, деленный на время моделирования), то это среднее совпадет со средним, найденным по множеству реплик в параллельном эксперименте. Пояснения к выбору типа ИЭ Чтобы правильно ориентироваться в выборе типа эксперимента (параллельный или последовательный?), надо ясно понимать две вещи. Во-первых, важно уяснить, что такое эргодический процесс. Во-вторых, - и это связано с понятием эргодического процесса, следует знать, что последовательный ИЭ позволяет рассчитать оценки в.х. только для стационарной фазы процесса. Поэтому последовательный ИЭ, в отличие от «классического» параллельного, не обладает универсальными возможностями - он позволяет найти только небольшую часть в.х. системы. Эргодическим называется такой случайный процесс, для которого стационарное среднее, найденное по времени (при Tà ¥) по любой реплике, совпадает со стационарным средним, найденным по множеству реплик. Чтобы распознать отсутствие эргодичности у того или иного процесса, часто бывает достаточно обратить внимание на то, имеется ли в начальных фазах этого процесса фактор, который существенно влияет на всю его последующую историю. Например, на рис.18 изображена замкнутая сеть массового обслуживания, в которой две заявки в начальный момент времени находятся в СМО 1. Ясно, что в.х. стационарного процесса, найденные по одной реплике, будут зависеть от того, как переместятся эти заявки с выхода первой СМО, - т.е. попадут ли они обе во вторую СМО, обе в третью, или разделятся между ними. Рис. 18 Таким образом, изображенная система не эргодическая, и ее в.х. следует определять с помощью параллельного ИЭ. Вообще говоря, сам случайный процесс никогда не бывает стационарным. Скажем, длина очереди (фактическая, а не средняя) в экспоненциальной СМО всегда изменяется, и ее изменения случайны. Поэтому она не может быть стационарной. Стационарными могут быть только те или иные в.х. случайного процесса. Так, средняя длина очереди в первый момент времени, когда еще ни одна заявка не поступила в СМО, равна нулю. Затем она постепенно увеличивается и приближается к стационарному значению, соответствующему времени t = ∞. Средняя длина очереди может иметь стационарное значение. Когда мы говорим о существовании стационарного режима функционирования системы, то выражаемся не вполне корректно. Существование стационарного режима должно было бы означать, что при t → ∞ все в.х. системы сходятся к некоторым постоянным значениям, не зависящим от времени. Однако на практике чаще всего бывает так, что одни в.х. сходятся к постоянным значениям, а другие - нет. При этом скорость сходимости у разных в.х. разная. Поэтому, если судить с практической точки зрения, то по одним в.х. длительность переходного процесса бывает одна, по другим - другая. По одним в.х. стационарный процесс существует, а по другим - нет. Например, для простейшей одноканальной экспоненциальной СМО классическое правило звучит так: если коэффициент загрузки r не превышает единицы, то стационарный режим существует, иначе - нет. Но в действительности при ρ>1 хотя и нет стационарного значения для средней длины очереди (она постоянно растет в среднем), однако есть стационарное значениевероятности застать канал занятым (оно равно единице), есть стационарное значение средней скорости прироста длины очереди (оно равно отношению интенсивности прихода заявок к интенсивности их обслуживания), и т.д. Обратим внимание также и на то, что при ρ<1, когда стационарный режим называют в теории «существующим», на самом делене имеется стационарного среднего значения у таких переменных, как общее число заявок, обслуженных в СМО, суммарное время ожидания заявками обслуживания и т.д. Очевидно, в любой системе всегда имеются переменные, которые с ростом времени стремятся к стационарным значениям, и имеются другие переменные, которые с ростом времени не сходятся к константам. Учет содержательного смысла задачи При планировании имитационного эксперимента обычно весьма существенное значение имеют не только свойства конкретной исследуемой системы, но и такие содержательные моменты, как цель исследования, мощность используемого компьютера, ограничения по срокам моделирования, требуемая точность оценок и т.д. Как правило, при этом ни один из важных факторов, влияющих на план эксперимента, не бывает известен достаточно хорошо до тех пор, пока какая-то часть экспериментов не будет выполнена. Это означает, что планирование экспериментов фактически осуществляется в ходе самих этих экспериментов, с учетом получаемой в них конкретной информации. Это можно ясно видеть из примеров моделирования, рассмотренных в данном пособии. По сути дела, все приведенные задачи решались по индивидуальному сценарию, целесообразному только для конкретной решаемой задачи. Эти сценарии «нащупывались» опытным путем, который в тексте пособия явным образом не отражен, т.к. содержит множество пробных действий, которые впоследствии отбрасывались как неудачные. Единственный случай корректировки хода эксперимента приводится в явном виде в примере моделирования конвейера. Здесь исходная система после оптимизации (вариант с сохранением производственного задела между сменами) превратилась из стационарной в не стационарную. Из-за этого продолжение экспериментов с нею по методу последовательного эксперимента стало ошибочным. Ясно, что в этой ситуации необходимо либо перейти к параллельному эксперименту, либо внести в систему еще одно изменение, которое сделало бы ее стационарной. Предпочтение было отдано второму решению, т.е. стационарному, так как в.х. не стационарной системы слишком нестабильны, чтобы можно было ориентироваться на них в практике. Достаточно простое и полное описание математических методов планирования имитационного эксперимента приводится в [13]. Здесь наряду с прочими описаны: методы ускорения последовательного эксперимента с помощью отбрасывания статистики, собранной на этапе переходного процесса; методы ускоренного сравнения систем за счет введения положительной корреляции в выборку; метод существенной выборки (метод взвешивания), который позволяет ускорить нахождение средних значений без потери точности, а также метод стратификации (метод расслоения выборки), с помощью которого достигается многократное сокращение затрат машинного времени на эксперимент. Последние два метода (метод существенной выборки и метод стратификации) изложены в [8]. 22. Для принятия оптимальных решений необходимо использовать научный метод. В науке управления научный метод подразумевает наличие определенной структуры процесса (Приложение 2) и использование различных методов и моделей принятия решений. принятия решений Модели принятия решений. Моделирование широко используется для принятия решений. Модель – это представление объекта, системы или процесса в форме отличной от оригинала, но сохраняющей основные его характеристики. Причинами, обуславливающими применение моделирования в экономике, являются: естественная сложность многих организационных ситуаций, невозможность проведения экспериментов в реальной жизни и ориентация руководства на будущее. В науке управления используются следующие модели: теория игр; модели теории очередей; модели управления запасами; модель линейного программирования; транспортные задачи; имитационное моделирование; сетевой анализ; экономический анализ. Теория игр. Данный метод служит для моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов. Изначально была разработана военными с тем, чтобы в стратегии учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конкурентов на изменение цен, модификацию и освоение новой продукции, предложения дополнительного обслуживания и т.д. Теория игр используется реже, чем другие модели, так как ситуации в реальном мире очень сложны и часто меняются. Но, тем не менее, теория игр полезна для определения наиболее важных и требующих учета факторов в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Благодаря применению данной теории организация может прогнозировать действия конкурентов, что является преимуществом и увеличивает конкурентоспособность. Модели теории очередей, или модели оптимального обслуживания используются для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. Применяется в различных ситуациях, где есть клиенты и пункты их обслуживания (резервирование билетов по телефону, обслуживание клиентов в банке, количество разгрузочных площадок на складах и т.д.). Используются для уравновешивания расходов на дополнительные каналы обслуживания и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального. Например, если клиент в банке слишком долго ждет своей очереди на обслуживание, у него может возникнуть желание поменять банк. Следовательно, необходимо увеличить численность персонала, обслуживающего клиентов. На сколько человек необходимо увеличить численность поможет модель теории очередей. 24. Принятие решений в условиях неопределённости Условиями неопределённости считается ситуация, когда результаты принимаемых решений неизвестны. Неопределенность подразделяется на стохастическую (имеется информация о распределении вероятности на множестве результатов), поведенческую (имеется информация о влиянии на результаты поведения участников), природную (имеется информация только о возможных результатах и отсутствует о связи между решениями и результатами) и априорную (нет информации и о возможных результатах). Задача обоснования решений в условиях неопределённости всех типов, кроме априорной, сводится к сужению исходного множества альтернатив на основе информации, которой располагает лицо, принимающее решение (ЛПР). Качество рекомендаций для принятия решений в условиях стохастической неопределенности повышается при учете таких характеристик личности ЛПР, как отношение к своим выигрышам и проигрышам, склонность к риску. Обоснование решений в условиях априорной неопределенности возможно построением алгоритмов адаптивного управления[1] [править]Выбор при неопределённости Эта область представляет ядро теории принятия решений. Термин «ожидаемая ценность» (теперь называется математическое ожидание) был известен с XVII века. Блез Паскаль использовал это в его известном пари, (см. ниже), который содержится в его работе «Мысли о религии и других предметах», изданной в 1670. Идея ожидаемой ценности заключается в том, что перед лицом множества действий, когда каждое из них может дать несколько возможных результатов с различными вероятностями, рациональная процедура должна идентифицировать все возможные результаты, определить их ценности (положительные или отрицательные, затраты или доходы) и вероятности, затем перемножить соответствующие ценности и вероятности и сложить, чтобы дать в итоге «ожидаемую ценность». Действие, которое будет выбрано, должно давать наибольшую ожидаемую ценность. В 1738, Даниил Бернулли опубликовал влиятельную статью, названную «Предложение новой теории измерения риска (Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk)», в котором он использует СанктПетербургский парадокс, чтобы показать, что теория ожидаемой ценности должна быть нормативно неправильной. Он также даёт пример, в котором голландский торговец пробует решить, застраховать ли груз, посылаемый из Амстердама в Санкт-Петербург зимой, когда известно, что есть 5%-ный шанс, что судно и груз будут потеряны. В его решении, он определяет функцию полезности и вычисляет ожидаемую полезность, а не ожидаемую финансовую ценность. В XX столетии, интерес был повторно подогрет работой Абрахама Вальда (1939), указывающей, что две центральных проблемы ортодоксальной статистической теории, а именно, проверка статистических гипотез и статистическая теория оценивания, могли обе быть расценены как специфические специальные случаи более общей теории принятия решений. Эта работа вводила большую часть «ментального пейзажа» современной теории принятия решений, включая функции потери, функции риска, допустимые решающие правила, априорные распределения, байесовские правила решения, и минимаксные решающие правила. Термин «теория принятия решений» непосредственно начал использоваться в 1950 году Э. Л. Леманном. Возникновение теории субъективной вероятности из работ Фрэнка Рамсея, Бруно де Финетти, Леонарда Сэвиджа и других, расширяет возможности теории ожидаемой полезности до ситуаций, где доступны только субъективные вероятности. В то же время раньше в экономике вообще предполагалось, что люди ведут себя как рациональные агенты и таким образом теория ожидаемой полезности также продвинула теорию реального человеческого поведенческого принятия решения при риске. Работа Мориса Алле иДаниэля Эллсберга показала, что это было не так очевидно. Теория перспектив Дэниэла Канемана и Амоса Тверски помещает поведенческую экономику на более прочную опору свидетельств. Эта теория указала, что в фактическом человеческом принятии решений (в противоположность нормативному) «потери чувствительнее выигрышей». Кроме того, люди более сосредоточены на «изменениях» полезности своих состояний, чем на полезности самих состояний, а оценка соответствующих субъективных вероятностей заметно смещена относительно присущей каждому «точки отсчёта». [править]Пари Паскаля — выбор при неопределённости Пари Паскаля — классический пример выбора при неопределённости. Неопределённость, согласно Паскалю, — существует или нет Бог. Личная вера или неверие в Бога — выбор, который должен быть сделан каждым. Однако, награда за веру в Бога, если Бог фактически существует, бесконечна. Поэтому, хотя вероятность существования Бога не так велика, а ожидаемые издержки при вере превышают издержки при неверии, то лучше все-таки верить в Бога. [править]Критика Пари Паскаля — выбор при неопределённости Ричард Докинз отмечает, что пари Паскаля основано на допущении, что богу лестна вера в него и он готов это вознаградить. Даже если допустить вознаграждение верующих, то нет гарантий, что приз будет иметь бесконечно большую ценность. Таким образом, условия пари не гарантируют, что верующий действительно находится в более выгодном положении, нежели неверующий[2]. От того, каково это допущение, может существенно изменяться вывод. Так, к примеру, можно допустить, что за выбор в пользу веры из-за корыстного ожидания вечной жизни, вместо награды полагается наказание, как и за прочие корыстные поступки. Тогда в ситуации, когда Бог существует, любой выбор заранее оказывается проигрышным, поскольку выбиравший будет непременно наказан либо за своё неверие, либо за корыстные ожидания. Если же Бога действительно нет, то в случае нашей веры мы получаем финансовые издержки, ограничительные правила и горечь разочарования, а в случае неверия — свободу, экономию и спокойствие. Иными словами, при таком допущении лучше не верить в Бога.
