1 Лекция №3 «Динамика материальной точки» План Первый

1
Лекция №3
«Динамика материальной точки»
План
1.
2.
3.
4.
5.
Первый закон Ньютона. Масса. Сила.
Второй и третий законы Ньютона. Импульс.
Закон сохранения импульса.
Центр масс. Движение центра масс.
Момент силы.
1.
Динамика – это раздел механики рассматривающий причины вызывающие те или иные перемещения. В основе динамики лежат законы Ньютона.
Первый закон Ньютона:
Существуют такие системы отсчета, относительно которых (●) или
тело сохраняет состояние покоя или равномерно прямолинейного движения,
пока внешние воздействия не выведут ее из этого состояния.
Способность тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией. И первый закон Ньютона
называется законом инерции (споткнуться, поскользнуться).
Закон инерции выполняется в инерциальных системах отсчета. С
большой достоверностью к инерциальным системам отсчета можно отнести
Землю и любое тело покоящиеся или движущиеся равномерно и прямолинейно относительно Земли.
Масса.
Различные тела под действием одинаковых сил, приобретают различные ускорения т.е. обладают различной инертностью.
Масса характеризует инертные свойства тел. Инертность – способность тела приобретать ускорение.
Масса m  [кг ] - основная единица СИ.
Масса величина аддитивная – это значит, что если тело состоит из
n
m1 , m2 , m3 , ...mn , то m   mi .
i 1
m

m0
1 
2
, .
с
Масса величина постоянная, если тело покоится. Если оно движется

со скоростью  соизмеримой со скоростью света c  3  10 8 м / с , то m 
m0
1  2
,
где m0 – масса покоящегося тела, β = υ/с.
Сила.
Сила – это физическая величина, характеризующая взаимодействия
тел, в результате которого происходит изменение скорости, тела приобретают ускорение или происходит деформация тел.
2
Сила F  [H ] - Ньютон.
F  ma
[1H 
кг  м
]
с2
1Н – это сила сообщающая телу массой 1кг ускорение 1
м
.
с2
2.
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона устанавливает зависимость между силой, массой и ускорением.
a
F рав
m
; F рав  ma - второй закон Ньютона.
(1)
Ускорение приобретенное телом прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных
к телу и обратно пропорционально массе.


Известно, что a 
d
подставим значение a во второй закон Ньютона:
dt
md d (m )

; P  m - импульс, то импульс равен произведению
dt
dt
кг  м
] . Направление импульса совпадает с направлемассы на скорость. P  [
с
dP
нием скорости F 
- второй закон Ньютона.
dt
F рав 
Третий закон Ньютона.
Еще раз подчеркиваем, что взаимодействия всегда происходят между
телами.
Силы с которыми взаимодействуют тела всегда равны по величине и
противоположны по направлению F1   F2 . Значит эти силы не когда не компенсируют друг друга, потому что приложены к разным телам (стоит человек, ходьба).
Выражая силу через второй закон Ньютона третий закон можно переписать m1a1  m2 a2 .
3.
Закон сохранения импульса.
Прежде чем выводить закон сохранения импульса ознакомимся с некоторыми понятиями:
Механическая система – совокупность материальных точек и тел рассматриваемых как единое целое.
Внутренние силы – силы взаимодействия между материальными точками системы.
Внешние силы – силы с которыми внешние тела действуют на материальные точки системы.
Замкнутая система – система которая не взаимодействует с внешними
силами (внутренние силы во много раз превосходят внешние силы).
3
Пусть дана замкнутая механическая система состоящая из n матери 

альных точек массами m1 , m2 , m3 , ...mn обладающих скоростями 1 ,  2 , .... n . F  равнодействующая внешних сил. F - равнодействующая внутренних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждой точки системы, через импульс
d m11 
 F1  F1
dt
d m2 2 
 F2  F2
dt
………………
d mn n 
 Fn  Fn Сложим почленно все уравнения и получим:
dt
d m 
 F1  F1  F2  F2  ...  Fn  Fn ;
dt
Система замкнутая, следовательно действие внешних сил равно нулю
F1  F2  ...  Fn  0 ; материальные точки внутри системы по третьему закону
Ньютона взаимодействуют между собой, с силами равными по величине и
противоположные по направлению т.е. геометрическая сумма всех внутренних сил F1  F2  ...  Fn  0 . И второй закон Ньютона для замкнутой системы
запишется
d m 
dP
 0;
 0 ; P  const ; m  const - закон сохранения импульса.
dt
dt
В изолированной замкнутой системе сумма импульсов есть величина
постоянная. Это фундаментальный закон Ньютонской механики.
4.
Пусть дана замкнутая система состоящая из n материальных точек масn
сами m1 , m2 , m3 , ...mn , то общая масса этой системы равна m   mi .
i 1
Центром масс системы называется воображаемая точка, положение которой, характеризует распределение масс этой системы.
У тел правильной геометрической формы, центр масс совпадает с геометрическим центром.
Положение центра масс любого тела определяется радиус вектором:
r
m1r1  m2 r2  ...  mn rn
.
m1  m2  ...  mn
Центр масс является важнейшей характеристикой для определения
движения тела. Особую роль он играет, в так называемых твердых телах, в
которых расстояние между точками тела не меняется за время движения тела.
Для определения скорости движения центра масс определим производную от радиус вектора центра масс по времени:
dr
dr
dr



 m1 1  m2 2  ...  mn n
dr
dt
dt
dt  m11  m2 2  ...  mn n .
ñ  c 
dt
m
m
4
Т. к. производная массы точки на ее скорость есть импульс данной точки, то скорость центра масс будет равна сумме импульсов всех материальных
точек представляющих данных тела отнесенной к массе тела.
 



P1  P2  ...  Pn P

 , где P - общий импульс.
m
m



Таким образом, общий импульс тела будет равен P  m.
Взяв
производную по времени:

dP 
F
dt


d c
m
 F  mac - закон движения центра масс.
dt
Центр масс система материальных точек движется как материальная
точка в которой сосредоточена вся масса тела или системы тел на которые
действуют внешние силы равнодействующие которых приложены к центру
масс.
5.
Рассмотрим тело вращающееся относительно оси О. Пусть сила F приложена к телу
в точке А, находящейся на расстоянии r от оси вращения, α –
 
угол между F и r . Под действием этой силы тело начнет вращается.
Вращательное действие силы характеризуется Моментом силы – М.
А
r
α
F
О
d
F

dP
Запишем второй закон Ньютона через импульс: F  .
dt
  dP
Умножим обе части равенства на (r), получим F  r   r.
dt
 
Правую часть равенства обозначим М – момент силы М  F  r в век-
 
 
торном виде.
Это момент силы F относительно точки О.
Численное значение или модуль [М] определяется:
М = F·r·sinα.
Из рисунка видно, что r·sinα = d, тогда М=Fd.
 
Момент силы равен произведению силы на плечо. M  F  d .
5
d – плечо – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы
М=[Н·м].
Момент
силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат век 
тора F и r . Направление момента силы определяется правилом правого винта.