вопросы к письменной экзаменационной работе по курсу

ВОПРОСЫ К ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЕ ПО КУРСУ
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
на медико–биологическом факультете в 2006-2007уч. г.
В работу включены следующие разделы:

системы линейных уравнений и их решение: матричная запись и матричное
решение системы; решение методом Крамера и методом Гаусса;

теория пределов: техника вычисления пределов функций;

дифференцирование функции одной переменной: техника дифференцирования и
применение производной к решению задач;

интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования функций;
применение интегрального исчисления к решению задач;

дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения частных
производных и применение частных производных к решению задач;

кратные интегралы: двойные интегралы: вычисление и решение задач с
использованием двойных интегралов; тройные интегралы: вычисление и
решение задач;

криволинейные интегралы: вычисление и решение задач
1
Внимание!
ИЗ КАЖДОГО РАЗДЕЛА ВЫ ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНИТЬ ПО ОДНОМУ ЗАДАНИЮ,
каждое задание оценивается в баллах
Решение каждого задания необходимо сопровождать подробными пояснениями.
Только в этом случае за выполнение задания ставится максимальное
количество баллов!
 ОЦЕНКА
1)«отлично» ставится, если Вы наберете от 91% до 100% максимального
количества баллов;
2) «хорошо»– от 81 до 90%;
3) «удовлетворительно» – от 60 до 80%;
4) «неудовлетворительно» – меньше 60%.
Замечание: ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ ПОЛНОСТЬЮ КАКОЙ-ЛИБО
РАЗДЕЛ,
ТО
ИЗ
ОБЩЕГО
КОЛИЧЕСТВА
ОТНИМАЕТСЯ 3 БАЛЛА!
Желаем Вам успеха!
2
НАБРАННЫХ
БАЛЛОВ
РАЗДЕЛ 1 «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)»
Теоретическая часть.
Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения: метод
Крамера, метод Гаусса и решение методом обратной матрицы.
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Найти решение системы линейных уравнений тремя способами: по формулам Крамера,
методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) и матричным
методом:
 x1  2 x 2  x3  1

2 x1  x 2  x3  1
 x  3x  x  2
2
3
 1
РАЗДЕЛ 2 «Элементы теории пределов»
Теоретическая часть
1. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций
2. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.
3.
Таблица простейших пределов и таблица эквивалентных бесконечно малых.
4. Вычисление пределов функций. Неопределенности, возникающие при
вычислениях пределов и элементарные приемы раскрытия неопределенностей.
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления:
1) lim
x 
 8x 2  5x
4x 2  x  1
 x 1
4) lim 

x   x 
ln( x  4)
lim
x 6 ctg ( x  6)
2)
2 5 x
5)
lim
x 0
3)
lim
x 0
ln( 1  sin 2 x)
ex 1
2
1  3x 2  1
x 2  x3
РАЗДЕЛ 3 «Дифференцирование функции одной переменной»
Теоретическая часть
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.
Геометрическая и физическая интерпретация производной.
2. Правила дифференцирования функции одной переменной. Таблица производных
основных функций.
3. Производные высших порядков. Физическая интерпретация второй производной.
3
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Определите вид функции, найдите рациональный метод дифференцирования, укажите
правила и формулы, используемые при дифференцировании заданных функций, и найдите
производные заданных функций:
2
5  x2
2) y  ( x  ln x) x 3) y  ln arcsin
4) x 2  2 xy  y 2  2 x
3
x
x  15 x
( x  2) 2  3 x  1
e t  e t
e t  e t
5) y x  ? x 
6) xy  ? y  arctg 6 x  1 7) y 
,y 
2
2
( x  5) 3
1
1) y  ln 4
2. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции y 
4  x2
в точке с
2
абсциссой x0   2 .
Задача
3.
Доказать,
что
(uv)  u v  3u v   3u v   uv  и
y (x) для
найти
1 2
ln x
x
4. Установить, при каком процентном содержании y кислорода в газовой смеси скорость
фунций:1) f ( x)  xe x
2) y 
окисления
максимальной,
азота
будет
если
уравнение
кинетики
имеет
вид
v  k (100 x 2  x 3 ) , где k - постоянная, x - концентрация окиси азота, x  y  100(%) .
5. Точка движется прямолинейно, причем s 
2
t
sin  s 0 (см/с). Найти ускорение в конце
9
2
первой секунды.
3
6. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя: lim
x 0
1  6x  1  2x
.
x2
РАЗДЕЛ 4 «Интегрирование функции одной переменной»
Теоретическая часть
1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
2. Таблица интегралов основных функций. Основные приемы интегрирования:
–
прямое интегрирование с использованием инвариантности дифференциала
и «полезных» формул;
–
замена переменной;
–
интегрирование по частям
–
интегрирование рациональных дробей
3. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
4. Определение и свойства определенного интеграла.
5. Несобственные интегралы.
4
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Найти интегралы и проверить результат дифференцированием:
a) 
x  23 x 2  1
ex
dx
;
b)
 2  e x dx ; c)
4
x
 (x
2
 2 x  3) cos xdx .
2. Вычислить интегралы:
2
e
ln 2 x
dx ; b)  x 2 cos xdx ;
a) 
x
1
0
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат, кривой y = 2x и
касательной к этой кривой, абсцисса точки касания равна 2. Сделать рисунок.
4. Тело движется по закону s  t 2 . Сопротивление среды пропорционально
скорости движения. Вычислить работу силы сопротивления на участке от S = 0
до S = a. ( dA  F ( s)ds ).
5. Определить среднее значение функции y  ln x на [1; e]. Указать среднее
значение функции на чертеже.
6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:


dx
1) 
; 2)
x ln x
e
4
dx
 sin
0
2
x
7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L
x 2  y  0, x  1, y  0
8. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox
9. дуги кривой y  sin x, x  0, 
РАЗДЕЛ 5 «Дифференцирование функции многих переменных»
Теоретическая часть
1.
Понятие и примеры функции многих переменных; полные и частные приращения
функции двух переменных.
2.
Частные производные и дифференциалы; частные производные высших порядков.
3.
Полный дифференциал второго порядка функций двух аргументов.
4.
Экстремум функции двух переменных.
5.
Уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
5
1. Найти частные производные первого и второго порядков и полный дифференциал
второго порядка функции u 
cos x 2
.
y
2. Найти приближенное значение выражения 1,02 3  1,97 3
3. Исследовать на экстремум функцию z  x 2  ( y  1) 2 .
4. Дана функция z  x ln
y
z
z
. Показать, что x  y
 z.
x
x
y
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x 2  y 2  4 xy  4 в квадрате
0  x  4,0  y  4 .
РАЗДЕЛ 6 «Кратные интегралы: двойной и тройной интегралы»
Теоретическая часть
1. Понятие двойного интеграла и его геометрический смысл.
2. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых координатах.
3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
4. Определение тройного интеграла. Вычисление тройных интегралов.
5. Приложения
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
3
8 x 2
0
8 3 x
1. Построить на плоскости Oxy область интегрирования интеграла  dx
 dx . Изменить
порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном
порядках интегрирования.
2. Вычислить двойной интеграл
y
 z dydz ,
если область D, ограничена параболами:
D
z  y 2 , y  z 2 , двумя способами, изменив порядок интегрирования.
3. Вычислить двойной интеграл

1  ( x 2  y 2 ) dxdy , если область D, ограничена
D
окружностью x 2  y 2  1
4. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной к линиями
y
1
1
 2, y  x 2 , x  .
x 1
2
5. Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной линиями
6
y 2  4 x  4, y 2  2 x  4 .
6. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями y  2 x , x  y  3, y  0 ,
относительно оси Ox .
7. Вычислить тройной интеграл
 ( x  y  z)dxdydz по области V , ограниченной
V
плоскостями x  0, x  1, y  0, y  1, z  0, z  1 .
8. Вычислить тройной интеграл
 ( x
2
 z 2 )dxdydz , если область V ограничена
V
поверхностями x  0, y  2, z  0, x  y  z  2
9. Вычислить момент инерции однородного шара (   1) радиуса r  1 относительно его
центра.
РАЗДЕЛ 7 «Криволинейные интегралы»
Теоретическая часть
1. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) и его основные свойства.
2. Вычисление криволинейных интегралов II рода и условие независимости от линии
интегрирования.
Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Вычислить
y
2
AB
2. Вычислить
 
dl , где AB - часть окружности x  a cos t , y  a sin t , t  0;  .
 2
 x dl , где
2
AB - кривая, заданная уравнением y  ln x, x  1; e.
AB
3. Вычислить  (2 x  y)dl , где L  контур треугольника ABO с вершинами
L
A(1;0), B(0;2), O(0;0) .
4. Вычислить с помощью формулы Грина  ( x  y)dx  ( x  y)dy , где L  окружность
L
x2  y2  R2 .
7