Образец варианта письменной экзаменационной работы по

ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
на втором курсе медико–биологического факультета в 2006–2007 уч. г.
В работу включены следующие разделы математического анализа:
элементы теории пределов
системы линейных алгебраических уравнений
дифференцирование функции одной переменной: техника дифференцирования и
применение производной к решению задач;
интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования функций;
применение интегрального исчисления к решению задач;
дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения частных
производных и применение частных производных к решению задач;
двойные интегралы: вычисление и решение задач с использованием двойных
интегралов;
тройные интегралы: вычисление и решение задач;
криволинейные интегралы: вычисление и решение задач
ИЗ КАЖДОГО РАЗДЕЛА ВЫ ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНИТЬ ПО ОДНОМУ ЗАДАНИЮ,
т.е. всего 7 (семь заданий!)
 ОЦЕНКА
1) «отлично» ставится, если Вы наберете от 91% до 100% максимального
количества баллов;
2) «хорошо»– от 81 до 90%;
3) «удовлетворительно» – от 60 до 80%;
4) «неудовлетворительно» – меньше 60%.
ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ ПОЛНОСТЬЮ КАКОЙ-ЛИБО РАЗДЕЛ, ТО
ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ ОТНИМАЕТСЯ 3 БАЛЛА!
Выполнение КАЖДОГО ЗАДАНИЯ необходимо сопровождать пояснениями:
-
указывать метод решения и пояснять решение задачи;
приводить основные формулы и обосновывать их выбор;
анализировать полученные результаты и делать выводы.
Только в этом случае за выполнение задания ставится максимальное количество
баллов!
УСПЕХОВ ВАМ!
ВАРИАНТ 00
1
Теоретическая часть. Составьте краткий конспект ответа на вопрос:
(по 4 балла)
1. Основные приемы интегрирования: прямое интегрирование с использованием
инвариантности дифференциала и «полезных» формул.
2. Частные производные и дифференциалы; частные производные высших порядков.
Полный дифференциал второго порядка функций двух аргументов.
Раздел 1 «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)»
Найти решение системы линейных уравнений тремя способами: по формулам Крамера,
методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) и матричным
методом:
2 x1  x 2  3x3  5

 x1  2 x 2  2 x3  17
 x  x  3x  4
2
3
 1
Раздел 2. Элементы теории пределов
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
2 x 3  3x  1
2x 2  5x  3
2 x 3
2.1 1) lim
2)
3) lim
lim
2
3
2
x 9
x7
x  4  2 x  3 x
x  3
x 7
5 баллов
2.2
1)
x x x
lim
2)
2x  1
x 
cosx  cos x
3 x sin x
2
4
3
lim
x 0
3)
lim (1  3x)
2 x
x
x 0
7 баллов
Раздел
3.
Дифференцирование
функции
одной
переменной:
дифференцирования и применение производной к решению задач.
Задача 1. Составить уравнение касательной и нормали к графику кривой y 
техника
6  x2
в
3
точке x0   3 .
5 баллов
Задача 2. Найти производные функций:
1 2
(5  4 x)
1) y  ln
2) y  (1  ) x 3) y  (5tg 2 x  x 2 ) 3
x
x 2  8x  10
2
3
2
3
4) x  y  a
2
3
x2  ex
7) y  2
x 1
2
5) y x  ?
t
x  e sin t , y  e cos t
t
6) xy  ? y  x  e
x
Задача 3. Доказать, что (uvw)  u vw  uv w  uvw и найти y (x) для функций:
1) y  x 2 ctgxex
2
8 баллов
2) y  x 3 e sin x ln x
6 баллов
Задача 4. Две точки движутся по координатным осям согласно уравнениям: x  2t  9 и
y  3t  7(t  0) . В какой момент времени расстояние между точками будет
наименьшим? Покажите на графике расстояние между точками при t  0 и в момент их
наибольшего сближения.
6 баллов
2
Задача 5. Движение летчика при катапультировании из реактивного самолета
приближенно можно описать формулой s  3,7t 3  ln t  19t (м). Определить скорость и
ускорение летчика через 2с после катапультирования.
5 балла
Задача 6. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки
данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его
изготовление ушло наименьшее количество жести?
6 баллов
Раздел 4. Интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования
функций и применение интегрального исчисления к решению задач.
1. Найти интегралы и проверить результат дифференцированием:
( 2 x  3 3x ) 2
dx
a) 
b)  cos 2 xdx
c)  xarctgxdx
x
Вычислить интегралы:


3
2
a)
cos x
0 2  sin xdx
b)  e x sin xdx

4
8 баллов
2. При каком значении a площадь фигуры, ограниченной линиями
1
1
4
y  ,y 
, x  2, x  a ,( a  2 ) равна ln
.
x
2x  1
5
8 баллов
3. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t )  2t  a( м \ с) . Найти значение a,
если известно, что за время от 0 до 2 с тело прошло путь длиной 40 м.
6 баллов
4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:


dx
1) 
e x(lnx)
3
2)
2
 ctgxdx
0
7 баллов
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L
y  1  8x 3 , x  1, y  9
6 баллов
6. Найти длину дуги линии x 
6
4
t
t
,y  2
между точками пересечения осями
6
4
координат.
7 баллов
7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox
дуги кривой y 2  4  x , отсеченной прямой x  2
6 баллов
Раздел 5. Дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения
частных производных и применение частных производных к решению задач.
y
z
z
1. Дана функция z  x ln . Показать, что x  y
 z.
x
x
y
5 баллов
3
2. Найти приближенное значение функции ln( 0,09 3  0,99 3 ) .
6 баллов
3. Исследовать на экстремум функцию z  3x  3 y  5xy  4 x  7 y  5.
2
2
6 баллов
4. В усеченном конусе радиусы оснований равны R =20 см, r  10 cм , высота H = 40 см.
Как изменится объем конуса, если увеличить R на 3 мм, уменьшить r на 4 мм, и
H увеличить на 2 мм?
7 баллов
Раздел 6. Кратные (двойные и тройные) интегралы: вычисление и решение задач
с использованием двойных и тройных интегралов.
1. Построить на плоскости Oxy область интегрирования интеграла
0
2 x  6
1
8 x 2
 dx
 dy . Изменить
порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном
порядках интегрирования.
10 баллов
xdxdy
2. Вычислить двойной интеграл  2
, если область D ограничена прямыми:
2
x

y
D
x  2, y  x, x  2 y .
8 баллов
3. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице):
x 2  4 y 2  1, x  2 y  1 . Сделать рисунок.
10 баллов
dxdydz
4. Вычислить тройной интеграл 
по области V , ограниченной плоскостями
1

x

y
V
x  0, x  1, y  2, y  5, z  2, z  4 .
8 баллов
Раздел 7. Криволинейные интегралы: вычисление и решение задач.
1. Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный
интеграл по контуру, связывающему точки M (1;2)иN (3;5) :  ( x 3  2 y )dx  (2 x  5)dy
5 баллов
2. Даны криволинейный интеграл
x
2
 (2  xy)dx  ( 2
 y )dy
и точки на плоскости
xOy : O(0;0), A(4;0), B(0;8), C (4;8). Вычислить данный интеграл от точки O до точки С по
трем различным путям: 1) по ломаной OAC ; 2) по ломаной OBC ; 3) по дуге OC параболы
1
y  x 2 . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение.
2
7 баллов
2
2
3. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл  xy dy  x ydx , где C –
C
окружность x  y  a .
2
2
2
6 баллов
4