Тема 9. Неопределенный интеграл

Лекция 2
Тема 6. Приложения производной
6.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция y  f x 
достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x 0 этого
промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f x  0 .
Геометрический
смысл.
В
точке
наибольшего
(наименьшего)
значения
касательная к графику функции параллельна
оси абсцисс (рис. 6.1).
Теорема Ролля. Пусть функция y  f x  удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке a, b ;
2) дифференцируема на интервале a, b  ;
3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f a   f b.
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка   a, b , в которой
производная функции равна нулю:
f    0 .
Другими словами: Между одинаковыми значениями дифференцируемой функции
имеется хотя бы один нуль производной.
Геометрический смысл. В интервале a, b
для функции y  f x  , удовлетворяющей
всем условиям теоремы, найдется хотя бы
одна точка 
такая, что касательная к
графику данной функции в точке  , f  
будет параллельна оси Ox (рис. 6.2).
Теорема Лагранжа. Пусть функция y  f x  удовлетворяет условиям:
1) непрерывна на отрезке a, b ,
2) дифференцируема на интервале a, b .
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка   a, b , в
которой производная равна частному от деления приращения функции на
приращение аргумента на этом отрезке, т.е.
f b   f a 
f   
.
ba
1
Геометрический смысл. Рассмотрим
непрерывную функцию y  f x  . Выберем
на ней две точки Aa, f a  и Bb, f b (рис.
6.3). Тангенс угла наклона прямой,
проведенной через эти точки, равен
f b   f a 
tg 
. Т.е. согласно теореме
ba
Лагранжа
f    tg .
Т.о. теорема Лагранжа утверждает, что в интервале a, b существует точка с
координатами  , f   такая, что касательная к графику функции, проведенная в
этой точке, будет параллельна прямой AB , соединяющей концы графика функции
на данном отрезке.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно
больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или
бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
0
 
Итак, если имеется неопределенность вида   или   , то
 
0
f ( x)
f ( x)
 lim
.
x  x 0  ( x)
x  x 0  ( x )
( x  )
( x  )
lim
Пример 6.1. Вычислить пределы функций
ln 1  x 
3x 2  2 x  1
а) lim
, б) lim
.
x 0
x  4 x 2  x  5
x
Решение.
1
ln 1  x   lim 1  x  1.
ln 1  x   0 
а) lim
    lim
x 0
x

0
x 0
x
x
1
0
2
2
6x  2   
(3x  2 x  1)
3x  2 x  1   
 lim
 
б) lim
    lim
2
2
x  4 x  x  5
   x  (4 x  x  5) x  8 x  1   
6 x  2  lim 6  3 .
 lim
x 
8 x  1 x  8 4

6.2. Возрастание и убывание функции
Определение. Функция y  f x  называется возрастающей (убывающей) в
промежутке a, b , если большему значению x в этом промежутке соответствует
большее (меньшее) значение функции, т.е. для любого x  a, b :
если x1  x2 , то f x1   f x2  - функция y  f x  возрастающая (рис. 6.4 а);
если x1  x2 , то f x1   f x2  - функция y  f x  убывающая (рис. 6.4. б).
2
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная
дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X , то
она возрастает на этом промежутке.
Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная
дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X , то
она убывает на этом промежутке.
Пример 6.2. Найти интервалы возрастания, убывания функции y  xex .
Решение. Найдем производную функции y  e x  xex  e x 1  x  .
При x  1 производная обращается в
нуль, в интервале  ;1 y   0 , в
интервале  1; y   0 .
Следовательно, функция возрастает на
интервале  1; и убывает на интервале
 ;1 (рис. 6.5.).
6.3. Экстремум функции
Экстремумами называются точки максимума и минимума функции.
Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f x  , если в
некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство:
f x   f x0  .
Определение. Точка x1 называется точкой минимума функции f x  , если в
некоторой окрестности точки x1 выполняется неравенство:
f x   f x1 .
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция y  f x  имела
экстремум в точке x0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась
нулю ( f x  0 ) или не существовала.
Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. производная в точке x0
может обращаться в нуль или не существовать, а функция не будет иметь экстремум
в этой точке.
3
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через
точку x0 производная дифференцируемой функции y  f x  меняет свой знак с
плюса на минус, то точка x0 есть точка максимума функции, а если с минуса на
плюс, то точка минимума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная

f x дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x0 , а
вторая производная в этой точке f x  положительна, то x0 есть точка минимума
функции f x  , если же f x  отрицательна, то x0 - точка максимума.
Схема исследования функции y  f x  на экстремум:
1. Найти производную y  f x  .
2. Найти критические точки функции, в которой производная f x  0 или не
существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и
сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти значения функции в точках экстремума.
Пример 6.3. Исследовать на экстремум функцию y  x ln 2 x .
1
Решение. 1) Производная функции y  ln 2 x  x  2 ln x   ln xln x  2 .
x
2) Найдем критические точки функции, приравнивая производную к нулю:
x1  1; x2  e2 .
Так как производная не существует в интервале  ;0 и сама функция также не
определена в этом интервале, то других критических точек у функции y  x ln 2 x
нет.
3) Определим знаки производной слева и справа от каждой критической точки:


Следовательно, функция возрастает на интервалах 0, e2 и 1; и убывает на
интервале e2 ;1 .
Согласно достаточному условию существования экстремума функции x  e 2 точка максимума, x  1 - точка минимума.
f max e 2   4  e 2 ,
f min 1  0 .
4) Находим


6.4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Одна из важных прикладных (оптимизационных) задач есть нахождение
наибольшего и наименьшего значений (глобального max и глобального min )
функции на промежутке X .
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция y  f x  непрерывна на отрезке
a, b , то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Это могут быть точки экстремумов или концы отрезков.
4
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:
1) найти производную f x .
2) найти критические точки функции, в которых f x  0 или не существует.
3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать
из них наибольшее f наиб и наименьшее f наим .
2x  1
Пример 6.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 
на
2  x2
отрезке  2;0.
Решение. 1) f  x  


2 2  x 2  2 x(2 x  1)
2  x 
2 2


.
2  x 
 2 x2  x  2
2 2
2) f x  0 , откуда критические точки x1  2 , x2  1.
3) Значения функции в критической точке x2  1 f  1  1 и на концах отрезка
5
1
f  2    и f 0    .
6
2
Точку x  2 не рассматриваем, так как она не принадлежит отрезку  2;0.
1
Итак, f наиб  f 0    , f наим  f  1  1 .
2
6.5. Асимптоты графика функции. Исследование функций и построение их
графиков
Определение. Асимптотой графика функции y  f x  называется прямая,
обладающая тем свойством, что расстояние от точки x, f x до этой прямой
стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала
координат.
Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные
(рис. 6.6 в) асимптоты.
Теорема. В точках вертикальных асимптот (например, x  x0 ) функция y  f x 
терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки x0 равен   :
lim f x    и (или) lim f x    .
x  x0  0
x  x0  0
Теорема. Пусть функция y  f x  определена при достаточно больших x и
существуют конечные пределы
5
lim  f x  x   k
x 
и
lim  f  x   kx  b .
x 
Тогда прямая y  kx  b является наклонной асимптотой графика функции
y  f x  .
Теорема 3. Пусть функция y  f x  определена при достаточно больших x и
существует предел функции lim f  x   b . Тогда прямая y  b есть горизонтальная
x
асимптота графика функции y  f x  .
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты,
когда k  0 . Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную
асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
2x2  1
Пример 6.5. Найти асимптоты графика функции y 
.
x
Решение. В точке x  0 функция не определена, найдем пределы функции слева и
справа от точки x  0 :
2x2  1
2x2  1
lim
  ; lim
  .
x 0  0
x 0  0
x
x
Следовательно, x  0 - вертикальная асимптота.
Найдем наклонную асимптоту:
f x 
2x2  1
1

k  lim
 lim
 lim  2  2   2 ;
2
x  
x


x


x
x
x 

2
 2x  1

b  lim  f  x   kx  lim 
 2 x  
x 
x 
 x

2x2  1  2x2
1
 lim
 0.
x  
x   x
x
 lim
Таким образом, y  2 x - наклонная асимптота
(рис. 6.7).
Общая схема исследования функций и построения графиков:
1)
Найти область определения функции.
2)
Исследовать функцию на четность-нечетность.
3)
Найти вертикальные асимптоты.
4)
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные
или наклонные асимптоты.
5)
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6)
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые
дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Пример 6.6. Исследовать функцию y 
x2  2x  2
и построить ее график.
x 1
6
Решение.
1)
Область определения  ;1  1; .
2)
Функция общего вида, так как f  x  f x и f  x   f x .
3)
В точке x  1 функция терпит разрыв, найдем пределы
x2  2x  2
lim f x   lim
  ;
x 1 0
x 1 0
x 1
x2  2x  2
lim f x   lim
  .
x 1 0
x 1 0
x 1
Следовательно, прямая x  1 - это вертикальная асимптота.
4)
Найдем наклонную асимптоту.
 2 2
x 2 1   2 
2
f x 
x  2x  2   
x x 
k  lim
 lim
    lim 
1;
x  
x


x


1
x
xx  1
2
 
x 1  
 x
2
 x  2x  2

x 2  2x  2  x 2  x
b  lim  f  x   kх   lim 
 x   lim

x 
x 
x 1
x 1

 x
2

x  1  
 x  2  
x
 lim
    lim 
 1 .
x   x  1
x


 1
 
x 1  
 x
Таким образом, прямая y  x  1 - наклонная асимптота.
5)
Найдем y 
2 x  2x  1  x 2  2 x  2  x 2  2 x ;
x  12
x  12
x 2  2 x  0 , x1  0 , x2  2 .
y  0
y не существует при x  1 . Критическими точками являются только x1  0 и
x2  2 , так как x  1 не входит в область определения функции.
Определяем знаки производной вблизи критических точек:
На интервалах  ;0 и 2; - функция возрастает,
на интервалах 0;1 и 1;2 - функция убывает, поэтому точка x  0 - точка
максимума, а точка x  2 - точка минимума.
f max 0  2, f min 2  2 .
6)
Точки пересечения с осями:
Ox : y  0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось
Ox .
Oy : x  0, y  2 , т.е. точка 0;2 - точка пересечения с осью Oy .
График функции изображен на рис. 6.8.
7
8
Тема 7. Дифференциал функции
7.1. Понятие дифференциала и его геометрический смысл
Пусть функция y  f x  определена на промежутке X и дифференцируема в
y
 f x  или по теореме о связи бесконечно
окрестности точки x  X ,тогда lim
x  0 x
у
 f  x     x  , где  x - бесконечно малая
малых с пределами функций имеем
х
величина при x  0 . Отсюда:
y  f xx   xx .
( 7.1)
Таким образом, приращение функции  y состоит из двух слагаемых:
f  x x
 f  x  ;
1) f x x - линейного относительно x , т.к. lim
x  0
x
 x x
 lim   x   0 .
2)  x x - нелинейного относительно x , т.к. lim
x  0
x  0
x
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная
относительно x часть приращения функции, равная произведению производной на
приращение независимой переменной:
dy  f x x .
( 7.2)
Пример 7.1. Найти приращение функции y  2 x 2  3x при x  10 и x  0,1 :


Решение. y  f x  x   f x   2x  x   3x  x   2 x 2  3x  
2
 2 x 2  4 xx  2x   3x  3x  2 x 2  3x  x4 x  2x  3 ,
y  0,14 10  2  0,1  3  3,72
2
Пример 7.2. Найти дифференциал функции y  x .
Решение. По формуле (7.2.) имеем dy  dx  xx  x .
Определение. Дифференциал независимой переменной x равен приращению
этой переменной:
( 7.3)
dx  x
Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:
dy  f xdx
( 7.4)
dy
dy
 f  x  , поэтому
можно рассматривать не только как
dx
dx
символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем dy
и знаменателем dx .
Откуда
9
Геометрический смысл. На графике
функции y  f x  (рис. 7.1.) возьмем
произвольную
точку
Дадим
M x, y  .
аргументу x приращение x , тогда функция
получает приращение y  f x  x  f x .
M
В точке
проведем касательную,
образующую угол  с осью Ox . Из
треугольника MM 1 N : y  KM1  NK . Из
MKN имеем: KN  MN  tg  f x  x .
Таким образом, y  f x  x  KM1 и
соответствует формуле (7.1).
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть
приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y  f x  в
данной точке, когда x получает приращение x .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
1) dc  0
4) d uv  vdu  udv
2) d cu   cdu
3) d u  v   du  dv
 u  vdu  udv
5) d   
v2
v
Инвариантность формы дифференциала
Если y  f x  , то из (7.4) имеем dy  f xdx .
Рассмотрим сложную функцию y  f u   f  x, где u   x .
Если функции y  f u  и u   x дифференцируемые функции от своих
dy du

 f uu   ux  x  .
аргументов, то производная сложной функции равна yx 
du dx
Умножим обе части равенства на dx : yx dx  fuu   ux x dx . Таким образом,
dy  fuu du .
Это равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо
функции от независимой переменной x рассматривать функцию от зависимой
переменной u . Это свойство дифференциала получило название инвариантности
(т.е. неизменности) формы дифференциала.
7.2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Согласно формулы (7.1), y  f xx   xx , т.е. y  dy   xx . При
достаточно малых значениях x приращение функции  y приблизительно равно ее
дифференциалу
y  dy ,
(7.5)
f x  x  f x  f xx .
Формула (7.5) часто используется в приближенных вычислениях.
Пример 7.3. Вычислить 6 72 .
10
Решение.
Пусть f  x   6 x . Найдем f  x  
1
. Положим x  64, x  8 .
6 x5 6
В соответствии с (7.5) f x  x  f x  f xx . Для функции f  x   6 x имеем
1
6
x  x  6 x  5 6  x .
6x
1
1
6
72  6 64 
8  2 
 2,0417 .
56
6  64
3  23
Тема 9. Неопределенный интеграл
9.1. Понятие первообразной и неопределенный интеграл
Определение. Функция F x  называется первообразной функцией для
функции f x  на промежутке X , если в каждой точке этого промежутка
F x  f x .
Пример 9.1. F x   x 2 является первообразной для f x   2 x , т.к.

F x   x 2  2 x .
 
Можно заметить, что если для функции f x  существует первообразная
F x  , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру 9.1, видно,
что и функции x 2  1 , x 2  7 и вообще x 2  C ( C - некоторое число) являются
первообразными для функции
Таким образом можно
f x   2 x .
сформулировать следующую теорему.
Теорема. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество
первообразных причем любые две из них отличаются друг от друга только
постоянным слагаемым.
Определение. Совокупность всех первообразных функции f x  на
промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f x  и
обозначается  f x dx , где

- знак интеграла,
f x  - подынтегральная функция,
f xdx - подынтегральное выражение.
Таким образом:
 f x dx  F x   C ,
где F x  - некоторая первообразная для
постоянная.
Определение. Операция нахождения
называется интегрированием этой функции.
f x  ,
C
произвольная
неопределенного
интеграла
11
Свойства неопределенного интеграла
1)
Производная
от
неопределенного
интеграла
подынтегральной функции, т.е.
равна
 f xdx   f x .
2)
Дифференциал
неопределенного
интеграла
равен
подинтегральному выражению, т.е.
d  f x dx  f x  dx.
3)
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
 dF x   F x   C .
4)
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.


  f x  dx    f x  dx .
5)
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же
сумме интегралов от этих функций, т.е.
  f x   g x dx   f x dx   g x dx .
Некоторые табличные интегралы
 0dx  C ,
 sin xdx   cos x  C ,
 dx  x  C ,
 cos xdx  sin x  C ,
x

n
dx 
1 n 1
x  C , n  1
n 1
dx
 ln x  C , x  0 .
x
1
 a dx  ln a a  C , a  0, a  1
 e dx  e  C ,
x
x
x
x
Пример 9.2. Найти
x

2
dx
1
xa

ln
 C, a  0
2
2a x  a
a
dx
x a
2
dx
 cos
2
x
dx
 sin
2
x
2
 ln x  x 2  a 2  C , a  0
 tgx  C ,
 ctgx  C .
2 x  5x
 10 x dx .
Решение.
12
x
x
 1  x  1  x 
 2x


2 x  5x
5x 
1 5
1 2
1
1
 10x dx    10x  10x dx    5    2  dx  ln 1 5  ln 1 2  C  2x ln 2  5x ln 5  C


Пример 9.3. Найти
dx
 25 x
2
1
.
Решение.
 1 1
x 1 5
1 
dx
x  0,2
dx

=
 25 x 2 1  25  x 2  1 52   25  2 5 ln x  1 5  C  0,1  ln x  0,2  C .


9.2. Методы вычисления интегралов
Метод замены переменной (метод подстановки).
Пусть заданный интеграл  f x dx не может быть непосредственно
преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную t : x   t  .
Тогда f x  f  t  , dx   t dt ,
 f x dx   f  t  t dt .
Пример 9.4. Найти
xdx
.
2
1
 5x
Решение.
5x 2  1  t
xdx
dt
2

 5x2  1 10xdx  dt  0,1 t  0,1ln t  C  0,1ln 5x  1  C .
Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а
производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем
введения постоянных и переменных под знак дифференциала).
Пример 9.5. Найти  sin 7 x  3dx .
Решение.
 sin 7 x  3dx  7  sin 7 x  3d 7 x  3   7 cos7 x  3  C .
1
1
Теорема. Пусть F x  некоторая первообразная для функции f x  . Тогда
если вместо аргумента x подынтегральной функции f x  и первообразной
F x  подставить выражение kx  b , то это приведет к появлению
1
перед первообразной:
k
дополнительного множителя
 f kx  b dx  k F kx  b   C , где k
1
Пример 9.6. Найти
и b - некоторые числа, k  0 .
dx
 cos 3x  5 .
2
Решение.
13


 cos 3x  5   cos kx  b  k tgkx  b  C   3 tg3x  5  C .
dx
dx
2
1
1
2
Метод интегрирования по частям.
Пусть u  ux и v  vx - дифференцируемые функции. Тогда
d uv  vdu  udv . Интегрируя левую и правую часть, имеем
 d uv    vdu   udv , или
 udv  uv   vdu .
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям
для неопределенного интеграла.
Пример 9.7. Найти  xe3 x dx .
Решение.
 xe
ux
du  dx
1
 1

  xe3 x     e 3 x dx 
1 3 x
3
dv  e dx v   dv   e  C С  0 
 3

3
1
1  1
1
1

  xe3 x     e 3 x  C   e 3 x  х    С .
3
3  3
3
3

3 x
dx 
3 x
 4 x
Пример 9.8. Найти
Решение.
 4 x

3

 1 ln xdx 

 x 4  x ln x  
3

 1 ln xdx .
u  ln х

du 


1
dx
x

dv  4 x  1 dx v   4 x  1 dx  x  x  C
3
3
4
C  0

x4  x
x4
dx  x 4  x ln x   x 3  1 dx  x 4  x ln x 
 xC.
x
4






Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы
интегрирования по частям:
 Px sin xdx , где Px многочлен
u  P x 
dv  sin xdx или dv  соsxdx
 Px cosxdx
 Px a dx

 Px e dx
x
x
u  P x 
x
х
dv  a dx или dv  e dx
14
 Px ln xdx
u  ln x
dv  Px dx
9.3. Интегрирование рациональных дробей
Определение. Многочленом (полиномом) степени
выражение вида:
n
a0  a1 x  a2 x 2    an x n   ai x i ,
n
называется
где i - натуральные числа ( 1,2,, n ),
i 0
a0 , a1 ,, an - действительные числа, an  0, n  0 .
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух
многочленов
Pn  x 
,
Qm  x 
где n и m показывают степень многочлена.
Если n  m , то дробь называется правильной.
Если n  m , то дробь является неправильной.
Чтобы из неправильной дроби получить правильную, необходимо
выделить целую часть дроби делением «углом».
Пример 9.9. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби
x3  3x  4
.
x2
Решение.
Разделим числитель на знаменатель «углом»
x 3  3x  4
x2
x3  2x 2
x 2  2x  1
2 x 2  3x  4
2x 2  4x
x4
x2
6
Таким образом,
x 3  3x  4
6
 x2  2x  1 
.
x2
x2
Определение. Простейшей рациональной дробью называется дробь,
которая может быть приведена к одному из следующих типов:
I)
A
,
kx  a n
II)
x
Bx  C
2
 px  q

n
, где A, B, C - константы; n -
натуральное число; x 2  px  q - не имеет действительных корней.
Рассмотрим интегралы от этих дробей.
I)
II)
замена переменной
A
dx


 kx  a n
kx  a  t

Рассмотрим случай n  1 .
15
необходимо в знаменателе подынтегральной 
функции выделить полный квадрат, а затем 
Bx  C
Bx  C


dx

dx 

2
 x 2  px  q использовать соответствующую замену
2
p
p




q
x   
переменной

2
4

замена переменной


 
p
.

x


t




2



Пример 9.10. Найти
dx
 3x  4
5
.
Решение.
dx
 3x  4
5

3x  4  t 1 dt 1  1
1
  5   4 C  
C.
4
3dx  dt
3 t
3 4t
123x  4
Пример 9.11. Найти
x
2
x4
dx .
 2x  3
Решение.
x
2
x 1  t
x4
x4
t 1 4
t
dt
dx  
dx 
 2
dt   2
dt  3 2

2
dx  dt
 2x  3
t 4
t 4
t 4
x  1  4

t 2  4  y 1 dy 3 x  3
t
3
t 2
t
3 x3
dt

ln

C

dt

ln

C


 ln
C 
 t2  4 4 x 1
t2  4
22 t  2
2tdt  dy 2  y 4 x  1
1
3 x3
1
3 x3
1
3 x3
2
ln y  ln
 C  ln t 2  4  ln
 C  ln  x  1  4  ln
C 
2
4 x 1
2
4 x 1
2
4 x 1
1
3 x3
 ln x 2  2 x  3  ln
C.
2
4 x 1

9.4. «Неберущиеся» интегралы
Некоторые интегралы от элементарных функций не имеют
элементарных первообразных, тогда они называются «неберущимися» в
элементарных функциях:
e
x2
dx,  sin x 2 dx,  cos x 2 dx, 
sin x
cos x
dx
dx, 
dx, 
и т.д.
x
x
ln x
Однако, это не означает, что эти интегралы не существуют или их
невозможно найти.
16
Тема 10. Определенный интеграл
10.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
Свойства определенного интеграла
Пусть на отрезке a, b задана функция y  f x  (рис. 10.1).
Разобьем отрезок a, b на n элементарных
отрезков
точками
где
x0 , x1 , x2 ,, xn ,
a  x0  x1  x2    xn  b . На каждом
отрезке разбиения выберем некоторую точку
 i и положим xi  xi  xi 1 , где i  1,2,3,...., n .
Сумму вида
n
 f  x
i 1
i
i
будем называть
интегральной суммой для функции y  f x  на
отрезке a, b .
Обозначим через максимальную из длин отрезков xi , т.е.   max xi .
i
Определение. Определенным интегралом от функции y  f x  на отрезке a, b
называется предел интегральной суммы при   0 , т.е.
b
n
 f  x .
 f xdx  lim

0
a
i
i 1
(10.1)
i
a - нижний предел,
b - верхний предел,
f x  - подынтегральная функция,
f xdx - подынтегральное выражение.
Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой:
b

a
b
b
a
a
f  x dx   f t dt   f  z dz  и т. д.
Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла
 f x dx ,
который
b
представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл
 f x dx
a
есть определенное число.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть на отрезке a, b задана неотрицательная функция y  f x  . Тогда площадь
S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y  f x  , прямыми x  a , x  b и
осью абсцисс y  0 (рис.10.2) численно равна определенному интегралу от функции
y  f x  на a, b .
17
b
S   f x dx
a
Экономический смысл определенного интеграла.
Пусть функция z  f t  описывает изменение производительности некоторого
производства с течением времени. Тогда объем продукции u , произведенной за
промежуток времени 0, T  , равен
T
u   f t dt .
0
Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла).
Если функция y  f x  непрерывна на отрезке a, b , то она интегрируема на этом
отрезке.
Свойства определенного интеграла
1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
b
b
a
a
  f xdx    f xdx .
2) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме
интегралов от этих функций:
b
b
b
a
a
a
  f x  g xdx   f ( x)dx   g ( x)dx .
3) При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла
меняется на противоположный:
b

a
f  x dx    f  x dx .
a
b
4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов для каждой из возникших частей:
b
c
b
a
a
c
 f xdx   f xdx   f xdx .
5) Если на отрезке a, b , где a  b , f x   g x  , то и
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx ,
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
18
6) Теорема о среднем. Если функция y  f x  непрерывна на отрезке a, b , то
найдется такое значение   a, b, что
b
 f xdx  f  b  a  .
a
Т.о. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка  из отрезка
a, b , что площадь под кривой y  f x равна площади прямоугольника со
сторонами f   и b  a .
10.2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть f  x  - непрерывная на отрезке a, b функция, а F  x  - ее первообразная.
Рассмотрим определенный интеграл
x
 f (t )dt ,
(10.2)
a
где х  [a, b] . При изменении х меняется и определенный интеграл (10.2), т.е. он
является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через
 x  :
x
Ф( х)   f (t )dt ,
(10.3)
a
Определение. Функция x  называется интегралом с переменным верхним
пределом (с открытым верхним пределом).
Теорема 1. Если функция f x  непрерывна на отрезке a, b то функция x  так
же непрерывна на a, b .
Теорема 2. Пусть функция f x  непрерывна на отрезке a, b . Тогда в каждой
точке x отрезка a, b производная функции x  по переменному верхнему пределу
равна подынтегральной функции f x  на верхнем пределе, т.е.

x

  x     f t dt  x  f  x  .
a

10.3. Формула Ньютона-Лейбница.
Методы вычисления определенного интеграла
Теорема. Пусть функция y  f x  непрерывна на отрезке a, b и F x  - любая
первообразная для f x  на a, b . Тогда определенный интеграл от функции f x  на
отрезке a, b равен приращению первообразной F x  на этом отрезке, т.е.
b
 f xdx  F ( x)
b
a
 F b   F a  .
a
Вычисление определенного интеграла методами замены переменной и по частям
Теорема. Пусть функция x   t  имеет непрерывную производную на отрезке
 ,   при условии a     и b     , а данная функция f x  непрерывна в
19
каждой точке x вида x   t  , где t   ,  . Тогда справедливо следующее
равенство
b


f x dx   f  t   t dt ,

a
получившаяся формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
 x5  2 x  dx .
1
Пример 10.1. Вычислить
2 3
0
Решение.
Положим t  5  2 x 2 , тогда dt  4xdx . При x  0 t  5 , а при x  1 t  3 .
1
3
5
1 3
1 4 5 1 4
1
544
2 3
3  1
4
x
5

2
x
dx

t
dt



0
5  4  4 3 t dt  16 t 3  16 5  3  16 625  81  16  34




.
Теорема. Пусть функции u  ux  , v  vx имеют непрерывные производные на
отрезке a, b . Тогда
b
b
a
a
 udv  uv
b
  vdu ,
a
где uv  u b vb   u a va  .
b
a
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного
интеграла.
1
Пример 10.2. Вычислить  ln 1  x dx .
0
Решение.
Пусть u  ln 1  x , dv  dx .
1
dx, v   dv   dx  x  C (пусть C  0 ).
Тогда du 
1 x
t  1 x
1
1
2
1
dt  dx
t  1dt 
xdx





ln
1

1

0

ln
1





ln
1

x
dx

x
ln
1

x



0

x  0 t 1
t
1 x
0
1
0
x 1 t  2
2
2
dt 
 ln 2    dt     ln 2  t
t 
1
1
2
1
 ln t
2
 ln 2  2  1  ln 2  ln 1  2 ln 2  1  ln 4  1 .
1
10.4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
20
Определение.
Несобственным
интегралом

пределом
 f xdx
с
бесконечным
верхним
f x  на полуинтервале
от непрерывной функции
a,
a
t
называется предел интеграла  f x dx при t стремящемся к   :
a

t
 f xdx  lim  f ( x)d x .
t 
a
a
Если этот предел существует, то несобственный
сходящимся, в противном случае – расходящимся.

dx
x
Пример10.3. Вычислить
интеграл
называется
.
2
1
Решение.

t
dx
dx
 1
 1 
По определению  2  lim  2  lim     lim   1  1.
t


t


t


 x1
 t 
1 x
1 x
t

dx
x
Следовательно, несобственный интеграл
2
сходится и равен 1.
1
Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с
бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно
b
b
 f x dx  lim  f x dx .
t  

t
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования
обозначается символом


f x dx  lim
c
a  


f x dx  lim
b  
a
b
 f xdx ,
где a  c  b .
c

Пример 10.4. Вычислить
 e dx .
x

Решение.


0
0
b
 e dx   e dx   e dx  lim  e dx  lim  e dx  lim e
x

x


x

0
x
a 


a
x
b
0
a 
x 0
a
 lim e x
b
b
0

 lim e 0  e a  lim e b  e 0  1  0    1   .
a 
b

Интеграл
 e dx
x
расходится.

21
Тема 11. Геометрические приложения определенного интеграла
11.1. Вычисление площади плоской фигуры
Пусть функция y  f x  неотрицательна и непрерывна на отрезке a, b . Тогда
исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь S
криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y  f x  и прямыми
x  a, x  b, y  0 (рис. 10.2) численно равна определенному интегралу
b
S   f  x dx .
(11. 1)
а
Пример11.1.
Найти
2
y  x , x  0, y  3, x  0 .
площадь
фигуры,
ограниченной
линиями
Решение.
1 способ.
Из рисунка 11.1 видно, что искомая площадь равна:
S  S0 ABC  S0 BC .
 y  x2
Найдем координаты точки B : 
,
y

3

откуда для точки B имеем xB  3, y B  3 ,
а для точки C имеем xc  3, yC  0 .
S0 ABC  OA  OC  3  3
3
S OBC 
2
 x dx 
0
1 3
x
3
3
0
 
3
1
  3  0  3

3 
 
S  3 3  3  2 3  3,46 ед 2 .
2 способ.
Если уравнение кривой записать в виде x 
3
S  SOAB :
S   y dy 
0
1
y3 2
11 2
3

0

y , то искомая площадь будет

 
2 32
2
3  0   3 3  2 3  3,46 ед.2 .
3
3
Если функция y  f x  неположительна на отрезке a, b (рис. 11.2), то площадь
S над кривой y  f x  на a, b отличается знаком от
определенного интеграла:
b
S   f x dx .
(11. 2)
a
22
Пример 11.2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y  x 2  6 x  5 и
осью абсцисс.
Решение. На рис. 11.3 приведена плоская фигур, ограниченная параболой
y  x 2  6 x  5 , вершина которой находится в точке 3,4 , и осью Ox . Парабола
пересекает ось Ox в точках с координатами 1;0 и 5;0 . Площадь этой фигуры,
согласно формулы (11.2), равна
5
 x3

S    x  6 x  5dx    3x 2  5 x  
 3
1
1
 125
 1
 25 7
 
 3  25  25     3  5  
 
 3
 3
 3 3
32

 10,67 (ед. 2 ).
3
5
2
Если на отрезке a, b заданы непрерывные функции y  f 2 x  и y  f1 x такие,
что f 2 x  f1 x (рис. 11.4).
Тогда площадь S фигуры, заключенной
между кривыми y  f 2 x  и y  f1 x на
отрезке a, b , вычисляется по формуле:
b
S    f 2  x   f1  x dx .
(11.3)
а
Пример 11.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y   x 2 , y  2e x , x  0, x  1.
Решение. Из рис. 11.5 видно, что искомая
площадь находится по формуле (11.3),
полагая f 2 x   2e x , f1 x    x 2 .
1

x3 
1

S   2e  x dx  2e x     2e   
3 0 
3

0
1
5
 2e 0  0   2e   2  2e   3,77 ед. 2  .
3
3
1
x
2
23
11.2. Приближенное вычисление определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
предполагает предварительное нахождение первообразной для подынтегральной
функции f x  :
b
 f x dx  F b  F a  .
a
Однако, определенный интеграл можно приближенно вычислить без знания
первообразной для функции f x  , например, по формуле трапеций:
b

a
f x dx 
b  a  f x0   f xn  n1

  f xi  ,

n 
2
i 1

(11.4)
где x0  a, xi  x0  ih, h  b  a  n, i  1,2,, n .
Доказательство (для n  3 ).
Разобьем отрезок интегрирования на
ba
три равные части длиной h 
. На
3
каждом из отрезков разбиения x0 , x1 ,
x1 , x2 , x2 , x3  заменим участок кривой
y  f x  хордой, которая стягивает
концевые точки. Тогда определенный
b
интеграл
 f xdx
будет приблизительно
a
равен сумме площадей 3-х трапеций, т.е.
S  S1  S2  S3 ,
f  x0   f  x1 
f  x1   f  x2 
f  x2   f  x3 
h , S2 
h , S3 
h.
2
2
2
b
f x0   f x1 
f x1   f x2 
f x2   f x3 
Таким образом  f x dx 
h
h
h
2
2
2
a
где S1 
 f  x0   f x3 
 b  a  f  x0   f x3 

 h
 f x1   f  x2  
 f x1   f  x2  .

2
3 
2



Погрешность формулы трапеций  
M 2  max f  x 
xa ,b 
b  a 3 M
2 , где
12n 2
- максимальное значение модуля второй производной f x 
подынтегральной функции f x  на отрезке a, b .
3
Пример 11.4. Вычислить по формуле трапеций
x
2
dx . Оценить погрешность.
0
24
3
x3
Решение. Точное значение  x dx 
3
0
3
2
 3

0
3
3
 3.
Вычислим интеграл приближенно, используя формулу трапеций.
Разобьем отрезок [0; 3 ] на n  5 интервалов


3  1,73 , h 
1,73  0
 0,346 .
5
 
0  3
 f  x 0   f  x5 










x
dx

h

f
x

f
x

f
x

f
x

0
,
346
1
2
3
4 
0

2
2



3
2
2
 0,346 2 
 0,692 2  1,038 2  1,384 2 ]  0,3461,5  0,120  0,479  1,077  1,915  0,346  5,091  1,76 .


Оценим погрешность. Найдем f  x    f x   2 x   2 .
Следовательно, М2 = 2.



3
3 0
3 32
2 
 0,0346
2
3  100
12  5
25