08-03-04_Graficheskoe_reshenie_kvadratnykh_uravnenii

08-03-04. Графическое решение квадратных уравнений
1. Рассмотрим, например, уравнение x 2  x  2  0 . Его можно переписать в виде
x 2  2  x
Построим на координатной плоскости графики функций y  x 2 и y  2  x , а затем
найдем их точки пересечения A( x1  y1 ) и B( x2  y2 ) (рисунок 1).
Для координат точки A выполняются равенства y1  x12 и y1  2  x1 . Значит,
x12  2  x1 и число x1 — корень уравнения x 2  2  x .
Аналогично, для координат точки B выполняются равенства y2  x22 и y2  2  x2 ,
поэтому x22  2  x2 и число x2 — также корень уравнения x 2  2  x .
Таким образом, абсциссы точек A и B , в которых пересекаются графики функций
2
y  x и y  2  x , являются корнями исходного уравнения. Если чертеж выполнен достаточно аккуратно, то с его помощью можно найти приближенные значения корней x1 и x2 .
В данном случае x1  2 , x2  1 . Непосредственной проверкой легко убедиться, что числа
-2 и 1 на самом деле являются точными значениями корней уравнения x 2  2  x .
2. Рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, можно обобщить и применить к
решению любого квадратного уравнения x 2  px  q  0 . Сначала надо переписать его в
виде
x 2   px  q ,
а затем построить на одном чертеже графики квадратичной функции y  x 2 и линейной
функции y   px  q . Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения.
Так как всякое квадратное уравнение имеет не более двух различных действительных корней, то прямая y   px  q также пересекает параболу y  x 2 не более чем в двух
точках. Если точек пересечения две, то уравнение x 2  px  q  0 имеет два корня. Если
точка пересечения одна, то и корень один. Если, наконец, прямая y   px  q вовсе не пересекает параболу y  x 2 , то уравнение x 2  px  q  0 действительных корней не имеет.
3.* Графический способ решения уравнений требует особой аккуратности в построениях и обязательно должен сопровождаться аналитической проверкой результатов. Даже
очень незначительная погрешность при построении графика может привести к грубой
ошибке в определении корней. Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется решить
уравнение x 2  2 x  1 . Если воспользоваться формулой корней квадратного уравнения, то
получится
x12  1  12  1  1
Следовательно, данное уравнение имеет один действительный корень, а парабола
y  x и прямая y  2 x  1 имеют единственную общую точку A(11) , как на рисунке 2.
Если чуть-чуть ошибиться при построении графика и провести прямую выше ее истинного расположения, как l1 на рисунке 2, то точек пересечения окажется две — B и C .
Их абсциссы можно ошибочно принять за корни исходного уравнения.
Если же провести прямую чуть ниже, как l2 на рисунке 2, то она вообще не пересечется с параболой и можно будет сделать ошибочный вывод, что данное уравнение дей2
ствительных корней не имеет.
В таких сомнительных ситуациях только проверка при помощи точных формул из
предыдущего параграфа дает гарантию правильности сделанных построений.
4. Образ параболы y  x 2 при параллельном переносе.
Выясним, наконец, как правильно построить график функции y  x 2  px  q . Для
этого рассмотрим на координатной плоскости параллельный перенос, заданный какойнибудь парой чисел, например, (-2;3). При этом параллельном переносе парабола y  x 2
переходит в некоторую новую кривую. Найдем ее уравнение.
Пусть точка A1 ( x1  y1 ) лежит на исходной параболе, то есть ее координаты связаны
соотношением y1  x12 . При данном параллельном переносе точка A1 переходит в такую
точку A( x y ) , что x  x1  (2) , y  y1  3 . Отсюда вытекает, что x1  x  (2) , y1  y  3 .
Подставляя в равенство y1  x12 вместо x1 и y1 их выражения через x и y , придем к уравнению
y  3  ( x  (2))2 
Это и есть уравнение искомой кривой. Она тоже называется параболой (рисунок 3).
Аналогичные рассуждения можно провести для каждого параллельного переноса,
заданного парой чисел (a b) , и получить следующий результат:
при параллельном переносе, определенном парой чисел (a b) , парабола y  x 2 переходит в параболу с уравнением
(1)
y  b  ( x  a)2 
5. Представление параллельного переноса параболы в виде последовательных переносов вдоль осей.
Как известно, всякий параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) , является результатом последовательного выполнения двух простейших параллельных переносов - – вдоль оси Ox на a и вдоль оси Oy на b . Выясним, в какую кривую переходит парабола при каждом из этих простейших параллельных переносов.
Параллельный перенос вдоль оси Ox на a равносилен переносу, определяемому парой чисел (a 0) . Согласно общей формуле (1) при таком параллельном переносе парабола
y  x 2 перейдет в кривую с уравнением
y  ( x  a) 2 
Например, парабола y  ( x  2)2 получается параллельным переносом параболы
y  x 2 вдоль оси Ox на 2 (рисунок 4).
На рисунке 5 изображена парабола y  ( x  3)2 , полученная параллельным переносом параболы y  x 2 вдоль оси Ox на -3.
Аналогично, параллельный перенос вдоль оси Oy на b равносилен переносу, определяемому парой чисел (0b) . По общей формуле (1), при таком переносе парабола y  x 2
перейдет в кривую с уравнением y  b  x 2 , которое можно переписать в виде
y  x 2  b
Например, парабола y  x 2  2 получается из параболы y  x 2 параллельным переносом вдоль оси Oy на -2 (рисунок 6).
6. Построение графика функции y  ( x  a)2  b .
Из рассуждений пунктов 4 — 5 вытекает, что парабола с уравнением
(2)
y  ( x  a) 2  b
2
получается из параболы y  x в результате последовательного выполнения двух параллельных переносов. Сначала надо сделать параллельный перенос вдоль оси Ox на a , а
затем – - вдоль оси Oy на b . Можно выполнять эти параллельные переносы в обратном
порядке: сначала — вдоль оси Oy на b , а затем — вдоль оси Ox на a . Результат будет
тот же самый.
Например, параболу y  ( x  3)2  1 можно построить за два шага. На первом шаге
мы строим график функции y  ( x  3)2 , выполняя параллельный перенос параболы y  x 2
вдоль оси Ox на -3. На втором шаге мы переносим получившуюся кривую параллельно
оси Oy на -1. В итоге получится нужный график, как на рисунке 7.
7. Построение графика функции y  x 2  px  q .
Вернемся к построению графика квадратичной функции y  x 2  px  q . Для этого
проделаем с ней те же самые преобразования, что и при выводе формулы корней квадратного уравнения:
y  x 2  px  q 
2
 2
p
p2 
 p  
  x  2  x      q 


2
4 
 2   

p 
p2 

  x   q 

2 
4 

2
 
p
2
Итак, данное уравнение удалось переписать в виде (2), где роль a выполняет число
2
, а роль b — число q  p4 . Теперь для построения нужного графика достаточно взять
параболу y  x 2 и последовательно дважды параллельно перенести ее. Сначала — вдоль

 
оси Ox на  2p , а затем получившуюся кривую — вдоль оси Oy на q 
p2
4
.
Например, для построения графика функции y  x 2  3x  1 выполним такие преобразования:
2
2
3
3
3
y  x  3x  1  x  2   x     1    
2
2
2
2
2
2
3  13

x   
2 4

Значит, искомый график получается из параболы y  x 2 параллельным переносом,
определяемым парой чисел  32  134  .
8. В заключение рассмотрим некоторые особенности графика функции
2
y  x  px  q . Мы уже видели, что этот график получается параллельным переносом параболы y  x 2 . При этом вершина параболы y  x 2 , то есть точка (0 0) , перейдет в вер-

шину параболы y  x 2  px  q . Так как перенос определяется парой чисел  2p  q 
p2
4
 , то
такие же координаты будет иметь и новая вершина. Следовательно, вершина параболы

y  x 2  px  q имеет координаты  2p  q 
p2
4
.
2
Допустим, что q  p4  0 . Тогда вершина параболы y  x 2  px  q будет расположена выше оси абсцисс. Весь график также окажется в верхней полуплоскости, а его ветви
не пересекутся с осью абсцисс (рисунок 8). Это означает, что уравнение x 2  px  q  0 не
имеет действительных корней.
Если q 
p2
4

 0 , то параллельный перенос, определяемый парой чисел  2p 3 q 
 
 px  q совпадут с    0  (рисунок 9). Видно, что уравнение x
p2
4
,
сводится к сдвигу вдоль оси абсцисс на  2p . В данном случае координаты вершины параболы y  x 2
p
2
2
 px  q  0
имеет действительное решение x   2p .
2
Пусть, наконец, q  p4  0 . Тогда вершина параболы y  x 2  px  q окажется ниже
оси абсцисс, а ее ветви пересекут эту ось в двух различных точках ( x1 0) и ( x2  0) (рисунок 10). В данном случае уравнение x 2  px  q  0 имеет два различных действительных
корня x1 и x2 .
Контрольные вопросы
1. В чем состоит процедура графического решения квадратного уравнения?
2. Почему при графическом решении квадратных уравнений необходима проверка?
3. Что такое параллельный перенос?
4. Напишите уравнение кривой, в которую переходит парабола y  x 2 при параллельном переносе, определенном парой чисел (a b) .
5. Что происходит с параболой y  x 2 при параллельном переносе вдоль оси Ox на
a ? Какое уравнение имеет перемещенная парабола?
6. Что происходит с параболой y  x 2 при параллельном переносе вдоль оси Oy на
b?
7. Какое уравнение имеет перемещенная парабола?
8. Как изобразить график квадратного трехчлена y  x 2  px  q ?
9. Каковы координаты вершины параболы y  x 2  px  q ?
10. Как по графику квадратного трехчлена определить число действительных корней
соответствующего квадратного уравнения?
11.*Как проверить, пересекает график квадратного трехчлена y  x 2  px  q прямую
y  kx или нет?
Задачи и упражнения
1. Вычислите приближенные значения корней (с точностью до 0,1):
а) x 2  15 x  5  0 ; б) 3 x 2  14 x  4  0 ;
в) 5 x 2  24 x  9  0 ; г) 7 x 2  27 x  12  0 .
2. Решить графически уравнения:
а) x 2  x  2  0 ; б) x 2  2 x  3  0 ;
в) 2 x 2  3 x  4  0 .
3.В какую параболу перейдет парабола y  x 2 при параллельном переносе:
а) на (1; 0); е) на (-1; -1);
б) на (0; 1); ж) на (1; -1);
в) на (1; 1); з) на (-1; 1);
г) на (-1; 0); и) на (2; 3);
д) на (0; -1); к) на (4; -2).
4.* Определите, при каком параллельном переносе парабола:
а) y  x 2  1 ; в) y  x 2  4 x ;
б) y  x 2  2 x  1; г) y  x 2  6 x  4
переходит в параболу y  x 2 .
5. При каком параллельном переносе парабола y  x 2 переходит в параболу:
а) y  x 2  1 ; в) y  x 2  4 x ;
б) y  x 2  2 x  1; г) y  x 2  6 x  4 ?
6. Постройте график функции:
а) y  x 2  1 ; в) y  ( x  1) 2 ;
б) y  x 2  2 ; г) y  ( x  2)2 .
7. Постройте график функции:
а) y  x 2  2 x  3 ; г) y  x 2  4 x  5 ;
б) y  x 2  2 x  4 ; д) y  x 2  6 x  1;
в) y  x 2  4 x  1; е) y  x 2  6 x  5 .
8. Известно, что вершина параболы y  x 2  px  q лежит на оси Ox , а парабола проходит
через точку (2; 1). Найдите числа p и q .
9. Известно, что вершина параболы y  ax 2  bx  c лежит на оси Ox , а парабола проходит
через точки (- 1; 1) и (1; 9). Найдите числа a , b , c .
Ответы и указания
Задача 8. Указание. Вершина параболы y  x 2 , т. е. точка (0 0) , переходит в вершину параболы y  x 2  px  q при параллельном переносе, определяемым парой чисел

p
2
q 
p2
4
 . Поскольку вершина находится на оси Ox , то q 
p2
4
 0 , то есть q 
p2
4
. Из то-
го, что парабола y  x 2  px  q проходит через точку (2;1) следует, что выполняется равенство 1  22  p  2 
p2
4

, то есть 1  2 
 . Отсюда следует, что либо 1  2 
p 2
2
p
2
, и тогда
p  2 , q  1 , либо 1  2  2p , и тогда p  6 , q  9 .
Задача 9. Указание. Если исходить из данного в этой главе определения параболы
как кривой, заданной уравнением вида ( y  n)  ( x  m)2 для фиксированных чисел m и n ,
то формально сразу получаем, что a  1 . Подставляя значения координат (11) и (1 9) в
уравнение y  x 2  bx  c получаем соотношения 1  1  b  c и 9  1  b  c . Вычитая из
второго первое соотношение, получим b  4 , а после этого c  4 . Остается только проверить, что вершина параболы расположена на оси Ox . Решая уравнение 0  x 2  4 x  4 , ви-
дим, что 0  ( x  2)2 , то есть вершина этой параболы действительно расположена в точке
(2 0) , то есть на оси Ox .
Более сложным будет решение, если полагать, что графиком функции
f ( x)  ax 2  bx  c при a  0 также является парабола. В дальнейшем это будет доказано и
установлено, что параболу y  ax 2 при a  0 можно получить из параболы y  x 2 растяжением или сжатием вдоль оси Oy , то есть при каждом значении x умножением значения функции f1 ( x )  x 2 на одно и то же фиксированное число a . Будет показано также,
что любые две параболы подобны. Ориентируясь на эти закономерности, можно сделать
следующие
выводы.
Выделив
полный
квадрат,
получаем

f ( x)  ax 2  bx  c  a  x 2  ba x  ac   a x 2  2  2ba  x   2ba 
2 b2
4a2

 c  a   x  2ba   4ac4ab .
2
2
Отсюда видно, что если a  0 , то функция f ( x) при x   2ba принимает наименьшее
значение, равное
4 ac b2
4a
, а если a  0 , то функция f ( x) при x   2ba принимает наиболь-
шее значение, также равное
4 ac b2
4a
. Для параболы y  x 2 вершиной называется точка ми-
нимума функции f1 ( x )  x 2 , и аналогично для параболы y  ax 2  bx  c вершиной называется точка минимума при a  0 и точка максимума при a  0 для функции


f ( x)  ax 2  bx  c , то есть точка с координатами  2ba  4 ac4ab . Отсюда и из того, что вер-
шина параболы лежит на оси Ox получаем, что
4 ac b
4a
b 2  4ac  0
2
2
 0 или
(3)
Из того, что кривая y  ax 2  bx  c переходит через точки (11) и (1 9) получаем
еще два соотношения:
1  a  b  c
(4)
9  a  b  c
(5)
Вычитая из соотношения (4) соотношение (3), получаем 8  2b , откуда b  4 . Отсюда и из (2) получаем, что 16  4ac , то есть ac  4 . Таким образом, мы получили соотношения 1  a  4  c , 9  a  4  c , 4  ac , из которых следует, что c  a  5 и c  a4 , то есть
справедливо равенство a4  a  5 или a4  a  5  0 , или a 2  5a  4  0 . Решая это квадратное уравнение, находим a1  4 , a2  1 . Отсюда c1  1 , c2  4 . В результате получаем две
тройки чисел: a1  4 , b1  4 , c1  1 и a2  1 , b2  4 , c2  4 .