Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей 350000 г. Краснодар,

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:cdodd@mail.ru
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и решения к работе № 2,
2012-2013 уч. год
Задание 1.
После урока на доске остался график функции y=к/х и пять прямых, параллельных
прямой y=kx, (k≠0). Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.
Решение
Любая прямая, параллельная прямой y=kx , имеет уравнение y=kx+b , где b –
некоторая константа. Абсциссами точек её пересечения с гиперболой y= к/х являются
оба корня уравнения к/х =kx+b . Оно равносильно квадратному уравнению kx 2+bx-k=0
. По теореме Виета произведение корней этого уравнения равно =-1 . Перемножив пять
таких произведений, получаем ответ.
Комментарии. 1. Каждое из указанных квадратных уравнений имеет два
действительных корня, поскольку имеет дискриминант b2+4k2>0 . Геометрически это
как раз означает, что любая прямая, параллельная прямой y=kx , пересекает гиперболу
y= к/х в двух точках. Так же, как в решении, можно доказать более общий факт –
произведение абсцисс точек пересечения прямой и гиперболы y= к/х зависит только
от k и угла наклона прямой. Ответ: -1 .
Задание 2.
Доказать, что выражение
+
=2, если 1≤a ≤2 , и равно 2
, если a>2
Решение
│
+
-1│=
=
+
=│
+1│+
Задание 3.
На координатной плоскости xOy построена парабола y = x2. Затем начало координат
и оси стёрли. Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя
имеющуюся параболу)?
Решение
Докажем следующую лемму: Пусть M и N – середины двух параллельных хорд
параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы (рис. 1).
рис. 1
Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых y =
kx + a и y = kx + b, тогда абсциссы точек A, B, C, D – это корни уравнений x2 = kx +
a и x2 = kx + b, а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть
по теореме Виета равны k/2. Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy.
Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды
параболы; прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy);
перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках; серединный
перпендикуляр к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, а ось Ox –
это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой.
Задание 4.
Сравните без помощи калькулятора
числа:
Решение
Рассмотрим разность между данными
числами:
=
=
,так как первая дробь больше
второй. Действительно, числитель первой дроби больше числителя второй, а
знаменатель — меньше, так как первая дробь больше второй. Действительно,
числитель первой дроби больше числителя второй, а знаменатель — меньше.
Задание 5.
 x  1 2
Решить уравнение:
 1  2x  x 2 
x3
x3
 5.
Указание: воспользоваться известным
свойством a 2  a .
Ответ:x=2; x= -2.
Задание 6.
Не вычисляя корней x1 ; x 2 ; многочлена
f  x  ax 2  bx  c , где a  0 , дать метод
нахождения значения выражения Sn  x1n  x2n для любого натурального n через
коэффициенты a, b, c .
Решение.
По
формулам
Виета
x1  x 2  
2
c
c
 b
S 2  x  x   x1  x 2   2 x1 x2      2
x1  x 2  .
,
где
 a
a
a
n
n
n 1
n 1
n 1
n 1
Рассмотрим S n  x1  x2  x1  x2  x1  x2   x1 x2  x2 x1 
2
1
2
2
b
 S1 .
a
2

S n 1  x1  x 2   x1 x 2 x 2n  2  x1n  2
 S
n 1
 x1
S2 
Найдем
b 2 2c b 2  2ac
.


a2 a
a2
 x 2   S n  2  x1 x 2  
Итак,
 b
c
 S n 1  
  S n2  
 a
a
 b
 c
S n  S n 1      S n  2    . Из полученного тождества можно определять выражения для
 a
 a
S 3 , S 4 ,... через коэффициенты a, b, c . Далее отметим следующее. Если рассмотреть
выражения ax 2  bx  c и выделить в нем полный квадрат, то получим
2
2
b
b 2  4ac
b
D


2
ax  bx  c  a x   
 a x   
. Откуда видно, что выражение


2a 
4a
2a 
4a
b
если a  0 ; наибольшее
ax 2  bx  c принимает наименьшее значение при x  
2a
b
значения также при x  
если a  0 . Графиком квадратичной функции
2a
 b 4ac  b 2 
y  f  x  ax 2  bx  c , где a  0 является парабола с вершинами в точке   ;
.
4a 
 2a
b
Ветви параболы направлены вверх при a  0 и вниз при a  0 . Прямая x  
является
2a
осью симметрии параболы y  ax 2  bx  c . Если D  b 2  4ac  0 , то точки пересечения
параболы y  ax 2  bx  c с осью OX
есть корни x1, x2 квадратного уравнения
y  ax 2  bx  c = 0 . Если D  b 2  4ac  0 , то парабола касается оси OX в точке x  
b
.
2a
Если D  0 , то пересечений параболы y  ax 2  bx  c с осью OX нет.
Задание 7.
Найти все значения параметра a , при которых вершина параболы y  f  x  x 2  ax  5
расположена на координатной плоскости:
а) слева от оси OX; б) выше оси OX;
в) на оси OX.
Решение
 a a2 a2
  a
a 2  20 
а) координаты вершины параболы y  x  ax  5 есть   ;

 5    ; 
,
2
4 
 2 4
  2
2
поэтому вершина параболы слева от оси OX , если ее абсцисса меньше нуля, т.е.

a
 0 , откуда a  0 .
2
 a 2  20
б) вершина выше оси OX, если ордината больше нуля, т.е.
 0 , откуда a 2  20 ,
4
т.е. при a  2 5 .
 a 2  20
в) вершина параболы на оси OX, если ордината равна нулю, т.е.
 0,
4
следовательно a 2  20 или a  2 5 , т.е. при a1  2 5 и a 2  2 5 . Далее отметим
следующее: для того, чтобы уравнение f  x  ax 2  bx  c  0 имело действительные
корни, лежащие на числовой оси левее числа А, является одновременное выполнение
следующих неравенств: D  b 2  4ac  0; x B  
f  x  ax 2  bx  c  0
b
d и
2a
af  A  0 . Чтобы уравнение
имело действительные корни, больше данного числа А,
необходимо и достаточно, чтобы D  b 2  4ac  0; 
b
 d ; a  f  A  0 . Наконец, для того
2a
, чтобы уравнение f  x  ax 2  bx  c  0 имело один корень меньше A, а другой больше
А необходимо и достаточно, чтобы b 2  4ac  0 , a  f ( A)  0 .