matan4

Лекция №15
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.
Тема: Пять основных разложений
1)y=ex, x0=0
y(0)=1
y’(0)=ex|x=0=1
y’’(0)=ex|x=0=1
y(n)(0)=ex|x=0=1
ex  1
n=1
x x 2 x3
xn



 o( x n ), x  0
1! 2! 3!
n!
ex=1+x+o(x),xx0
2) y=sinx, x0=0
y(0)=0
(  x) 3 x 5 x 7
(1) n1 x 2 n 1
y’(0)=cos|x=0=1
sin x  x 



 o( x 2 n )
y’’(0)=-sinx|x=0=0
3!
5!
7!
(2n  1)!
y’’’(0)=-cosx|x=0=-1
y’’’’(0)=sinx|x=0=0
если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k
3) y=cosx, x0=0
y(0)=1
x2 x4 x6
(1) n x 2 n
y’(0)=-sinx|x=0=0
cos x  1 



 o( x 2 n1 )
y’’(0)=-cosx|x=0=-1
2!
4! 6!
(2n)!
y’’’(0)=sinx|x=0=0
y’’’’(0)=cosx|x=0=1
если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0
4) y=ln(1+x), x0=0
y(0)=ln1=0
y’(0)=1/(1+x)|x=0=1
y’’(0)=1(-1)/(x+1)2x=0=-1
y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3x=0=(-1)(-2)
y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4x=0=(-1)(-2)(-3)
y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)nx=0=(-1)n-1123…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!
1! x 2
2! x 3
3! x 4
( 1) n 1 (n  1)! n



x  o( x n ), x  0
2!
3!
4!
n!
(n  1)!
1  2  3 ( n  1)
1


n!
1  2  3 ( n  1) n
n
ln( 1  x)  x 
ln( 1  x)  x 
x2
x3
x4
(1) n 1 n



x  o( x n ), x  0
2
3
4
n
5) y=(1+x)p, x0=0
y(0)=1
y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p
y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2x=0=p(p-1)
y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3x=0=p(p-1)(p-2)
y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-nx=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)
Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 np+1
(1  x) p  1 
px p( p  1) x 2
p( p  1)...( p  n  1) x n

 ... 
 o( x n ), x  0
1!
2!
n!
(либо n<p, если p-натуральное)
px
p ( p  1) x 2
p ( p  1)( p  2)...1  x p
(1  x ) p  1 

 ... 
, p 
1!
2!
p!
p ( p  1)  ( p  n  1) p
C pn 
 n , n  p, n  , C pn  числосо сочетаний
p!
p!
p
n
n  Cp 
n!( p  n)!
( a  b) n  a n  C n1 a n 1b1  C n2 a n  2 b 2    C nn 1 ab n C nn b n
C ck  C nn  k
*
o’1
x2n+2=xx2n+1=o(x2n+1)
*
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.
Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х0), тогда в некоторой Оε(х0)
f ( x)  f ( x 0 ) 
f ' ( x 0 )( x  x 0 ) f ' ' ( x 0 )( x  x 0 ) 2 f

1!
2!
( n)
( x 0 )( x  x 0 ) n
f

n!
( n 1)
(c)( x  x 0 ) n 1
(n  1)!
#
где с лежит между х и xn
Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям
(x)=f(x)-Tn(x)$
g(x)=(x-x0)n+1
(x0)=0; ’(x0)=0,…,(n)(x0)=0; (n+1)(x)=f(n+1)(x)
g’(x0)=(n+1)(x-x0)nx=0=0; g(n+1)(x)=(n+1)!
[a,b](x);(a,b)g(x);g’(x)0
 (b)   (a)

 ' (c )
g (b)  g (a) g ' (c)
 ' (c1 )  ' (c1 )   ' ( x0 )
 ( x) f ( x)  Tn ( x)  ( x)   ( x0 )


 c1 между числами х и х0  


n 1
g ( x)
g ( x)  g ( x0 )
g ' (c1 ) g ' (c1 )  g ' ( x0 )
( x  x0 )
 ' ' (c 2 )
 ( n ) (c n )
 ( n 1) (c)
f ( n 1) (c)
 c 2 между числами c1 и х0  
   (n)


 f ( x)  Tn ( x) 
g ' ' (c 2 )
(n  1)!
g (c n ) g ( n 1) (c)
f ( n 1) (c)( x  x0 ) n
(n  1)!
Лекция №16
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 21 ноября 2000 г.
Тема: Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа, Выпуклость, Вогнутость.
Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.
Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х0), тогда
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[f’’(c)(x-x0)2]/2 где с лежит между х и х0
уравнение касательной
  f ( x)  y кас 
f ' ' (c ) ( x  x 0 ) 2
2

M ( x  x0 ) 2
2
x  O ( x 0 )
Если f’’(x)M xO(x0)
f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х0)
  f ( x)  Tn ( x) 
f
n 1
n 1
M x  x0
(c)( x  x0 ) n 1

(n  1)!
(n  1)!

1  x  x0
f(x)=Tn(x)+Rn(x) в О(х0)
n=1
T1(x) – линейная функция
n=2
T2 ( x)  f ( x0 ) 
f ' ( x0 )( x  x0 ) f ' ' ( x0 )( x  x0 ) 2

 ax 2  bx  c
1!
2!
- график парабола
f(x)-T1(x)=f’(x0)x-x0
f(x)-T2(x)=[f’’(x0)x-x02]/2
T3(x)=ax3+bx2+cx+d – график кубическая парабола
#
$

f ( n1) (c)( x  x0 ) n1
- остаточный член в форме Лангранджа
(n  1)!
-Tn(x) – многочлен Тейлора
Rn(x)-остаточный член в форме Лангранджа
f
n 1
( x)  M
в О( х 0 ) 
Mn11
(n  1)!
Выпуклость и вогнутость.
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх
в точке х0, если f(x)-yкас<0 в О(х0)
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в
точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0)
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх
(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)
в каждой точке этого интервала.
Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) дифференцируема в О(х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 –
называется точкой перегиба графика f(x), если при переходе через точку меняется знак выпуклости.
Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)<0 (f’’(x0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз)
в тоске х0.
Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:
f ' ' ( x0 )( x  x 0 ) 2
 o ( x  x0 ) 2 при х  х0
2
f ' ' ( x 0 )( x  x0 ) 2
 f ' ' ( x0 )


  ( x  x0 )( x  x 0 ) 2  ( x  x0 ) 2 
  ( x  x 0 ) при х  х0
2
 2


f ( x)  f ( x 0 )  f ' ( x0 )( x  x 0 ) 
f ( x)  y кас

Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)<0, то f(x)-yкас>0 в О(х0).
Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О(х0)
Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х0) и дважды дифференцируема в О(х0), причём f’(x) меняет знак
при переходе через точку х0, тогда точка х0 – точка перегиба.
Доказательство:
f’’(x)
-
(

+
)
x
x0
f’’(x)<0 в O-(x0) f(x) – выпукла вверх в О-(х0)
f’’(x)>0 в O+(x0) f(x) – выпукла вниз в О+(х0)
Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х0. Если точке х0 точка перегиба, то f’’(x0)=0
Путь точка х0 точка перегиба и существует f’’(x0)>0, тогда
f ' ' ( x0 )( x  x0 ) 2
 o ( x  x0 ) 2 при х  х0
2
f ' ' ( x0 )( x  x0 ) 2
 f ' ' ( x0 )


  ( x  x0 )( x  x0 ) 2  ( x  x0 ) 2 
  ( x  x0 ) при х  х0
2
2


f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
f ( x)  y кас
0
в О( х0 )


то есть при переходе через точку х0 левая часть равенства f(x)-yкас не меняет знак. Аналогично получаем для
f(x)>0 f’’(x0)=0
Замечание: Условие равенства f’’(x0)=0 необходимо, но недостаточно.
Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0, тогда точка х0 точка максимума если f’’<0, точка х0
точка минимума если f’’(x0)>0.
Доказательство:
f ' ' ( x0 )( x  x 0 ) 2
 o ( x  x0 ) 2 при х  х0
2
f ' ' ( x 0 )( x  x0 ) 2
 f ' ' ( x0 )

f ( x)  f ( x0 ) 
  ( x  x 0 )( x  x0 ) 2  ( x  x0 ) 2 
  ( x  x 0 ) при х  х0
2
 2


f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) 

При х достаточно большим и х0 знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x0) f(x)-f(x0)>0 в О(х0),
если f’’(x0)>0 то есть f(x)>f(x0) в О(х0) х0 точка минимума, если f(x)-f(x0)<0 в О(х0), и если f’’(x0)<0 то есть
f(x)<f(x0) в О(х0) х0 точка максимума.
Замечание: Если f’(x0)=0 и f’’(x0)=0, то нужны дополнительные исследования.
Лекция №17
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: среда, 22 ноября 2000 г.
Тема: Асимптоты. Полное исследование функции.
Асимптоты.
1.
Вертикальные
0 
1.1 Пусть функция f(x) определена в
О ( х0 ) и lim f ( x)   , тогда прямая х=х0 называется правой
x  x0  0
вертикальной асимптотой для функции f(x)
0 
1.2 Пусть функция f(x) определена в
О ( х0 ) и lim f ( x)   , тогда прямая х=х0 называется левой
x  x0 0
вертикальной асимптотой для функции f(x)
2.
2.1
Наклонные асимптоты
Пусть функция f(x) определена в О () и lim f ( x)  ( kx  b)  0 , тогда прямая y=kx+b называется
x  


правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная
асимптота).


Пусть функция f(x) определена в О () и lim f ( x)  ( kx  b)  0 , тогда прямая y=kx+b называется
2.2
x  
левой наклонной асимптотой для функции f(x).
Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.
Пусть функция f(x) определена в О(+) и
1)
2)
f ( x)
k 
x
 lim  f ( x)  kx  b  
 lim
x  
x  
тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота
lim  f ( x)  (kx  b)  lim  f ( x)  kx  lim b  lim  f ( x)  kx  b  0  lim  f ( x)  kx  b
x  
x  
x  
x  
x  
Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение
х+
функции на бесконечности.
Полное исследование функции.
Область определения
Симметрия и периодичность
Вертикальные асимптоты
Наклонные асимптоты
Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания
функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует
6) Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно
промежутки выпуклости и вогнутости
7) Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)
Пример:
1)
2)
3)
4)
5)
f ( x)
x
( x  3) 3
1) Область определения D: x3
2) Функция не симметрична и не периодична
lim
3)
x 3 0
lim
x 3 0
x

( x  3) 3
x

( x  3) 3
30
3
3


   
0
(3  0  3) 3
(0) 3
30
3
3


   
0
(3  0  3) 3
(0) 3
 х=3 правая и левая вертикальная асимптота
f ( x)
1
 lim
0k
x   ( x  3) 3
x
x
x
1
lim  f ( x)  kx  lim
 lim
 lim
0b
x  
x   ( x  3) 3
x   x 3
x   x 2
4)
lim
x  
 y=0 правая и левая горизонтальная асимптота
3

 2 x  
2

f ' ( x) 
( x  3) 4
5)
критическая точка х1=-3/2
f(-3/2)=4/243
f ' ' ( x) 
6( x  3)
( x  3) 5
6)
критическая точка х2=-3
f(-3)=1/72
7)x=0 y=0
Приближенные методы решения уравнения f(x)=0
1) Метод хорд
а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]
б) f(a)f(b)<0
в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]
f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))
xa
y  f (a)

ba
f (b)  f (a )
f (b)  f (a )
y  f (a) 
( x  a)
ba
f (b)  f (a )
0  f (a) 
( x1  a )  f (a )(b  a )   f (b)  f (a )x1  a f (b)  f (a )
ba
a f (b)  f (a )  f (a )(b  a )
f (a )(b  a )
x1 
; x1  a 
f (b)  f (a )
f (b)  f (a )
f (a )( x n  a )
f (a )( x1  a )
x2  a 
;
x n 1  a 
f ( x1 )  f (a )
f ( x n )  f (a)
Лекция №18
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
b  x1  x 2        a
x n   убывающая
т. В
ограниченная   lim x n  
n 
f ( a )(  a )
 a
f ( )  f (a )
f ( )  f ( a )  af ( )  af ( a )  f (a ) )  f ( a ) a
f ( )(  a )  0
a
f ( )  0    
Оценка скорости сходимости.
т. Л
f ( x n )  f ( x n )  f ( )  f ' (c)( x n   )
где С лежит между x n и   x n   
f ' ( x)  m  0, x  a, b
xn   
f ( xn )
m
2) Метод касательных (метод Ньютона)
f(x)=0
1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b]
2)f(a), f(b) <0
3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b]
    x n  x n 1    x 2  x 2  b
т. В
и ограниченная   lim x n  
Yкас  f (b)  f ' (b)( x  b)
f ' (c )
2
тогда   a
xn   убывающая
f ( xn )
n 
точка пересечения х1 – это точка пересечения касательной с осью Ох
Yкас=0, x=x1
0=f(b)+f’(b)(x1-b)
f’(b)b-f(b)=f’(b)x1
f ( x1 )
;
f ' ( x1 )
x1  b 
f (b)
;
f ' (b)
  
f ( )
 f ( )  0    
f ' ( )
x 2  x1 
x n 1  x n 
f ( xn )
f ' ( xn )
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn
f ' ( x n )( x  x n )
f " (c n )( x  x n ) 2

1!
2!
f ( x)  f ( x n ) 
c – лежит между х и хn
Положим x=;
f()=0
0  f ( x n )  f ' ( x n )(  x n ) 
x n 1  x n 
f " (c )(  x n ) 2
2
f ( xn )
f ' ( xn )
  x n   n , n  0.1
  x 0    xb   0
x n 1    x n   
  x n 1 
 n 1 
f ( xn )
f " (c)(  x n ) 2
 x n    (  x n ) 
f ' ( xn )
2 f ' ( xn )
f " (c )   x n
2
2 f ' ( xn )
2n f " (c )
2 f ' ( xn )
M>0:|f”(x)|M
x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b]
2n M
;
2m
 2n C
 n 1 
 n 1
M
C
2m
n0
 1  20 C
 2  21C  40 C 2 C ;
 3  22 C  80 C 4 C 3  (6  a ) 8 C 7
Надо выбирать отрезок так b-a<1
|f”(x)|M
Вектор функция. Параметрическая производная.



(1) r (t )  x(t )i  y(t ) j , t  ( ,  )
 
i , j  базисные вектора
 
i  j;


i  j 1
По закону (1) ставиться в соответствие вектор r(t). (x(t),y(t) – заданные числовые функции
r(t) – вектор функция. Кривая описываемая концом вектора – называется годографом.



r (t )  ti  (t  t 2 ) j , t  (; )
 x(t )  t

2
 y (t )  t  t
t
x(t)
y(t)
r(t)
0
0
0
0
1
1
0
i
-1
-1
-2
-i-2j
2
2
-2
2i-2j
3
3
-6
3j-6j
 x(t )  t

2
 y (t )  t  t
x  t

2
t  ( ; )
y  t  t
2
y  x  x  x(1  x)
Видим, что кривые на плоскости можно задать в виде:
 x   (t )

 y  g (t )
t  ( ,  )
Называется параметрическое задание кривой, где t –параметр
x2+y2=r2
 x  r cos t

 y  r sin t t  (; )
x2 y2

1
a2 b2
 x 2  r 2 cos 2 t 2
x  y2  r2
 2
2
2
 y  r sin t
½
½
1/4
1/2i+1/4j
 x  ar cos t

 y  br sin t t  (; )
Остроида
x2/3+y2/3=a2/3
 x  a cos 3 t

 y  a sin 3 t t  (; )
Циклоида
 x  (t  sin t )a


a
 y  (1  cos t ) 2
Лекция №19
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Параметрическая производная.