Тема 2. Векторная алгебра

ТЕМА 2. Векторная алгебра.
1. Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на
число).
2. Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное
произведение, смешанное произведение).
3. Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности,
условие перпендикулярности, условие компланарности векторов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /
Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, 1980.-175 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В.
Клетеник. - М. - Наука, 1975. - 239 с.
3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. издво физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с.
4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко,
А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, 1974. - 415 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задание 1: Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , разложенные по векторам a и b ,
где c1  5a  3b , c2  4a  b , a  2; 1;5, b  7;1; 3.
Решение:
1. Вычислим проекции векторов c1, c2 на оси координат:
c1  5a  3b  5  2  3  7;5   1  3  1;5  5  3   3  31; 2;16,
c2  4a  b  4  2  7;4   1  1;4  5   3  15; 3;17
2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат
пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций
векторов на оси координат:
c1 31 2 16


 ,  c1 , c2 не коллинеарны.
c2 15 3 17
Задание 2: Перпендикулярны ли векторы a  7;1;2, b  3;2; 1 ?
Решение: Два вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение
равно 0,скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси
координат,
вычисляется
по
формуле:  a , b   a x  bx  a y  by  az  bz ,
где
a  a x ; a y ; a z , b  bx ; by ; bz   вычислим скалярное произведение:
 a, b   7  3  1 2  2   1  21  0  векторы не перпендикулярны.
Задание 3: Компланарны ли векторы a  1;2; 1, b  0;2;1, c  2;0;3 ?
Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов
равно 0, смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:
ax
abc  bx
cx
ay
by
cy
az
bz , где a  a x ; a y ; a z , b  bx ; by ; bz , c  c x ; c y ; cz   вычислим смешанное
cz
произведение векторов:
1 2 1
abc  0
2
2
0
1  6  4  0   4   0  0  2  0  векторы не компланарны.
3
AB, AC ,
каком
значении
векторы
где

A  2;1;  , B  3;1;4 , C  2;5;3 . , перпендикулярны?
Решение:
1) Для определения  , при котором векторы перпендикулярны, необходимо
использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было
рассмотрено в задании 2)   мы сможем найти из условия:  AB, AC   0 , для
Задание
4:
При
этого найдем проекции векторов AB и AC на оси координат, заданных
координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора
на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало
вектора  AB  3  2;1  1;4     1;0;4   , AC  2  2;5  1;3     0;4;3    
 AB, AC   1  0  0  4   4     3     0  0   4     3     (4   )  3     0    4,  3.
Итак: векторы AB и AC перпендикулярны при   4 и при   3.
Задание 5: Даны точки: A 1;0; 1 , B 0;1;3 , C  2;0;1 .
Найти:
1. пр ABCB  2 AC  3CB  ;

2.

AB  4 BC ;
3.   AB  CB, AB  ;
4. орт вектора AB ;
5.   AB  4 BC  ,  BA  AC   ;
6.  AB  2 BC  , CB  AB  ;
7. AB  BC  AC;
Решение:
1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на
вектор можно вычислить по формуле: пр BC AB 
 AB, BC  ,
BC
где скалярное
произведение векторов вычисляется по формуле:  a , b   ax  bx  a y  by  az  bz , где
a  a x ; a y ; a z , b  bx ; by ; bz , и длина вектора: a  a x  a y az  итак ,в нашем
2
2
случае, формула принимает вид: пр AB CB  2 AC  3CB  
2
  2 AC  3CB  ,  AB  CB 

AB  CB


для нахождения пр ABCB   2 AC  3CB  необходимо найти проекции векторов на
оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов,
скалярное произведение и длину соответствующего вектора:
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4, CB  0  2;1  0;3  1  2;1;2,
AC  2  1;0  0;1   1  1;0;2,
AB  CB   1   2  ;1  1;4  2  3;2;6,
2 AC  2  1;2  0;2  2  2;0;4,3CB  3   2  ;3  1;3  2  6;3;6,
2 AC  3CB  2   6  ;0  3;4  6  4;3;10,
  AB  CB  ,  2 AC  3CB     3   4  2  3  6 10  12  6  60  78,
AB  CB 
 3
2
 22  62  9  4  36  49  7 
на основании формулы, выше написанной, получим :
 пр
  2 AC  3CB  ,  AB  CB   78


 AB CB
 2 AC  3CB   787 ;
пр AB CB  2 AC  3CB 
 AB  CB 
7
2.
Для
нахождения
длины
вектора
воспользуемся
формулой: a  a x 2  a y 2  a z 2 , a  a x ; a y ; a z  , для этого найдем проекции векторов
на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму векторов по правилу
сложения векторов, заданных проекциями на оси координат:
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4, BC  2  0;0  1;1  3  2; 1; 2,
4 BC  4  2;4   1 ;4   2   8; 4; 8,
AB  4 BC  1  8;1   4  ;4   8  7; 3; 4
 AB  4 BC  7   3   4   49  9  16  74 ;
2
2
2
Итак: AB  4 BC  74.
3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного
произведения:  a , b   a  b  cos   a , b     a , b   arc cos
формула принимает вид:    AB  CB  , AB   arccos
 a, b  
ab
в нашем случае
 AB  CB  , AB 
AB  CB  AB
 находим
проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем
скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси
координат, вычисляем длины векторов:
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4, CB  0  2;1  0;3  1  2;1;2,
AB  CB   1   2  ;1  1;4  2  1;0;2,
  AB  CB  , AB   1   1  0 1  2  4  7,
AB  CB  12  02  22  1  0  4  5,
AB 
 1
2
 12  42  1  1  16  18




 AB  CB , AB  arccos
 AB  CB  , AB   arccos
AB  CB  AB
Итак    AB  CB  , AB   arccos
7
7
7
 arccos
 arccos
;
5  18
5 3 2
3 10
7
.
3 10
4. Направление вектора a определяется углами  ,  ,  , образованными им с
осями координат Ox, Oy , Oz. Косинусы этих углов (направляющие косинусы
вектора)
определяются
по
формулам:
cos  
a
ay
ax
ax
a
ax

,cos   y 
,cos   z 
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
ax  a y  az
ax  a y  az
ax  a y  az
Направляющие
косинусы
вектора
связаны
соотношением
cos   cos   cos   1  мы имеем вектор единичной длины, такой вектор
называется ортом  для нахождения орта вектора необходимо каждую
проекцию вектора на оси координат разделить на его длину
2

2
2
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4,
1
4 
 1
;
;
 орт вектора AB   
.
3
2
3
2
3
2


AB   1  1  4  1  1  16  18  3 2
2
2
2
Итак: орт вектора AB   
4 
.
 3 2 3 2 3 2
1
;
1
;
5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле:
 a, b   ax  bx  a y  by  az  bz , a  ax ; a y ; az , b  bx ; by ; bz  (см. пункты 1 и 2), вычислим
проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов :
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4, BC  2  0;0  1;1  3  2; 1; 2,
4 BC  4  2;4   1 ;4   2   8; 4; 8,
AB  4 BC  1  8;1   4  ;4   8   7; 3; 4,
BA   AB   1   1 ;  1  1;  1  4  1; 1; 4, AC  2  1;0  0;1   1  1;0;2,
BA  AC  1  1; 1  0; 4  2  0; 1; 6 
  AB  4BC  ,  BA  AC    7  0   3   1   4   6  0  3  24  27;
Итак:   AB  4 BC  ,  BA  AC    27;
6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:
i
a , b   ax


by
j
ay
k
a z , где a  a x ; a y ; a z , b  bx ; by ; bz  
by
bz
Находим проекции векторов на оси координат:
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4, BC  2  0;0  1;1  3  2; 1  2,
2 BC  2  2;2   1 ;2   2   4; 2; 4,
AB  2 BC  1  4;1   2  ;4   4   3; 1;0, CB  0  2;1  0;3  1;  2;1;2,
CB  AB  2   1 ;1  1;2  4  1;0; 2 


i

j
k
 AB  2 BC , CB  AB   3 1 0  i   1   2   j  0   1  k  3  0  k   1   1 


1 0 2
i  0  0  j   2   3 
2i  0 j  0k  k  0i  6 j  2i  6 j  k .
Итак:  AB  2 BC , CB  AB   2i  6 j  k .



7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:
ax
a  b  c  bx
cx
ay
by
cy
az
bz ,
cz
a  a x ; a y ; a z , b  bx ; by ; bz , c  c x ; c y ; cz  
где
AB  0  1;1  0;3   1  1;1;4, BC  2  0;0  1;1  3  2; 1; 2,
AC  2  1;0  0;1   1  1;0;2,
1
AB  BC  AC  2
1
1
4
1 2   1   1  2  1  1   2   2  0  4  1   1  4  0   2    1  2  1  2 
0 2
 2   2   0   4   0  4  2  2  4  4  0;
Итак: AB  BC  AC  0.
Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды:
A 1;4;3 , B  2;3;1 , C  2;1;3 , D 0;1;2 .
Вычислить:
1. объем пирамиды;
2. длину ребра AB ;
3. площадь грани ABC ;
Решение:
1. Объем пирамиды равен
1
объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда
6
вычисляется
на
основании
произведения  объем
геометрического
смысла
смешанного
параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:
V  a  b  c , a  a x ; a y ; az , b  bx ; by ; bz , c  cx ; c y ; cz ,
Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат:
AB  2  1;3  4;1  3  1; 1; 2, AC  2  1;1  4;3  3  3; 3;0,
AD  0  1;1  4;2  3  1; 3; 1,
Тогда объем пирамиды равен:
V
1
AB  AC  AD
6
Вычислим объем по указанной формуле:
1 1 2
1
1
1
V  3 3 0  3  0  18  6  0  3  6  1 ;
6
6
6
1 3 1
2. Длина ребра
AB  AB  AB  2  1;3  4;1  3  1; 1; 2 
AB  12   1   2  6 ; (смотри пункт 5,3)
2
2
3. Площадь грани ABC вычисляется по формуле:
S ABC 
1
 AB, AC  так как грань ABC  треугольник, а площадь треугольника
2
можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь
параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых
построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения 
найдем проекции векторов на оси координат:
AB  2  1;3  4;1  3  1; 1; 2, AC  2  1;1  4;3  3  3; 3;0
 S ABC
i
j k
1
1

1 1 2  6i  6 j  6k
2
2
3 3 0

1
6
36  36  36 
33 3;
2
2
Контрольная работа
Задания для индивидуальной контрольной работы
Задание 1: Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , разложенные по векторам a и b ?
Задание 2: Перпендикулярны ли векторы a и b ?
Задание 3: Компланарны ли векторы a , b , c ?
Задание 4: При каком значении  векторы AB и AC перпендикулярны?
Задание 5: Даны координаты точек A, B, C. . Вычислить:
1) пр  ABCB  (2 AC  3CB) ;
2) AB  4 BC ;
3)   ( AB  CB ), AB  ;
4) орт вектора AB ;
5)   AB  4 BC  ,  BA  AC   ;
6)  AB  2 BC  , CB  AB  ;
7) AB  BC  AC ;
Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Вычислить:
1) объем пирамиды;
2) длину ребра AB ;
3) площадь грани ABC ;
Варианты для индивидуальной контрольной работы.
Вариант 1
1.1
3.1
2.1
4.1
5.1
6.1
a  1; 2;3, b  3;0; 1, c1  2a  4b , c2  3a  b.
a  2;3; 1, b  1; 1; 3, c  1; 9;1.
a  1;3; 1, b  3; 2;3.
A  ; 2;3 , B  0; 1;2 , C  3; 4;5 .
A  1;2;1 , B  1;3; 4 , C 0;1; 2  .
A 1; 1;1 , B  1;2; 4 , C  2;0; 6 , D  2;5;1 .
Вариант 2
1.2
2.2
3.2
4.2
5.2
6.2
a  1;0;1, b  2;3;5, c1  a  2b , c2  3a  2b.
a  2;1;4, b  4;1;3.
a  3; 2;1, b  2;1;1, c  3; 1; 2.
A  0; 3;  , B  12; 3; 3 , C  9; 3; 6 .
A  0;1;2 , B  3; 1;2 , C  1;2;5 .
A  0;5;0 , B  2;3; 4 , C 0;0;6 , D  3;1; 1 .
Вариант 3
1.3
2.3
3.3
4.3
5.3
6.3
a  2; 4;1, b  1;2; 7, c1  5a  3b , c2  2a  b.
a  0;1;2, b  1;3; 2.
a  2; 1;2, b  1;2; 3, c  3; 4;7.
A  3; ; 1 , B 5;5; 2 , C  4;1;1 .
A  0;2;3 , B  3;1;2 , C 1;5;1 .
A  0;0;6 , B  4;0; 4  , C 1;3; 1 , D  4; 1; 3 .
Вариант 4
1.4
2.4
3.4
4.4
5.4
6.4
a  1;2; 3, b  2; 1; 1, c1  5a  3b , c2  8a  b.
a  1;2;1, b  3;1;2.
a  1;2;4, b  2;1; 5, c  1; 1; 1.
A  1;2;  , B  3;4; 6 , C 1;1; 1 .
A 1;0;3 , B 1;4;1 , C  0;2;3 .
A  5;6; 1 , B  6; 5;2 , C  6;5;1 , D 0;0;2  .
Вариант 5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
a  3; 5;4, b  5;9; 7, c1  2a  3b , c2  3a  2b.
a  2;1;7, b  2;4; 3.
a  2; 1;1, b  1;2;3, c  1; 3; 2.
A  4; 2;0 , B  ; 2;4 , C  3; 2;1 .
A 1;1;0 , B  4;1;2 , C 1;2;3 .
A  2; 5;3 , B  3;2; 5 , C 5; 3; 2 , D  5;3; 2 .
Вариант 6
1.6
2.6
3.6
4.6
5.6
6.6
a  1;4; 2, b  1;1; 1, c1  a  b , c2  4a  2b.
a  4;1;5, b  1;3;1.
a  3; 1;2, b  2; 1; 1, c  4; 2; 2.
A  5;3; 1 , B  ; 2;0 , C  6; 4;1 .
A  1;4;2 , B 5;2;3 , C 0;1;2  .
A  6;0;4 , B  0;6;4 , C  4;6;0 , D 0; 6;4  .
Вариант 7
1.7
2.7
3.7
4.7
5.7
6.7
a  1; 2;5, b  3; 1;6, c1  4a  2b , c2  b  2a.
a  3; 1;2, b  2;3; 1.
a  1;1; 1, b  7;3; 6, c  1;1;9.
A  3; 7; 5 , B  0; ; 2 , C  2;3;0 .
A  3; 2;1 , B 1;3;2 , C  2;4;1 .
A  3;2;4 , B  2;4;3 , C  4;3; 2 , D  4; 2; 3 .
Вариант 8
1.8
2.8
3.8
4.8
5.8
6.8
a  3;5; 1, b  2; 1;1, c1  6a  3b , c2  b  2a.
a  4; 1;5, b  1; 3;1.
a  2; 4;9, b  2;0; 3, c  7;9; 3.
A  2; 4;6 , B  0; 2;  , C  2;3;0 .
A  1;3; 1 , B  3;2;3 , C  1;3;0 .
A  6;3;5 , B 5; 6;3 , C 3;5;6 , D  6; 1;2  .
Вариант 9
1.9
2.9
3.9
4.9
5.9
6.9
a  2; 3; 4, b  1;0; 5, c1  3a  9b , c2  a  3b.
a  9;1;2, b  1;1;4.
a  1;1;1, b  1;1; 1, c  6;0;5.
A  0;1; 2 , B  3;1;2 , C ;1;1 .
A 1; 1;6 , B  4;5; 2 , C  1;3;0 .
A 5; 2; 1 , B  4;0;0 , C  2;5;1 , D 1;2;5 .
Вариант 10
1.10
2.10
3.10
4.10
5.10
6.10
a  1;4;2, b 3;2; 6, c1  2a  5b , c2  3b  6a.
a  8;2;3, b  2;8;0.
a  7;2;3, b  5; 3;2, c  10; 11;5.
A  3;3;1 , B 1;5; 2 , C  4;;1 .
A  7;1;2 , B  5;3; 2 , C  3;2;5 .
A  4;2;5 , B  3;0;4 , C 0;2;3 , D 5; 2; 4  .
Вариант 11
1.11
2.11
3.11
4.11
5.11
6.11
a  5;0; 1, b  7;2;3, c1  2a  b , c2  3b  6a.
a  7;3;4, b  1; 1;1.
a  1;2;1, b  3; 5;3, c  2;7;1.
A  2;1; 1 , B  6; 1;5 , C  4;2;  .
A  2;3; 2 , B  2; 3;2 , C  1;3;0 .
A  4;2;5 , B  3;0;4 , C 0;2;3 , D 5;2; 4  .
Вариант 12
1.12
2.12
3.12
4.12
5.12
6.12
a  0;3; 2, b  1; 2;1, c1  5a  2b , c2  3a  2b.
a  6; 4;2, b  1;2;7.
a  2;1; 1, b  3; 5;3, c  2; 1;3.
A   ; 2;1 , B  4; 2;5 , C  5; 2;2 .
A  4;2; 1 , B  3;0;4 , C 1;2;1 .
A  4;4;10 , B  7;10;2 , C  2;8;4 , D  9;6;9 .
Вариант 13
1.13
2.13
3.13
4.13
5.13
6.13
a  2;7;1, b  3;5;2, c1  2a  3b , c2  3a  2b.
a  1; 2;3, b  3;2; 1.
a  1; 1; 1, b  1;4;2, c  3;7;3.
A  6; ;3 , B  6;3; 2 , C  7;3; 3 .
A 1;2;3 , B  1;2; 3 , C  2;3;1 .
A  4;6;5 , B  6;9;4 , C  2;10;10 , D 7;5;9 .
Вариант 14
1.14
2.14
3.14
4.14
5.14
6.14
a  3;7;0, b  1; 3;4, c1  4a  2b , c2  b  2a.
a  2;4;1, b  2;1;0.
a  7;2; 3, b  5;3;2, c  10;11; 5.
A  0;0;4 , B  ; 6;1 , C  5; 10; 1 .
A  4; 5;2 , B 1; 3;4 , C 5;2; 4 .
A  3;5;4 , B 8;7;4 , C 5;10;3 , D  4;7;8 .
Вариант 15
1.15 a  1;2; 1, b  2; 7;1, c1  6a  2b , c2  b  2a.
2.15 a  3;4;1, b  1;1;7.
3.15 a  1; 2;1, b  5;3;1, c  7;2;1.
4.15 A 2; 8; 1 , B  4;;0 , C  2; 5; 1 .
5..15 A  4;4;9 , B  7;10;2 , C  2;8;4 .
6.15 A 10;6;5 , B  2;8;4 , C 6;8;9 , D 7;10;3 .
Вариант 16
1.16
2.16
3.16
4.16
5.16
6.16
a  7;9; 2, b  5;4;3, c1  4a  b , c2  4b  a.
a  1;4;2, b  2;2;3.
a  2;4; 9, b  7;3;6, c  1;1;1.
A  3; 6;9 , B  0; 3;  , C 9; 12;15 .
A  4;6;5 , B  6;9;4 , C  7;5;9 .
A 1;8;2 , B 5;2;6 , C 5;7;4  , D  4;10;9  .
Вариант 17
1.17
2.17
3.17
4.17
5.17
6.17
a  5;0; 2, b  6;4;3, c1  5a  3b , c2  6b  10a.
a  5;1;3, b  2;1;3.
a  3;4;5, b  2;1;3, c  1;4;3.
A  0;2; 4 , B 8;2;2 , C  ;2;4 .
A  3;5;4 , B 8;7;4 , C  4;7;8 .
A  6;6;5 , B  4;9;5 , C  4;6;11 , D 5;9;3 .
Вариант 18
1.18
2.18
3.18
4.18
5.18
6.18
a  8;3; 1, b  4;1;3, c1  2a  b , c2  2b  4a.
a  4;3;7, b  4;1;3.
a  5;6; 2, b  2; 3;1, c  2;1; 1.
A  3;3; 1 , B 5;1; 2 , C  4;;1 .
A 10;6;5 , B  2;8;4 , C  7;10;3 .
A  3;2;1 , B  3;1; 6 , C 1; 4;3 , D 5; 1;3 .
Вариант 19
1.19
2.19
3.19
4.19
5.19
6.19
a  3; 1;6, b  5;7;10, c1  4a  2b , c2  2b  4a.
a  4;2;1, b  1; 2;1.
a  5;6;1, b  4;1;1, c  2; 1;2.
A  4;3; 5 , B  0;1; 3 , C  2;4;   .
A  6;3;5 , B 8;7;3 , C 5;10;4 .
A 8;6;4 , B 10;5;5 , C 5;6;8 , D 8;10; 7  .
Вариант 20
1.20
2.20
3.20
4.20
5.20
6.20
a  1; 2;4, b  7;3;5, c1  6a  3b , c2  b  2a.
a  6;7;1, b  3;2;4.
a  2; 1;4, b  4; 1;1, c  3;4;1.
A  ; 1;0 , B  2; 1;4 , C 8; 1; 1 .
A 1;8;2 , B 5;2;6 , C  6;9;3 .
A  7;7;3 , B  6;5;8 , C  3;6;7 , D 8;4;1 .
Вариант 21
1.21
2.21
3.21
4.21
5.21
6.21
a  3; 7;0, b  4; 6;1, c1  3a  2b , c2  5a  7b.
a  6; 7; 1, b  2;1;5.
a  2; 1;4, b  4;1; 1, c  1;1;2.
A  7; ;2 B 8;1;3 , C  6; 1;2 .
A  7;2;2 , B 5;7;6 , C  2;3;7 .
A  4;0;0 , B  2;1;2 , C 1;3;2 , D 3;2;7 .
Вариант 22
1.22
2.22
3.22
4.22
5.22
6.22
a  2; 6;4, b  3; 7;6, c1  2a  3b , c2  3a  5b.
a  3; 3;4, b  2;1; 1.
a  2;1;3, b  3; 2;1, c  4; 2;3.
A  2;3;  , B  1;3; 2 , C  3; 7; 3 .
A  5;6; 1 , B  2;4;3 , C 5;2; 4  .
A  2;1;2 , B  4;0;1 , C  3;2;7 , D 1;3;2  .
Вариант 23
1.23
2.23
3.23
4.23
5.23
6.23
a  5; 1;2, b  6;1; 7, c1  3a  9b , c2  4b  6a.
a  4; 5;1, b  2;3;7.
a  3;1; 4, b  4;3;1, c  1;2;2.
A  2;2;7 , B  ; 1;6 , C  2;5;7 .
A  3;2;4 , B  3;1; 2 , C 5; 2;3 .
A 1;3;2 , B  3;2;7 , C  4;0;1 , D  2;1; 2  .
Вариант 24
1.24
2.24
3.24
4.24
5.24
6.24
a  3;5; 3, b  6;1; 2, c1  2a  b , c2  3a  5b.
a  5;4;2, b  2; 1;1.
a  4;3; 2, b  1;2;2, c  2;2;1.
A  1;2; 3 , B  0;; 2 , C  3;4; 5 .
A 5; 2;1 , B  4;2;5 , C  1;2;4 .
A  3;2;7 , B 1;3;2 , C  2;1;3 , D  4; 2;3 .
Вариант 25
1.25
2.25
3.25
4.25
5.25
6.25
a  4;2;9, b  0; 1;3, c1  4b  3a, c2  4a  3b.
a  5; 4;2, b  3;5;2.
a  3;1;4, b  2;1;1, c  5;4;3.
A  0;3; 6 , B  9;3;  , C 12;3; 3 .
A  7;5;6 , B  2; 5;2  , C  3;1;0 .
A  3;1; 2 , B 1; 2;1 , C  2;1;0 , D  2;2;5 .
Вариант 26
1.26
2.26
3.26
4.26
5.26
6.26
a  2; 1;6, b  1;3;8, c1  5a  2b , c2  2a  5b.
a  5;4; 2, b  4;4;3.
a  1;2;1, b  3;2; 1, c  5;6;1.
A  3;3; 1 , B 5;1; 2 , C ;1; 3 .
A  2;1;2 , B  1; 2;2 , C  3; 1;4  .
A 1; 2;1 , B  3;1; 2 , C  2;2;5 , D  2;1;0 .
Вариант 27
1.27 a  5;0;8, b  3;1;7, c1  3a  4b , c  12b  9a.
2.27 a  7; 3;1, b  1;1; 4.
3.27 a  1;2; 2, b  4;5;4, c  6;5;1.
4.27 A 2;1;1 , B  2;3;2 , C 0;;3 .
5.27 A 1;3;2 , B  2;3;2 , C  5;6;8 .
6.27 A  3;2;1 , B  2;1;0 , C 1; 2;1 , D 3;1;2 .
Вариант 28
1.28
2.28
3.28
4.28
5.28
6.28
a  1;3;4, b  2; 1;0, c1  3a  2b , c2  3b  5a.
a  9; 5;6, b  1;3; 2.
a  2; 1;2, b  3;3;3, c  4;5;1.
A  6;4; 1 , B  2; 3; 5 , C  4;3;  .
A 5;1; 2 , B  4;2;7 , C  2;1; 2 .
A  3; 2;9 , B  3; 6; 2 , C  2;3;5 , D  2; 5;6 .
Вариант 29
1.29
2.29
3.29
4.29
5.29
6.29
a  5; 2; 7, b  4;0; 8, c1  3a  4b , c2  6b  7a.
a  2;2; 7, b  2; 2;3.
a  2;1;3, b  2; 2;8, c  1;1; 2.
A  0; ; 9 , B  0; 2;1 , C  1;2; 5 .
A 1; 6;1 , B  2; 3; 2 , C  1;3; 2 .
A  3;6; 2 , B  2;1; 1 , C  4; 2;5 , D  3;2; 1 .
Вариант 30
1.30
2.30
3.30
4.30
5.30
6.30
a  2;0;5, b  1;3;4, c1  2a  6b , c2  5a  6b.
a  3; 4; 6, b  1; 2; 1.
a  2;1; 4, b  1;1; 2, c  1; 2;3.
A  4;2; 5 , B  1;; 7 , C  3;10; 4  .
A  2; 1;3 , B 1; 7;1 , C  6;4;7 .
A  2; 1; 5 , B  2;9; 5 , C  3;4;1 , D 3; 2; 1 .