Геометрия x, y, z осями координат),

Геометрия
«Метод координат в пространстве »
Прямые x, y, z называются координатными осями (или
осями координат),
Прямоугольная система координат
Оси координат обозначаются так:
OX- ось абсцисс
OY- ось ординат
OZ- ось аппликат
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными
плоскостями.
в пространстве
В прямоугольной системе координат каждой точке М
пространства сопоставляется тройка чисел, которые
называются ее координатами. М(x; y; z).
Действия над векторами:
Сложение векторов
𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } + 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } = 𝑚
⃗⃗⃗{𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦1 + 𝑦2 ; 𝑧1 + 𝑧2 }
Вычитание векторов
𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } − 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } = 𝑚
⃗⃗⃗{𝑥1 − 𝑥2 ; 𝑦1 − 𝑦2 ; 𝑧1 − 𝑧2 }
Примеры:
𝑎⃗{1; −4; −1} + 𝑏⃗⃗{3; 0; −2} = 𝑚
⃗⃗⃗{1 + 3; −4 + 0; −1 + (−2)} =
𝑚
⃗⃗⃗{4; −4; −3}
𝑎⃗(1; −4; −1) − 𝑏⃗⃗(3; 0; −2) = 𝑛⃗⃗(1 − 3; −4 − 0; −1 − (−2)) =
𝑛⃗⃗( )
𝑎⃗{1; −4; −1} − 𝑏⃗⃗{3; 0; −2} = 𝑚
⃗⃗⃗{1 − 3; −4 − 0; −1 − (−2)} =
𝑚
⃗⃗⃗{−2; −4; 1}
Умножение вектора на число k.
3𝑎⃗{−1; 2; 0} = 𝑐⃗{3 ∙ (−1); 3 ∙ 2; 3 ∙ 0} =
𝑘𝑎⃗{𝑥; 𝑦; 𝑧} = 𝑐⃗{𝑘𝑥; 𝑘𝑦; 𝑘𝑧}
= 𝑐⃗{−3; 6; 0}
2𝑎⃗{1; −4; −1} + 4 𝑏⃗⃗{3; 0; −2} = 𝑝⃗{2 ∙ 1 + 4 ∙ 3; 2 ∙ (−4) + 4 ∙ 0; 2 ∙ (−1) + 4 ∙ (−2)} = 𝑝⃗{14; −8; −10}
Простейшие задачи в координатах:
Координаты середины отрезка AB:
А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).
Точка М середина отрезка AB.
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑧1 + 𝑧2
М(
;
;
)
2
2
2
Вычисление длины вектора 𝑎⃗(𝑥; 𝑦; 𝑧) по его
координатам:
|𝑎⃗| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
Расстояние между двумя точками.
А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).
|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2
Задачи:
А(1;-1;0), B(6;-3;-4). Точка N Середина
отрезка AB. Найти координаты точки N.
М(
1 + 6 −1 + (−3) 0 + (−4)
;
;
) = М(3,5; −4; −4 )
2
2
2
Ответ: М(3,5; −4; −4 )
Вычисление длины вектора 𝑛⃗⃗(3; −4; 0).
|𝑛⃗⃗| = √32 + (−4)2 + 02 = √9 + 16 + 0 = √25 = 5
Ответ: 5
Вычислить расстояние между двумя
точками
С(2;-3;7) и В(-2;3;7).
2
|С𝐷| = √(−2 − 2)2 + (3 − (−3)) + (7 − 7)2
= √16 + 36 + 0 = √52 = 2√13
Ответ:2√13
Вычисление координат вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
𝐴𝐵 Если
А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 {𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑧2 − 𝑧1 }
В пространстве расположены три точки,
заданные своими координатами: A(1; 6; 3),
B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 и 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵{3 − 1; −1 − 6; 7 − 3} = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 {2; −7; 4}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−4 − 3; 3 − (−1); −2 − 7 } = 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−7; 4; −9}
𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−4 − 1; 3 − 6; −2 − 3} = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−5; −3; −5}
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−5; −3; −5}; 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−7; 4; −9}
Ответ: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 {2; − 7; 4}; 𝐴𝐶
Скалярное произведение векторов 𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } и
𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } выражается формулой:
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2
Вычислить скалярное произведение векторов
𝑎⃗{2; 1; 6} и 𝑏⃗⃗{3; 0; −1}
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 0 + (−6) ∙ (−1) = 6 + 0 + 6 = 12
Ответ:12
Перпендикулярность векторов: 𝑎⃗(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 )и 𝑏⃗⃗(𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 );
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0;
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 0
Коллинеарность векторов: 𝑎⃗(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 )и 𝑏⃗⃗(𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 );
𝑥1
𝑥2
𝑦
𝑧
= 𝑦1 = 𝑧1 , если координаты векторов не равны нулю.
2
2
⃗⃗{3; 0; −1}
Перпендикулярны ли векторы 𝑎⃗{2; 1; 6} и 𝑏
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 0 + 6 ∙ (−1) = 6 + 0 − 6 = 0
Ответ: да
Задача. Коллинеарны ли векторы:
a) 𝑎⃗{-5;3;-1} и 𝑏⃗⃗{-10; 6;-2};
b) 𝑐⃗{-6;3;-1} и 𝑑⃗{2; -9;3};
Решение.
a)
−5
3
−1
= 0,5; = 0,5;
= 0,5
−10
6
−2
Да, векторы коллинеарны
b)
−6
3
1 −1
1
= −3;
=− ;
=−
2
−9
3 3
3
Нет, векторы не коллинеарны
Ответ: a) да b) нет
Косинус угла между ненулевыми векторами
векторов 𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } и 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } вычисляется
по формуле:
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
√𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12 ∙ √𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22
Найти косинус угла между векторами
𝑎⃗ = {4; 3; 0} и 𝑏⃗⃗ = {0; 12; 5}.
Ответ:36/65