2.grafic_th

Построение графиков функций
1. План исследования функции при построении графика
1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть
множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность; периодичность, свойства
симметрии.
2. Исследовать асимптоты графика функции: вертикальные,
наклонные. Проанализировать взаимное расположение графика
функции и его наклонных (горизонтальных) асимптот.
3. Построить эскиз графика.
4. Найти участки монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.
Найти односторонние производные в точках разрыва производной функции и в граничных точках области определения
функции (если односторонние производные существуют).
5. Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба.
2. Основные понятия и этапы исследования функции
1. Область определения функции D f и множество значений функции E f . Специальные свойства функции
Указать область определения функции, на оси абсцисс отметить ее граничными точками и выколотыми точками, указать
абсциссы этих точек. Нахождение области определения функции
приводить не обязательно.
Множество значений функции находить не обязательно.
Легко исследуемые свойства множества значений: неотрицательность, ограниченность снизу или сверху и т.п., используются
для построения эскиза графика, контроля результатов исследования и правильности построения графика.
5
График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy  . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Четные и нечетные функции исследуют на
положительной половине области определения.
Периодическую функцию исследуют на одном периоде, а
график приводят на 2-3-х периодах.
2. Исследование асимптот
2.1. Вертикальные асимптоты
Определение 1. Прямая x  x0 называется вертикальной
асимптотой графика функции y  f x , если выполнено хотя
бы одно из условий:
lim f x    1 или lim f x    .
xx0 0
xx0 0
2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты
Определение 2. Прямая y  kx  b называется (невертикаль-
ной) асимптотой графика функции y  f x при x   , если
lim
x
 f x   kx  b   0 .
Из определения асимптоты при x   следует, что
f x 
, b  lim  f x   kx . Вычисляя соответствующие
x 
x
пределы, получаем уравнение асимптоты y  kx  b .
k  lim
x  
Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда
x   .
Если k  0 , то асимптота называется наклонной. Если
k  0 , то асимптота y  b называется горизонтальной.
Аналогично вводятся понятия наклонной и горизонтальной
асимптоты графика функции y  f x при x   .
2.3. Методы исследования невертикальных асимптот
Исследование асимптот при x   и при x   как
правило проводят отдельно.
Символ   мы будем использовать, подразумевая выполнение одного случая, либо
  , либо   .
1
6
В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при x   и при x   , например, для
1) рациональных функций;
2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.
Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при x   . Аналогично
при x   .
Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби:
Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика функции
2 x 2  3x  2
.
x 1
3
3
 o1 при x   , то пря► f x   2 x  5 
. Так как
x 1
x 1
мая y  2 x  5 является искомой асимптотой. ◄
f x  
Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при x   .
Пример 2. Найти наклонную асимптоту графика функции
f x  
x 4  3x  1
при x   .
x4
►Так как
1
 4  1 
3 1  4
f x   x 1  3  4  1    x1   o    x  4  o1
x x  x
 x  x 
при x   , то прямая y  x  4 является искомой асимптотой.
◄
Главную
часть
иррациональных
функций
вида
f x   ax 2  bx  c и f x   3 ax3  bx 2  cx  d удобно находить соответственно методом выделения полного квадрата или
полного куба подкоренного выражения.
7
Пример 3. Найти наклонные асимптоты графика функции
f x   x 2  6 x  14 при x   и x   .
►В подкоренном выражении выделим полный квадрат
f x  
x  32  5 . Так как график функции f x  симметричен
относительно прямой x  3 и f x   x  3 
5
x  3
2
5  x 3
,
то f x  ~ x  3 при x   . Значит, прямая y  x  3 является
асимптотой при x   , а прямая y  3  x — асимптотой при
x   . ◄
Для нахождения асимптот можно использовать метод выделения главной части.
Пример
4.
Найти
асимптоты
графика
функции
f x   4 x 2  x  2 .
►Так как

1
1
1
1
 1 
 2  2 x 1   2  o   , то функция
4x 2x
 x 
 8x 4 x
1
имеет асимптоту y  2 x 
при x   и асимптоту
4
1
y  2 x  при x   .◄
4
f x   2 x 1 
Для трансцендентных функций приемлемы оба метода исследования асимптот при решении практических примеров.
Замечание 1. При исследовании асимптот иррациональных,
трансцендентных функций, а также функций, аналитическое выражение которых содержит модуль, целесообразно рассматривать два случая: x   и x   . Совместное исследование
асимптот при x   и при x   может привести к ошибкам в исследовании. При нахождении пределов или главной части при x   необходимо выполнить замену переменной
x  t .
8
2.4. Взаимное расположение графика функции и его асимптоты
а) Если функция y  f x имеет асимптоту при x   ,
дифференцируема и строго выпукла вниз на луче x  x0 , то график функции лежит выше асимптоты (рис. 1.1).
б) Если функция y  f x имеет асимптоту при x   ,
дифференцируема и строго выпукла вверх на луче x  x0 , то
график функции лежит ниже асимптоты (рис. 1.2).
в) Могут быть другие случаи поведения графика функции
при стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, график
функции бесконечное число раз пересекает асимптоту (рис. 1.3 и
1.4).
Аналогичное утверждение справедливо и при x   .
До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можно
определить по знаку o1 в методе выделения главной части.
Пример 5. Определить взаимное расположение графика
2 x 2  3x  2
и его асимптот.
x 1
3
3
 0 при x   , то гра► f x   2 x  5 
. Так как
x 1
x 1
фик функции лежит выше асимптоты y  2 x  5 . Так как
3
 0 при x   , то график функции лежит ниже асимптоx 1
ты y  2 x  5 . ◄
функции f  x  
9
Пример 6. Определить взаимное расположение графика
x 4  3x  1
и его асимптоты при x   .
x4
8 1
x2 1  4
x x  x  4  1  o 1  при
►Из равенства
f x  
 
x
x  x
x   следует, что график функции лежит ниже асимптоты
y  x  4.◄
функции f x  
Пример 7. Определить взаимное расположение графика
функции f x   x 2  6 x  14 и его асимптот.
► Так как f x   x  3 
5
x  32  5  x  3
(см. пример 3), то
график функции лежит выше асимптоты y  x  3 при x  
и при x   . ◄
Пример 8. Определить взаимное расположение графика
функции f x   3 x3  6 x 2  2 x  14 и его асимптот.
► Так как x 3  6 x 2  2 x  14  x  2  14 x  6 , то применяя
3
формулу
3
a 3 b 
 a 
2
3
a b
3
a3 b 
 b
3
2
при
a  x  2   14 x  6 , b   x  2  , получаем f x   x  2 
 14 x  6

. Эта
2
3
3
2
3
3
x  2  14 x  6  x  2 x  2  14 x  6  x  2
3

3

разность положительна при x 
3
7
и отрицательна при x 
3
.
7
Поэтому при x   график функции лежит ниже асимптоты
y  x  2 , а при x   — выше асимптоты y  x  2 .◄
10
Метод вычисления пределов для исследования асимптот не
позволяет оценить взаимное расположение графика функции и
его асимптоты.
3. Построение эскиза графика функции
Для построения эскиза графика отмечаются вертикальные и
наклонные асимптоты, точки пересечения графика функции с
осями. Учитывая взаимное расположение графика функции и
асимптот, строится эскиз графика. Если график функции лежит
выше (ниже) асимптоты при x   , то, предполагая, что существует такая точка x 0 , что среди точек x  x0 нет точек перегиба,
получаем, что функция выпукла вниз(вверх), то есть к асимптоте.
Аналогично можно прогнозировать направление выпуклости к
асимптоте для вертикальных асимптот и для асимптоты при
x   . Однако, как показывает приведенный выше пример
функции y  x 
sin 2 x
, такие предположения могут быть не
x
верны.
4. Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и максимума
Определение 3. Функция f x  называется возрастающей
(убывающей) на интервале a, b , если для любых x1 , x2  a, b,
таких что
x1  x2 имеет место неравенство
( f x1   f x2  ).
Дифференцируемая на интервале
f x1   f x2 
a, b функция f x  воз-
растает (убывает) на интервале a, b , тогда и только тогда, когда
для любого x  a, b f x   0 ( f x   0 ).
Определение 4. Точка x0 называется точкой строгого ло-
кального максимума (минимума) функции f x  , если:
1) функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;
11
2) существует окрестность U x0   D f , такая что для любого
x U  x0 
справедливо
неравенство
f x   f x0 
( f x   f x0  ).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции f x  .
Необходимое условие экстремума. Если x0 — точка экстремума функции f x  , то в этой точке либо f x0   0 , либо
производная не существует.
Достаточные условия экстремума.
1. Пусть существует   0 , такое что функция f x  дифференцируема в проколотой  -окрестности точки x0 и непрерывна
в точке x0 . Тогда,
а) если ее производная меняет знак минус на плюс при переходе через точку x0 , т.е. f x   0 для любого x  x0   , x0  ,
f x   0 для любого x  x0 , x0    , то x0 — точка максимума
функции f x  ;
б) если ее производная меняет знак плюс на минус при переходе через точку x0 , т.е. f x   0 для любого x  x0   , x0  ,
f x   0 для любого x  x0 , x0    , то x0 — точка минимума
функции f x  .
Модельными примерами могут служить y  x (рис. 2.1) и
y   x (рис.2.2).
12
2. Если функция f x  дважды дифференцируема в точке
x0 , f x0   0 и f x0   0 ( f x0   0 ), то точка x0 является
точкой максимума (минимума).
Для запоминания достаточного условия удобно использовать модельные примеры: y   x 2 (рис. 3.1) и y  x 2 (рис. 3.2)
при x0  0 имеют максимум и минимум соответственно:
3. Пусть существует   0 , такое что функция f x  дифференцируема в проколотой  -окрестности точки x0 , непрерывна
в точке x0 . Тогда,
а) если существуют конечные или бесконечные правая и левая производные в точке x0 и f  x0   0 , f  x0   0 , то x0
является точкой минимума (рис.4.1).
б) если f  x0   0 , f  x0   0 , то x0 — точка максимума (рис. 4.2).
Замечание 2. Из теоремы Лагранжа о среднем следует, что, если
U x0  точки x0 , такая что функция f x 
определена и непрерывна в окрестности U x0  , дифференцируема в
существует окрестность
13
проколотой окрестности U  x0  и существуют конечные или бесконечные пределы производных справа и слева
f x0  0  lim f x  и
xx0 0
f x0  0  lim f x , то существуют и правая и левая производная
xx0 0
f x0   lim
f  x   f  x0 
xx0 0
сто равенства
x x 0
и
f x0   lim
xx0 0
f  x   f  x0 
x x 0
, и имеют ме-
f x0   f x0  0 и f x0   f x0  0 . Поэтому, при
построении графиков функций для доказательства наличия экстремума
в точке разрыва производной исследуемой функции как правило рассматривают пределы производных справа и слева. Предел производной
справа (слева) равен тангенсу угла наклона касательной справа (слева) в
точке экстремума.
Замечание 3. Точка разрыва первого и второго рода функции f x  может быть точкой локального экстремума (рис. 5.1 и
5.2).
5. Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба
Определение 5. Непрерывная функция y  f x называется
выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на отрезке a, b , если
для любых различных точек x1 и x2 отрезка a, b выполняется
неравенство
 x  x  f x1   f x2 
f 1 2 
2
 2 
  x1  x2  f x1   f x2  
 f 
 .

2
  2 

Определение 6. Непрерывная функция y  f x называется
выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на отрезке a, b , если
14
для любых различных точек x1 и x2 отрезка a, b выполняется
неравенство
 x  x  f x1   f x2 
f 1 2 
2
 2 
Из
определений
  x1  x2  f x1   f x2  
 f 
 .

2
  2 

следует,
что
непрерывная
функция
y  f x называется выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на
отрезке a, b , если каждая точка любой хорды к графику функции y  f x лежит не выше (ниже) графика y  f x (рис.
6.1). Непрерывная функция y  f x называется выпуклой вниз
(строго выпуклой вниз) на отрезке a, b , если каждая точка любой хорды к графику функции y  f x лежит не ниже (выше)
графика y  f x (рис. 6.2).
Достаточные условия выпуклости вверх и вниз функции
y  f x на отрезке: Пусть f x  существует на отрезке a, b ,
а f x  — на интервале a, b .
1. Если f x  0 ( f x  0 )при всех x  a, b , то функция выпукла вверх (строго выпукла верх) на отрезке a, b .
15
2. Если f x  0 ( f x  0 ) при всех x  a, b , то функ-
ция выпукла вниз (строго выпукла вниз) на отрезке a, b .
Определение 7. Точка x 0 называется точкой перегиба функции y  f x , если:
1. Функция y  f x непрерывна в точке x 0 ;
2. Функция y  f x имеет в точке x 0 конечную или бесконечную определенного знака производную;
3. Функция y  f x при переходе через точку x 0 меняет
направление выпуклости, то есть существует   0 , такое что на
одном из интервалов x0   , x0  , x0 , x0    функция выпукла
вверх, а на другом выпукла вниз.
Определение 8. Точка x0 , f x0  называется точкой перегиба графика функции y  f x , если x 0 — точка перегиба
функции y  f x .
Необходимое условие перегиба в точке x 0 .
Если x 0 — точка перегиба функции y  f x и функция
y  f x имеет в некоторой окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x 0 , то f x0   0 .
Достаточные условия перегиба в точке x 0 .
1. Если функция y  f x непрерывна в окрестности точки
x0 , имеет в точке x0 конечную или бесконечную определенного знака производную, а функция f x  определена в проколотой
окрестности точки x 0 и меняет знак при переходе через эту точку, то x 0 — точка перегиба функции y  f x .
2. Если f x0   0 , а f x0   0 , то x 0 — точка перегиба
функции y  f x .
16
В качестве модельных примеров рассмотрим функции
y  x 3 (рис. 7.1) и y  3 x (рис. 7.2). Дополнительно рассмотрим еще два примера перегиба (рис. 7.3 и 7.4).
Замечание 4. Если функция y  f x дважды дифференцируема в окрестности точки x 0 , и x 0 — точка перегиба функции
y  f x , то график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Обратное неверно.
Пример 9. Доказать, что, из того, что график функции
y  f x в точке x0 переходит с одной стороны касательной на
другую не следует, что точка x 0 является точкой перегиба функции y  f x .

1 3
 2  sin  x , x  0;
► Рассмотрим функцию f  x   
. В точке
x
0, x  0

x0  0 график функции имеет горизонтальную касательную, и
переходит с одной стороны касательно на другую, но точка x 0 не
является точкой перегиба функции f x  , так как не существует
левой и правой окрестностей точки x 0 , в которых сохраняется
направление выпуклости функции f x  . ◄
3. Дифференцирование функции, аналитическое выражение которой содержит модуль
17
1) При исследовании с помощью производной поведения
графика функции, аналитическое выражение которой содержит
модуль, удобно производить дифференцирование по правилу
сложной функции, учитывая, что
 x   sign x
во всех точках
дифференцируемости функции y  x .
2) При дифференцировании функции вида y  f x   sign x
во всех точках дифференцируемости функции справедлива формула y   f x   sign x , так как производная функции сигнум
равна нулю во всех точках дифференцируемости.
Пример 10. Найти первую и вторую производные функции
f x  
x2 .
► f x  
f  x   
1
2 x2
1
4 x2
32
 sign x  2 ,
 sign 2 x  2  
1
4 x2
32
при x  2 .◄
4. Основные требования к результатам исследования
и построению графика
1. Все результаты исследования функции следует обосновать
в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисления пределов функции, вычисления
производных, решения уравнений, являются необходимой частью
решения задачи на построение графика функции или кривой.
2. Все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисление привести в решении задачи.
3. Масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения
графика функции.
4. На рисунке изобразить вертикальные и наклонные асимптоты, указать уравнения асимптот.
18
5. Обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты.
6. Обозначить точки разрыва производной, указать их координаты. Изобразить односторонние касательные (если они существуют). В случае существования конечной односторонней производной указать тангенс угла наклона односторонней касательной.
7. Обозначить точки перегиба графика функции, указать их
координаты. Указать точное значение производной или тангенс
угла наклона касательной в точке перегиба. Изобразить касательную к графику функции в точке перегиба.
19