Document 310299

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
ЗАХАРОВ С.Д.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов
очной формы обучения специальности
10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем», профиль подготовки
«Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»,
форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Захаров С.Д. Дискретная математика. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов очной формы обучения, направление 10.05.03 «Информационная
безопасность автоматизированных систем», профиль подготовки «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»,Тюмень, 2014, 28 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ «Дискретная
математика»[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
ЗахароваИ.Г.,д.п.н., профессор,
зав. кафедрой программного обеспечения
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Захаров С.Д., 2014.
3
1.
Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина "Дискретная математика" обеспечивает приобретение знаний и умений в
соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:

формирование математической культуры студента;

фундаментальная подготовка по основным разделам дискретной математики;

овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования
при решении теоретических и прикладных задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП специалитета
Дисциплина «Дискретная математика» входит в базовую часть цикла естественнонаучных дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования (ФГОС ВПО).Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения школьного курса математики, а также
некоторых разделов из математического анализа и алгебры.
Дискретная математика относится к числу основных разделов современной математики. Знание дискретной математики является важной составляющей общей математической
культуры выпускника. Эти знания необходимы как при проведении теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении практических задач из разнообразных прикладных областей, таких, как информатика, программирование, математическая
экономика, математическая лингвистика, обработка и передача данных, распознавание образов, криптография и др.
Таблица 1.
4
№
Наименование обеспечиваемых
Темы дисциплины необходимые для изучения
п/п
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.
Теория вероятностей и математическая статистика
2.
Математическая логика
3.
Структуры и алгоритмы компью-
1.1-
2.1-
3.1-
3.3-
4.1-
5.1-
1.2
2.2
3.2
3.6
4.2
5.3
+
+
+
+
терной обработки данных
4.
Базы данных
5.
Компьютерное моделирование
6.
Теория языков и трансляций
7.
Курсовые и дипломные работы
1.3.
6.1 6.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Компетенции выпускника ООП специалитета, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины «Дискретная математика» цикла естественнонаучных дисциплин базовой части по направлению подготовки 10.05.03 «Информационная
безопасность автоматизированных систем» с квалификацией (степенью) «бакалавр» в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать следующими компетенциями:
Профессиональными компетенциями:
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
способностью применять методологию научных исследований в профессиональной
деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными проектами
(ПК-5);
5
способностью участвовать в разработке защищенных автоматизированных систем по
профилю своей профессиональной деятельности (ПК-18);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
 Знать: основные понятия дискретной математики и свойства математических объектов, используемых в этих областях, формулировки утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их приложений, основы построения компьютерных дискретноматематических моделей..
 Уметь: решать задачи теоретического и прикладного характера из различных разделов
дискретной математики, доказывать утверждения, строить модели объектов и понятий.
 Владеть: математическим аппаратом дискретной математики, методами доказательства утверждений в этой областях и навыками алгоритмизации основных задач.
Структура и трудоемкость дисциплины.
2.
Семестр 3,4. Форма промежуточной аттестации :3 семестр – зачёт, 4 семестр – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических
часов, из них
155,35 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 96,65
часов, выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего часов
Семестр Семестр
3
4
155,35
74,6
80,75
148
72
76
74
36
38
76
36
38
Иные виды работ:
7,35
2,6
4,75
Самостоятельная работа (всего):
96,65
51,4
45,25
7
3,5
3,5
252
126
126
зачёт
экзамен
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) зачёт, экзамен
6
3.Тематический план.
Таблица 3.
Тематический план
Виды учебной работы и
1
2
4
1-2
3-4
5
Самостоятельная работа*
3
Семинарские
(практические) заняЛаборатортия*
ные занятия*
Лекции *
Тема
самостоятельная работа, в Итого
час.
часов
недели семестра
№
Из них
в ин-
Итого
терак
колич
по
тивной
ество
теме
форме,
баллов
в часах
6
7
8
9
10
4
4
9
17
1
0-15
4
4
9
17
1
0-15
8
8
18
34
2
0-30
5-7
6
6
9
21
1
0-15
8-10
6
6
9
21
1
0-15
12
12
18
42
2
0-30
8
8
9
25
2
0-20
8
8
9
25
2
0-20
16
16
18
50
4
0-40
36
36
54
126
8
0-100
4
4
Модуль 1
1.1.
1.2.
Элементы теории
множеств
Алгебраические системы
Всего*
Модуль 2
2.1.
Числовые системы
Элементы теории
2.2.
графов
Всего*
Модуль 3
113.1.
Комбинаторика
14
15-
3.2.
Алгебра логики
Всего*
Итого (часов, баллов
за 3 семестр)*:
18
Из них в интеракт.
форме
7
8
Модуль 4
Элементы перечис4.1.
лительной комбина-
1-2
8
8
9
25
1
0-15
3-4
6
6
9
21
1
0-15
14
14
18
46
2
0-30
5-7
6
6
8
20
2
0-15
8-10
6
6
8
20
2
0-15
12
12
16
40
4
0-30
6
6
8
20
2
0-20
6
6
8
20
2
0-20
12
12
16
40
4
0-40
38
38
50
126
10
0-100
5
5
74
104
9
9
торики
4.2.
Перечисление графов и инварианты
Всего*
Модуль 5
Методы сжатия ин-
5.1.
формации
Защита информации
5.2.
от помех
Всего*
Модуль 6
116.1.
6.2.
Конечные автоматы
14
Языки, грамматики,
15-
автоматы
18
Всего *
Итого (часов, баллов
за 4 семестр)*:
Из них в интеракт.
форме
Итого (часов, баллов
за год)*:
74
Из них в интеракт.
форме
10
252
18
0-100
18
*- с учётом иных видов работ.
Таблица4.
4.Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
8
Письменные работы
мы
Технические
Информаци-
формы контроля
онные системы и техно-
другие формы
практикумы
ния
электронные
туационные зада-
тепьютерного
стирования
комплексные си-
компрограммы
эссе
реферат
тест
бота
раконтрольная
бота
лабораторная ра-
ре
ответ на семина-
собеседование
коллоквиумы
логии
Итого количество баллов
№ Те- Устный опрос
Модуль 1
1.1
0-3
0-12
0-15
1.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
2.1
0-3
0-12
0-15
2.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
3.1
0-3
0-17
0-20
3.2
0-3
0-17
0-20
Всего
0-6
0-34
0-40
0-18
0-82
4.1
0-3
0-12
0-15
4.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
5.1
0-3
0-12
0-15
5.2
0-3
0-12
0-15
Модуль 2
Модуль 3
Итого
за 3
семе
0100
стр
Модуль 4
Модуль 5
9
Всего
0-6
0-24
0-30
6.1
0-3
0-17
0-20
6.2
0-3
0-17
0-20
Всего
0-6
0-34
0-40
0-18
0-82
Модуль 6
Итого
за 4
се-
0100
местр
5.Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Некоторые понятия теории множеств.
Множества и основные операции над ними. Отношения. Функции. Взаимно однозначные соответствия. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Мощность
множества. Конечные и бесконечные множества. Матрица бинарного отношения. Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества. Отношения порядка. Аксиомы теории множеств.
Тема 1.2. Алгебраические системы.
Определения и примеры. Морфизмы. Подсистемы. Конгруэнции. Теорема о гомоморфизме. Декартовы произведения алгебр. Теорема Биркгофа. Решетки и булевы алгебры. Идеалы и фильтры булевой алгебры. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
Модуль 2.
Тема 2.1. Числовые системы.
Бесконечные числовые системы. Системы счисления. Компьютерная алгебра и численный анализ. Списочное представление чисел. Делимость в кольце целых чисел. Разложение целых чисел на множители. Целые числа по модулю m. Линейные уравнения по модулю
m. Китайская теорема об остатках. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику.
Тема 2.2. Элементы теории графов.
Виды и способы задания графов. Подграфы и части графа. Операции над графами.
Маршруты. Достижимость. Связность. Расстояния в графах. Нахождение кратчайших марш10
рутов. Степени вершин. Обходы графов. Остовы графов. Обходы графа по глубине и ширине. Решение задачи коммивояжера. Упорядоченные и бинарные деревья. Фундаментальные циклы. Разрезы. Векторные пространства, связанные с графами. Раскраски графов. Планарные графы.
Модуль 3.
Тема 3.1. Комбинаторика.
Перестановки и подстановки. Размещения и сочетания. Размещения и сочетания с повторением. Разбиения. Метод включений и исключений. Рекуррентные уравнения.
Тема 3.2. Алгебра логики.
Формулы алгебры логики. Функции алгебры логики. Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Двухэлементная булева алгебра. Факторалгебра алгебры формул. Минимизация булевых функций в классе ДНФ. Карты Карно.
Принцип двойственности для булевых функций. Полные системы булевых функций. Функциональная декомпозиция. Логические сети. Проверка теоретико-множественных соотношений с помощью алгебры логики. Логические задачи.
Модуль 4.
Тема 4.1.Элементы перечислительной комбинаторики.
Элементарные производящие функции. Рекуррентные соотношения и рациональные
производящие функции. Числа Фибоначчи. Асимптотика коэффициентов рациональных
функций. Пути в графах. Числа Каталана. Треугольник Паскаля. Экспоненциальные производящие функции. Треугольник Дика. Треугольник Бернулли-Эйлера и исчисление змей. Теневое исчисление. Биномиальные последовательности. Разбиения и разложения. Треугольник Моцкина с кратностями. Производящие функции Дирихле.
Тема 4.2. Перечисление графов и инварианты
Перечисление помеченных деревьев. Леса и многочлены Абеля. Обращение функции
и суммирование по деревьям. Графы и перестановки. Числа Гурвица. Графы, изоморфизм и
инварианты. Хроматический многочлен. Многочлен Пенроуза. Теорема Татта. Алгебра Хопфа графов.
Модуль 5.
Тема 5.1. Методы сжатия информации.
Алгоритмы сжатия Шаннона-Фано и Хаффмана. Теоретические пределы сжатия информации. Типы систем сжатия информации.
Тема 5.2.Защита информации от помех.
11
Помехоустойчивое кодирование. Основная теорема Шеннона о кодировании для канала с помехами. Основные понятия. Общие принципы введения избыточности. Разрешенные и запрещенные кодовые комбинации. Кратность ошибки. Понятие о кодовом расстоянии. Связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием. Минимальное кодовое расстояние для обнаружения ошибки и для исправления ошибки.Защита информации от
несанкционированного доступа.Современные симметричные криптопреобразования. Несимметричные криптопреобразования. Понятие криптостойкости и основы криптоанализа.
Модуль 6.
Тема 6.1. Конечные автоматы.
Конечный автомат. Определение. Использование конечных автоматов в программировании.
Тема 6.2. Языки, грамматики, автоматы.
Язык Дика. Конечные автоматы, распознающие языки. Автоматы со стеком. Правила
вывода в языке Дика. Формальные грамматики с однозначным выводом. Производящие
функции регулярных языков. Представления производящих функций в виде непрерывных
дробей. Сравнения в последовательностях.
6. Планы семинарских занятий.
Не планируются.
7.Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Тема 1.1. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Упрощение выражений над множествами с использованием основных тождеств алгебры множеств. Доказательства по методу математической индукции. Отношения. Порядки.
Тема 1.2. Группы, кольца и поля. Абстрактные структуры. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
Тема 2.1. Перевод чисел из одной системы в другую. Разложение на множители. НОД,
НОК. Диофантовы уравнения. Сравнения первого порядка. Китайская теорема об остатках.
Многомодульная арифметика.
Тема 2.2. Типы графов. Матричное представление графов. Операции над графами.
Определение компонент связности неорграфов и сильных компонент орграфов. Алгоритмы
Краскала и Прима построения кратчайшего остова взвешенного графа. Определение кратчайших путей в графах. Решение задач на использование алгоритмов Дейкстры и Флойда.
Задача коммивояжера. Остовы графов. Фундаментальные циклы, фундаментальные разрезы.
12
Алгоритм Форда-Фалкерсона определения максимального потока в транспортной сети. Раскраски графов. Проверки на планарность.
Тема 3.1. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля. Решение комбинаторных задач. Метод включения-исключения. Рекуррентные уравнения.
Тема 3.2. Булевы функции: табличный способ задания. Существенные и несущественные переменные. Формулы. Эквивалентность формул. ДНФ, КНФ. Минимизация. Карты
Карно. Декомпозиция. Логические задачи.
Тема 4.1. Производящие функции и действия с ними. Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Доказательство тождеств с биномиальными коэффициентами. Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции. Произведение
Адамара. Асимптотика коэффициентов рациональных функций.
Пути в графах. Числа Каталана. Треугольник Паскаля. Экспоненциальные производящие функции. Треугольник Дика. Треугольник Бернулли-Эйлера и исчисление змей. Теневое исчисление. Биномиальные последовательности. Разбиения и разложения. Треугольник
Моцкина с кратностями. Производящие функции Дирихле.
Тема 4.2. Перечисление графов и инварианты
Перечисление помеченных деревьев. Леса и многочлены Абеля. Обращение функции
и суммирование по деревьям. Графы и перестановки. Числа Гурвица. Инварианты. Хроматический многочлен. Многочлен Пенроуза.
Тема 5.1. Сжатие данных. Метод Хаффмана. Метод арифметического кодирования.
Тема 5.2. Помехозащищенное кодирование. Коды Хэмминга. Алгоритмы над конечными полями. Криптографические алгоритмы. ГОСТ 28147-89. Основы RSA. Основы AES.
Взлом RSA.
Тема 6.1. НКА и ДКА. Способы задания. Эквивалентность автоматов. Минимизация
автоматов.
Тема 6.2. Язык Дика. Конечные автоматы, распознающие языки. Автоматы со стеком.
Правила вывода в языке Дика. Проверка языков на регулярность. Формальные грамматики с
однозначным выводом. Производящие функции регулярных языков. Представления производящих функций в виде непрерывных дробей. Сравнения в последовательностях.
8.Примерная тематика курсовых работ.
Не планируются.
13
9.Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины (модуля).
№
Модули и темы
Виды СРС
Неделя
Объем
Кол-во
часов
баллов
1-3
9
0-15
4-6
9
0-15
18
0-30
7-9
9
0-15
10-12
9
0-15
18
0-30
13-15
9
0-20
16-18
9
0-20
Всего по модулю 3:
18
0-40
ИТОГОза 3 семестр:
54
0-100
9
0-15
обязатель-
дополнитель-
семест-
ные
ные
ра
Модуль 1
1.1
Элементы теории
множеств
Проработка
лекций, работа с литерату-
1.2
рой, решение
Алгебраические системы
типовых за-
Работа с учебной
литературой, составление задач
дач
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Числовые системы
Проработка
лекций, рабо-
2.2
та с литературой, решение
Элементы теории
графов
Составление задач, написание
программы
типовых задач
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Комбинаторика
3.2
Алгебра логики
Проработка
лекций, ре-
Написание про-
шение типо-
грамм
вых задач
Модуль 4
4.1
Элементы перечисли-
Проработка
Работа с учеб-
тельной комбинато-
лекций, ре-
ной литерату-
рики
шение типо-
рой
14
6
4.2
Перечисление графов
вых задач
4-6
9
0-15
18
0-30
7-9
8
0-15
10-12
8
0-15
16
0-30
13-15
8
0-20
16-18
8
0-20
Всего по модулю 6:
16
0-40
ИТОГО за 4 семестр:
50
0-100
ИТОГО за год
104
и инварианты
Всего по модулю 4:
Модуль 5
5.1
Методы сжатия ин-
Работа с ли-
Работа с учеб-
тературой,
ной литерату-
Защита информации
решение ти-
рой
от помех
повых задач
формации
5.2
Всего по модулю 5:
Модуль 6
6.1
Конечные автоматы
Проработка
Написание
лекций, ра-
программы
бота с литературой,
решение типовых задач
6.2
Языки, грамматики,
автоматы
Решение ти-
Работа с учеб-
повых задач
ной литературой
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
15
учебного
Индекс компетенции
ПК-5
+
+
+
+
ПК-1
+
+
ПК-2
+
+
+
ПК-18
16
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория вероятностей и
математическая статистика
+
Теория вероятностей и
математическая статистика
Исследование операций
и теория игр
Математический анализ *
Алгебра и геометрия
+
Физика*
Математическая логика и
теория алгоритмов
7 семестр
6 семестр
4 семестр
3 семестр
2 семестр
Б.1. Дисциплины (модули)
Математический анализ *
Алгебра и геометрия
+
История математики
История криптографии
Физика*
Информатика
Математический анализ *
1 семестр
7 семестр
Основы управленческойдеятельности
Алгебра и геометрия
2 семестр
плана ОП
Русский язык и культура
речи
1 семестр
(модули)
Основы предпринимательской деятельности в
сфере \ ИКТ
Циклы,
История создания технологий защиты и передачи
информации*
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Б.2. Дисциплины (модули)
дисциплины
+
+
+
+
Индекс компетенции
ПК-5
+
+
ПК-2
+
+
+
ПК-18
*отмечены дисциплины базового цикла
17
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10 семестр
10семес тр
Б.5. Дисциплины (модули)
Выпускная квалификационная работа
Производственная
практика
8 семестр
дисциплины
Производственная
практика
6 семестр
Б.3. Дисциплины (модули)
Учебная практика
Дополнительные главы криптографии
9 семестр
8 семестр
7 семестр
Технологии и методы
программирования
Информационная безопасность открытых
Управление
информасистем
ционной безопасностью и эксРазработка
плуатация защищенных автоматизированных систем
Информационные
технологии
6 семестр
5 семестр
4 семестр
3 семестр
Технологии и методы
программирования
Языки программирования
Криптографические
методы защиты информации
Технологии и методы программирования
Языки программирования
плана ОП
2 семестр
учебного
Языки программирования
Циклы,
Б.6. Дисциплины (модули)
(модули)
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Код компетенции
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
Знает: основные понятия
дискретной математики.
ПК-1
Умеет:выявить задачи дискретной математики.
Владеет:методологией, основными понятиями и алгоритмами, необходимыми для выявления задач использующих дискретные алгоритмы.
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные сведения о
дискретных структурах, основные методы решения типовых численных задач дискретной математики
Знает: основные термины, методологию и особенности дискретных структур, различные методы
решения прикладных задач дискретной математики.
Умеет: выявить задачи дискретной математики и выбрать
необходимый типовой алгоритм для ее решения.
Умеет: выявить типовые, а также
нестандартные задачи дискретной
математики, разработать метод
решения поставленной задачи с
использованием типовых алгоритмов решения задач дискретной
математики.
Владеет: навыками моделирования прикладных задач методами дискретной математики.
Владеет:навыками моделирования
прикладных задач методами дискретной математики, а также внедрения готовых моделей прикладных задач дискретной математики
при решении профессиональных
задач.
18
Виды занятий (лекции, семинар
ские, практические, лабораторные)
Оценочные средства
(тесты, творческие работы, проекты и др.)
Лекции,
лабораторные работы.
Практические задания,
опрос.
Лабораторные работы
Лабораторные работы,
контрольная работа
Лекции,
лабораторные работы.
Практические задания,
экзамен
Знает:стандартные методы
реализации соответствующих
алгоритмов с помощью ЭВМ.
ПК-2
Умеет:
строить алгоритмы решения
задач и находить их решение с
применением средств программирования; разрабатывать программы для построения и решения задач дискретной математики
Владеет:
теоретическими основами методологий, необходимых для
выявления задач дискретной
математики.
Знает:этапы, логику основных
методов реализации соответствующих алгоритмов с помощью ЭВМ.
Знает:этапы, логику, процедуры
основных методов реализации соответствующих алгоритмов с помощью ЭВМ.
Умеет:
Умеет:
выявить и поставить проблему
в различных предметных областях, строить алгоритмы решения задач и находить их решение с применением средств
программирования; разрабатывать специализированные программы для построения, решения и анализа задач дискретной
математики.
Владеет:
технологиями программирования для разработки приложения, осуществляющего решение
типовых задач дискретной математики.
Лекции,
лабораторные работы.
Практические задания,
опрос.
лабораторные работы.
Практические задания,
контрольная работа.
выявить и нестандартно поставить
проблему в различных предметных
областях, строить алгоритмы решения задач и находить их решение с применением средств программирования;
разрабатывать
специализированные программы
для построения, решения и анализа
задач дискретной математики
Владеет:
технологиями программирования
для разработки приложения, осуществляющего решение прикладных задач дискретной математики,
основными принципами внедрения
алгоритмов дискретной математики при решении сторонних прикладных задач.
19
Лекции,
лабораторные работы.
Практические задания,
экзамен.
Знает:
Знает:
основные теоретические аспекты задач дискретной математики.
Умеет:
дискретной
ПК-5
выявить задачи
математики.
Владеет:
навыками анализа и обобщения результатов теоретических и практических исследований в предметной области
теоретические основы, проблемы, постановки и обоснования задач дискретной математики.
Умеет:
применять понятия и методы
дискретной математики для
формализации и решения задач; использовать языки и системы программирования для
решения
профессиональных
задач.
Владеет:
навыками анализа, синтеза,
сопоставления и обобщения
результатов теоретических и
практических исследований в
предметной области
Знает:
Лекции,
лабораторные работы.
Практические задания,
опрос.
Лекции,
лабораторные работы.
.
Практические задания,
контрольная работа.
теоретические основы, проблемы,
постановки и обоснования задач
дискретной математики.
Умеет:
выявлять задачу дискретной математики, применять понятия и
методы дискретной математики
для формализации и решения задач; использовать языки и системы программирования для решения профессиональных задач, использующих алгоритмы дискретной математики.
Владеет:
навыками анализа, синтеза, сопоставления и обобщения, нестандартными подходами и приемами
организации результатов теоретических и практических исследований в предметной области
20
Практические задания,
экзамен.
Лекции,
лабораторные работы.
Знает:
ПК-18
стандартные методы реализации соответствующих алгоритмов с помощью методов
информатики..
Знает:
этапы, логику основных методов реализации соответствующих алгоритмов с помощью
методов информатики.
Умеет:
Умеет:
строить алгоритмы решения
задач дискретной математики
и находить их решение с применением средств и методов
информатики.
выявить и поставить проблему, строить алгоритмы решения задач дискретной математикми находить их решение с
применением средств и методов информатики.
Владеет:
теоретическими основами методологий, необходимых для
выявления связей между задачами дискретной математики
и информатики
Владеет:
теоретическими основами методологий, необходимых для
выявления связей между задачами дискретной математики и
информатики, методами информатики для разработки
приложений, осуществляющих
решение типовых задач дискретной математики.
Знает:
этапы, логику, процедуры основных методов реализации соответствующих алгоритмов с помощью методов информатики.
Умеет:
Лекции,
лабораторные работы.
Лекции,
лабораторные работы.
выявить и нестандартно поставить
проблему в различных предметных
областях, строить алгоритмы решения задач дискретной математики и находить их решение с применением средств и методов информатики
Владеет:
теоретическими основами методологий, необходимых для выявления связей между задачами
дискретной математики и информатики, методами информатики
для разработки приложений,
осуществляющих решение прикладных задач дискретной математики
21
Практические задания,
опрос.
Практические задания,
контрольная работа.
Практические задания,
экзамен
Лекции,
лабораторные работы.
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Примеры тестовых заданий по теме: «Основные понятия теории графов»:
1. Дан граф на 5 вершинах с 1 компонентой связности. Чему равно минимальное и максимальное число рёбер в таком графе?
1) min=5, max = 10
2) min=4, max = 10
3) min=4, max = 9
4) min=4, max = 20
2. G – исходный граф. Тогда граф G/ получен из G при помощи операции
1) подразбиение ребра
2) стягивание ребра
3) добавления вершины
4) удаления вершины
3. Даны окончательная матрица D и S, полученные в результате работы алгоритма Флойда. Тогда длина кратчайшего пути между 2 и 3 вершинами и сам путь будут равны:
-
3
10 8 12
-
3
-
11 5 9
1 -
D= 10 11 8
5
12 9
6
6 10
-
4
10 4 -
2 3 2 4
4 4 4
S= 1 4 -
4 4
2 2 3 -
5
4 4 4 4 -
1) d23 = 11
путь 2-4-3
2) d23 = 11
путь 2-1-4-3
3) d23 = 11
путь 2-3
4) d23 = 11
путь 2-1-3
4. Величина максимального потока в данной сети будет равна
1) 3
2) 6
3) 7
4) 4
Пример контрольной работы во 2 семестре:
Задание 1.
Для данного конечного автомата, заданного таблично, со множеством внутренних
состояний {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, входным алфавитом {а,Ь} и выходным алфавитом {х,у}:
1. Выяснить, является ли автомат сильно связным.
2. Построить эквивалентный минимальный автомат.
3. Проверить работу исходного и минимального автоматов над
словом "bbabaab".
Задание 2.
1. Построить таблицу состояний данного автомата.
2. Считая автомат неинициальным, построить зквивалентный автомат Мура. 3.
Проверить работу данного и построенного автоматов над одним и тем же словом.
Контрольная работа по темам 4.1, 4.2:
1. Найдите производящую функцию и линейное рекуррентное уравнение для последовательности 𝑎𝑛 = (𝑛2 + 𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 .
2. Найдите производящую функцию чисел Моцкина.
23
3. Постойте алгоритм последовательного вывода правильных скобочных структур.
4. Докажите, что если в треугольнике Дика на восходящих ребрах в k-той строке
стоят числа k, а на нисходящих k+1, то в основании стоят числа Бернулли.
5. Докажите тождество Абеля
1
(𝑛
2
− 1)(𝑛 − 6)𝑛𝑛−3 = ∑
𝑛
𝑘,𝑚≥1 ( ) 𝑘
𝑚+𝑚=𝑛 𝑘
𝑘−2
𝑚𝑚−1 .
6. Докажите, что число разбиений числа nна части, не делящиеся на m, равно числу
тех его разбиений, в которых ни одна часть не встречается более, чем m-1 раз.
7. Пусть диагональные элементы матрицы порядка n равны нулю. Подсчитайте
число ненулевых произведений в разложении определителя этой матрицы.
8. Нарисуйте помеченное дерево по коду Прюфера𝑥23 𝑥3 𝑥12 𝑥4.
9. Приведите пример связного графа с единственным простым циклом, в котором
длины двух циклов в произведении всех транспозиций, отвечающих его ребрам, зависят
от выбранного порядка умножения.
10. Подсчитайте число упорядоченных пар циклов 𝜎1 , 𝜎2 длины 3 в группе 𝑆5 ,
произведение которых 𝜎1 𝜎2 имеет циклический тип 51 .
Вопросы к экзамену
1.
Подсчет числа отображений конечных множеств в конечные множества с
различными элементами. Двенадцатиричный путь.
2.
Разбиения конечных множеств.
3.
Числа Стирлинга второго рода.
4.
Разбиения чисел на слагаемые.
5.
Диаграммы Ферре.
6.
Возвратные последовательности.
7.
Числа Каталана.
8.
Производящие функции.
9.
Схема Бернулли.
10.
Формула включений - исключений.
11.
Цикловые классы.
24
12.
Перестановки с заданными характеристиками.
13.
Лемма Бернсайда. Теорема Пойа.
14.
Деревья, характеризации деревьев.
15.
Кодирование деревьев.
16.
Эйлеровы обходы.
17.
Двудольные графы.
18.
Понятие сложности алгоритмов. Пример.
19.
Поиск по графу. Быстрая сортировка.
20.
Динамическое программирование.
21.
Метод ветвей и границ на примере задачи коммивояжера.
22.
Сети и потоки в них. Теорема о максимальном потоке и минимальном разре-
23.
Алгоритмы для нахождения максимального потока.
24.
Использование сетевых моделей для нахождения связности графов.
25.
Теорема Менгера и теорема Уитни.
26.
Задача о наибольшем паросочетании в двудольном графе как задача о мак-
зе.
симальном потоке.
27.
Теоремы Кёнига и Дилворта.
28.
Примеры матроидов. Матричные матроиды. Графические матроиды. Матро-
иды разбиений. Матроид Фано.
29.
Матроид трансверсалей.
30.
Жадный алгоритм.
31.
Теорема Радо-Эдмондса. .
32.
Задачи и понятия теории кодирования. Проверка однозначности кодирова-
ния. Префиксные коды. Коды с минимальной избыточностью. Самокорректирующиеся
коды..
33.
Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
34.
Конечные автоматы и регулярные выражения. Алфавит. Язык.
35.
Недетерминированный конечный автомат. Функция переходов. Граф пере-
36.
Теорема о свойствах НКА. Алгоритм моделирования НКА.
ходов.
25
37.
Детерминированный конечный автомат. Алгоритм моделирования ДКА.
38.
Основная теорема кодирования (теорема Шеннона). Обратная теорема о ко-
дировании при наличии помех.
39.
Пределы сжатия информации без потерь. Понятие алгоритмов сжатия с по-
терями и область применения алгоритмов сжатия с потерями.
40.
Алгоритм Шеннона-Фано.
41.
Алгоритм Хаффмана.
42.
Арифметическое кодирование.
43.
Модели помех и описание помех. Расстояние Хэмминга. Вес двоичного сло-
44.
Матричное кодирование.
45.
Групповые коды.
46.
Совершенный код Хэмминга.
47.
Производящие функции и действия с ними. Дифференцирование и интегри-
ва.
рование производящих функций.
48.
Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции.
49.
Асимптотика коэффициентов рациональных функций.
50.
Пути в графах. Числа Каталана.
51.
Экспоненциальные производящие функции.
52.
Треугольник Дика.
53.
Треугольник Бернулли-Эйлера и исчисление змей.
54.
Теневое исчисление. Биномиальные последовательности.
55.
Разбиения и разложения.
56.
Треугольник Моцкина с кратностями.
57.
Производящие функции Дирихле.
26
58.
Перечисление графов и инварианты
59.
Перечисление помеченных деревьев. Леса и многочлены Абеля.
60.
Обращение функции и суммирование по деревьям.
61.
Графы и перестановки. Числа Гурвица.
62.
Инварианты. Хроматический многочлен.
63.
Многочлен Пенроуза.
64.
Язык Дика. Конечные автоматы, распознающие языки. Автоматы со стеком.
65.
Правила вывода в языке Дика. Проверка языков на регулярность.
66.
Формальные грамматики с однозначным выводом. Производящие функции
регулярных языков.
67.
Представления производящих функций в виде непрерывных дробей. Срав-
нения в последовательностях.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
3 семестр – зачёт, 4 семестр - экзамен
Студент получает зачёт автоматически в случае набора в течение семестра 61 балла.
Студент набирает в течение семестра 35-60 баллов. Для сдачи зачёта необходимо
написать итоговый тест за 1 семестр (20 баллов). Если набранных баллов по итогам теста
не хватает для получения зачёта, студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных
работ или выполнения дополнительных заданий.
Студент набирает в течение семестра менее 35 баллов (не допущен к сдаче зачёта).
Студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных и контрольных работ. После получения допуска (35 баллов), необходимо написать итоговый тест за 1 семестр (20 баллов).
27
Если набранных балов по итогам теста не хватает для получения зачёта, студент добирает
баллы путём сдачи самостоятельных работ или выполнения дополнительных заданий.
В случае, если в течение семестра студент не набрал необходимое количество баллов и не явился на сдачу зачёта во время сессии, добор баллов и пересдача осуществляются только в сроки, установленные учебной частью института.
К экзамену допускаются студенты, набравшие за семестр 35 баллов. Экзамен
проходит в традиционной форме, по билетам. В билете – 2 вопроса. Для получения оценки
«удовлетворительно» студентом должно быть сдано минимум 2 работ и сделан ответ на 1
вопрос из билета, в общем раскрывающий тему и не содержащий грубых ошибок. Для
получения оценки «хорошо» студент должен сдать минимум 3 работ и ответить на оба
вопроса билета. Ответ должен раскрывать тему и не содержать грубых ошибок. Ответ
студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой темы и
ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами
специальности, может привести пример по описываемой теме. Ответ может содержать
небольшие недочеты, допускается отсутствие подробного описания алгоритма, если
приведена его суть. Для получения оценки «отлично» студент должен сдать минимум 5
работ и ответить на оба вопроса билета. Ответ должен быть подробным, в полной мере
раскрывать тему и не содержать грубых или существенных ошибок. Каждый вопрос
должен сопровождаться примерами.
11. Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций, практических работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ, промежуточного
тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные и практические занятия; на практических занятиях контроль осуществляется при сдаче набора заданий. В течение семестра студенты выполняют задачи,
указанные преподавателем к каждому занятию;
активные и интерактивные формы: моделирование и анализ результатов при выполнении самостоятельных работ;
28
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности, подготовка к аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов. Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко
всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной
аттестации; индивидуальные консультации.
12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В.. Дискретная математика[Электронный ресурс]: учебник/ С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. -Электрон.текстовые дан. - Новосибирск:
Изд-во
НГТУ,
2012.
(Серия
«Учебники
НГТУ»).Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/135675/ (дата обращения: 04.11.2014)
12.2 Дополнительная литература:
1. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях [Электронный ресурс] : курс
лекций / С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. - М. : МЦМНО, 2007. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63247/ (дата обращения: 04.11.2014).
2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения [Электронный ресурс] / А.К.Звонкин, С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. – М. : МЦМНО, 2010. –
Режим доступа:http://www.biblioclub.ru/book/63250/ (дата обращения: 04.11.2014).
12.3. Интернет-ресурсы:
Не предусмотрены
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Не предусмотрены
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
29
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для проведения практических
занятий необходимы обычные классы.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного сдачи зачёта (экзамена) студенты должны посещать лекции и
практические занятия, выполнять домашние задания, выполнить все контрольные работы.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения практического
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
Виды контроля деятельности студентов, применяемые на аудиторных занятиях, их
оценка в рейтинговых баллах
№ п/п Вид контроля
Максимальное количество баллов
В случае пропуска лекции без уважительной причины текущий рейтинг снижается на 1 балл
1.
Посещение лекционных занятий
2.
В случае пропуска занятия без уважиПосещение практических занятий тельной причины текущий рейтинг снижается на 1 балл
3.
Выполнение практических заданий
За защиту практической работы позже
установленного срока количество баллов
снижается на 2.
30
4.
Выполнение индивидуальных за- За выполнение по инициативе студента
даний в процессе самостоятельной индивидуальных заданий текущий рейтинг может быть повышен на величину 0
работы
- 10 баллов за задание
5.
Экзамен по дисциплине
0 - 6 баллов за ответ на вопрос экзаменационного билета
31
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
кафедры
______________________________________ «__» _______________201 г.

Заведующий кафедрой___________________/___________________/

Подпись
Ф.И.О.
32