Document 226390

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
ЗАХАРОВ С.Д.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
специальности 10.05.01 «Компьютерная безопасность»,
специализация «Безопасность распределённыхкомпьютерных систем»
2
Тюменский государственный университет
2014
3
Захаров С.Д. Дискретная математика. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов очной формы обученияспециальности 10.05.01 «Компьютерная
безопасность», специализация «Безопасность распределённых компьютерных систем» .
Тюмень, 2014, 28 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины «Дискретная математика» опубликована на сайте
ТюмГУ: http://www.umk3.utmn.ru [электронный ресурс] / Режим доступа: свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор,
зав. кафедрой программного обеспечения
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Захаров С.Д., 2014.
4
1.
Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина "Дискретная математика" обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:

формирование математической культуры студента;

фундаментальная подготовка по основным разделам дискретной математики;

овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования при решении теоретических и прикладных задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП специалитета
Дисциплина «Дискретная математика» входит в базовую часть цикла естественнонаучных дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования (ФГОС ВПО).Для её успешного изучения необходимы
знания и умения, приобретенные в результате освоения школьного курса математики, а
также некоторых разделов из математического анализа и алгебры.
Дискретная математика относится к числу основных разделов современной математики. Знание дискретной математики является важной составляющей общей математической культуры выпускника. Эти знания необходимы как при проведении теоретических
исследований в различных областях математики, так и при решении практических задач
из разнообразных прикладных областей, таких, как информатика, программирование, ма-
5
тематическая экономика, математическая лингвистика, обработка и передача данных, распознавание образов, криптография и др.
Таблица 1.
№
Наименование обеспечиваемых
Темы дисциплины необходимые для изучения
п/п
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.
Теория вероятностей и математическая статистика
2.
Математическая логика
3.
Структуры и алгоритмы ком-
1.1-
2.1-
3.1-
3.3-
4.1-
5.1-
1.2
2.2
3.2
3.6
4.2
5.3
+
+
+
+
пьютерной обработки данных
4.
Базы данных
5.
Компьютерное моделирование
6.
Теория языков и трансляций
7.
Курсовые и дипломные работы
1.3.
6.1 6.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Компетенции выпускника ООП специалитета, формируемые в резуль-
тате освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины «Дискретная математика» цикла естественнонаучных дисциплин базовой части по специальности 10.05.01 «Компьютерная безопасность»в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать следующими компетенциями:
Профессиональными компетенциями:

способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникаю-
щих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физикоматематический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
6

способностью применять математический аппарат, в том числе с использо-
ванием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);

способностью разрабатывать математические модели безопасности защища-
емых компьютерных систем (ПК-18).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:

Знать: основные понятия дискретной математики и свойства математиче-
ских объектов, используемых в этих областях, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, основы построения компьютерных
дискретно-математических моделей..

Уметь: решать задачи теоретического и прикладного характера из различ-
ных разделов дискретной математики, доказывать утверждения, строить модели объектов
и понятий.

Владеть: математическим аппаратом дискретной математики, методами до-
казательства утверждений в этой областях и навыками алгоритмизации основных задач.
Структура и трудоемкость дисциплины.
2.
Семестр 3,4. Форма промежуточной аттестации :3 семестр – зачёт, 4 семестр – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических часов, из них
151,25 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем,
100,75 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего часов
Семестр Семестр
3
4
151,25
74,6
76,65
144
72
72
-
-
-
Лекции
72
36
36
Практические занятия (ПЗ)
72
36
36
7,25
2,6
4,65
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
7
Самостоятельная работа (всего):
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
100,75
33,4
67,35
7
3
4
252
108
144
зачёт
экзамен
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) зачёт, экзамен
3.Тематический план.
Таблица 3.
Тематический план
Виды учебной работы и
2
час.
часов
терак
колич
ские (пракЛаборатические)
по
тивной
ество
теме
форме,
баллов
3
4
5
1-2
4
3-4
6
работа*
Итого
торные
зазанятия*
Самостоянятия*
тельная
в ин-
Семинар-
1
Итого
Лекции *
Тема
самостоятельная работа, в
недели семестра
№
Из них
в часах
7
8
9
10
4
4
12
1
0-15
4
4
4
12
1
0-15
8
8
8
24
2
0-30
5-7
6
6
6
18
1
0-15
8-10
6
6
6
18
1
0-15
12
12
12
36
2
0-30
8
8
8
24
2
0-20
8
8
8
24
2
0-20
Модуль 1
1.1.
1.2.
Элементы теории
множеств
Алгебраические системы
Всего*
Модуль 2
2.1.
Числовые системы
Элементы теории
2.2.
графов
Всего*
Модуль 3
113.1.
Комбинаторика
14
15-
3.2.
Алгебра логики
18
8
Всего*
Итого (часов, баллов
за 3 семестр)*:
16
16
16
48
4
0-40
36
36
36
108
8
0-100
4
4
Из них в интеракт.
форме
8
Модуль 4
Элементы перечис4.1.
лительной комбина-
1-2
6
6
12
24
1
0-15
3-4
6
6
12
24
1
0-15
12
12
24
48
2
0-30
5-7
6
6
12
24
2
0-15
8-10
6
6
12
24
2
0-15
12
12
24
48
4
0-30
6
6
12
24
2
0-20
6
6
12
24
2
0-20
12
12
24
48
4
0-40
36
36
72
144
10
0-100
5
5
72
126
9
9
торики
4.2.
Перечисление графов и инварианты
Всего*
Модуль 5
Методы сжатия ин-
5.1.
формации
Защита информации
5.2.
от помех
Всего*
Модуль 6
116.1.
6.2.
Конечные автоматы
14
Языки, грамматики,
15-
автоматы
18
Всего *
Итого (часов, баллов
за 4 семестр)*:
Из них в интеракт.
форме
Итого (часов, баллов
за год)*:
Из них в интеракт.
форме
72
9
10
272
18
18
0-100
*- с учётом иных видов работ.
Таблица4.
4.Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Письменные работы
Технические
мы
формы
Информа-
кон- ци-
троля
онные
си-
стемы
и
практикумы
другие формы
задания
электронные
ния
ситуационные
го тестировакомплексные
компьютерно-
программы
эссе
реферат
работа
тест
работа
контрольная
минаре
лабораторная
на сеответ
собеседование
коллоквиумы
технологии
Итого количество баллов
№ Те- Устный опрос
Модуль 1
1.1
0-3
0-12
0-15
1.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
2.1
0-3
0-12
0-15
2.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
3.1
0-3
0-17
0-20
3.2
0-3
0-17
0-20
Всего
0-6
0-34
0-40
0-18
0-82
0-3
0-12
Модуль 2
Модуль 3
Итого
за 3
семе
0100
стр
Модуль 4
4.1
0-15
10
4.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
5.1
0-3
0-12
0-15
5.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
6.1
0-3
0-17
0-20
6.2
0-3
0-17
0-20
Всего
0-6
0-34
0-40
0-18
0-82
Модуль 5
Модуль 6
Итого
за 4
се-
0100
местр
5.Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Некоторые понятия теории множеств.
Множества и основные операции над ними. Отношения. Функции. Взаимно однозначные соответствия. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества. Матрица бинарного отношения.
Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактормножества. Отношения порядка. Аксиомы теории множеств.
Тема 1.2. Алгебраические системы.
Определения и примеры. Морфизмы. Подсистемы. Конгруэнции. Теорема о гомоморфизме. Декартовы произведения алгебр. Теорема Биркгофа. Решетки и булевы алгебры. Идеалы и фильтры булевой алгебры. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
Модуль 2.
Тема 2.1. Числовые системы.
11
Бесконечные числовые системы. Системы счисления. Компьютерная алгебра и
численный анализ. Списочное представление чисел. Делимость в кольце целых чисел.
Разложение целых чисел на множители. Целые числа по модулю m. Линейные уравнения
по модулю m. Китайская теорема об остатках. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику.
Тема 2.2. Элементы теории графов.
Виды и способы задания графов. Подграфы и части графа. Операции над графами.
Маршруты. Достижимость. Связность. Расстояния в графах. Нахождение кратчайших
маршрутов. Степени вершин. Обходы графов. Остовы графов. Обходы графа по глубине и
ширине. Решение задачи коммивояжера. Упорядоченные и бинарные деревья. Фундаментальные циклы. Разрезы. Векторные пространства, связанные с графами. Раскраски графов. Планарные графы.
Модуль 3.
Тема 3.1. Комбинаторика.
Перестановки и подстановки. Размещения и сочетания. Размещения и сочетания с
повторением. Разбиения. Метод включений и исключений. Рекуррентные уравнения.
Тема 3.2. Алгебра логики.
Формулы алгебры логики. Функции алгебры логики. Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Двухэлементная булева алгебра. Фактор-алгебра алгебры формул. Минимизация булевых функций в классе ДНФ.
Карты Карно. Принцип двойственности для булевых функций. Полные системы булевых
функций. Функциональная декомпозиция. Логические сети. Проверка теоретикомножественных соотношений с помощью алгебры логики. Логические задачи.
Модуль 4.
Тема 4.1.Элементы перечислительной комбинаторики.
Элементарные производящие функции. Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции. Числа Фибоначчи. Асимптотика коэффициентов рациональных функций. Пути в графах. Числа Каталана. Треугольник Паскаля. Экспоненциальные производящие функции. Треугольник Дика. Треугольник Бернулли-Эйлера и исчисление змей. Теневое исчисление. Биномиальные последовательности. Разбиения и разложения. Треугольник Моцкина с кратностями. Производящие функции Дирихле.
Тема 4.2. Перечисление графов и инварианты
12
Перечисление помеченных деревьев. Леса и многочлены Абеля. Обращение
функции и суммирование по деревьям. Графы и перестановки. Числа Гурвица. Графы,
изоморфизм и инварианты. Хроматический многочлен. Многочлен Пенроуза. Теорема
Татта. Алгебра Хопфа графов.
Модуль 5.
Тема 5.1. Методы сжатия информации.
Алгоритмы сжатия Шаннона-Фано и Хаффмана. Теоретические пределы сжатия
информации. Типы систем сжатия информации.
Тема 5.2.Защита информации от помех.
Помехоустойчивое кодирование. Основная теорема Шеннона о кодировании для
канала с помехами. Основные понятия. Общие принципы введения избыточности. Разрешенные и запрещенные кодовые комбинации. Кратность ошибки. Понятие о кодовом расстоянии. Связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием. Минимальное
кодовое расстояние для обнаружения ошибки и для исправления ошибки.Защита информации от несанкционированного доступа.Современные симметричные криптопреобразования. Несимметричные криптопреобразования. Понятие криптостойкости и основы
криптоанализа.
Модуль 6.
Тема 6.1. Конечные автоматы.
Конечный автомат. Определение. Использование конечных автоматов в программировании.
Тема 6.2. Языки, грамматики, автоматы.
Язык Дика. Конечные автоматы, распознающие языки. Автоматы со стеком. Правила вывода в языке Дика. Формальные грамматики с однозначным выводом. Производящие функции регулярных языков. Представления производящих функций в виде непрерывных дробей. Сравнения в последовательностях.
6. Планы семинарских занятий.
Тема 1.1. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Упрощение выражений над множествами с использованием основных тождеств алгебры множеств. Доказательства по методу математической индукции. Отношения. Порядки.
13
Тема 1.2. Группы, кольца и поля. Абстрактные структуры. Алгебры отношений и
реляционные алгебры.
Тема 2.1. Перевод чисел из одной системы в другую. Разложение на множители.
НОД, НОК. Диофантовы уравнения. Сравнения первого порядка. Китайская теорема об
остатках. Многомодульная арифметика.
Тема 2.2. Типы графов. Матричное представление графов. Операции над графами.
Определение
компонент
связности
неорграфов
и
сильных
компонент
оргра-
фов.Алгоритмы Краскала и Прима построения кратчайшего остова взвешенного графа.
Определение кратчайших путей в графах. Решение задач на использование алгоритмов
Дейкстры и Флойда. Задача коммивояжера. Остовы графов. Фундаментальные циклы,
фундаментальные разрезы. Алгоритм Форда-Фалкерсона определения максимального потока в транспортной сети. Раскраски графов. Проверки на планарность.
Тема 3.1. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.
Решение комбинаторных задач. Метод включения-исключения. Рекуррентные уравнения.
Тема 3.2. Булевы функции: табличный способ задания. Существенные и несущественные переменные. Формулы. Эквивалентность формул. ДНФ, КНФ. Минимизация.
Карты Карно. Декомпозиция. Логические задачи.
Тема 4.1. Производящие функции и действия с ними. Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Доказательство тождеств с биномиальными коэффициентами. Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции. Произведение Адамара. Асимптотика коэффициентов рациональных функций.
Пути в графах. Числа Каталана. Треугольник Паскаля. Экспоненциальные производящие функции. Треугольник Дика. Треугольник Бернулли-Эйлера и исчисление змей.
Теневое исчисление. Биномиальные последовательности. Разбиения и разложения. Треугольник Моцкина с кратностями. Производящие функции Дирихле.
Тема 4.2. Перечисление графов и инварианты
Перечисление помеченных деревьев. Леса и многочлены Абеля. Обращение функции и суммирование по деревьям. Графы и перестановки. Числа Гурвица. Инварианты.
Хроматический многочлен. Многочлен Пенроуза.
Тема 5.1. Сжатие данных. Метод Хаффмана. Метод арифметического кодирования.
14
Тема 5.2. Помехозащищенное кодирование. Коды Хэмминга.Алгоритмы над конечными полями. Криптографические алгоритмы. ГОСТ 28147-89. Основы RSA. Основы
AES. Взлом RSA.
Тема 6.1. НКА и ДКА. Способы задания. Эквивалентность автоматов. Минимизация автоматов.
Тема 6.2.Язык Дика. Конечные автоматы, распознающие языки. Автоматы со стеком. Правила вывода в языке Дика. Проверка языков на регулярность. Формальные грамматики с однозначным выводом. Производящие функции регулярных языков. Представления производящих функций в виде непрерывных дробей. Сравнения в последовательностях.
7.Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
8.Примерная тематика курсовых работ.
Не планируются.
9.Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
№
Модули и темы
Виды СРС
Неделя
Объем
Кол-во
часов
баллов
1-2
4
0-15
3-4
4
0-15
8
0-30
обязатель-
дополнитель-
семест-
ные
ные
ра
Модуль 1
1.1
Элементы теории
множеств
Проработка
лекций, работа с литерату-
1.2
Работа с учебной
литературой, со-
рой, решение
Алгебраические системы
ставление задач
типовых задач
Всего по модулю 1:
Модуль 2
15
2.1
Числовые системы
Проработка
5-7
6
0-15
8-10
6
0-15
12
0-30
11-14
8
0-20
15-18
8
0-20
Всего по модулю 3:
16
0-40
ИТОГОза 1 семестр:
36
0-100
лекций, рабо-
2.2
Составление за-
та с литерату-
дач, написание
рой, решение
Элементы теории
графов
программы
типовых задач
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Комбинаторика
3.2
Алгебра логики
Проработка
лекций, ре-
Написание про-
шение типо-
грамм
вых задач
Модуль 4
4.1
4.2
Элементы перечисли-
Проработка
Работа с учеб-
тельной комбинато-
лекций, ре-
ной литерату-
рики
шение типо-
рой
Перечисление графов
вых задач
1-2
0-15
12
3-4
и инварианты
Всего по модулю 4:
12
24
0-15
0-30
Модуль 5
5.1
Методы сжатия ин-
Работа с ли-
Работа с учеб-
тературой,
ной литерату-
Защита информации
решение ти-
рой
от помех
повых задач
формации
5.2
5-7
8-10
Всего по модулю 5:
12
12
0-15
0-15
24
0-30
12
0-20
Модуль 6
6.1
Конечные автоматы
Проработка
Написание
лекций, ра-
программы
бота с литературой,
16
11-14
решение типовых задач
6.2
Решение ти-
Работа с учеб-
повых задач
ной литерату-
12
0-20
Всего по модулю 6:
24
0-40
ИТОГО за 2 семестр:
72
0-100
Языки, грамматики,
автоматы
15-18
рой
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
ПК 2
ПК 18
+
+
+
Языки программирования
Аппаратные средства вычислительной
техники
Дискретная математика
+
+
+
+
+
+
17
+
+
+
+
+
Системы управления базами данных
Дискретная математика
+
+
Языки программирования
Алгебра
+
Теория информации
Математический анализ
4 семестр
Языки программирования
Индекс
компетенции
Профессиональные компетенции
+ + + + + +
ПК 1
3 семестр
Математическая логика и теория алгоритмов
Физика
Иностранный язык (английский)
2 семестр
История криптографии
Физика
Геометрия
Математический анализ
1 семестр
Математический анализ
Циклы, дисциплины
учебного
плана ООП
специалиста КБ
+
+
+
Циклы,
дисциплины
учебного
плана
ООП специалиста
КБ
ПК 2
ПК 18
+
+
+
+
+
+
+
ВКР
+
Учебная
+
Производственная
+
+
Б.5
ГИ
А
10 семестр
безопасностью распределенных компьютерных систем
9 семестр
Теория управления информационной
Нейронные сети
Модели безопасности компьютерных систем
8 семестр
+
Методы анализа рисков
+
Теория игр
ПК 1
Исследование операций
7 семестр
Индекс
компетенции
Профессиональные компетенции
Теория вероятностей и математическая статистика
6 семестр
Теоретико-числовые методы в криптографии
Теория вероятностей и математическая статистика
Системы управления базами данных
Теория информации
5 семестр
Б.4 Практики
+
+
+
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
18
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты
и др.)
ПК-2
ПК-1
Знает: о возможности применения
дискретной математики в различных областях деятельности человека:
Умеет: применять
дискретную математику в научноисследовательской
и профессиональной деятельности с
внешней помощью
Владеет: методами
дискретной математики при решении задачи по образцу
Знает: общие сведения об основных
интерпретациях
базовых понятий
дискретной математики
Умеет: использовать
теоретический и практический
материал,
необходимый для
представления
задачи в терминах
и понятиях изучаемой дисциплины
Владеет: первоначальными
представлениями
о
возможности решения задач с помощью компьютерных технологий
Знает: о применения
дискретной математики в различных
областях будущей
профессиональной
деятельности
Умеет: применять
дискретную математику в научноисследовательской
и профессиональной деятельности в
стандартной ситуации
Владеет: методами
дискретной математики при решении
стандартной задачи
Знает:
специфику
формулировки задач профессиональной деятельности в
терминах
дисциплины
Умеет: применять
аналитические
и
численные методы
решения поставленных задач, систематизировать основные знания о приемах и методах решения типовых задач курса с использованием справочной литературы
Владеет: способностью к применению
полученных знаний
на практике, в том
числе умением составлять математические модели типовых профессиональных задач и
находить способы
их решений; интерпретировать
профессиональный
смысл полученного
математического
результата
19
Знает: о применения дискретной
математики в различных областях
будущей профессиональной
деятельности и
смежных деятельности видах
Умеет: применять
дискретную математику в научноисследовательской
и профессиональной деятельности
самостоятельно в
любой ситуации
Владеет: методами
дискретной математики при решении любой задачи
Лекции,
практические
занятия
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
домашние з
адания.
Знает: на высоком
уровне
учебную
программу
дискретной математики
Лекции, практические занятия
Контрольные
работы, тесты, домашние задания.
Умеет: проявлять
высокую степень
понимания утверждений дискретной
математики,
применять полученные знания в
решении профессиональных задач
Владеет: глубокими знаниями базовых математических понятий и
утверждений
и
методами их реализации в профессиональной сфере
Знать:
общие, но не
структурированные
знания об основных
моделях доступа в
информационной
системе;
Уметь:
реализовывать
основные модели
доступа в
информационной
системе;
Уметь:
в целом успешное,
но не
систематически
осуществляемое
умение
реализовывать
основные модели
доступа в
информационной
системе;
Владеть:
навыками
реализации
основных моделей
доступа в
информационной
системе.
Владеть:
в целом успешное,
но не
систематическое
применение
навыков реализации
основных моделей
доступа в
информационной
системе.
ПК-18
Знать:
основные модели
доступа в
информационной
системе;
Знать:
сформированные,
но содержащие
отдельные
пробелы знания об
основных моделях
доступа в
информационной
системе;
Уметь:
в целом успешное,
но содержащее
отдельные
пробелы умение
реализовывать
основные модели
доступа в
информационной
системе;
Лекции,
практические
занятия
Контрольные
работы,
тесты,
домашние
задания.
Владеть:
в целом успешное,
но содержащее
отдельные
пробелы
применение
навыков
реализации
основных моделей
доступа в
информационной
системе.
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Примеры тестовых заданий по теме: «Основные понятия теории графов»:
1. Дан граф на 5 вершинах с 1 компонентой связности. Чему равно минимальное и максимальное число рёбер в таком графе?
1) min=5, max = 10
2) min=4, max = 10
3) min=4, max = 9
4) min=4, max = 20
20
2. G – исходный граф. Тогда граф G/ получен из G при помощи операции
1) подразбиение ребра
2) стягивание ребра
3) добавления вершины
4) удаления вершины
3. Даны окончательная матрица D и S, полученные в результате работы алгоритма Флойда. Тогда длина кратчайшего пути между 2 и 3 вершинами и сам путь будут равны:
-
3
10 8 12
-
3
-
11 5 9
1 -
D= 10 11 8
5
6
12 9
6 10
-
2 3 2 4
4 4 4
S= 1 4 -
4
10 4 -
4 4
2 2 3 -
5
4 4 4 4 -
1) d23 = 11
путь 2-4-3
2) d23 = 11
путь 2-1-4-3
3) d23 = 11
путь 2-3
4) d23 = 11
путь 2-1-3
4. Величина максимального потока в данной сети будет равна
1) 3
2) 6
3) 7
4) 4
Пример контрольной работы во 2 семестре:
Задание 1.
21
Для данного конечного автомата, заданного таблично, со множеством внутренних
состояний {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, входным алфавитом {а,Ь} и выходным алфавитом {х,у}:
1. Выяснить, является ли автомат сильно связным.
2. Построить эквивалентный минимальный автомат.
3. Проверить работу исходного и минимального автоматов над
словом "bbabaab".
Задание 2.
1. Построить таблицу состояний данного автомата.
2. Считая автомат неинициальным, построить зквивалентный автомат Мура. 3.
Проверить работу данного и построенного автоматов над одним и тем же словом.
Контрольная работа по темам 4.1, 4.2:
1. Найдите производящую функцию и линейное рекуррентное уравнение для последовательности 𝑎𝑛 = (𝑛2 + 𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 .
2. Найдите производящую функцию чисел Моцкина.
3. Постойте алгоритм последовательного вывода правильных скобочных структур.
4. Докажите, что если в треугольнике Дика на восходящих ребрах в k-той строке
стоят числа k, а на нисходящих k+1, то в основании стоят числа Бернулли.
5. Докажите тождество Абеля
1
(𝑛
2
− 1)(𝑛 − 6)𝑛𝑛−3 = ∑
𝑛
𝑘,𝑚≥1 ( ) 𝑘
𝑚+𝑚=𝑛 𝑘
𝑘−2
𝑚𝑚−1 .
6. Докажите, что число разбиений числа nна части, не делящиеся на m, равно числу
тех его разбиений, в которых ни одна часть не встречается более, чем m-1 раз.
7. Пусть диагональные элементы матрицы порядка n равны нулю. Подсчитайте
число ненулевых произведений в разложении определителя этой матрицы.
8. Нарисуйте помеченное дерево по коду Прюфера𝑥23 𝑥3 𝑥12 𝑥4.
22
9. Приведите пример связного графа с единственным простым циклом, в котором
длины двух циклов в произведении всех транспозиций, отвечающих его ребрам, зависят
от выбранного порядка умножения.
10. Подсчитайте число упорядоченных пар циклов 𝜎1 , 𝜎2 длины 3 в группе 𝑆5 ,
произведение которых 𝜎1 𝜎2 имеет циклический тип 51 .
Вопросы к экзамену
1.
Подсчет числа отображений конечных множеств в конечные множества с
различными элементами. Двенадцатиричный путь.
2.
Разбиения конечных множеств.
3.
Числа Стирлинга второго рода.
4.
Разбиения чисел на слагаемые.
5.
Диаграммы Ферре.
6.
Возвратные последовательности.
7.
Числа Каталана.
8.
Производящие функции.
9.
Схема Бернулли.
10.
Формула включений - исключений.
11.
Цикловые классы.
12.
Перестановки с заданными характеристиками.
13.
Лемма Бернсайда. Теорема Пойа.
14.
Деревья, характеризации деревьев.
15.
Кодирование деревьев.
16.
Эйлеровы обходы.
17.
Двудольные графы.
18.
Понятие сложности алгоритмов. Пример.
19.
Поиск по графу. Быстрая сортировка.
20.
Динамическое программирование.
21.
Метод ветвей и границ на примере задачи коммивояжера.
22.
Сети и потоки в них. Теорема о максимальном потоке и минимальном разре-
23.
Алгоритмы для нахождения максимального потока.
зе.
23
24.
Использование сетевых моделей для нахождения связности графов.
25.
Теорема Менгера и теорема Уитни.
26.
Задача о наибольшем паросочетании в двудольном графе как задача о мак-
симальном потоке.
27.
Теоремы Кёнига и Дилворта.
28.
Примеры матроидов. Матричные матроиды. Графические матроиды. Матро-
иды разбиений. Матроид Фано.
29.
Матроид трансверсалей.
30.
Жадный алгоритм.
31.
Теорема Радо-Эдмондса. .
32.
Задачи и понятия теории кодирования. Проверка однозначности кодирова-
ния. Префиксные коды. Коды с минимальной избыточностью. Самокорректирующиеся
коды..
33.
Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
34.
Конечные автоматы и регулярные выражения. Алфавит. Язык.
35.
Недетерминированный конечный автомат. Функция переходов. Граф пере-
36.
Теорема о свойствах НКА. Алгоритм моделирования НКА.
37.
Детерминированный конечный автомат. Алгоритм моделирования ДКА.
38.
Основная теорема кодирования (теорема Шеннона). Обратная теорема о ко-
ходов.
дировании при наличии помех.
39.
Пределы сжатия информации без потерь. Понятие алгоритмов сжатия с по-
терями и область применения алгоритмов сжатия с потерями.
40.
Алгоритм Шеннона-Фано.
41.
Алгоритм Хаффмана.
42.
Арифметическое кодирование.
43.
Модели помех и описание помех. Расстояние Хэмминга. Вес двоичного сло-
ва.
24
44.
Матричное кодирование.
45.
Групповые коды.
46.
Совершенный код Хэмминга.
47.
Производящие функции и действия с ними. Дифференцирование и интегри-
рование производящих функций.
48.
Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции.
49.
Асимптотика коэффициентов рациональных функций.
50.
Пути в графах. Числа Каталана.
51.
Экспоненциальные производящие функции.
52.
Треугольник Дика.
53.
Треугольник Бернулли-Эйлера и исчисление змей.
54.
Теневое исчисление. Биномиальные последовательности.
55.
Разбиения и разложения.
56.
Треугольник Моцкина с кратностями.
57.
Производящие функции Дирихле.
58.
Перечисление графов и инварианты
Перечисление помеченных деревьев. Леса и многочлены Абеля.
59.
60.
Обращение функции и суммирование по деревьям.
61.
Графы и перестановки. Числа Гурвица.
62.
Инварианты. Хроматический многочлен.
63.
Многочлен Пенроуза.
64.
Язык Дика. Конечные автоматы, распознающие языки. Автоматы со стеком.
65.
Правила вывода в языке Дика. Проверка языков на регулярность.
66.
Формальные грамматики с однозначным выводом. Производящие функции
регулярных языков.
25
67.
Представления производящих функций в виде непрерывных дробей. Срав-
нения в последовательностях.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
3 семестр – зачёт, 4 семестр - экзамен
Студент получает зачёт автоматически в случае набора в течение семестра 61 балла.
Студент набирает в течение семестра 35-60 баллов. Для сдачи зачёта необходимо
написать итоговый тест за 1 семестр (20 баллов). Если набранных баллов по итогам теста
не хватает для получения зачёта, студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных
работ или выполнения дополнительных заданий.
Студент набирает в течение семестра менее 35 баллов (не допущен к сдаче зачёта).
Студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных и контрольных работ. После получения допуска (35 баллов), необходимо написать итоговый тест за 1 семестр (20 баллов).
Если набранных балов по итогам теста не хватает для получения зачёта, студент добирает
баллы путём сдачи самостоятельных работ или выполнения дополнительных заданий.
В случае, если в течение семестра студент не набрал необходимое количество баллов и не явился на сдачу зачёта во время сессии, добор баллов и пересдача осуществляются только в сроки, установленные учебной частью института.
К экзамену допускаются студенты, набравшие за семестр 35 баллов. Экзамен
проходит в традиционной форме, по билетам. В билете – 2 вопроса. Для получения оценки
«удовлетворительно» студентом должно быть сдано минимум 2 работ и сделан ответ на 1
вопрос из билета, в общем раскрывающий тему и не содержащий грубых ошибок. Для
получения оценки «хорошо» студент должен сдать минимум 3 работ и ответить на оба
вопроса билета. Ответ должен раскрывать тему и не содержать грубых ошибок. Ответ
26
студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой темы и
ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами
специальности, может привести пример по описываемой теме. Ответ может содержать
небольшие недочеты, допускается отсутствие подробного описания алгоритма, если
приведена его суть. Для получения оценки «отлично» студент должен сдать минимум 5
работ и ответить на оба вопроса билета. Ответ должен быть подробным, в полной мере
раскрывать тему и не содержать грубых или существенных ошибок. Каждый вопрос
должен сопровождаться примерами.
11. Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций, практических работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ, промежуточного
тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные и практические занятия; на практических занятиях контроль осуществляется при сдаче набора заданий. В течение семестра студенты выполняют задачи,
указанные преподавателем к каждому занятию;
активные и интерактивные формы: моделирование и анализ результатов при выполнении самостоятельных работ;
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности, подготовка к аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов. Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко
всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной
аттестации; индивидуальные консультации.
12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
27
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В.. Дискретная математика[Электронный ресурс]: учебник/ С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. -Электрон.текстовые дан. - Новосибирск:
Изд-во
НГТУ,
2012.
(Серия
«Учебники
НГТУ»).Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/135675/ (дата обращения: 04.11.2014)
12.2 Дополнительная литература:
1. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях [Электронный ресурс] : курс
лекций / С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. - М. : МЦМНО, 2007. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63247/ (дата обращения: 04.11.2014).
2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения [Электронный ресурс] / А.К.Звонкин, С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. – М. : МЦМНО, 2010. –
Режим доступа:http://www.biblioclub.ru/book/63250/ (дата обращения: 04.11.2014).
12.3. Интернет-ресурсы:
Не предусмотрены
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Не предусмотрены
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для проведения практических
занятий необходимы обычные классы.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного сдачи зачёта (экзамена) студенты должны посещать лекции и
практические занятия, выполнять домашние задания, выполнить все контрольные работы.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения практического
28
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
Виды контроля деятельности студентов, применяемые на аудиторных занятиях, их
оценка в рейтинговых баллах
№ п/п Вид контроля
Максимальное количество баллов
В случае пропуска лекции без уважительной причины текущий рейтинг снижается на 1 балл
1.
Посещение лекционных занятий
2.
В случае пропуска занятия без уважиПосещение практических занятий тельной причины текущий рейтинг снижается на 1 балл
3.
Выполнение практических заданий
За защиту практической работы позже
установленного срока количество баллов
снижается на 2.
4.
Выполнение индивидуальных за- За выполнение по инициативе студента
даний в процессе самостоятельной индивидуальных заданий текущий рейтинг может быть повышен на величину 0
работы
- 10 баллов за задание
5.
Экзамен по дисциплине
0 - 6 баллов за ответ на вопрос экзаменационного билета
29
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
кафедры
______________________________________ «__» _______________201 г.

Заведующий кафедрой___________________/___________________/

Подпись
Ф.И.О.
30