теория функций комплексного переменного

Контрольная работа по ТФКП
для студентов 3 курса отделения «Математика», 5 семестр
1. Найти дробно-линейное отображение, переводящее точки –1, 0, 1 соответственно в точки 1, i, -1, и выяснить во что при этом отображении переходит верхняя полуплоскость.
2. Найти образ линии Im z = c при отображении
1
.
z
w  z2 .
w
3. Найти образ линии Re z = c при отображении
4. Найти арифметическую функцию f(z) = u + i v, если
v = ln (x 2 + y 2) + x – 2y.
5. Найти постоянные a, b, c, при которых функция f(z) = x + ay + i(bx + cy) будет аналитической.
6. Найти коэффициент деформации и угол поворота в точке z = i при отображении
w


e  z  5, 0  arctgz   при отображении w = ln z.
6

Найти образ 0  Re z  1, 0  Im z    при отображении w = е z.
z 1
.
z 1
7. Найти образ
8.
9. Найти образ полукруга
| z | 1, Im z  0 при отображении функцией Жуковского w  1  z  1 .
2
10. Найти особые точки функции
f ( z) 
11. Исследовать сходимость ряда
 2i 
 n 
n 1 


1
z  z3
и выяснить их характер.
n
.
 3  (1) n 

12. Определить радиус сходимости ряда
z
n
zn .
n 0
n

13. Найти круг сходимости степенного ряда
 3n  z  1  i 
n
.
n 1
14.
e z dz
Вычислить интеграл 
.
2
z

5
z

4
| z 1|  2
 ( z  a)
15. Вычислить интеграл
n
dz , где n – целое.
| z  a|  R
16. Вычислить интеграл
z dz
, a  1.
4
z

1
| z  a|  a
17. Вычислить интеграл
1
ze z dz

2i C ( z  a) 3
18. Разложить функцию
f ( z) 

z
( z  i)( z  3)
19. Разложить в ряд Лорана функцию
20. Найти вычеты функции
, где точка а лежит внутри контура С.
f ( z) 
f ( z) 
1
z  z5
3
в ряд Лорана в кольце 1<|z|<3.
1
z2
в окрестности точек z = 0 и z = .
относительно всех ее конечных особых точек.
Составил: доцент кафедры математического анализа Сижук П.И.
1