Cnk - 1553fm.ru

Свойства Cnk
1.
Cnk  Cnn  k . Это свойство легко доказать из соображений, что выбор, например, k
участников олимпиады из n учеников аналогичен выбору n-k учеников, не
участвующих в олимпиаде. Поэтому выбор k человек из n аналогичен выбору n-k
человек из n.
Также можно доказать пользуясь формулой С nk . (дать как задачу)
 Cnk  Cnk 1 .
2. C k
n 1
Предположим, что в классе учится n+1 человек. Зафиксируем какого-нибудь ученика
класса (обозначим его за А). Разобьем все возможные команды по k человек,
выбранных из n+1 человек, на I, содержащие ученика А, и E, не содержащие А. Тогда
в I содержится С k 1 , т.к. выбирается команда из k-1 ученика + А. А в Е содержится
n
Сnk .
Также можно доказать с помощью формулы.
3. C 0  С n  1.
n
n
Существует только один способ не выбирать ни одного элемента из n. Также,
существует лишь один способ выбрать из n элементов n без учета порядка. Также это
свойство можно доказать с помощью формулы С nk .
4. C 0  C1  C 2  ...  C n  2 n .
n
n
n
n
Сопоставим каждому из n элементов 0, если он не входит в данный С nk , и 1, если он
входит в набор. Каждый набор С nk -- это множество последовательностей из k единиц
и n нулей.Всего  2 n наборов длины n.
Бином Ньютона
Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при
положительном целом n в виде многочлена:
Действительно, чему соответствует число слагаемых вида a k b n  k -- количеству вариантов
выбора из n скобок множителя a в общее произведение.
Свойства биномиальных коэффициентов, доказываемые
через бином Ньютона
1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) n равна 2 n .
Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения
бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.
Это свойство следует из соотношения:
3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов
нечётных членов разложения; каждая из них равна
Для доказательства воспользуемся биномом:
Здесь чётные члены имеют
знак « + » , а нечётные - «  ». Так как в результате разложения получается 0, то
следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому
каждая из них равна:
что и требовалось доказать.
Задачи:
Условие
В разложении (x + y)n по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240,
третий — 720, а четвертый — 1080. Найдите x, y и n.
Ответ
x = 2, y = 3, n = 5.
Условие
Вычислите суммы:
a) C05 + 2C15 + 22C25 +...+ 25C55;
б) C0n - C1n +...+ (- 1)nCnn;
в) C0n + C1n +...+ Cnn.
Ответ
а) 35; б) 0; в) 2n.
Условие
Докажите, что из
Решение
предметов четное число предметов можно выбрать
способами.
Сумма чисел, стоящих на четных местах в -й строке треугольника Паскаля, равна сумме
чисел, стоящих на нечетных местах той же строки.
Условие
Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении
а) (
+
)100;
б) (
+
)300?
Ответ
а) 26; б) 51.
Докажите тождества:
а) CmrCmk = CkrCm - kr - k;
б) Cn2n = (C0n)2 + (C1n)2 +...+ (Cnn)2;
г) Ckn + m = C0nCkm + C1nCk - 1m +...+ CknC0m;
д) Ckn = Ck - 1n - 1 + Ck - 1n - 2 +...+ Ck - 1k - 1.