DOC, 159.5 КБ

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Школа-интернат лицей-интернат
Реферат
«Б и н о м Н ь ю т о н а»
Работу выполнил:
ученик 11 класса «А»
Зыбко Иван
Руководитель
Еремина
Людмила Александровна
Калининград
2008 год
2
С о д е р ж а н и е.
Стр.
Понятие бинома Ньютона.
3-4
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов. 5-6
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона».
7
Задачи, сводящиеся к использованию формулы
8-10
бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме
«Бином Ньютона»)
3
Понятие бинома Ньютона.
Биномом Ньютона называют разложение вида:
( a  b )n  C n0 a n b 0  C n1 a n1b 1  C n2 a n2 b 2  ...  C nm a nm b m  ...  C nn a 0 b n 
 a n  na n1b 1 
n( n  1 ) n2 2
n!
a b  ... 
a nm b m  ...  b n , где m  n
2!
( n  m )! m !
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как
«бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения
была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.
Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных
действий.
Компоненты формулы «бином Ньютона»:
 правая часть формулы – разложение бинома;
 С n0 ; С n1 ; ... С nn – биномиальные коэффициенты,
1
их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
и так далее
заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой
степени:
( a  b )4  1  a 4  4  a 3 b  6  a 2 b 2  4  ab 3  1  b 4
Альтернатива треугольнику Паскаля:
4
1)
перемножить почленно четыре скобки:
( a  b )4  ( a  b )  ( a  b )  ( a  b )  ( a  b )  a 4  ...;
2)
вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
( a  b )4  C40 a 4 b 0  C41 a 3 b 1  C42 a 2 b 2  C43 a 1b 3  C44 a 0 b 4  a 4  4 a 3 b  6 a 2 b 2  4 a 1b 3  1
 общий
член
разложения
бинома
n-й
степени:
Tm1  C nm a n  m b m , m  0 ,1,2 ,...n ,
где Т – член разложения; ( m  1 ) – порядковый номер члена разложения.
5
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.
1. С n0  С nn  1
2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно ( n  1 )
3. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна
показателю степени бинома, то есть n
Доказательство
Рассмотрим ( m  1 ) -й член разложения: Tm1  C nm a nm b m
Сумма показателей степеней a и b: ( n  m )  m  n
Ч.т.д.
4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих
от концов разложения, равны между собой:
С nm  C nn m (правило сим-
метрии)
5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна
2n
Доказательство
( a  b )n  C n0 a n b 0  C n1 a n 1b 1  C n2 a n 2 b 2  ...  C nm a n m b m  ...  C nn a 0 b n
Пусть a  1, b  1 , тогда:
o левая часть равна 2 n ;
o правая
часть
равна
C n0 1n 10  C n1 1n 111  C n2 1n 2 12  ...  C nm 1n m 1m  ...  C nn 10 1n
Тогда:
2 n  С n  С n  С n  ... С n
0
1
2
n
Ч.т.д.
6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах,
равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
2 n 1
6
С n0  С n2  С n4  ...  С n1  С n3  С n5  ...  2 n 1
7. Правило Паскаля: С nm  C nm1  C nm11
8. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби
n ( m 1)
m
С nm  C nm1 
n ( m 1)
m
7
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона».
К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:
1.
Найти член (номер члена) разложения бинома
2.
Вывести бином по известным членам разложения (по известной
сумме)
Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения
3.
бинома
и другие.
Продемонстрируем на примере.
Пример 1
1

В биномиальном разложении  x 3  3 
x 

18
найти член разложения, не со-
держащий х
Решение
Tm1  C
m
18
x 
3 18 m
m
 1
m
54 3 m3 m
 C18m x 546 m
 3   C18 x
x 
Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то
54  6 m  0  m  9
Тогда T91  C189 
18!
10  11  12  13  14  15  16  17  18

 48620
( 18  9 )! 9!
2  3  4  5  6 7  8  9
Ответ: 48620
8
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона
(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»).
К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие,
в которых нет явного намека на необходимость использования бинома.
Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.
Пример 1
Доказать, что для любых b  1 и для любых n  1 верно неравенство
Бернулли:
b n  1  n( b  1 )
Доказательство
Пусть b  1  t
Так как b  1 , то 1  t  1  t  0
Переформулируем
требование:
Доказать,
что
( 1  t )n  1  nt ,
где
t  0, n  1
( 1  t )n  C n0  1n  t 0  C n1  1n1  t 1  C n2  1n2  t 2  ...  C nm  1nm  t m  ...  C nn  t n 
 1  nt 
n( n  1 ) 2
t  ...  C nm  t m  ...  t n
2
Так как n  1  n  2 , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:
( 1  t )n  1  nt 
n( n  1 ) 2
t  1  nt
2
Это означает, что b n  1  n( b  1 )
Ч.т.д.
9
Пример 2
Доказать, что при любом натуральном n число 4 n  15n  1 делится на 9
Доказательство
1 способ:
4 n  ( 3  1 )n  3 n  C nn 1  3 n 1  C nn 2  3 n 2  ...  C n2  3 2  C n1  3 1  1


4 n  15n  1  3 n  C nn 1  3 n 1  C nn2  3 n 2  ...  C n2  3 2  C n1  3 1  1  15n  1 
n( n  1 ) n3
n( n  1 ) 1


 3   3 n1  n  3 n 2 
 3  ... 
 3  6n 
2
2


n( n  1 ) n4
n( n  1 ) 0


 3  3   3 n  2  n  3 n 3 
 3  ... 
 3  2n   9
2
2


Ч.т.д.
2 способ:
Начнем рассматривать бином в общем виде:
n( n  1 ) n2
n( n  1 ) 2
 x  ... 
x  nx 1
2
2
n( n  1 ) n4
n( n  1 ) 0 

 x 2   x n  2  n  x n 3 
 x  ... 
 x   n  x  1  A  x2  n  x  1
2 2

( x  1 )n  x n  n  x n1 
обозначим выражение в скобках за А
Тогда
4 n  15n  1  ( 3  1 )n  15n  1  A  3 2  n  3  1  15n  1  9 A  18 n  9( A  2n )  9
Ч.т.д.
10
Пример 3
Решить уравнение ( x  2 )6  ( x  4 )6  64
Решение
Осуществим замену: x  3  y
Тогда уравнение перепишем: ( y  1 )6  ( y  1 )6  64
Применим формулу бинома к левой части уравнения:
( y  1 )6  ( y  1 )6  y 6  6 y 5  15 y 4  20 y 3  15 y 2  6 y  1 
 y 6  6 y 5  15 y 4  20 y 3  15 y 2  6 y  1  2 y 6  30 y 4  30 y 2  2
y  1
x  4
В итоге 2 y 6  30 y 4  30 y 2  2  64  
 
y


1

x  2
Ответ: x  2; x  4 .