Тема: «Биномиальные коэффициенты

Занятие № 8
Тема: «Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля»
Цели:
1) Формировать представление о биномиальных коэффициентах и их свойствах.
2) Способствовать самостоятельному применению знаний и умений студентов для решения
комбинаторных задач.
Структура занятия:
1. Оргмомент
2. Анализ самостоятельной работы
3. Проверка д.з.
4. Лекция
5. Решение примеров
6. Подведение итогов
Ход занятия.
I. Проверка д.з.
Сколькими способами из мешка с шарами (всего 90 шаров) можно сделать
выборки по 5 штук?
Ответ: N = C905
Сколькими способами в выборке окажется шар, помешенный числом 90?
Ответ: N = C894
II. Лекция
Числа C nk часто называют биномиальными коэффициентами. Числа обладают
целым рядом свойств.
1)
2)
C n0 = Cnn  1
3)
C nk  C kr  C nkrr  C nr
4)
5)
Доказательство:
1)
n!
,
(n  k )!k!
n!
n!
, ч.т.д.


(n  (n  k ))!(n  k )! k!(n  k )!
Cnk 
Cnnk
2) Вытекает из 1)
n!
k!
n!
·
=
,
(n  k )!k! (k  r )!r! (n  k )!(k  r )!r!
(n  r )!
n!
n!
C nkrr  C nr =
·
=
, ч.т.д.
(n  k )!(k  r )! (n  r )!r! (n  k )!(k  r )!r!
n!
4) Cnk 
,
(n  k )!k!
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
Сnk11  Cnk1 


=
=
(n  1  k  1)!(k  1)! (n  1  k )!k! (n  k )!(k  1)! (n  k  1)!k!
3) Cnk  Сkr 
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 8
(n  1)!(k  n  k )
n!
=
= C nk , ч.т.д.
(n  k )!k!
(n  k )!k!
Заметим, что при k=0 C n0 = C n11 + C n01 , т.к. C n0 =1 и C n01 =1, то следует положить,
=
что C n11 =0. Аналогично положить, что C nk =0 для k>n, тогда формула верна для
k=n.
5) C n0 + C n1 +…+ C nn =2n – примем пока без доказательства (доказательство
приведем после изучения темы «Бином Ньютона».
Свойства 1) и 2) позволяют расположить биномиальные коэффициенты в
виде треугольника.
Построенная таблица чисел известна как треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаляэто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по
боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых
единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.
В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля
"Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665 г. уже после
смерти автора. В указанном сочинении была опубликована следующая
таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в
том же , что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же,
что и А, вертикальном ряду:
Таким образом,
наш треугольник отличается от "треугольника"
рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов.
Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего
"треугольника". Приведем для примера лишь 3 свойства "треугольника",
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 8
найденные самим Паскалем; при этом будем исходить из того расположения
"треугольника" на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о
горизонтальных и вертикальных рядах.
Свойство 1:
Каждое число А в таблице равно сумме чисел
предшествующего горизонтального ряда, начиная с
самого левого вплоть до стоящего непосредственно над
числом А(в котором клетки, содержащие слагаемые,
дающие в сумме А, заштрихованы).
Свойство 2:
Каждое число А в таблице равно сумме чисел
предшествующего вертикального ряда, начиная с самого
верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее
числа А.
Свойство 3:
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на
единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих
прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и
горизонтальными рядами, на пересечении которых
стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый
прямоугольник не включаются).
III. Решение примеров
Самостоятельная работа 2 варианта.
2 n 1
2.
ю
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 8
2.
ю
3.
ю
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж