Метод определения элементов орбиты

Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
480
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
Метод определения элементов орбиты
визуально-двойной звезды для
эллиптического и гиперболического движения
Байдин А.Э. (ast@yspu.yar.ru)
Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского
1. Введение. Число известных визуально-двойных звезд в настоящее время приближается к
100000, число рассчитанных орбит много меньше. Обновлённый шестой каталог орбит визуальнодвойных звёзд [14] на 30 июня 2006 года содержит 2024 орбит для 1888 звездных систем. Для
некоторых систем предлагается несколько различных параметров орбит. Точность наблюдений
двойных звёзд постоянно растёт. В каталогах середины 50-х годов XX века расстояние между
компонентами (разделение) в среднем определяется с погрешностью ±0".1. Дейч в статье “Роль и
значение фотографической астрометрии” [1] для фотографических измерений двойных звёзд
среднюю ошибку в определении расстояния между компонентами оценивает ±0".02. В
современную эпоху среднеквадратичная ошибка фотографических наблюдений оценивается
0".006–0".020. Точность определения относительных положений компонент спеклинтерферометрическим методом достигает 0".003 [4]. В настоящее время некоторые наблюдения
за двойными ведутся из космоса. Намечаются запуски космических аппаратов “SIM” NASA,
“NGST” NASA, “KEPLER” ESA, “EDDINGTON” ESA [16], происходит переход к измерению
углов с микросекундной точностью – проект “GAIA” ESA [16]. Повышение точности наблюдений
требует создания новых точных методов для различных случаев движения – это могут быть
различные возмущения или различные типы движения (окружность, эллипс, гипербола). В общем
виде можно дать любые функции θ (T ) и ρ (T ) , сильно отличающиеся от функций конических
сечений при сильно возмущенном движении, и получить совершенно новый метод, главное, чтобы
найденные функции хорошо описывали наблюдения. Например, Дейч [7] для описания
орбитального движения на коротких дугах использовал x = x0 + a∆T + b∆T 2 и аналогично по
второй координате. Большой объём имеющейся в настоящее время информации также требует от
новых методов высокой скорости обработки.
В прошлом построение видимой траектории визуально-двойной звезды с использованием
второго закона Кеплера было графическим. Например, Бэз советовал проводить эллипс
классическим способом: с помощью нитки и двух булавок, после чего для проверки качества
проведённого эллипса применялся закон площадей [11]. Большинство методов прошлых столетий
требовали построения видимого эллипса: Анрото-Стьюарта [5], Цвирса [5], Млодзеевского [10],
Тиле-Иннеса-ван ден Боса [11]. В работе рассмотрен метод построения видимых траекторий
визуально-двойных звёзд по позиционным углам и моментам времени наблюдений, предложен
метод перехода от элементов видимой кривой к элементам истинной. Метод применим для
эллиптических и гиперболических орбит. Разделение между компонентами используется только
для вычисления большой полуоси и изменения веса наблюдений.
На практике любые две звезды, находящиеся в однородном внешнем гравитационном поле,
представляющие систему, обладающую положительной механической энергией, должны
двигаться относительно друг друга по гиперболам. Трудность заключается в том, что интервал
сближения одной звезды к другой невелик в астрономических масштабах, или это сближение мало
заметно. Между тем звёзды, обращаясь вокруг ядра Галактики, неоднократно могут приближаться
друг к другу и двигаться относительно друг друга по гиперболам, ускоряясь или замедляясь на
галактикоцентрических орбитах. В наше время интенсивно изучаются объекты в кратных
системах, имеющие большие эксцентриситеты. Токовинин и др [13] рассмотрели четверную
систему ADS 11061, в которой компоненты спектрально-двойной звезды 41 Dra обращаются
вокруг друг друга по сильно вытянутой эллиптической орбите ( e = 0.9754 ). В результате
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
481
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
эволюции кратных систем один из компонентов может быть выброшен из системы на
параболическую или слабо гиперболическую орбиту. В работе [9] методом параметров видимого
движения (ПВД) [8] получены семейства орбит в предположении эллиптических движений. При
определении эллиптической орбиты визуально-двойной звезды ADS 10759 суммарная масса
компонент была принята равной 5 массам Солнца [9]. Это значение значительно больше (на 60%),
чем следует из соотношения масса-светимость. Можно предположить, что масса двойной звезды
примерно равна той, что даёт соотношение масса-светимость, но компоненты движутся друг
относительно друга по гиперболической орбите. Поэтому разработка методики, позволяющей
определять любые типы орбит, является актуальной задачей.
Исходными данными метода являются: Tk – эпоха наблюдения, θ k – угол между прямой,
соединяющей компоненты пары, и направлением на северный полюс мира, ρ k – расстояние
(разделение) между компонентами. Количество наблюдений N ≥ 6 . Среди перечисленных
наблюдаемых величин ρ k имеет наибольшую ошибку, поэтому ρ k используется только для
определения большой полуоси. Искомыми величинами являются: P – период (для эллиптических
орбит), n – среднее движение (для гиперболических орбит коэффициент уравнения
e ∗ shE k − E k − n(Tk − T p ) = 0 [12]), T p – эпоха прохождения периастра, e – эксцентриситет, a –
большая полуось, i – наклонение орбиты, Ω – позиционный угол линии узлов, ω – угол между
линией узлов и направлением от главной звезды на периастр.
2. Элементы видимой траектории. У визуально-двойной звезды при отсутствии возмущений
момент импульса сохраняется pν = mr 2ν& = constν [12]. Выражение (1 / 2)r 2 dν является площадью
сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами, поэтому из закона
сохранения момента импульса ∆S и l ,k / ∆Tl ,k − constν = 0 , где ∆S и l ,k – площадь сектора между l и
k -ым наблюдениями в плоскости истинной орбиты, ∆Tl ,k – промежуток времени между
наблюдениями. Площади секторов видимой орбиты ∆S l ,k = ∆S и l ,k cos i . Сектора умножаются на
постоянный множитель, поэтому закон площадей справедлив для видимой траектории:
∆S l ,k / ∆Tl ,k − const = 0 ,
(1)
θk
где ∆S l ,k = 1 / 2 ∫ ρ 2 dθ .
(2)
θl
Первоначально данные формулы были применены для круговой орбиты [3], затем
эллиптической, когда ∆S k ,k +1 / ∆Tk ,k +1 − const = 0 . Этот алгоритм был отягощен большими
ошибками, так как при плотных рядах наблюдений, согласно рассматриваемым данным, звезда
может даже изменять направление вращения, например ∆S k −1, k > 0 и ∆S k ,k +1 < 0 , а входят
подобные величины в расчёты с одинаковым весом. В дальнейшем было выбрано направление
прямой и момент времени первого наблюдения в качестве начала отсчёта ∆S1,k / ∆T1,k − const = 0 .
Этот вариант даёт удовлетворительные результаты, но их точность сильно зависит от ошибок
первого наблюдения, поэтому в конечном виде взято независимое от наблюдений начальное
направление отсчёта – направление на северный полюс мира ( θ 0 = 0° ). Момент времени
прохождения данного направления T0 . Использовались уравнения ∆S 0,k / ∆T0,k − const = 0 , в
которых появляется новая неизвестная T0 . Последующий анализ уравнений метода показал, что
использование второго закона Кеплера вида (1) совместно с выбором направления отсчёта (на
северный полюс мира) не является наилучшим, так как при этом в вычислениях задаётся разный
вес наблюдениям – максимальный первым по времени, минимальный последним. Для исключения
данного фактора зависимость (1) была заменена на следующую:
∆S 0,k / const − ∆T0,k = 0 .
(3)
Ошибки наблюдений позиционного угла θ , когда разделения компонентов отличны, не
являются равнозначными, так как дают различные ошибки определения площади, описываемой
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
482
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
проекцией радиус вектора, которая входит в зависимость (3). По этой причине метод, основанный
на использовании уравнения (3), не даст минимальных невязок ∆θ O −C . Для получения
минимальных невязок по наблюдаемым величинам уравнение (3) было преобразовано к виду
2
(4)
(∆S 0,k / const − ∆T0,k ) / ρ k = 0 .
Величина разделение компонент используется для придания примерно одинакового веса
каждому наблюдению. П. Куто [11] основные трудности при определении орбит связывал с
ошибками наблюдений. Ошибки наблюдений во многом зависят от условий видимости объектов,
поэтому вес наблюдениям в зависимости от величины разделения при вычислении орбит
необходимо задавать.
Для работы метода в случае гиперболического движения требуется, чтобы прямая выбранного
направления пересекала гиперболическую орбиту. По этой причине за начальную точку отсчёта
берётся угол первого наблюдения либо угол, несколько отстоящий от первого наблюдения, а
время пересечения данного направления ( T0 ) определяется аналогично случаю эллиптического
движения.
Проекция конического сечения, представляющего истинную траекторию орбиты, на картинную
плоскость является коническим сечением. Одна из компонент двойной звезды движется по
коническому сечению, а главная компонента может находиться в произвольной точке (внутри
дуги, рис. 2, точка 0) на картинной плоскости. Поэтому связь между координатами в картинной
плоскости [6]:
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + 1 = 0 .
(5)
Декартовы координаты связаны с полярными соотношениями x = ρ cos(θ ) и y = ρ sin(θ ) .
Для полярных координат запишем
(6)
( A cos 2 θ + 2 B cosθ sin θ + C sin 2 θ ) ρ 2 + (2 D cosθ + 2 E sin θ ) ρ + 1 = 0 .
Из уравнения (6) получаем
ρ=
ρ=
(− χ − χ 2 − 4φ
(2φ )
,
(7)
(− χ + χ 2 − 4φ
,
(8)
(2φ )
где φ = A cos 2 θ + 2 B cosθ sin θ + C sin 2 θ , χ = 2 D cosθ + 2 E sin θ . В работе используется уравнение
(7). Уравнение (8) тоже можно применить при вычислении видимого конического сечения, но
этом случае необходимо учесть, что оно будет повёрнуто относительно истинного на 180° .
Как отмечалось выше, второй закон Кеплера ∆S / ∆T − const = 0 . С помощью выбора масштаба
единиц измерения ρ ' = ρ / g можно подобрать такую константу g , что закон Кеплера
∆S / ∆T = const = 1 / 2 . Разделение в этом случае определится в безразмерных единицах
ρ'= ρ / g =
( − gχ − ( gχ ) 2 − 4 g 2 φ
( 2 g 2φ )
.
(9)
В дальнейшем коэффициенты уравнения (5) будут заменены на безразмерные A' = Ag 2 ,
B ' = Bg 2 , C ' = Cg 2 , D' = Dg , E ' = Eg .
Одной из основных трудностей метода является определение площади, описываемой ρ ' .
Площадь можно определить с помощью отношения (2). Для этого формула (9) подставляется в (2),
интеграл (2) берётся приближенным методом. В известных методах приближенного вычисления
интеграла промежуток интегрирования разбивается на n ∗ частей. В рассматриваемом случае
необходимо приближенным методом вычислить площади секторов ( S 0,1 , S1, 2 ,…, S N −1, N ), имеющих
разную длину дуги, поэтому если каждый сектор разбить на равное количество частей n ∗
(секторов), получим для площадей S 0,1 , S1, 2 ,…, S N −1, N различную точность вычислений. По этой
причине в работе задаётся n ∗ – число частей, на которые разбивается сектор с длиной дуги в 1° , а
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
483
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
nk – количество частей, на которые разбит сектор с дугой от θ k до θ k +1 , определяется как целая
часть числа {(θ k +1 − θ k ) ∗ n ∗ + 1} и используется при приближенном вычислении интеграла (2).
Площадь сектора от θ k до θ k +1 находится из следующего выражения:
nk
S k , k +1 = 1 / 2∑ (
ρ '2 (θ k + ( j − 1) ∗ dθ k ) + ρ '2 (θ k + j ∗ dθ k )
2
j =1
) ∗ dθ k ,
(10)
где dθ k = (θ k +1 − θ k ) / nk .
Схематично определение площади сектора, описанной проекцией радиуса вектора в картинной
плоскости от θ k до θ k +1 , изображено на рис. 1 (для случая, когда nk = 5 ). С помощью уравнения
(10) находятся площади S 0,k . В дальнейших расчётах также потребуются частные производные от
S 0,k : S 0,kA' , S 0,kB ' , S 0,kC ' , S 0,kD ' , S 0,kE ' , S 0,kA' A' , S 0,kA'B ' , S 0,kA'C ' , S 0,kA'D ' , S 0,kA'E ' , S 0,kB 'B ' , S 0,kB 'C ' , S 0,kB 'D ' ,
S 0,kB 'E ' , S 0,kC 'C ' , S 0,kC 'D ' , S 0,kC 'E ' , S 0,kD ' D ' , S 0,kD ' E ' , S 0,kE ' E ' .
ρ'k+1
ρ'k
dθk
Рис.1
Далее вычисляются функции L( ρ k ,θ k , Tk , A' , B' , C ' , D' , E ' , T0 ) = {2∆S 0,k − (Tk − T0 )} / ρ k .
2
(11)
Для нахождения элементов видимой орбиты применяется метод наименьших квадратов:
ставится задача минимизации функции
N
∑ L (ρ
2
k =1
k
,θ k , Tk , A' , B' , C ' , D' , E ' , T0 ) . Необходимое условие
минимума функции многих переменных – равенство нулю её частных производных. Получаем
систему уравнений
N
∑ 2 Lk LkA' = 0 ,
k =1
N
∑ 2 Lk LkB ' = 0 ,
k =1
N
∑ 2Lk LkC ' = 0 ,
k =1
N
∑ 2 Lk LkD' = 0 ,
k =1
N
∑ 2Lk LkE ' = 0 ,
k =1
N
∑ 2L L
k =1
k
kT0
= 0,
(12)
где LkA' , LkB ' , LkC ' , LkD ' , LkE ' и LkT0 частные производные Lk (11).
Система уравнений (12) решается методом Ньютона. Точность, задаваемая при определении
коэффициентов, зависит от поставленных задач и качества наблюдательного материала. В работе
элементы видимой орбиты вычисляются с погрешностями:
( A' i +1 − A' i ) / A' i +1 < 10 −3 ,
( B' i +1 − B' i ) / B' i +1 < 10 −3 , (C ' i +1 −C ' i ) / C ' i +1 < 10 −3 , ( D' i +1 − D'i ) / D' i +1 < 10 −3 , ( E ' i +1 − E ' i ) / E ' i +1 < 10 −3 ,
T0i +1 − T0i < 10 −3 .
Первое приближение для эллиптической орбиты находится из предположения кругового
движения в картинной плоскости. Квадрат расстояния между компонентами в этом случае
определяется из уравнения
∆S1, N /(TN − T1 ) = (1 / 2)r 2 (θ N − θ 1 ) /(TN − T1 ) = 1 / 2 .
(13)
Начальные приближения для коэффициентов A'1 = −1 / r 2 , B '1 = 0 , C '1 = −1 / r 2 , D'1 = 0 , E '1 = 0 .
Начальное приближение для момента отсчёта T01 = T1 − r 2θ 1 выводится из соотношения (13).
Также T01 можно вычислить с помощью алгоритма, в котором за начальную точку выбран момент
времени T1 .
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
484
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
Для гиперболической орбиты первое приближение находится геометрическим методом [2]: в
уравнение (6) подставляются наблюдённые разделения и позиционные углы, применяется метод
наименьших квадратов, полученная система линейных уравнений с пятью неизвестными ( A , B ,
C , D , E ) решается методом Гаусса, далее определяется коэффициент g , после чего A' , B' , C ' ,
D' , E ' .
Для нахождения момента прохождения периастра T p необходимо определить проекцию
периастра на картинную плоскость. Угол, определяющий положение проекции периастра,
отчитанный от направления на северный полюс мира θ p = arctg (( A' E '− B' D' ) /(C ' D'− B' E ' )) .
Площадь, описанную проекцией радиус-вектора от направления на северный полюс мира до
проекции периастра θ p , вычислим, используя формулу (10), после чего T p = T0 + 2S 0,θp . Чтобы
найти период ( P ) для эллиптического движения, достаточно определить площадь видимого
эллипса (10) P = 2S 0, 2π в безразмерных единицах. Для гиперболического движения коэффициент
уравнения гиперболы ( e ∗ shE k − E k − n(Tk − T p ) = 0 [12]) n = const / cos i /(a 2 (e 2 − 1)1 / 2 ) .
Геометрические элементы орбиты можно найти, используя коэффициенты A' , B' , C ' , D' , E '
[2], но большая полуось ( a ' ) в этом случае определится в безразмерных единицах, связанных с
условием ∆S / ∆T = 1 / 2 . Для расчёта коэффициентов A , B , C , D , E необходимо знать
коэффициент g (9). Разделение между компонентами в безразмерных единицах, определённое из
уравнения (9), связано с наблюдаемым разделением ρ k ≈ gρ k ' . Применяя метод наименьших
квадратов, получаем
N
N
k =1
k =1
g = ∑ ( ρ k ' ρ k ) / ∑ ρ k '2 .
(14)
Коэффициенты уравнения (5) A = A' / g 2 , B = B' / g 2 , C = C ' / g 2 , D = D' / g , E = E ' / g .
Постоянная площадей const = 0.5 g 2 .
3. Элементы истинной орбиты. Коэффициенты A , B , C , D , E , момент прохождения
периастра T p и постоянная площадей const полностью определяют кинематику визуальнодвойной звезды. Зная A , B , C , D , E , можно определить геометрические элементы орбиты
(элементы Кэмпбелла) [2]: наклонение орбиты i , угол между направлением на северный полюс
мира и линией узлов Ω , угол, определяющий положение периастра ω , и динамические элементы:
эксцентриситет e и большую полуось a .
Y'
Y'п
Yп
Y
K
Картинная
плоскость
Xп
P' 0
X'
0'
K'
X'п
X
Рис. 2
Для нахождения позиционных углов ( ω , Ω , i ) необходимо знать проекции единичных
векторов (от фокуса к периастру и в перпендикулярном направлении в плоскости истинной
орбиты) на картинную плоскость в системе XOY (рис. 2, направление осей OX и O' X ' п
совпадает с направлением на северный полюс мира). На рис. 2 и 3 изображено гиперболическое
движение, на рис. 4 рассмотрена эллиптическая орбита.
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
Yц
485
Kи
F'
Pи
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
Истинная
орбита.
F
Xц
0и
K'и
Рис. 3
Фокус F принадлежит обеим плоскостям (истинной орбиты и картинной). Единичные векторы
в данном случае FPи / a − c (в случае эллипса a − c > 0 , а в случае гиперболы a − c < 0 ) и
FK ' и / a (1 − e 2 ) . Длина вектора
2
FK ' и
(рис. 3) определяется из следующих соотношений:
2
F ' F 2 + FK ' и = F ' K 'и и F ' K 'и = FK 'и +2a , где F ' F = 2c , c = ae ( a – действительная или большая
полуось, e – эксцентриситет). Для гиперболического движения получаем FK 'и = a(e 2 − 1) . В
случае эллипса ( F ' K 'и = 2a − FK 'и ) приходим к той же самой формуле FK ' и = a (1 − e 2 ) .
С помощью поворота и переноса системы координат [6] X 0Y → X п 0Yп → X '0' Y ' (рис. 2)
уравнение (5) приводится к виду x' 2 / a' 2 + y ' 2 / b' 2 = 1 . Если кривая является гиперболой, то b' 2 < 0 ,
что не вызывает трудностей, так как для расчетов необходимы значения a' 2 и b' 2 , а не a ' и b' .
Угол поворота системы X 0Y в X п 0Yп определяется из формулы tg (2α ) = 2 B /( A − C ).
Координаты точек F , P' и K ' удобно искать в системе X '0' Y ' (рис. 2). Положение центра
центральной линии в исходной системе координат X 0Y (рис.2) x0 = ( B ∗ E − C ∗ D) /( A ∗ C − B 2 ),
y 0 = ( B ∗ D − A ∗ E ) /( A ∗ C − B 2 ). Координаты фокуса в системе X '0' Y ' x' F = −( x0 cos α + y 0 sin α ) ,
y ' F = −( y 0 cos α − x 0 sin α ). Положение проекции периастра P ' ( x' P , y ' P ) находится из уравнений
прямой x' F / y ' F = x' P / y ' P (координаты точек F и P' должны быть одного знака) и видимого
2
2
конического сечения x' P / a' 2 + y ' P / b' 2 = 1 . Положения точек K ' и K находятся из уравнений
2
2
конического сечения x' K / a ' 2 + y ' K / b' 2 = 1 и прямой, проходящей через фокус параллельно
касательной точки P' , x' P ( x' K − x' F ) / a' 2 + y ' P ( y ' K − y ' F ) / b' 2 = 0 (выбирается одна из них с
помощью неравенства ( x' P − x' F )( y ' K − y ' F ) − ( x' K − x' F )( y ' P − y ' F ) > 0 ).
Эксцентриситет истинной орбиты визуально-двойной
2
2
2
2
e = c / a = 0' F / 0' P' = ( x' F + y ' F )1 / 2 /( x' P + y ' P )1 / 2 .
(15)
Для дальнейших расчётов координаты точек F , P' , K ' необходимо перевести из системы
X '0' Y ' в систему X ' п 0' Y ' п (рис. 2) с помощью следующих формул:
X ' п = X ' cos α − Y ' sin α , Y ' п = X ' sin α + Y ' cos α .
Соответствующие проекции векторов FPи и FK 'и будут равны FP' {( x' пP − x' пF ); ( y ' пP − y ' пF )} и
FK ' {( x' пK − x' пF ); ( y ' пK − y ' пF )} . Чтобы получить проекции единичных векторов, нужно координаты
вектора FP' поделить на a (1 − e) , а FK ' на a (1 − e 2 ) .
На рис. 4 ось 0 X лу совпадает с линией узлов, ось 0 X и с направлением от фокуса к периастру.
Координаты точек Pи и K 'и в системе X лу 0Yлу
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
486
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
x луP = a − a ∗ e cos ω , y луP = a − a ∗ e sin ω ,
x луK = − a(1 − e 2 ) sin ω , y луK = a(1 − e 2 ) cos ω .
После нахождения проекций в картинной плоскости
x луP = a − a ∗ e cos ω , y ' луP = a − a ∗ e sin ω cos i ,
x луK = − a ∗ (1 − e 2 ) sin ω , y ' луK = a ∗ (1 − e 2 ) cos ω cos i .
Yлу
Xи
Yи
н
ОП
K'и
Pи
КП
N
Ω
ω
i
Рис. 4
Xлу
В системе, в которой производятся наблюдения, после поворота осей на угол Ω
x P = a − a ∗ e (cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i ) ,
y P = a − a ∗ e (cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i ) ,
x K = a (1 − e 2 ) (− sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i ) ,
y K = a(1 − e 2 ) (− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i ) .
(16)
Но данные проекции x P = x' пP − x' пF , y P = y ' пP − y ' пF , x K = x' пK − x' пF , y K = y ' пK − y ' пF , то есть
получена система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными. После математических
преобразований можно получить
tg (Ω + ω ) = ( y P / 1 − e − x K / 1 − e 2 ) /( x P / 1 − e + y K / 1 − e 2 ) ,
tg (Ω − ω ) = ( y P / 1 − e + x K / 1 − e 2 ) /( x P / 1 − e − y K / 1 − e 2 ) ,
tg 2 (i / 2) = ( y P / 1 − e + x K / 1 − e 2 ) /( y P / 1 − e − x K / 1 − e 2 ) sin(Ω + ω ) / sin(Ω − ω ) .
(17)
Углы, определяющие ориентацию орбиты в пространстве, находятся с помощью уравнений
(17). Большую полуось ( a ) можно получить, используя любое из четырёх уравнений системы (16).
Среднеквадратичные отклонения находились по формулам
σρ =
N
∑ (ρ
k =1
− ρ ck ) / N и σ θ =
2
k
N
∑ (θ
k =1
k
− θ ck ) 2 / N ,
(18)
где ρ k и θ k – наблюдаемые разделения и позиционные углы, ρ ck и θ ck – рассчитанные по
вычисленным элементам орбиты и моментам времени.
4. Модельные орбиты. Величины для определения эталонных орбит: N = 8 , n = 2° / год ,
T p = 1850год , a = 2" , i = 35° , Ω = 50° , ω = 120° , T1 = 1820 , T2 = 1835 , T3 = 1854 , T4 = 1862 ,
T5 = 1870 , T6 = 1877 , T7 = 1888 , T8 = 1901 . Точность вычисления эксцентрической аномалии из
уравнения Кеплера при получении модельных орбит ∆E < 10 −6 радиан. Программа определяет θ k
и ρ k . В табл. 1 – 3 по эталонным орбитам, вычисляемым с помощью выше перечисленных
величин, проверяется работа метода в случае различных эксцентриситетов. Рассматриваются
почти окружность ( e = 0.001 ), эллиптическая орбита ( e = 0.4 ), близкие к параболическим орбиты
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
487
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
( e = 0.97 и e = 1.1 ) и гиперболическая орбита ( e = 3 ). Во всех случаях эталонная дуга близка к
180° , а для гиперболы ( e = 3 ) от θ 1 = 130°.57 при T1 = 1820 до θ 8 = 225°.87 при T8 = 1901 , что
повлияло на точность полученных результатов (табл. 2). Количество секторов на один градус дуги
при вычислении суммы (10) и её производных равно n∗ = 10 . Модельные данные показывают, что
для орбит, близких к круговым, положение периастра разработанным методом определяется
уверенно только при высокой точности расчёта позиционных углов θ k . Элементы эллиптических
орбит вычисляются с удовлетворительной точностью. Метод позволяет определять эллиптические
орбиты с эксцентриситетами e ≈ 1 , но для этого необходимо иметь более точные первые
приближения, чем даёт уравнение (13), и увеличить длину эталонной дуги. У гиперболических
орбит отмечена плохая сходимость метода. Это связано с тем, что расчёты приходится проводить
на более коротких дугах, чем для эллиптических орбит. При увеличении длины дуги сходимость и
точность определения элементов орбит метода увеличиваются. При уменьшении длины эталонной
дуги, по которой определяются элементы орбиты, отмечено уменьшение среднеквадратичных
ошибок σ ρ и σ θ (табл. 3).
При вычислении гиперболических орбит за начальную точку отсчёта взят угол θ 0 в момент
времени T0 = 1750 . Для гиперболы с эксцентриситетом e = 1.1 угол θ 0 = 24°.209314714 , для e = 3
угол θ 0 = 88°.614626371 . Начальные приближения для гиперболического движения с
эксцентриситетом e = 1.1 : A' = 0.08 , B ' = −0.05 , C ' = −0.33 , D ' = 0.65 , E ' = −0.20 , T0 = 1755 , для
e = 3 : A' = 0.0195 , B ' = −0.00455 , C ' = 0.00025 , D ' = 0.141 , E ' = −0.0333 , T0 = 1741 .
Таблица 1. Элементы видимых орбит.
e
A' ,×10 −3
0.001
0.4
0.97
1.1
3
-36.820678254
-40.221798915
-166.25432908
77.494732605
12.918416997
B ' ,×10 −3
C ' ,×10 −3
6.9031516736 -34.386276908
6.9730249927 -44.142239544
-147.67154427 -2227.9485353
-48.876139537 -325.68789614
-3.5087263012 -0.52067115050
Таблица 2. Элементы истинных орбит.
e
P, год
0.001
0.4
0.97
179.99997
179.99993
180.0026
e
1.1
3
n,° / год
2.0003
1.99565
e
T p , год
1849.9988 0.00099987
1849.999997 0.39999994
1849.9994
0.969989
T p , год
e
1849.9998
1849.9926
1.100017
2.997138
Таблица 3. Среднеквадратичные ошибки.
D' ,×10 −5
E ' ,×10 −5
g ,×10 −1
19.126974030
8720.7487885
154744.35562
67825.733634
12061.524086
-5.0146362053
-2286.0210962
-40576.306236
-17780.863688
-3162.2257454
3.3819393746
3.2376939659
1.6674899397
2.2894297167
5.6877311083
a, "
i,°
Ω,°
ω ,°
1.99999997
1.9999998
1.9998
35.000016
35.000001
34.9972
119.99755
119.99997
120.0303
a, "
i,°
50.000017
50.00001
49.9679
1.9998
2.0033
34.9988
35.0060
49.9885
50.0582
120.0113
119.9342
Ω,°
ω ,°
e = 0.001
σ ρ ,"
σ θ ,°
e = 0 .4
σ ρ ,"
σ θ ,°
e = 0.97
σ ρ ,"
σ θ ,°
e = 1 .1
σ ρ ,"
σ θ ,°
σ ρ ,"
σ θ ,°
1.71×
×10-7
1.49×
×10-7
1.36×
×10-5
8.12×
×10-5
6.50×
×10-5
5.10×
×10-5
2.91×
×10-5
1.20×
×10-5
1.25×
×10-4
3.92×
×10-4
e=3
5. Реальные орбиты.
001208.05+533726.1 ADS 148 BU 1026Aa-B HD 761 HIP 981
Наблюдения (43) взяты из четвёртого каталога интерферометрических наблюдений двойных
звёзд [15]. Элементы орбит, определённые рассмотренным методом, представлены в табл. 4,
среднеквадратичные ошибки в табл. 5, там же указаны ошибки, которые дают элементы орбит,
вычисленные другими авторами [14]. Самая большая невязка по разделению у наблюдения Tok –
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
488
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
1979.753 ( ∆ρ O −C = −2".55 × 10 −2 ), по позиционному углу у Bnu – 1984.9303 ( ∆θ O −C = −8°.13 ).
Элементы орбиты, рассчитанные после исключения наблюдения Bnu – 1984.9303, имеют
следующий вид: P = 59.9424 года , T p = 1986.5942 , e = 0.8159 , a = 0.2458 , i = 46°.3231 ,
Ω = 77°.9333 , ω = 72°.6207 . Как видно из сравнения элементов орбиты, определённых с
наблюдением 1984.9303 года и без него, метод даёт очень близкие результаты, поэтому в
дальнейшем наблюдения с невязками около 10° для звёзд, совершивших оборот и более,
исключаться из рассмотрения не будут. Элементы орбиты ( P = 61.3236 года , T p = 1986.7657 ,
e = 0.8208 , a = 0".2521 , i = 48°.729 , Ω = 80°.401 , ω = 71°.622 , σ θ = 4°.0683 и σ ρ = 1".017 × 10 −2 ),
рассчитанные по всем наблюдениям на основе уравнения (3), уступают в точности результатам
(табл. 4, 5), полученным с помощью уравнения (4). В шестом каталоге орбит визуально-двойных
звёзд [14] представлены элементы орбиты, вычисленные Харткопфом: P = 66.84 года ,
T p = 1986.542 , e = 0.8282 , a = 0".2514 , i = 42°.77 , Ω = 254°.9 , ω = 255°.2 .
003229.43+671408.4 ADS 440 MCY 1Aa BD+66 34 HIP 2552
Орбита определена по 14 наблюдениям четвертого каталога [15]. Максимальная невязка по θ у
наблюдения в момент времени T = 1991.7201 ( ∆θ O −C = −3°.29 ), по разделению T = 1989.7803
( ∆ρ O −C = −8".50 × 10 −2 ). ADS 440 является кратной звездой. Большое среднеквадратичное
отклонение по разделению (Табл. 5) объясняется влиянием компоненты B, которая наблюдается
на расстоянии ~ 4" от определяемой системы Aa. Шестой каталог содержит элементы орбиты,
вычисленные Докобо и Тамазианом (Docobo J.A., Tamazian V.) [14]: P = 15.64 года , T p = 2000.76 ,
e = 0.174 , a = 0".511 , i = 44°.6 , Ω = 175°.1 , ω = 106°.8 , σ θ = 2°.98 и σ ρ = 1".24 × 10 −2 . Элементы
орбиты, рассчитанные Докобо и Тамазианом, лучше удовлетворяют данным четвёртого каталога
[15], но дают несвойственную для современных четырнадцати наблюдений среднеквадратичную
ошибку по позиционному углу. Наиболее точный результат для этой пары получен самым
простым и, по-видимому, самым неточным из всех известных на сегодняшний день методом –
геометрическим методом [2, 10]: P = 15.8051года , T p = 1984.8444 , e = 0.1693 , a = 0".5119 ,
i = 44°.7641 , Ω = 173°.5902 , ω = 105°.0029 , σ θ = 3°.00 и σ ρ = 1".15 × 10 −2 .
003514.64-033533.9 ADS 490 HO 212AB HD 3196 HIP 2762
Из 78 наблюдений четвёртого каталога использовалось 76. Исключены два наблюдения: WRH –
1952.615 ( ∆ρ O −C = 2".66 × 10 −2 , ∆θ O −C = 54° ) и Tok – 1985.751 ( ∆ρ O −C = 1".306 × 10 −1 ,
∆θ O −C = −67° ). С момента первого наблюдения WRH – 1934.751 до последнего Hor – 2000.7591
звезда совершила более девяти оборотов.
045112.48+110405.0 ADS 3475 BU 883AB HD 30810 HIP 22550
Орбита определена по 49 наблюдениям четвертого каталога интерферометрических
наблюдений [15]. Каталог Харткопфа и Мэйсона [14] содержит P = 16.28года , T p = 1988.39 год ,
e = 0.46 , a = 0.188 , i = 17° , Ω = 147° , ω = 257° . Метод, основанный на зависимости (3), т.е. на
минимальном отклонении от закона площадей, даёт в этом случае наилучший результат:
P = 16.2557 года , T p = 1955.9967 ,
e = 0.4530 ,
a = 0.1884 ,
i = 17°.5789 ,
Ω = 166°.1056 ,
ω = 60°.5167 , σ ρ = 8".64 × 10 −3 , σ θ = 2°.50 . Это может говорить о необходимости задания
различного веса наблюдениям в зависимости от величины разделения для довольно тесных пар
( ρ < 0".2 ).
000209.65+270504.2 ADS 17175 BU 733AB HD 224930 HIP 171.
Орбита вычислена по 18 наблюдениям каталога интерферометрических наблюдений двойных
звёзд [15]. С момента наблюдения Wck – 1973.789 по Hor – 2000.7674 звезда совершила полный
оборот. Элементы орбиты, определённые рассмотренным методом, дают меньшее
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
489
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
среднеквадратичное отклонение σ θ , чем элементы орбиты каталога [14], и примерно одинаковое
среднеквадратичное отклонение σ ρ .
Таблица 4. Элементы орбит двойных звёзд.
e
ADS
P, год
T p , год
148
440
490
3475
17175
61.1497
17.7387
6.8917
16.2353
26.1424
1986.5932
1982.1785
1932.0578
1956.0597
1963.2621
0.8198
0.2182
0.7733
0.4480
0.3730
Таблица 5. Среднеквадратичные ошибки.
ADS 148
ADS 440
σ ρ ,"
σ ρ ,"
σ θ ,°
σ θ ,°
Автор
[14]
× 10 −3
8.66
8.25
2.25
2.51
× 10 − 2
5.13
1.24
1.31
2.98
a, "
i,°
Ω,°
ω ,°
0.2473
0.5713
0.2378
0.1884
0.8585
45.7849
53.5737
48.0286
18.7433
52.4602
76.9394
5.9072
155.1222
4.7365
108.9692
73.5005
248.1540
279.1939
222.5555
278.7251
ADS 490
σ ρ ,"
σ θ ,°
ADS 3475
σ ρ ,"
σ θ ,°
ADS 17175
σ ρ ,"
σ θ ,°
× 10 − 2
1.60
1.70
× 10 −3
8.86
8.71
× 10 − 2
2.98
2.95
3.43
3.48
2.45
3.13
1.99
3.09
6. Заключение. Цель работы заключалась в создании общего метода определения траекторий
двух гравитирующих точечных масс по стандартным наборам измеренных величин. При этом
использовались уравнение (5), описывающее кривые второго порядка (в работе это эллипс и
гипербола), и второй закон Кеплера (1), справедливый для всех возможных движений (кроме
прямолинейных) двух гравитационно взаимодействующих тел. Круговые и параболические
движения представляют собой два частных случая движения и на практике реализуются с
определённой степенью точности, например, с эксцентриситетами e = 10 −3 или e = 1 ± 0.05 , для
которых разработанный метод даёт удовлетворительные результаты.
Элементы орбиты, вычисленные рассмотренным методом, близки по точности элементам орбит
каталога Харткопфа и Мэйсона [14]. Если наблюдениями охвачено несколько оборотов звездыспутника вокруг главной компоненты, то метод, как правило, даёт меньшие среднеквадратичные
ошибки, чем элементы каталога [14] (ADS 490, 3475), на дугах около оборота, когда по некоторым
причинам данные могут плохо удовлетворять зависимости (4), возможны менее точные
результаты. Все вычисления велись с точностью одиннадцать значащих цифр. Метод был
запрограммирован в Pascal’е и позволяет найти невозмущенную орбиту любых двух
взаимодействующих точечных масс, если наблюдения охватывают дугу более 180° .
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Астрометрия и небесная механика / Под ред. Абалакина В.К. Вып. 7. М.-Л.: Производственнополиграфическое объединение №1 Ленупрполиграфиздата, 1978.
Байдин А.Э. Постановка лабораторной работы “Расчёт невозмущенных орбит визуальнодвойных звёзд по пяти и более наблюдениям” // Методика преподавания астрономии
(Сборник статей / Под ред. Румянцева А.Ю.). Магнитогорск: “МаГУ”, 2005. С. 66.
Байдин А.Э. Определение орбит визуально-двойных звёзд // Чтения Ушинского. Часть 2.
Ярославль: “ЯГПУ”, 2006. C. 66.
Балега И.И., Балега Ю.Ю. Интерферометрические орбиты восьми двойных звёзд // Письма в
Астрон. журн., Т. 14, № 10, 1988. С. 927.
Воронцов-Вельяминов Б.А.
Курс практической астрофизики. М.-Л.: Государственное
издательство технико-теоретической литературы, 1940.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1975.
Дейч А.Н., Орлова О.Н. О невидимых спутниках двойной звезды 61 Лебедя // Астрон. журн.
1977. Т. 54. №2. С. 327.
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
490
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/000.pdf
Киселев А.А, Кияева О.В. Определение орбиты визуально-двойной звезды методом параметров
видимого движения из наблюдений на короткой дуге // Астрон. журн. 1980. Т. 57. №6. С. 1227.
Киселев А.А, Романенко Л.Г. Динамическое исследование девяти широких визуально-двойных
звёзд в окрестностях Солнца // Астрон. журн. 1996. Т. 73. №6. С. 875.
Курс астрофизики и звёздной астрономии / Отв. ред. Михайлов А.А. Т. II. М.: Физматгиз,
1962.
Куто П. Наблюдения визуально-двойных звёзд. М.: Мир, 1981.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Механика. Т. I. М.: Физматлит, 2002.
Токовинин А. и др. (Tokovinin A., Balega Y. Y., Pluzhnik E. A., Shatsky N. I., Gorynya N. A.,
Weigelt G.) Fundamental parameters and origin of the very eccentric binary 41 Dra // Astron.
Astrophys. 2003. V. 409. P. 245.
Харткопф, Мэйсон (Hartkopf W.I., Mason B.D.) Sixth Catalog of Orbits of Visual Binary Stars.
Washington: U.S. Nav. Obs. 2003. (updated 2006).
Харткопф и др. (Hartkopf W.I., Mason B. D., Wycoff G. L.) Fourth Catalog of Interferometric
Measurements of Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2001. (updated 2004).
Шнейдер (Schneider J.). Extrasolar planets: Overview and future perspectives // Proceedings of
International Conference “AstroKazan-2001” (Astronomy and geodesy in new millennium),
September 24-29, 2001. Kazan State University: Publisher “DAC”, 2001. P. 313.