Многочлены Разминка Семинар 3 Алгебра

Многочлены
Семинар 3
Алгебра
Разминка
1. Найдите одночлены: 12;
3xy 2 ;
x;
19xy
.
y2
2. Приведите одночлен к стандартному виду: ac · 5c;
5xyzyx;
3(ds)2 .
3. Приведите подобные одночлены, если это возможно: ab + 3ab;
5xy 2 + 5x2 y.
4. Найдите степень одночлена: 5a;
9x2 y 3 ;
План занятия
5a + 3c;
8cd2 − 3d2 c;
17.
Цели занятия
• Понятие многочлена. Стандартный
вид многочлена
• Сложение и вычитание многочленов
• Умножение многочлена на одночлен
• Умножение многочлена на многочлен
• Научиться складывать и вычитать
многочлены
• Научиться перемножать многочлены
между собой
• Моя цель:
Понятие многочлена. Стандартный вид многочлена
Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. При этом слагаемые называют членами многочлена.
Примеры многочленов:
3a2 b + 3c;
15a + 14xyz;
17f g 3 + z 6 ;
8x + 8.
Обратите внимание, что многочлен — это именно сумма и именно одночленов, то есть если
вы увидите, что в выражение входит не одночлен — вы видите не многочлен.
Вот примеры выражений, не являющихся многочленом:
b
3+ ;
a
x;
x · 8x.
b
Здесь в первом случае в выражение входит , который не является одночленом. Второе
a
выражение — это одночлен, но в нем нет никакой суммы. Третье выражение — это одночлен,
просто не приведенный к стандартному виду.
Рассмотрим многочлен:
3xy · 5y − 2y · 7x2 − x · 4yx.
Можно не сомневаться, что это многочлен, только неудобно записанный, его можно упростить. Для этого, во-первых, каждый одночлен надо привести к стандартному виду, вовторых, подобные одночлены надо сложить, конечно, если они есть.
49
Семинар 3 Алгебра
Пример 3.1. Запишите в более удобном виде: 3xy · 5y − 2y · 7x2 − x · 4yx.
Решение.
1) Давайте для начала делать то,что мы уже умеем — приводить одночлены
к стандартному виду:
3xy · 5y = 3 · 5 · xy · y = 15xy 2 ;
2y · 7x2 = 14x2 y;
x · 4yx = 4yx2 = 4x2 y.
2) Продолжаем делать то, что умеем: складываем и вычитаем подобные одночлены:
15xy 2 − 14x2 y − 4x2 y = 15xy 2 − 18x2 y.
3) Больше ничего с этими одночленами мы пока делать не умеем, значит,
записываем ответ:
Ответ: 15xy 2 − 18x2 y.
Такую процедуру называют приведением подобных членов многочлена.
Если все члены многочлена представлены в стандартном виде и приведены
все подобные, то говорят, что многочлен записан в стандартном виде.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:
1) Привести все одночлены этого многочлена к стандартному виду.
2) Привести все подобные одночлены (то есть сложить их или вычесть между
собой).
Упражнения:
1. Приведите многочлен к стандартному виду путем приведения его одночленов
к стандартному виду:
а) 3aa + 2bbb − 5bc;
б) 5aab + 4abab + b; в) 5(ab)2 + 3a2 c2 a;
а) 2a + 5b + 3a;
б) 5ab + b2 + ba;
г) 7a3 b4 a5 + 2(abc)3 .
2. Приведите многочлен к стандартному виду путем приведения подобных одночленов:
в) 7abc + c + b + abc; г) 5a2 b + 5ab2 + a2 b.
3. Приведите многочлен к стандартному виду:
а) 5(ab)2 + ab + a2 b2 ;
в) 2a2 a2 b2 a − 5a5 − b + a5 b2 ;
б) 4a4 b2 − ab2 − (2a2 b)2 ;
г) a2 b − a2 b + a2 b2 − a2 b2 .
50
Многочлены
Сложение и вычитание многочленов
1. При сложении многочленов нужно просто записать их друг за другом,
поместив между ними знак плюс. При нахождении разности многочленов нужно поменять знаки второго многочлена на противоположные, а
потом делать то же, что при сложении многочленов.
2. Привести все подобные одночлены (если они есть).
3. Написать ответ.
Пример 3.2. Сложить многочлены cd 2 − 4bcd + 3ac и bcd − 2ac − 2bc.
Решение.
1) (cd 2 − 4bcd + 3ac) + (bcd − 2ac − 2bc).
2) cd 2 − 4bcd + 3ac + bcd − 2ac − 2b).
3) cd 2 + bcd − 4bcd + 3ac − 2ac − 2bc = cd 2 − 3bcd + ac − 2b.c
Ответ: cd 2 − 3bcd + ac − 2bc.
Упражнения:
1. Найдите сумму:
а) 2a2 и 6ac;
б) 2abc + 4ac и −2ac − 3abc;
в) 4a2 − 2d и 2d + 4a;
г) 4a2 − 2d − 4a и 4a.
а) 3a2 c и 6a2 ;
б) 2a + 4ac и −2ac − 3a;
2. Найдите разность:
в) 4a2 − 2d2 и 2d2 + 4a;
г) 4a2 − (2d)2 и 2d2 + 4.
Умножение многочлена на одночлен
Чтобы умножить многочлен на одночлен нужно:
1) Умножить каждый член многочлена на этот одночлен.
2) Привести каждый член к стандартному виду.
Пример 3.3. Умножить многочлен cd 2 − 4bcd + 3ac на одночлен 8a2 c.
Решение.
8a2 c·(cd 2 −4bcd+3ac) = 8a2 c·cd 2 −8a2 c·4bcd+8a2 c·3ac = 8a2 c2 d 2 −32a2 bc2 d+24a3 c2 .
Ответ: 8a2 c2 d 2 − 32a2 bc2 d + 24a3 c2 .
51
Семинар 3 Алгебра
Упражнения:
1. Умножьте:
а) a + 7b на a;
б) s3 d + 2d на s2 d;
в) 5f 4 g 16 − 3df на 5f 2 ;
г) −3xyz + 3z на xy 3 .
2. Выполните умножение:
3z а) z −
· z;
2
в) 2f d5 · (d4 f − 3f d);
б) (−3x + 2yz) · −xy;
г) (−3x) на (xy 3 + 3y 4 ).
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно
1. Каждый элемент первого многочлена умножить на второй многочлен;
2. Привести каждый получившийся одночлен к стандартному виду;
3. Сложить полученные выражения и привести подобные одночлены (если
они есть).
Пример 3.4. Умножить многочлены x + y + 3 на y + x − 1.
Решение.
Суть метода перемножения многочлена на многочлен заключается в том, чтобы сначала взять первый член первого многочлена и умножить его на все
члены второго многочлена (или наоборот — взять первый член второго многочлена и умножить его целиком на первый многочлен). Потом взять второй
элемент и сделать с ним то же самое. Потом третий, четвертый и т.д., пока
они не закончатся. А потом все сложить и привести к стандартному виду. В
нашем случае при последовательном перемножении мы получаем:
x(y + x − 1) = xy + x2 − x;
y(y + x − 1) = y 2 + yx − y;
3(y + x − 1) = 3y + 3x − 3.
Получаем ответ — сумму этих многочленов:
xy + x2 − x + y 2 + yx − y + 3y + 3x − 3 = 2xy + x2 + 2x + y 2 + 2y − 3.
Ответ: 2xy + x2 + 2x + y 2 + 2y − 3.
52
Многочлены
Упражнения:
1. Выполните умножение:
а) a + b + 1 на a + b + 1;
б) a − b − 1 на a + b + 1;
г) a2 + b2 + 1 на a + b + 1.
в) a + 2b + 1 на 2a + b − 1;
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вспомните и сформулируйте определение многочлена.
Будет ли многочленом выражение 3ab − bc? Почему?
Найдите стандартный вид многочлена: 3ab − 2bc + 2ab + ab.
Найдите степень многочлена: 3a2 b + 220b − 6a5 .
Что получится в результате умножения a + b на a?
Что мы получим в ответе, если умножим любой многочлен на нуль?
Что получится в результате умножения a + 1 на a + 2?
Задачи для решения в классе
I
Задача 3.1. Приведите многочлен к стандартному виду:
а) 2a3 − 3a + 2a3 + 12a − ab;
в) 5cc − 3d + 2, 5c2 − d · 2c;
б) 3ab2 a + 3b2 − 2b2 a2 − 3b2 ;
г) 75(ab)2 − 3a2 b2 + 3b2 a · a − 3(5a)2 b2 .
Задача 3.2. Найдите значение многочлена, предварительно приведя его к стандартному виду:
а) aba2 + aa2 − a · 2ab + ba3 b0 − 2ba · 2b − 6a · 2b2 − aa при a = −5, b = 2;
б) 6p2 q − 5pq 2 + 5p3 + 2pq 2 − 8p3 − 3p2 q при p = −2, q = 0, 5.
Задача 3.3. Выполните умножение многочлена на одночлен:
а) (5x + 5) · 5z;
д) 5x · (x + (2y)2 );
б) (1 + yx) · 3xy;
е) 2x3 · (5x2 − 2xy);
в) (2y + x) · 5x;
ж) 5y 2 · (2x3 − 2xy 2 );
г) (3 + 2y 2 ) · 3x;
з) 2, 5x1 y 2 · (2 + 4x0 ).
Задача 3.4. Выполните умножение двучленов:
а) (2a + b) · (c + d);
б) (a + 3b) · (c − d);
в) (ab + 3b) · (a + b);
г) (3b + 2) · (a + 2b2 );
ж) (5a3 + 2ac) · (a − b2 );
з) (5(a3 )2 − 2a2 ) · (2 + 4b3 ).
д) (5cd − 2) · (c + 4d2 );
е) (2a − b2 ) · (5a2 − 2b);
53
Семинар 3 Алгебра
Задача 3.5. Выполните умножение многочлена на двучлен:
б) (b + 3b2 + d) · (c − 2d);
а) (a − 2b + c) · (2c + b);
г) (bd + ca − 3a2 d) · (3c + 2d);
в) (b + 3b − 2a) · (2d + b);
д) (5ca2 − 2d + 2c) · (a2 − 2c3 );
е) (2a + b − 3c) · (3b − 2a);
ж) (cb + a2 c + 4a) · (cb − 4a);
з) (5a3 + cb2 − c) · (cb + cb3 ).
Задача 3.6. Произведите умножение:
а) (2ab + a)(a + b + ab);
б) (3b + 2a)(a2 + 3 + b2 a);
в) (x + y + 3)(2x + y − 2);
г) (2x + 2y − 1)(x2 + y + 1);
д) (3x2 + 2y + 5)(x2 + 6y + 2);
е) (5x + xy + y 2 )(2 + x + xy).
Задача 3.7. Вычислите без калькулятора, применив удобный метод:
а) (100 + 3)(100 − 3);
б) (50 + 12)(50 − 12);
в) 101 · (100 + 1);
г) 102 · 103;
д) 52 · (100 + 40 + 1);
е) 141 · 23.
II
Задача 3.8. Приведите многочлен к стандартному виду:
7abc 3abc
−
;
3
2
a2 b 1 2
1
в)
+ ab + a2 b;
3
4
12
2
3
1
aa − aba + abb − a2 ;
6
4
5
3
4
г) ( ac)2 · 5a + (−bc)3 + b3 c3 .
5
9
б)
а)
Задача 3.9. Выполните умножение:
a2
b2 (66ab + 33a2 b2 ).
12 + 11
24
33
Задача 3.10. Докажите тождество:
а) (2x + a)(2x + a) = 4x2 + 4ax + a2 ;
б) (x4 + x3 )(x2 + x) = x4 (x + 1)(x + 1);
в) (a2 + ab)(a2 − ab) = a4 − a2 b2 .
Задача 3.11. Найдите многочлен, который должен стоять вместо α:
а) (2y + 4x)α = 2x3 y + x3 + 2xy 3 + xy 2 ;
в) α · (h + 3) = 2h2 − 2hr2 + 3hr − 3r3 ;
б) (3 + y + 4y)α = 3x2 − 4xy + xy 2 − 2y 3 − 4y 2 ;
г) α · (2a + b) = 4a3 + 6ab − 2a2 b2 − 3b3 .
Задача 3.12. Вместо ρ поставьте такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:
а) 2a3 + a2 b + 2b3 + ρ = 3a3 + 2a2 b − 2b3 ;
б) 4x2 − 2xy 2 − ρ + 3x3 y = xx + xy 2 + x3 y.
54
Многочлены
Задача 3.13. Пусть a = 2x2 − 3x + 4, b = 5x2 + 2x − 1, c = 7x2 − 3x + 7.
Составьте требуемое выражение и полученный многочлен запишите по степеням убывания
переменной x:
а) 2a + 4b − 3c;
б) 7ax − 5b + 4cx − 11.
Задача 3.14. К разности многочленов
2b
8b2
a2
a2 3b2
b+
a и a2 +
a прибавьте многочлен b+ab2 .
5
5
3
5
2
Задача 3.15. Произведите умножение:
а) (xy 2 − 3x)(xy 2 + 3x);
1
в) (k 3 s − 5k 2 s)( k − s);
5
б) (a2 c − 50)(2a2 c + 100);
г) (
k4
− 9k 2 s + k 2 )(30k 4 s + 12k 2 );
5
III
Задача 3.16. В кафе Цветочного города автомат выдает пончик, если ввести в него число
x, при котором значение выражения x2 – 9x + 13 отрицательно. А если ввести число x, при
котором отрицательно значение выражения x2 + x – 5, то автомат выдает сироп. Сможет ли
Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?
Задача 3.17. Графики функций y = x2 + ax + b и y = x2 + cx + d пересекаются в точке с
координатами (1, 1). Сравните a5 + d6 и c6 − b5 .
Задача 3.18. Существуют ли два одночлена, произведение которых равно ˘124 b2 , а сумма
является одночленом с коэффициентом 1?
Логические задачи
Задача 3.19. В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n2 +9n˘2
гриба, причем все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек?
Задача 3.20. Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней
цифры в 5 раз.
Домашнее задание
I
Задача 3.21. Приведите многочлен к стандартному виду:
а) 2a2 − 3a2 + 2a3 + 12a2 − ab;
б) 9ab2 a + 4b3 − 4b3 a1 − 3b3 ;
в) 5cc2 − 3dcc + 5c3 − (dc)2 · 2c;
г) 50(ab)4 − 30a4 b4 + 30b4 a · a − 3(2a)2 b4 .
Задача 3.22. Выполните умножение многочлена на одночлен:
а) (5x + 1) · z;
б) (1 + yx) · x;
в) (2y + x) · 5x;
д) 5x · (x − (3y)2 );
е) 2x4 · (5x2 − 2x2 y);
г) (3 − 2xy 2 ) · (−3x);
ж) 5y 2 x · (2x1 − 2xy 2 ); з) 2, 5x1 y 2 · (5 − (4x)0 ).
55
Семинар 3 Алгебра
Задача 3.23. Выполните умножение двучленов:
а) (a − b) · (c + d);
б) (a + 3b) · (c − 2d);
г) (−3b − 2) · (a + 2b5 );
в) (ab − b) · (3a + 2b);
д) (cd + 2) · (c + 4d3 );
е) (2a − 4b3 ) · (7a3 − 2b2 );
ж) (5a3 + 2a2 c) · (a − b4 );
з) (5(a2 )2 − 2a) · (22 + b3 ).
Задача 3.24. Выполните умножение многочлена на двучлен:
б) (b + 4b2 + d) · (c − d);
а) (a − 3b + c) · (2c + b);
г) (bd + 3ca − 3a2 d) · (c − 2d);
в) (b + b − 2a) · (2d + 3b);
д) (5ca − d − 2c) · (a3 − 2c2 );
е) (2a − b3 + c) · (3b − 2a);
ж) ((cb)2 + a2 c + 4a) · (c − 4ab);
з) (3b3 + b2 − 2b) · (b + b3 ).
Задача 3.25. Произведите умножение:
б) (3b2 + a)(a2 + 4 − b2 a);
а) (4ab + a)(4a − 2b − ab);
г) (2xy 3 + 2yx3 − 1)(x2 + y 2 + 1);
в) (x + y + 3)(4x − 5y − 1);
е) (3x − xy + y 2 )(2 + 3x − xy).
д) (3x + 2y + 5)(x − 6y − 12);
II
Задача 3.26. Приведите многочлен к стандартному виду:
7abc abc
−
;
3
2
a2 b
3
1
в)
+ (ab)2 + a2 b;
2
4a
2
2
3
1
aa − aba − abb − 3a2 ;
7
5
7
1
4
г) ( ac)2 · 3a + (−bc)3 + 2b3 c3 .
5
11
а)
б)
Задача 3.27. Выполните умножение:
a4
b2 (55ab + 22a2 b2 ).
11 − 12
24
22
Задача 3.28. Найдите многочлен, который должен стоять вместо α:
а) (2y + x)α = 2x3 y + x3 + 2xy 3 + xy 2 ;
в) α · (−h − 3) = 2h2 − 2hr2 + 3hr − 3r3 ;
б) (6 + y + y)α = 3x2 − 4xy + xy 2 − 2y 3 − 4y 2 ;
г) α · (−4a − 0.5b) = 4a3 + 6ab − 2a2 b2 − 3b3 .
Задача 3.29. Вместо ρ поставьте такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:
а) 2a3 + 3a2 b − 2b3 + ρ = 3a3 + 2a2 b − 2b3 ;
б) 4x2 − 4xy 2 + ρ − 3x3 y = xx + xy 2 + x3 y.
a2
3b2
2b
8b2
a2
Задача 3.30. К сумме многочленов b +
a и a2 +
a прибавьте многочлен b + ab2 ,
5
5
3
5
2
умноженный на три.
56
Многочлены
III
Задача 3.31. Докажите равенство (a2 + b2 )(u2 + v 2 ) = (au + bv)2 + (av˘bu)2 .
Задача 3.32. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что
x2 − 2000x = y 2 − 2000y. Найдите сумму чисел x и y.
Задача 3.33. Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.
Семинар 3
Контроль
Диагностический тест №1
Дорогой друг!
Пришло время применить свои знания на практике. Сегодня мы будем писать диагностический тест.
Для выполнения данной работы тебе необходимо вспомнить всю математику, которую ты
изучил с самого первого класса. Не пугайся, если у тебя не получится выполнить некоторые
задания: в работе могут оказаться задачи, которые мы научимся решать в течение года. Просто пропусти такое задание и приступай к следующему.
Работа выполняется на отдельном листе. На первой странице необходимо нарисовать таблицу, как показано ниже, и занести в неё полученные ответы. Во время диагностического теста
запрещается пользоваться калькуляторами, компьютерами, телефонами и другими электронными устройствами. Единственным твоим другом и помощником на время тестирования будет преподаватель, которому можно задавать вопросы по условию.
Как только получишь лист с заданиями, сразу приступай к решению задач. Тест рассчитан
на 60 минут.
Удачи!
№
Ответ
1
2
3
4
5
6
7
8