48 - Квант

ÊÂÀÍT 2000/¹2
48
6) Áóäóò ëè èçìåíÿòüñÿ äàâëåíèå
è/èëè òåìïåðàòóðà ãàçà â ðåçóëüòàòå
òàêîãî ïîâîðîòà? Îïðåäåëèòå íîâûå
çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ.
(2,5 á.)
×èñëîâûå äàííûå: äàâëåíèå îêðóæàþùåãî âîçäóõà p0 = 101,3 êÏà,
êîìíàòíàÿ òåìïåðàòóðà T0 = 20,0 °Ñ,
âíóòðåííèé äèàìåòð öèëèíäðà 2r =
= 100 ìì, ìàññà ñòåêëÿííîé ïëàñòèíû
m = 800 ã, êîëè÷åñòâî ãàçà â ñîñóäå
ν = 0,100 ìîëü, ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå CV =
= 20,8 Äæ ìîëü ⋅ Ê , äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ëàçåðà λ = 514 íì, âðåìÿ
îáëó÷åíèÿ ∆t = 10,0 ñ, ñìåùåíèå ñòåêëÿííîãî ïîðøíÿ ïîñëå îáëó÷åíèÿ ∆s =
= 30,0 ìì.
Çàäà÷à 2. Ìàãíèòíîå ïîëå V-îáðàçíîé ïðîâîëîêè
Ê ïåðâûì óñïåõàì òåîðèè ìàãíèòíûõ ÿâëåíèé Àìïåðà îòíîñèòñÿ âû÷èñëåíèå èíäóêöèè  ìàãíèòíîãî ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî ïðîâîäíèêîì ñ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, è ñðàâíåíèå ñ ðàñ÷åòàìè
Áèî è Ñàâàðà, ïðîâåäåííûìè ðàíåå.
Èíòåðåñíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ î÷åíü äëèííàÿ ïðîâîëîêà ñ ïîñòîÿííûì òîêîì i, èçîãíóòàÿ â âèäå áóêâû
V ñ ïîëîâèííûì óãëîì èçãèáà α
(ðèñ.1). Ñîãëàñíî âû÷èñëåíèÿì Àìïåðà çíà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè  â
b
g
E
2
@
bg
FG IJ
H K
α
Ðèñ. 1
òî÷êå Ð íà îñè V-îáðàçíîé ïðîâîëîêè
íà ðàññòîÿíèè d îò âåðøèíû ïðîïîðöèîíàëüíî tg α 2 , ãäå α âûðàæàåòñÿ â ðàäèàíàõ. Ðàáîòà Àìïåðà ïîçæå
âîøëà â òåîðèþ ýëåêòðîìàãíåòèçìà
Ìàêñâåëëà è ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèçíàííîé.
1) Èñïîëüçóÿ íàøè ñîâðåìåííûå
çíàíèÿ ïî ýëåêòðîìàãíåòèçìó, íàéäèòå íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè â
òî÷êå Ð. (1 áàëë)
2) Çíàÿ, ÷òî ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
ïðîïîðöèîíàëüíà tg α 2 , ò.å. B P =
= k tg α 2 , âû÷èñëèòå êîýôôèöèåíò
ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k. (1,5 á.)
3) Âû÷èñëèòå ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ
â òî÷êå Ð*, ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ð
îòíîñèòåëüíî âåðøèíû, ò.å. íà îñè
ïðîâîëîêè è íà òîì æå ðàññòîÿíèè d îò
âåðøèíû, íî âíóòðè V. (2 á.)
4) ×òîáû èçìåðèòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ, ìû ïîìåùàåì â òî÷êó Ð ìàëåíüêóþ ìàãíèòíóþ ñòðåëêó, èìåþùóþ ìîìåíò èíåðöèè I è ìàãíèòíûé
äèïîëüíûé ìîìåíò µ ; ñòðåëêà êîëåá-
b g
b g
ëåòñÿ â òîé æå ïëîñêîñòè,
â êîòîðîé
→
ëåæèò âåêòîð èíäóêöèè B . Âû÷èñëèòå
ïåðèîä ýòèõ ìàëûõ êîëåáàíèé ñòðåëêè
êàê ôóíêöèþ Â. (2,5 á.)
Äëÿ òåõ æå óñëîâèé Áèî è Ñàâàð
ïðåäïîëàãàëè, ÷òî çíà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè  â òî÷êå Ð îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (ìû çäåñü èñïîëüçóåì
iµ 0 α
åãî ñîâðåìåííóþ çàïèñü) B P = 2 ,
π d
ãäå µ 0 – ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îíè
ïîïûòàëèñü ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòà
ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäïîëîæåíèé (Àìïåðà è Áèî–
Ñàâàðà), èçìåðÿÿ ïåðèîä êîëåáàíèé
ìàãíèòíîé ñòðåëêè êàê ôóíêöèþ óãëà
α V-îáðàçíîé ïðîâîëîêè. Äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé óãëà α , îäíàêî, ðàçíèöà ñòîëü ìàëà, ÷òî åå òðóäíî èçìåðèòü.
5) ×òîáû ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâèòü ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ ïðåäñêàçàííûìè âûðàæåíèÿìè äëÿ ïåðèîäà Ò
êîëåáàíèé ìàãíèòíîé ñòðåëêè â òî÷êå
Ð, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàçëè÷èå â èõ
çíà÷åíèÿõ ñîñòàâëÿëî íå ìåíåå 10%, à
èìåííî, äîëæíî áûòü T1 >1,10 T2 (ãäå
T1 ñîîòâåòñòâóåò ïðåäïîëîæåíèþ Àìïåðà, T2 – ïðåäïîëîæåíèþ Áèî è Ñàâàðà). Óñòàíîâèòå ïðèáëèæåííî, êàêîé èíòåðâàë óãëîâ α ìû äîëæíû
âûáðàòü, ÷òîáû îáíàðóæèòü ðàçëè÷èå
ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ïðåäñêàçàíèÿìè.
(3 á.)
Ïðèìå÷àíèå.  çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà âûáðàííîãî âàìè ðåøåíèÿ çàäà÷è
âîçìîæíî âàì áóäåò ïîëåçíîé ôîðìóα
sin α
ëà tg
=
.
1 + cos α
2
b g
bg
Çàäà÷à 3. Êîñìè÷åñêèé çîíä ê Þïèòåðó
 ýòîé çàäà÷å ðàññìîòðåí ìåòîä,
÷àñòî ïðèìåíÿåìûé äëÿ óñêîðåíèÿ
êîñìè÷åñêèõ çîíäîâ â íóæíîì íàïðàâëåíèè. Êîñìè÷åñêèé çîíä, ïðîëåòàÿ
âáëèçè ïëàíåòû, ìîæåò çíà÷èòåëüíî
óâåëè÷èòü ñâîþ ñêîðîñòü è ñóùåñòâåííî èçìåíèòü íàïðàâëåíèå ïîëåòà çà
ñ÷åò íåçíà÷èòåëüíîé ÷àñòè ýíåðãèè
îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ïëàíåòû.
Þïèòåð âðàùàåòñÿ âîêðóã Ñîëíöà
ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè, êîòîðóþ ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü îêðóæíîñòüþ ñî ñðåäíèì ðàäèóñîì R.
1) Íàéäèòå ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïëàíåòû V ïî îðáèòå âîêðóã Ñîëíöà. (1,5
áàëëà)
2) Ïóñòü çîíä íàõîäèòñÿ ìåæäó Ñîëíöåì è Þïèòåðîì íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùèì ýòè òåëà. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò
Þïèòåðà, íà êîòîðîì ñèëû ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çîíäà ñ Ñîëíöåì è Þïèòåðîì ðàâíû. (1 á.)
Êîñìè÷åñêèé çîíä ìàññîé m = 825 êã
ïðîëåòàåò âáëèçè Þïèòåðà. Äëÿ óïðîùåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðàåêòîðèÿ
êîñìè÷åñêîãî çîíäà ïîëíîñòüþ ëåæèò
â ïëîñêîñòè îðáèòû Þïèòåðà, ò.å. ìû
ìîæåì ïðåíåáðå÷ü ñëó÷àÿìè, êîãäà
êîñìè÷åñêèé çîíä ïîêèäàåò ïëîñêîñòü
îðáèòû Þïèòåðà. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òó îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé ïðèòÿæåíèå Þïèòåðà çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò âñå îñòàëüíûå ãðàâèòàöèîííûå ñèëû.
 ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ
öåíòðîì ìàññ Ñîëíöà, íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êîñìè÷åñêîãî çîíäà ðàâíà v0 =
4
= 1,00 ⋅ 10 ì/ñ è íàïðàâëåíà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Y, â òî
âðåìÿ êàê ñêîðîñòü Þïèòåðà íàïðàâëåíà â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè
Õ (ðèñ.2); ïîä «íà÷àëüíîé ñêîðîñV
Þïèòåð
v
Y
X
Ðèñ. 2
Çîíä
òüþ» ìû ïîíèìàåì ñêîðîñòü êîñìè÷åñêîãî çîíäà â ìåæïëàíåòíîì ïðîñòðàíñòâå äîñòàòî÷íî äàëåêî îò Þïèòåðà,
íî óæå â îáëàñòè, ãäå ïðèòÿæåíèå
Ñîëíöà ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ïðîèñõîäèò çà äîñòàòî÷íî êîðîòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, òàê ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ Þïèòåðà ïî îðáèòå. Òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî çîíä ïðîõîäèò
ïîçàäè Þïèòåðà, ò.å. åãî õ-êîîðäèíàòà áîëüøå õ-êîîðäèíàòû Þïèòåðà â
òîò ìîìåíò, êîãäà èõ ó-êîîðäèíàòû
ðàâíû.
3) Íàéäèòå íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè
äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêîãî çîíäà (óãîë ϕ
ìåæäó âåêòîðîì ñêîðîñòè çîíäà è îñüþ
Õ) è ìîäóëü åãî ñêîðîñòè v ′ â ñèñòåìå
îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Þïèòåðîì, êîãäà
çîíä íàõîäèòñÿ äàëåêî îò Þïèòåðà.
(2 á.)
4) Íàéäèòå çíà÷åíèå Å ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè çîíäà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Þïèòåðîì, ïîëàãàÿ, êàê îáû÷íî, ÷òî çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íà î÷åíü áîëüøèõ
ðàññòîÿíèÿõ ðàâíî íóëþ è ÷òî ñêîðîñòü çîíäà ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé èç-çà ìàëîñòè âñåõ ãðàâèòàöèîííûõ âçàèìîäåéñòâèé. (1 á.)
Òðàåêòîðèåé êîñìè÷åñêîãî çîíäà â
ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Þïèòåðîì, ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëà, óðàâíåíèå
êîòîðîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä
2 2
1
2 Ev ′ b
GM
= 2 2 1+
cos θ , ( )
2
2
r v′ b
G M m
F
GG
H
I
JJ
K