1 δ-функция Дирака. 2 δ-образная последовательность.

Ëåêöèÿ 3. δ -îáðàçíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è òåîðåìû î ïðèáëèæåíèè
1
δ -ôóíêöèÿ Äèðàêà.
 30-å ãîäû ïðîøëîãî âåêà âåëèêèé ôèçèê Ïîëü Äèðàê ââåë è èñïîëüçîâàë δ -ôóíêöèþ,
îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
δ(x) = 0 ïðè x 6= 0
= ∞ ïðè x = 0
R
δ(x) = 1.
Ðàçóìååòñÿ, òàêîé ôóíêöèè íå áûâàåò. Òåì íå ìåíåå, äëÿ íåå ìîæåò áûòü äîêàçàíà
Òåîðåìà 1 Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f ∈ C(R),
R
f (x)δ(x)dx = f (0).
Rε
Rε
Äîêàçàòåëüñòâî Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì, −ε
f (x)δ(x)dx = f (c) −ε δ(x)dx = f (c). Ïðè
ε → 0, c → 0, à èíòåãðàë ñ îäíîé ñòîðîíû, íå ìåíÿåòñÿ, à ñ äðóãîé, ñòðåìèòñÿ ê f (0).
¤
2
R
δ -îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Ôîðìàëèçàöèåé ïîíÿòèÿ δ -ôóíêöèè ñëóæèò δ -îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Îïðåäåëåíèå 1 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (∆n ) íåïðåðûâíûõ èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé íà ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ δ -îáðàçíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, åñëè âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå òðåáîâàíèÿ:
R
R
a) ∆n ≥ 0 b) R ∆n → 1 c) ∀ε > 0 R\[−ε,ε] ∆n → 0.
Êîãäà îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ íå óêàçàíà - ýòî ïî óìîë÷àíèþ R.
Òåîðåìà 2 Äëÿ ëþáîé ôèíèòíîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f ,
Z
f (x)∆n (x)dx := (f, ∆n ) → f (0)
ïðè n → ∞.
Äîêàçàòåëüñòâî (f, ∆n ) = In + Jn ,
R
[−ε,ε]
In
=
R
R\[−ε,ε]
f (x)∆n (x)dx,
f (x)∆n (x)dx
Z
In ≤ |supp f | · max |f | ·
∆n (x)dx → 0, n → ∞.
R\[−ε,ε]
1
Jn
=
Çäåñü |supp f | äëèíà íîñèòåëÿ f . Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì, ïðèìåíèìîé, ïîñêîëüêó
∆n ≥ 0,
Z ε
Jn = f (c)
∆n (x)dx.
−ε
Çíà÷åíèå f (c) áëèçêî ê f (0) ïðè ìàëîì ε, à çíà÷åíèå
áîëüøîì n. Ñëåäîâàòåëüíî, In ìàëî, à Jn áëèçêî ê f (0).
3
Rε
−ε
∆n (x)dx áëèçêî ê 1 ïðè
¤
Ðàâíîìåðíîñòü ñõîäèìîñòè.
Ñëåäñòâèå
1 Ïóñòü f ∈ C 0 (R), ∆n δ -îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà fn (x) =
R
f (x)∆n (x − y)dx → f (y).
Òåîðåìà 3 Â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ, ñòðåìëåíèå fn ⇒ f ðàâíîìåðíî.
Äîêàçàòåëüñòâî Õîòèì äîêàçàòü, ÷òî: ∀α > 0∃N :
|fn (y) − f (y)| < α ∀n > N.
(1)
α
Áåðåì ε òàê, ÷òî osc
R [y−ε,y+ε] f < 2 ∀α y . Òàêîå ε ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó f ôèíèòíà.
Áåðåì N òàê, ÷òî R\[−ε,ε] ∆n (x)dx < 2 ∀n > N . Òàêîå N ñóùåñòâóåò ïî c). Òîãäà (1)
âûïîëíåíî.
¤
4
Âàæíûå δ -îáðàçíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ïóñòü ϕ ∈ C 2,0 (R) óíìîäóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, ϕ(0) = 1. Óíèìîäóëÿðíîñòü çíà÷èò, ÷òî
sign ϕ0 = −sign x. Ãðàôèê ôóíêöèè ϕ íàïîìèíàåò êîëîêîë, ϕ èìååò ìàêñèìóì â íóëå.
Òåîðåìà 4 Ïîëîæèì:
∆n = R
ϕn
.
ϕn (x)dx
R
(2)
Òîãäà ∆n δ -îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Äîêàçàòåëüñòâî Èç óíèìîäóëÿðíîñòè ϕ ñëåäóåò íåîòðèöàòåëüíîñòü:
ϕ ≥ 0.
Êðîìå òîãî, ϕ(x) < 1 ∀x 6= 0. R
Òðåáîâàíèå b îïðåäåëåíèÿ 1 R ∆n (x)dx → 1 âûïîëíåíî ïî îïðåäåëåíèþ. Îñòàëîñü
ïðîâåðèòü òðåáîâàíèå c.
Äëÿ ëþáîãî ε
max ϕ(x) = q(ε), 0 < q(ε) < 1.
|x|≥ε
2
Ïîëîæèì: In =
R
ϕn (x)dx. Íà ìíîæåñòâå |x| ≥ ε,
|∆n (x)| ≤
Òîãäà
q n (ε)
:= λn (ε).
In
(3)
Z
|x|≥ε
∆n (x)dx ≤ λn (ε)|supp ϕ|.
Ïðåäëîæåíèå 1 Â óñëîâèÿõ òåîðåìû, λn (ε) → 0 ε > 0.
Òåîðåìà 4 íåìåäëåííî ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.
¤
Äîêàçàòåëüñòâî [ïðåäëîæåíèÿ 1.] Ôèêñèðóåì ε > 0. ×èñëèòåëü äðîáè ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ ýêñïîíåíöèàëüíî. Äîêàæåì, ÷òî çíàìåíàòåëü áîëüøå íåêîòîðîé îòðèöàòåëüíîé
ñòåïåíè n: ñóùåñòâóåò òàêîå c, ÷òî
Z
c
ϕn (x)dx ≥ √ .
(4)
n
R
äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n. Òîãäà äðîáü (3) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ïîòîìó ÷òî ýêñïîíåíòà óáûâàåò áûñòðåå ëþáîé ñòåïåíè.
Èç óíèìîäóëÿðíîñòè ôóíêöèè ϕ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ìàëûõ x : |x| ≤ x0 , ñóùåñòâóåò
òàêîå C , ÷òî
ϕ(x) ≥ 1 − Cx2 .
Òîãäà ïðè áîëüøèõ n, èìååì: |x| ≤
√1
n
< x0 ,
C
.
n
ϕ(x) ≥ 1 −
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè |x| ≤
√1 ,
n
µ
n
ϕ (x) ≥
Èìååì:
Ïîýòîìó,
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n, ãäå
C
1−
n
¶n
= in .
in → e−C ïðè n → ∞
in
c
In ≥ 2 √ > √
n
n
c = 3−C .
Ýòî äîêàçûâàåò ïðåäëîæåíèå.
¤
3
5
Ïðèìåðû.
Ñëåäóþùèå äâå δ -îáðàçíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èñïîëüçóþòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì Âåéåðøòðàññà.
Âîçüìåì
ϕ(x) = (1 − x2 )χ[−1,1] .
(5)
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (2) ñ òàêèì ϕ ÿâëÿåòñÿ δ -îáðàçíîé.
Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âàæíà ïîòîìó, ÷òî íà ìíîæåñòâå |x − y| < 1, ôóíêöèÿ
∆n (x − y) ìíîãî÷ëåí ïî y .
Âîçüìåì
ϕ(x) = (cos x − 1)χ[−π,π] .
(6)
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (2) ñ òàêèì ϕ òîæå ÿâëÿåòñÿ δ -îáðàçíîé.
Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ïî y
ïðè |x − y| < π .
6
Ïðèáëèæåíèå ìíîãî÷ëåíàìè.
Òåîðåìà 5 (Âåéåðøòðàññ) Íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà îòðåçêå ìîæíî ðàâíîìåðíî
ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî Áåðåì ∆n (x) = Pn (x)χ[−1,1] ∼ δ -îáðàçíóþ; Pn (x) ìíîãî÷ëåí. Ýòà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äàåòñÿ ôîðìóëàìè (2), (5). Òîãäà
∆n (x − y) = Pn (x − y)χ[−1+y,1+y]
k
k
Ïðè ôèêñèðîâàííîì x, Pn (x−y) = Σ2n
0 ak (x)y . QQQ tak? Äàëåå, ∆n (x−y) = Σak (x)y ,
0
åñëè |x − y| ≤ 1. Áåðåì ôèíèòíóþ ôóíêöèþ f ∈ C , supp f ⊂ [0, 1] Ïðè x ∈ [0, 1], y ∈
k
[0, 1] èìååì: |x−y| ≤ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè òàêèõ x è y , ∆n (y −x) = Σ2n
0 ak (x)y . Äàëåå,
äëÿ ëþáîãî y ,
Z
Z 1
Z 1
2n
k
2n
k
fn (y) =
f (x)∆n (x − y)dx =
f (x)Σ0 ak (x)y dx = Σ0 bk Y , bk =
f (x)ak (x)dx.
R
0
0
Ïî òåîðåìå 3, fn (y) ⇒ f íà R. Íî íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèè fn ìíîãî÷ëåíû.
¤
Òåîðåìà 6 Òîò æå ðåçóëüòàò, íî ìíîãî÷ëåíû à òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.
Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî, òîëüêî ∆n (x) =
R
(1+cos x)n
,
In
ãäå In =
(1 + cos x) dx. Â ïðåäûäóùåì äîêàçàòåëüñòâå [−1, 1] çàìåíÿåòñÿ íà [−π, π], à [0, 1]
íà [0, π].
¤
π
−π
n
4